Размещено на http://www.allbest.ru

Реферат

Понятие о вычислительной физике

Содержание

1.Некоторые исторические замечания

2. История открытия Нептуна

3. Проблема Ферми-Пасты-Улама и открытие солитонов

4. Эвристическая роль вычислительного эксперимента

5. Математическая модель

Литература

1. Некоторые исторические замечания

Становление вычислительной физики как отдельной дисциплины обычно относят к середине прошлого века. Именно в это время появились первые большие вычислительные машины с программным управлением (компьютеры), применение которых коренным образом изменило технологию применения вычислительных (численных) методов в теоретической и математической физике.

Следует заметить, что сами по себе различные вычислительные методы использовались в физике задолго до возникновения термина «вычислительная физика». Достаточно, например, вспомнить известную историю открытия («на кончике пера», как тогда говорили) планеты Нептун, которое явилось блестящим свидетельством справедливости законов Ньютона. вычислительный физика нептун солитон

2. История открытия Нептуна

Видимые невооруженным глазом планеты солнечной системы были известны с древнейших времен. Уран, который практически невозможно наблюдать без соответствующих оптических инструментов, был открыт в 1781 году У. Гершалем в результате прямых астрономических наблюдений. Открытие же 1846 году новой планеты - Нептуна весьма поучительно с позиции вычислительной физики.

Действительно, были замечены некоторые аномалии в движении Урана, которые не удавалось объяснить на основе законов Ньютона возмущением его орбиты за счет взаимодействия с известными в то время планетами. В связи с этим, несколькими учеными была высказана идея о том, что за орбитой Урана находится еще одна, достаточно массивная планета солнечной системы, притяжение которой и является причиной этих аномалий.

С помощью весьма длительных и громоздких вычислений У. Леверье удалось чисто теоретически (фактически на основе законов Ньютона) предсказать то место на небосводе, где в некоторое указанное время должна была находиться эта неизвестная планета.

На основе этого предсказания И. Галле и Г. д'Арре в сентябре 1846 года действительно обнаружили слабую светящуюся точку (всего в одном градусе от положения, предсказанного Леверье), которая и оказалась новой планетой. Тот факт, что эта светящаяся точка является не звездой, а планетой, подтверждается ее перемещением относительно неподвижных звезд (период обращения Нептуна вокруг Солнца составляет около 165 земных лет).

Обнаруженная планета получила название Нептун (ее светимость в 5 раз меньше светимости самых слабых звезд, видимых невооруженным глазом).

Принципиально важным является тот факт, что «ручные» расчеты, на которые раньше тратились годы упорного труда, на современных компьютерах выполняются за считанные минуты. Более того, дело не только в ускорении решения старых «классических» задач вычислительной физики, а в возможности постановки принципиально новых задач. Это тот случай, когда количество переходит в качество…

3. Проблема Ферми-Пасты-Улама и открытие солитонов

С появлением больших вычислительных машин с программным управлением в середине прошлого века возникла возможность решения таких задач, о постановке которых нельзя было и мечтать в докомпьютерную эру. Примером может служить знаменитая задача Ферми-Пасты-Улама (ФПУ). Многие специалисты датируют «рождение» вычислительной физики как самостоятельной научной дисциплины именно временем проведения первых вычислительных экспериментов, направленных на решение этой проблемы (1955 г.). Она связана с именем одного из величайших физиков «всех времен и народов» - Энрико Ферми, и, фактически, сводится к попытке обоснования одного из основных положений статистической физики - равнораспределения энергии многочастичной системы в состоянии ее термодинамического равновесия по всем степеням свободы. (Вспомним известный из школьного курса физики факт, что на каждую степень свободы идеального газа приходится энергия, равная 1\2 kT). Это положение статистической физики (в общем случае речь идет о проверке эргодической гипотезы) не удается объяснить, исходя из законов классической механики, несмотря на многочисленные попытки разных ученых.

Ферми предложил исследовать явление перехода возбужденной многочастичной системы к ее равновесному состоянию на следующей простой механической модели.

Рассматривается одномерная система одинаковых грузиков, связанных одинаковыми нелинейными пружинками. Говоря о нелинейности пружинок, мы имеем в виду, что упругая сила , которая возникает при ее деформации , в отличие от известного закона Гука, не является линейной функцией деформации, а имеет вид

, (1)

что фактически является разложением нелинейной функции в ряд Тейлора. Если в этом разложении считать ненулевой только квадратичную поправку () или только кубическую поправку () к закону Гука, мы получим так называемую модель ФПУ-или ФПУ-, соответственно.

