Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Осесиметричні крайові задачі для пружної багатошарової основи з циліндричним включенням

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Розрахунки на міцність та жорсткість автомобільних доріг, підлог промислових споруджень, шахт, дамб та деяких інших об'єктів пов'язані з розв'язанням крайових задач теорії пружності для багатошарових основ. Такі задачі розв'язуються або чисельно, або аналітично. Аналітичні методи становлять особливий інтерес, оскільки вони дозволяють отримувати результати з довільною точністю і можуть слугувати як тестові для перевірки вірогідності результатів, отриманих чисельними методами. Для основ із суцільними шарами до таких аналітичних методів відноситься метод функцій податливості. Цей метод широко застосовується на практиці і поширюється на випадки основ із в'язкопружними шарами, основ, коли пружні властивості змінюються з глибиною, та інші. У випадку основ з циліндричним включенням застосування методу функцій податливості стикається з труднощами, пов'язаними з оберненням перетворення Вебера.

В інженерній практиці часто трапляються випадки, коли на частині межі тіл відомі навантаження, а на іншій частині відомі переміщення. Такі мішані задачі, з математичної точки зору, є більш складними та цікавими, ніж основні крайові задачі теорії пружності. Контактні задачі відносяться до числа найбільш складних задач теорії пружності. Точний розв'язок нових контактних задач пов'язаний з розробкою нових математичних методів, тому точні аналітичні розв'язки отримані тільки для дуже обмеженого класу контактних задач теорії пружності. Розробка наближених методів розв'язання контактних задач завжди була актуальною і в прикладному, і в теоретичному сенсах. На теперішній час майже немає публікацій, що присвячені розв'язанню контактних задач для пружних багатошарових основ з циліндричним включенням. На практиці шари не завжди зчеплені між собою, а мають і інші випадки контактів, наприклад, гладкий або однобічний контакти. Для дослідження деформацій таких основ потрібно знати методи розв'язання інтегральних рівнянь задач про відставання шару від багатошарової основи з дефектами в шарах. Ось чому тема дисертації є актуальною і для механіки деформівного твердого тіла (пропонується спосіб розв'язання нового класу задач), і для математики (пропонується спосіб обчислення деяких інтегралів, які містять функції Бесселя).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження пов'язані з фундаментальними дослідницькими роботами «Розробка точних аналітичних методів розв'язку граничних задач теорії пружності для багатошарових середовищ» (№ держреєстрації 01034000718, 2003-2005 рр. на підставі рішення науково-експертної ради) та «Розв'язання основних і мішаних граничних задач теорії пружності для шаруватих середовищ періодичної структури та основ з отворами» (№держреєстрації 0106У008388, 2006-2008 рр. на підставі рішення науково-експертної ради), які фінансувалися Міністерством освіти і науки України та проводились на кафедрі алгебри та геометрії Запорізького національного університету. Результати дисертації увійшли до річних звітів із зазначених науково-дослідних тем за 2004-2006, 2008 рр.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка способів розв'язання осесиметричних основних крайових і контактних задач теорії пружності для багатошарових основ з гладким вертикальним циліндричним включенням. Для досягнення цієї мети необхідно було:

– розробити спосіб точного (у квадратурах) розв'язання основних крайових задач осесиметричної теорії пружності для багатошарових основ з включенням. Отримати розв'язок задачі у вигляді інтегралів, обчислення яких на ЕОМ не викликає ускладнень;

– розробити наближений спосіб визначення контактного тиску між кільцевим штампом і багатошаровою основою з включенням;

– запропонувати спосіб визначення контактних тисків та області контакту шару з багатошаровою основою, якщо відбувається однобічний контакт;

– здійснити чисельну реалізацію отриманих розв'язків на ЕОМ;

– провести чисельні дослідження деформації багатошарових основ з циліндричним включенням.

Об'єктом дослідження є напружено-деформівний стан пружної багатошарової основи з циліндричним включенням.

Предметом дослідження є розробка ефективних способів визначення напружень та переміщень точок в основних крайових задачах та контактних тисків і області контакту в мішаних задачах для багатошарових основ з циліндричним включенням.