В гармоническом приближении, когда справедлив обычный закон Гука, динамика рассматриваемой системы N грузиков описывается линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами, которые получаются в результате применения второго закона Ньютона к каждому грузику(более подробно см. далее). Согласно общему математическому методу решения уравнений такого типа, в рассматриваемой механической системе можно ввести N независимых друг от друга нормальных мод (нормальных колебаний), которые являются некоторыми частными решениями соответствующей системы дифференциальных уравнений. Они представляют собой некоторые коллективные степени свободы - в колебательном режиме, соответствующем данной моде, все частицы совершают колебания с одинаковой частотой, но разными амплитудами.

Независимость нормальных мод означает, что если первоначально была возбуждена одна из них, то описываемый ею колебательный режим будет неограниченно долго продолжаться во времени - к другим модам возбуждение от нее не передается. Однако, если учесть приближенный характер закона Гука, т. е. считать упругую силу нелинейной деформации пружинок, ситуация кардинальным образом меняется, возбуждение от первоначально возбужденной в механической системе моды будет передаваться другим нормальным модам, которые теперь уже перестают быть точными решениями исходной динамической задачи. В результате можно ожидать, что с течением времени установится равнораспределение энергии между различными модами, которые являются некоторыми новыми динамическими переменными (в отличие от старых переменных, которыми были отклонения индивидуальных грузиков из своих положений равновесия).

Действительно, общее положение статистической физики о равнораспределении энергии между различными степенями свободы должно быть справедливым и по отношению к системе нормальных мод - системе новых динамических переменных.

Первоначальная постановка задачи ФПУ сводилась к нахождению времени релаксации рассматриваемой механической системы к предполагаемому состоянию равновесия в зависимости от степени нелинейности пружинок. Более точно дело сводилось к возбуждению одной (наиболее длинноволновой нормальной моды в модели ФПУ-или ФПУ-) и нахождению того времени, за которое энергия равнораспределяется между всеми модами исследуемой системы.

Система нелинейных дифференциальных уравнений, которая возникает при решении задачи ФПУ аналитического решения не имеет и, поскольку, здесь математика оказывается бессильной, у Ферми и возникла идея решения этой системы численными методами на только что вступившей в строй одной из первых в США больших вычислительных машин, получившей красочное имя MANIAC. Приведенное имя является аббревиатурой, составленной из начальных букв Mathematical Analyzer Numerical Integrator And Computer, а по другой версии из начальных букв фамилий творцов этого монстра. В работе над рассматриваемой проблемой, кроме самого Ферми, участвовали известный математик С. Улам (автор книги «Нерешенные математические задачи»), Дж. Паста и юная программистка Мэри Цингоу.

И вот получены результаты первых компьютерных экспериментов. Вышеуказанных исследователей ожидал сюрприз (кстати, обнаруженный совершенно случайно из-за затянувшегося обеденного перерыва!..). Кажущаяся тенденция к равнораспределению энергии между всеми степенями свободы (нормальными модами), которая наблюдалась на коротких временах, при более длительном процессе решения системы исследуемых дифференциальных уравнений места не имела. Вместо этого энергия почти периодически кочевала между несколькими первыми (наиболее длинноволновыми) модами. Модам с номерами больше 6 энергия почти не передавалась - они имели практически нулевые амплитуды.

Если интерпретировать результаты этого решения задачи ФПУ в терминах звуковых колебаний (каждой нормальной моде отвечает вполне определенная частота), то можно утверждать следующее. Поскольку ожидалось наступление равнораспределения энергии между степенями свободы, все нормальные моды должны были «звучать» практически с одинаковой интенсивностью. Иными словами, ожидалось, что с течением времени возникнет некоторая какофония звуков, точнее так называемый «белый шум». Вместо этого цепочка грузиков на пружинках исполняла вполне определенную мелодию, причем по очереди солировали лишь несколько первых мод. Любознательный читатель может даже найти даже ноты этой мелодии в книге [1]. Даже для такого гения, как Э. Ферми, этот результат явился полной неожиданностью.

Вскоре Э. Ферми ушел из жизни, и вышеописанный удивительный результат компьютерных экспериментов был полузабыт. Эти результаты были опубликованы в труднодоступном источнике (в внутреннем отчете Los Alamos National Laboratory). Впрочем, нашлись исследователи (среди них был ряд весьма известных имен), которые продолжили вычислительные эксперименты с цепочками ФПУ при самых разных условиях постановки задачи (варьировались начальные условия, характер физ. Взаимодействия между грузами, число последних). Результаты этих исследований были вполне определенными: обнаруженный Ферми, Пастой и Уламом парадокс не исчезал - рассматриваемые цепочки не стремились к установлению термодинамического равновесия вопреки фундаментальному утверждению статистической физики.

Прорыв в исследовании проблемы Ферми-Пасты-Улама произошел примерно спустя десять лет благодаря исторической работе Н. Забуски и М. Крускала [2]. Основываясь на результатах численного исследования поведения цепочек Ферми-Пасты-Улама и переходя к длинноволновому пределу (длины рассматриваемых волн считаются намного больше смещений индивидуальных частиц цепочки), вышеуказанные авторы смогли в некотором приближении свести изучаемую систему N обыкновенных дифференциальных уравнений к ставшему теперь знаменитым уравнению Кортевега-де-Фриза (сокращенно КДФ-уравнение), которое допускает существование так называемых уединенных волн.

Это нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных в обезразмеренной форме имеет очень простой вид:

, (2)

где - функция пространственной переменной и временной переменной .

С этим уравнением связанна своя очень интересная история…

Впервые уединенную волну, имеющую форму горба на поверхности воды, который распространяется без изменения своей скорости и формы, наблюдал шотландский ученый и инженер-кораблестроитель Скотт Расселл в 1834 году.

Наблюдения волны такого необычного типа столь поразило Рассела, что он всю свою оставшуюся жизнь провел, занимаясь экспериментальным исследованием уединенных волн, которые представляют собой удивительные динамические объекты. Действительно, уединенная волна устойчиво распространяется по жидкости, оставляя ее за собой в том же состоянии, в котором она находилась до прохождения волны (без появления на поверхности воды какой-либо ряби, которая могла бы привести к затуханию этой волны).

В вышеупомянутой работе Забуски и Крускала [2] уединенные волны получили название солитонов. В современной науке прижился именно этот термин, подчеркивающий, тот факт, что уединенные волны проявляют ряд свойств более характерных для частиц, сохраняющих при взаимодействии свою индивидуальность.

Несмотря на прилагаемые усилия, С. Расселу так и не удалось дать математическое описание формы уединенных волн и других их свойств. Лишь в работе голландских исследователей Кортевега и де Фриза в 1895 года была предложена некоторая математическая модель распространения длинных волн малой амплитуды на мелкой воде (рассматривается одномерное движение), которое в обезразмеренном виде сводится к уравнению (2).

Как выяснилось уже после работы Забуски и Крускала [2], это уравнение обладает многими, совершенно удивительными свойствами (например, ему соответствует бесконечно большое число законов сохранения). Кортевег и де Фриз не только вывели уравнение (2), но и сумели найти некоторое его автомодельное решение, фактически представляющее собой уединенную волну. Разумеется, будучи дифференциальным уравнением в частных производных, уравнение КДФ допускает и многие другие виды динамических режимов, в частности, колебательные.

Вышеуказанная работа Кортевега и де Фриза также не была оценена по достоинству их современниками и даже не вошла в собрание избранных трудов Кортевега. Лишь после эпохальной работы Забусски и Крускала началось бурное развитие того направления в науке, которую сейчас принято называть солитонной физикой. Солитоны представляют собой удивительные динамические объекты, которые, например, могут проходить друг через друга, сохраняя свою индивидуальность, «стряхивать» с себя преднамеренно нанесенные возмущения, демонстрировать (в двумерном и трехмерном случаях) упругое рассеяние и т.д.

В настоящее время известны разные типы солитонов, которые могут существовать в физических средах, описываемых несколькими классами нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (так называемые полностью интегрируемые уравнения). Эти солитоны имеют различный вид (например, цунами и вихри также являются солитонами), но объединяет их в единую солитонную семью одно характерное свойство - они сохраняеют свою индивидуальность в разнообразных физических процессах. Именно это свойство и является их своеобразной визитной карточкой.