Методи дослідження. Для досягнення сформульованої мети в роботі використано ряд методів: метод представлень Папковича-Нейбера, метод інтегральних перетворень Вебера, метод функцій податливості, метод контурного інтегрування, метод Файлона обчислення визначених інтегралів, метод зведення інтегрального рівняння до операторного, метод Зейделя розв'язання систем нелінійних рівнянь.

Наукова новизна отриманих результатів дослідження полягає в такому:

– доведені нові тотожності для спеціальних функцій;

– одержано і чисельно реалізовано точні у вигляді невласних інтегралів розв'язки основних крайових задач теорії пружності для багатошарових основ з циліндричним включенням;

– отримано інтегральні рівняння задач про дію кільцевого штампа на багатошарову основу з включенням. Виділені сингулярна і регулярна частини ядра інтегрального рівняння;

– одержано інтегральні рівняння задач про відокремлення шару від багатошарової основи з включенням під дією нормального навантаження, рівномірно розподіленого по колу;

– перенесено на новий клас задач спосіб розв'язання отриманих інтегральних рівнянь шляхом зведення їх до операторних;

– проведено аналіз впливу характеристик шарів на розподіл контактного тиску в задачах про дію штампа на багатошарову основу з включенням і в задачах про відставання шару від багатошарової основи з включенням.

Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій забезпечується

– коректністю постановок задач, що розглядаються;

– застосуванням добре апробованих методів на окремих етапах розв'язання задач;

– узгодженням результатів в частинних випадках з відомими в літературі;

– перевіркою стійкості та внутрішньої збіжності методів, що використовуються;

– апробацією способів на тестових задачах.

Практичне значення отриманих результатів. Запропонований спосіб розв'язання основних і мішаних крайових задач для багатошарових основ з циліндричним включенням можна застосовувати при розрахунках на міцність і жорсткість різних об'єктів, таких як покриття автомобільних магістралей, підлог промислових будівель в околі вертикальних колодязів, ґрунтів в околі шахт та інших об'єктів. Одержані розв'язки можуть слугувати тестовими для визначення вірогідності наближених методів. При розв'язанні задач за допомогою перетворення Вебера корисними будуть тотожності, що доведені в цій роботі.

Апробація результатів роботи. Основні положення роботи були повідомлені та обговорені на ряді наукових конференцій:

– II регіональній науковій конференції молодих дослідників «Актуальні проблеми математики та інформатики» (м. Запоріжжя, 2004 р.);

– Міжнародній науково-технічній конференції «Інтегровані комп'ютерні технології в машинобудуванні» ІКТМ (м. Харків, 2004 р.);

– III Міжнародній науково-практичній конференції «Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла» (м. Донецьк, 2005 р.);

– Всеукраїнській науково-практичній конференції «Сучасні тенденції розвитку інформаційних технологій в науці, освіті та економіці» (м. Луганськ, 2006 р.).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалася на:

– науковому семінарі «Актуальні проблеми прикладної математики і механіки» Запорізького національного університету (м. Запоріжжя, 2006 р.);

– науковому семінарі кафедри прикладної математики та математичного моделювання Херсонського національного технічного університету (м. Херсон, 2006 р.);

– науковому семінарі кафедри програмного забезпечення автоматизованих систем Запорізької державної інженерної академії (м. Запоріжжя, 2007 р.);

– науковому семінарі кафедри теоретичної та прикладної механіки Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара (м. Дніпропетровськ, 2008 р.);

– науковому семінарі кафедри обчислювальної механіки та міцності конструкцій Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара (м. Дніпропетровськ, 2008 р.);

– науковому семінарі кафедри системного аналізу та обчислювальної математики Запорізького національного технічного університету (м. Запоріжжя, 2009 р.).

Публікації і особистий внесок здобувача. Основні наукові результати дисертації опубліковані в дев'яти роботах [1-9], з яких шість є статтями (п'ять з них опубліковані у виданнях, визнаних ВАКом України фаховими [1-5]), три є тезами. Основні результати отримані автором самостійно.