Солитоны обнаруживаются и интенсивно исследуются в самых разнообразных разделах физики (в нелинейной оптике, в физике плазмы, в физике твердого тела, в физике элементарных частиц, в биофизике (бегущие по нервным волокнам импульсы также имеют солитоноподобную форму) и т.д.). Упомянем также использование такого типа сигналов для передачи информации в оптоволоконных линиях.

4. Эвристическая роль вычислительного эксперимента

Цель вышеприведенной исторической справки состоит в том, чтобы выделить одну очень существенную для вычислительной физики идею: проведение вычислительного (компьютерного) эксперимента на основе адекватной математической модели может сыграть бесценную эвристическую роль, приводя исследователей к новым научным открытиям. Подчеркивая эту идею, мы имеем в виду, что вычислительные эксперименты могут дать не только численные результаты, например при расчете орбит космических аппаратов и конструкции новых типов самолетов, но и выявлять некоторые качественно новые (часто неожиданные) черты поведения исследуемых физических систем, наводя тем самым естествоиспытателя на новые физические и математические идеи. Открытие солитона далеко не единственный пример подобного рода исследований нелинейных динамических систем, методами вычислительной физики. Приведем в заключение еще один поучительный пример из опыта известного американского вычислителя Р.В. Хемминга (см. [3], стр. 389]).

«Когда только начали появляться вычислительные машины, была предложена задача, которую в первоначальной аналитической форме было очень трудно решить и на самых быстрых современных машинах, но оказалось, что на самом деле, эта задача о движении иона в электрическом поле в газе.

Моделирование по методу Монте-Карло с 10000 частиц дало график распределения скорости вдоль поля и перпендикулярно к нему. После того, как физик перестал жаловаться на низкую точность, он сказал нечто вроде: «Хм… Это похоже на эллиптическое распределение Максвелла, только слегка сдвинутое…Хм…». И это дало ему ключ к аналитическому решению задачи. Только так и были использованы численные результаты моделирования».

5. Математическая модель

В предыдущем разделе неоднократно употреблялся термин «математическая модель». Рассмотрим теперь это понятие более подробно.

Математическая модель представляет собой некоторую совокупность математических уравнений (дифференциальных, алгебраических, трансцендентных, интегральных и т.д.), а возможно, и неравенств, описывающих в некотором приближении исследуемое физическое явление.

Следует особо подчеркнуть, что, проводя вычислительный (компьютерный) эксперимент, мы решаем не конкретную физическую задачу, а исследуем некоторую ее математическую модель. В связи с этим, математическая модель должна, с одной стороны, включать в себя все основные факторы, влияющие на поведение исследуемой физической системы, а с другой стороны, не быть (по возможности!) слишком сложной.

Поясним сказанное несколькими примерами.

В школьном курсе физики рассматривается движение тел около поверхности Земли без учета сопротивления воздуха. Это есть лишь некоторое приближение к изучению реального полета тел. Действительно, при малой скорости движения кирпича сопротивление воздуха весьма незначительно сказывается на его полете и силу сопротивления воздуха можно не учитывать. Если же скорость движения тела достаточно велика, что имеет место, например, при исследовании прохождении космической ракеты через земную атмосферу, то обойтись без учета сопротивления воздуха совершенно невозможно.

При изучении колебаний физического маятника в обычных земных условиях, мы не будем учитывать не только сопротивление воздуха, но и много разных других незначительных факторов. Например, мы пренебрегаем колебаниями стен физического факультета за счет прохождения толпы студентов по его коридорам и колебаниями почвы под действием каблучков некоторой девушки, идущей в Москве про Красной Площади. Мы не учитываем также разные физические процессы, протекающие на Солнце и в туманности Андромеды, хотя отлично понимаем, что «все в природе связанно друг с другом».

Мы не можем исследовать данное физическое явление с учетом «всех возможных», влияющих на него факторов, но учет основных факторов, разумеется, обязателен. Выделить такие факторы зачастую не столь просто, как это может показаться с первого взгляда, в силу чего, от создателя математической модели, нередко требуется не только незаурядная математическая, но физическая эрудиция.

Очевидно, что исследование с помощью самого современного компьютера неадекватной математической модели, которая либо не учитывает какие-либо существенные факторы, либо просто является ошибочной, не может привести к правильным результатам. Приведем несколько примеров, иллюстрирующих вышесказанное.