У спільних роботах [2, 3, 7, 8] з д.ф.-м.н., проф. А.К. Приварниковим дисертантові належить перетворення формул для визначення напружень і переміщень у півпросторі та багатошаровій основі з включенням до вигляду, зручного для чисельних обчислень, отримання чисельних результатів і проведення дослідження залежності напружень і переміщень від характеристик шарів основи. У спільних публікаціях [4, 5, 9] з науковим керівником, к.ф.-м.н., доц. І.Г. Величком дисертантові належить отримання інтегральних рівнянь у задачі про дію штампу на багатошарову основу з включенням та задачі про відставання шару від абсолютно жорсткого півпростору, чисельна реалізація розв'язку рівнянь, визначення області контакту штампа з основою та шару з півпростором. Роботи [1, 6] опубліковані дисертантом самостійно. У роботі [1] дисертантом отримані чисельні результати і проведене дослідження залежності напружень і переміщень від характеристик гладких шарів багатошарової основи. У публікації [6] дисертантом було отримане інтегральне рівняння в задачі про дію штампа на півпростір, отримана чисельна реалізація розв'язку рівняння, визначена область контакту штампа з півпростором.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновку, списку використаної літератури, що містить 230 джерел. Робота містить 5 таблиць і 28 рисунків. Загальний обсяг дисертації складає 164 сторінки, з яких 26 сторінок займає список використаної літератури.

Основний зміст роботи

тиск штамп крайовий осесиметричний

У вступі обґрунтовано актуальність та значимість теми дисертації. Сформульовано мету дисертаційного дослідження та задачі, які необхідно розв'язати для її досягнення. Сформульовано основні результати, що виносяться на захист; наведено коротку анотацію роботи та її зв'язок з науковими темами; охарактеризовано наукову новизну, достовірність та практичну значимість отриманих результатів; особистий внесок автора в спільні публікації з теми дисертаційної роботи; наведено відомості про опублікування та апробацію результатів роботи.

У першому розділі дається огляд точних та наближених методів дослідження напружено-деформівнного стану та методів розв'язання контактних задач теорії пружності для багатошарових основ з суцільними шарами та шарами з дефектами. Аналізом охоплені роботи вітчизняних і закордонних авторів. На підставі аналізу літератури визначено низку задач про деформацію багатошарової основи з циліндричним включенням, які є практично важливими, але для яких майже не існує надійних методів розв'язання.

В огляді літератури проаналізовано роботи таких авторів, як С.М. Айзикович, В.М. Александров, О.І. Александров, І.Г. Альперин, Н.М. Амаров, І.І. Аргатов, Н.Х. Арутюнян, В.А. Баженов, В.В. Болотін, В.З. Васильєв, В.Є. Вериженко, І.Є. Вігдерович, В.З. Власов, С.Д. Волков, І.І. Ворович, Л.А. Галін, Ю.Я. Годес, А.В. Гондлях, І.Г. Горячева, Д.В. Грилицький, В.Т. Грінченко, А.П. Дацишин, А.А. Євтушенко, О.А. Єникеєв, Ж.С. Єржанов, А.Д. Заїкін, В.В. Зозуля, В.А. Ілюнін, С.А. Калоєров, П.І. Клубін, Б.І. Коган, М.Б. Корсунський, А.С. Космодаміанський, А.С. Кравчук, В.І. Кузьменко, В.Д. Ламзюк, М.М. Леонтьєв, В.Н. Ложкін, П.Я. Малиц, Л.В. Марчук, С.Л. Мельников, Н.І. Мироненко, І.Н. Молчанов, В.І. Моссаковський, Ю.А. Наумов, Н.І. Невзоров, В.Д. Никифорова, В.С. Нікішин, Ю.П. Новичков, В.В. Панасюк, В.В. Парцевський, В.І. Петришин, В.Г. Пискунов, Б.Є. Победря, Г.Я. Попов, А.К. Приварников, А.П. Прусаков, Р.М. Раппопорт, А.О. Рассказов, І.А. Родзевич, М.П. Саврук, А.С. Сахаров, М.Н. Симонян, А.Р. Сніцер, І.І. Соколовська, М.Н. Степанян, А.Ф. Улитко, Я.С. Уфлянд, Г.А. Фень, Вал.М. Чехов, Вік.М. Чехов, В.А. Шалдирван, Г.С. Шапіро, Ю.А. Шевляков, І.Я. Штаєрман, М.А. Шульга, D.M Burmister, R.S. Dhaliwal, T. Hara, M.A. Hussain, T. Koizumi, R.K.N.D. Rajapakse, M.G. Rnight, S.C. Parlas, S.L. Pu, T. Shibuya, R.P. Srivastav, E. Takano та ін.

У другому розділі розглянуто осесиметричну деформацію пружного однорідного півпростору з гладким абсолютно жорстким вертикальним циліндричним включенням (рис. 1). На межі півпростору відомі нормальні та дотичні напруження. На поверхні включення дотичні напруження та радіальні переміщення дорівнюють нулю. Потрібно визначити напруження та переміщення в півпросторі.

Математично задача зводиться до розв'язання рівнянь теорії пружності за таких граничних умов:

при ,

при .

Задача розв'язується методом інтегрального перетворення Вебера з використанням представлення Папковича-Нейбера.

У другому розділі доведено шість нових тотожностей для інтегралів, які містять функції Бесселя, одна з яких має вигляд:

Чисельне обчислення інтеграла в лівій частині є нетривіальною задачею. Отримати вірогідне значення інтеграла в правій частині тотожності можна за будь-якими квадратурними формулами.

З урахуванням тотожностей типу (1) отримані формули для обчислення напружень та переміщень у пружному півпросторі, на верхню межу якого діє нормальне навантаження, рівномірно розподілене по колу. Для прикладу наведемо формулу для нормального напруження:

.

Аналогічні результати отримані для випадку, коли на поверхню діє дотичне навантаження, рівномірно розподілене по колу. Спираючись на отримані розв'язки двох вищенаведених задач, методом суперпозиції можна отримати розв'язок задачі про дію будь-якого осесиметричного навантаження на пружний півпростір з циліндричним включенням. У розділі наводяться приклади розрахунків для різних видів навантажень півпростору з включенням і сформульовані висновки.

Третій розділ присвячено отриманню формул точного розв'язку першої основної крайової задачі теорії пружності для багатошарової основи з циліндричним включенням у вигляді, що допускає просту чисельну реалізацію. Багатошарова основа являє собою пакет з однорідних ізотропних невагомих шарів, який лежить на пружному або абсолютно жорсткому півпросторі (рис. 3). Шари та півпростір містять загальне гладке абсолютно жорстке вертикальне циліндричне включення. Шари основи нумеруються зверху, півпростору надається номер . Сусідні шари основи не відстають один від одного, а нижній шар - від півпростору. Сусідні шари або зчеплені, або можуть ковзати без тертя один відносно іншого (гладкий контакт). Умови спряження шарів можуть довільно чергуватись в основі. На верхній межі першого шару відомі нормальні та дотичні напруження, які викликають осесиметричну деформацію.

Кожен шар та півпростір віднесемо до місцевої циліндричної системи координат з початком на верхній межі шару або півпростору. Початки систем координат розташовані на осі симетрії включення. Осі систем збігаються та направлені вниз.

Розв'язок задачі шукається за допомогою методу функцій податливості. Для кожного шару основи вводяться допоміжні функції, пов'язані з трансформантами напруження та переміщення на верхній межі шару. Отримано вирази для напружень та переміщень точок будь-якого шару через допоміжні функції цього шару. Із умов спряження шарів одержані рекурентні співвідношення між допоміжними функціями сусідніх шарів. Таким чином, задача зведена до пошуку четвірки допоміжних функцій першого шару. Показано, що допоміжні функції кожного шару основи не є незалежними, а пов'язані між собою співвідношеннями. Функції є функціями податливості основи. Вони не залежать від прикладених навантажень. Допоміжні функції для основи з включенням і для основи з суцільними шарами визначаються за різними формулами, але, як показано в дисертації, відповідні функції податливості збігаються. Дві з чотирьох допоміжних функцій першого шару можна визначити з граничних умов задачі, інші дві можна визначити за допомогою функцій податливості. Таким чином, можна обчислити трансформанти Вебера переміщень та напружень. Шукані значення напружень та переміщень можна отримати за допомогою формул обернення.

В околі верхньої межі першого шару швидкість прагнення підінтегральних функцій у формулах точного розв'язку до нуля є недостатньою для надійного обчислення інтегралів на ЕОМ. В одержаних точних формулах виділені повільно спадні доданки. Вони відповідають напруженням та переміщенням в пружному півпросторі з включенням (пружні характеристики якого збігаються з пружними характеристиками першого шару), навантаженим так само, як і багатошарова основа і обчисленню яких присвячено другий розділ.

Було досліджено вплив пружних характеристик основи та радіуса кола навантаження на напружено-деформівний стан багатошарової основи з циліндричним включенням. Наведемо результат розв'язання задачі про осесиметричну деформацію п'ятишарової основи, шари якої зчеплені і лежать на абсолютно жорсткому півпросторі. Шари та півпростір містять гладке вертикальне циліндричне включення радіуса . Основа має такі характеристики: , , , . На верхню межу основи діє нормальне навантаження, рівномірно розподілене по колу радіуса .

Розглянуто осесиметричну деформацію тришарової основи, шари якої зчеплені і лежать на абсолютно жорсткому півпросторі. Шари та півпростір містять циліндричне включення радіуса . Характеристики шарів: ; , . На верхню межу першого шару діє нормальне навантаження, рівномірно розподілене по колу радіуса . На рис. 6 наведено графіки розподілу радіального напруження по глибині шарів для вищезгаданої основи для двох значень радіуса включення (виноски 1, 2, 3 - 1, 2, 3 шари відповідно) та (виноски 4, 5, 6 - 1-й, 2-й, 3-й шари відповідно), та трьох значень координати .

У кінці розділу сформульовані висновки.

У четвертому розділі розглянуто контактну задачу про тиск гладкого штампа, обмеженого поверхнею обертання, на багатошарову основу з включенням. У вихідному положенні штамп стикається з основою, не деформуючи її. Поверхня штампа описується рівнянням . Під дією сили штамп переміщується поступально уздовж осі і на ділянці контактує з основою. Величина переміщення вважається відомою. Потрібно визначити контактні тиски і зону контакту у випадку, коли вона залежить від , і силу , що діє на штамп. На рис. 7 наведено переріз багатошарової основи з включенням під дією кільцевого штампа.

Отримано інтегральне рівняння цієї задачі:

.

Тут - шуканий контактний тиск. Було доведено, що інтегральне рівняння еквівалентне операторному рівнянню:

,

де , . Контактні тиски в області апроксимувалися лінійно-сталою функцією. Було отримано нелінійну систему рівнянь відносно значень тиску в обраних точках :

, ,

де , ,

Система розв'язувалася за допомогою метода Зейделя.

В розділі наведено чисельні розв'язки задач про контакт штампа, який має плоску або опуклу підошву, з багатошаровою основою. Було визначено розподіл контактних тисків, а для випадку опуклої підошви - і область контакту. Досліджено вплив пружних характеристик на розподіл контактного тиску та області контакту. Нижче наведені графіки розподілу контактних тисків у задачах про контакт штампа з плоскою підошвою з двошаровою основою та штампа з опуклою підошвою з двошаровою основою. Для першої задачі розглядалися такі відношення модулів Юнга: (виноска 1), (виноска 2), (виноска 3). Для другої задачі розглядалися такі відношення товщин шарів: (виноска 1), (виноска 2), (виноска 3).

У кінці розділу сформульовані висновки.

У п'ятому розділі розглянуто задачу про відставання першого шару від багатошарової основи. На шар діє нормальне навантаження, що притискає шар до основи (рис. 10). Задача полягає у визначенні області контакту шару з основою та знаходження закону розподілу контактних тисків у цій області.

Отримано інтегральне рівняння задачі про відставання першого шару від багатошарової основи:

,

де - шуканий контактний тиск, - шукана область контакту штампа з основою.

Одержане інтегральне рівняння за структурою подібне розглянутому вище інтегральному рівнянню контактної задачі і розв'язувалося таким самим чином. У розділі досліджено вплив пружних характеристик та кількості шарів основи на розподіл контактних тисків. Нижче наведені графіки розподілу контактних тисків у задачах про однобічний контакт шару з пружним півпростором і шару з основою, яка складається з шару та абсолютно жорсткого півпростору. Розглядалися такі відношення модулів Юнга: (виноска 1), (виноска 2), (виноска 3), (виноска 4).

У кінці розділу сформульовані висновки.

Висновки

У дисертаційній роботі розроблено спосіб розв'язання у квадратурах основних крайових та наближений спосіб розв'язання деяких мішаних задач теорії пружності для багатошарових основ з гладким абсолютно жорстким вертикальним циліндричним включенням. У цій дисертації розглядалися такі мішані задачі: задача про дію кільцевого штампа з опуклою та плоскою підошвою на багатошарову основу з включенням та задачі про відставання шару від багатошарової основи з включенням.

Основні результати дисертації полягають в такому:

1. Побудовано точний розв'язок першої основної крайової задачі теорії пружності для багатошарової основи з гладким абсолютно жорстким вертикальним циліндричним включенням. Розрахункові формули дозволяють визначити напружено-деформівний стан основи в усіх точках, у тому числі на верхній межі першого шару та в її околі. Метод функцій податливості розповсюджено на новий клас задач.

2. Запропоновано спосіб визначення області контакту та контактних тисків в задачах про тиск кільцевого штампа на багатошарову основу з гладким абсолютно жорстким вертикальним циліндричним включенням та однобічний контакт шару з багатошаровою основою з гладким абсолютно жорстким вертикальним циліндричним включенням.

3. Доведено шість нових тотожностей для спеціальних функцій, які зручно використовувати при проведенні обернення перетворення Вебера. За допомогою цих тотожностей сингулярні частини ядер інтегральних рівнянь контактних задач були записані через інтеграли Вебера-Соніна.

4. Було розроблено комплекс програм на мові Fortran та в системі Maple, який реалізує запропоновані алгоритми. Були проведені чисельні експерименти і встановлені нові механічні ефекти, серед яких:

a) Розглянуто задачу про осесиметричну деформацію основи, що складається з трьох шарів, які лежать на абсолютно жорсткому півпросторі. Шари та півпростір містять циліндричне включення. Модулі Юнга першого та третього шарів у 10 раз більші за модуль Юнга другого шару. Усі шари зчеплені між собою. На верхню межу першого шару діє нормальне навантаження, рівномірно розподілене по колу. Досліджено вплив радіуса включення на розподіл радіального напруження. Виявлено, що при збільшенні радіуса кола навантаження радіальні напруження зменшуються поблизу верхньої границі першого шару та збільшуються поблизу нижньої границі першого шару.

b) Розглянуто задачу про тиск кільцевого штампа з плоскою підошвою на півпростір з включенням та суцільний півпростір. Задано вертикальне переміщення штампа . При однакових параметрах поблизу внутрішнього радіуса штампа контактні тиски в суцільному півпросторі більші за контактні тиски а півпросторі з включенням, а при наближенні до зовнішнього радіуса штампа - навпаки. При наявності включення для занурення штампа на ту ж саму глибину, потрібно докласти більших зусиль.

c) Розглянуто задачу про тиск кільцевого штампа з опуклою підошвою на півпростір з включенням. При фіксованому вертикальному переміщенні збільшення розмірів включення призводить до збільшення внутрішнього радіуса та до незначного зменшення зовнішнього радіуса області контакту, тобто зменшує саму область. При цьому спостерігається зменшення контактного тиску поблизу внутрішнього радіуса.

d) Розглянуто задачу про відставання шару від абсолютно жорсткого півпростору. На верхню межу шару діє нормальне навантаження, яке рівномірно розподілене по колу. З'ясовано, що максимальні контактні тиски та радіуси кілець контактів не є монотонними функціями від радіусів навантаження при інших фіксованих параметрах.

e) Розглянуто задачу про відставання шару від одношарової основи. На верхню межу шару діє нормальне навантаження, яке рівномірно розподілене по колу. При фіксованому радіусі навантаження та модулі Юнга шару основи збільшення модуля Юнга шару, що притискається, призводить до збільшення області контакту і зменшення максимального значення контактного тиску. При збільшенні товщини шару основи до нескінченності отримуємо задачу про відставання шару від пружного півпростору. У випадку, коли основа є шаром скінченної товщини, площа області контакту більш суттєво залежить від відношень модулів Юнга шару, що відстає, та шару основи. У випадку, коли основа є пружним півпростором, починаючи з деякого відношення модулів Юнга, область контакту практично не змінюється.

Наукові праці, опубліковані за темою дисертації

1. Подковалихина Е.А. Исследование напряженного состояния многослойного основания с гладкими слоями при наличии гладкого цилиндрического включения / Е.А. Подковалихина // Вісник Дніпропетр. ун-ту. Механіка. - 2005. - Т. 1, вип. 9. - №10. - С. 159-167.

2. Подковалихина Е.А. Первая граничная задача осесимметричной теории упругости для полупространства с цилиндрическим отверстием / Е.А. Подковалихина, А.К. Приварников // Вісник Дніпропетр. ун-ту. Механіка. - 2005. - Т. 2, вип. 9. - №10. - С. 137-144.

3. Подковалихина Е.А. Первая граничная осесимметричная задача для многослойного основания с цилиндрическим отверстием / Е.А. Подковалихина, А.К. Приварников // Теоретическая и прикладная механика. - 2005. - №41. - С. 38-43.

4. Величко И.Г. Осесимметричная задача теории упругости о действии штампа на многослойное основание с гладким цилиндрическим включением / И.Г. Величко, Е.А. Подковалихина // Вісник Дніпропетр. ун-ту. Механіка. - 2006. - Т. 1, вип. 10. - №2. - С. 167-175.

5. Величко И.Г. Задача об одностороннем контакте упругого слоя с абсолютно жестким полупространством, содержащим включение / И.Г. Величко, Е.А. Подковалихина // Вісник Дніпропетр. ун-ту. Механіка. - 2007. - Т. 2, вип. 11. - №2. - С. 35-42.

6. Подковалихина Е.А. Осесимметричная задача теории упругости о взаимодействии штампа с полупространством с цилиндрическим включением / Е.А. Подковалихина // Вісник ЗДУ. Фіз.-мат. науки. Біол. науки. - 2005. - №1. - С. 41-48.

7. Подковалихина Е.А. Решение первой граничной задачи теории упругости для упругого полупространства с цилиндрическим отверстием / Е.А. Подковалихина, А.К. Приварников // Актуальні проблеми математики та інформатики: зб. тез доповідей Другої регіональної наук. конф. молодих дослідників, 22-23 кв. 2004 р. - Запоріжжя, 2004. - С. 49-50.

8. Подковалихина Е.А. Точное решение первой граничной задачи осесимметричной теории упругости для полупространства с цилиндрическим отверстием / Е.А. Подковалихина, А.К. Приварников // Інтегровані комп'ютерні технології в машинобудуванні / ІКТМ: тези доповідей Міжнар. наук.-техн. конф., 16-19 листоп. 2004 р. - Харків, 2004. - С. 115.

9. Подковалихина Е.А. Исследование на ЭВМ процесса отставания гладкого слоя, содержащего вертикальное отверстие, от абсолютно жесткого полупространства / Е.А. Подковалихина, И.Г. Величко // Сучасні тенденції розвитку інформаційних технологій в науці, освіті та економіці: тези доповідей Всеукр. наук.-практ. конф., 11-13 грудня 2006 р. - Луганськ, 2006. - С. 204-205.

Размещено на Allbest.ru