Первый космический запуск американской ракеты на Венеру оказался неудачным, поскольку в программу, которая рассчитывала ее траекторию, вкралась чисто техническая ошибка: по недосмотру программистов, в некотором месте, вместо запятой стояла точка. В силу поучительности этой ошибки (подумайте, во сколько миллионов долларов она обошлась!) мы приведем ее в явном виде.

Вышеупомянутая программа была написана на языке Фортран и должна была содержать следующий фрагмент:

Таким образом, по замыслу это цикл, который должен был проработать три раза при значениях управляющей переменной I = 1,2,3. Тело этого цикла (из какого количества операторов оно состояло - неизвестно) обозначено заштрихованным прямоугольником под заголовком цикла. Метка 3 означат конец тела цикла.

На языке Паскаль соответствующий фрагмент программы выглядел бы

Вкравшаяся ошибка заключалась в том, что в первой строке фортрановской программы вместо запятой оказалась точка, т.е. эта строка приняла вид

Предсказать, как компьютер понял эту ошибочную строку практически невозможно, поскольку мы не знаем логику построения транслятора с языка Фортран в машинные коды. Как ни странно, транслятор посчитал эту строку правильной, но интерпретировал ее совершенно неожиданным образом. В отличие от Паскаля, на Фортране переменные можно не описывать до их использования в операторах программы (и начинающие программисты радуются такой возможности!). Транслятор, зная, что переменная цикла должна быть целым числом, и что после знака равенства должен быть указан интервал ее изменения (I = 1, 3), не опознал в ошибочной строке фортрановской программы цикл. Он решил, что от него (транслятора) требуется завести новую, ранее не встречавшуюся переменную с именем DO3I (!!!) и присвоить ей значение 1.3 (таким образом, переменная DO3I имела тип real). Возможность такой дикой, с человеческой точки зрения, интерпретации связана с тем, что пробелы в идентификаторах (именах переменных) обычно не учитываются в большинстве языков программирования.

Подумайте, к чему могла привести такая ошибка! Во-первых, тело цикла проработало не три раза, как это было задумано (I = 1 , 3), а лишь один раз, причем с тем значением переменной I, которое предсказать невозможно. Действительно, это значение определяется содержимым ячейки с именем I, которое она имела к моменту вхождения в запланированный цикл (и могла иметь произвольное целое значение, например, 0, 4, 13 и т.д.).

В силу вышесказанного, эта удивительная ошибка, казалось бы, должна привести к столь «диким» результатам, что совершенно непонятно, как она могла быть необнаруженной при тестировании программы на Земле. Увы, этого не произошло, и когда наблюдения за полетом ракеты выявили существенные отклонения от курса, и в спешном порядке ошибку в программе управления полетом обнаружили, скорректировать должным образом траекторию полета ракеты было уже невозможно, и она пролетела мимо Венеры.

Как тут не вспомнить бытующие в кругу программистов афоризмы типа «В каждой, даже уже отлаженной и работающей программе, есть хотя бы одна ошибка» и «Надеяться, что в твоей программе нет ошибок - верный признак шизофрении»!

Другой пример. Первая ракета, запущенная на Венеру в СССР, также не достигла свой цели. По непроверенным слухам (автору неизвестно, была ли где-нибудь опубликована истинная причина этого неудачного запуска) это было связано с тем, что в математической модели, подлежащей расчету на компьютере, не было заложено влияние давления света(!). Такая версия происшедшего кажется весьма правдоподобной, поскольку людям, постоянно работающим с многотонными ракетами, идея учета давления света, могла, действительно, в голову не прийти (вряд ли кто-либо станет учитывать влияние давления света на движение автобуса по городу…).

Итак, неучет какого-либо существенного для решаемой физической задачи фактора может привести к достаточно неправильному или совершенно неправильному ее решению. С другой стороны, абсурдно пытаться учесть все возможные факторы. Действительно, в этом случае, математическая модель может оказаться столь громоздкой, что ее не удастся проанализировать таким образом, чтобы получить ясные, физические значимые результаты. Приведем пример, иллюстрирующий эту идею.

В конце 30х годов прошлого века технические возможности авиации позволили вплотную подойти к созданию самолетов, которые могут летать со сверхзвуковой скоростью. Однако, при приближении к «звуковому барьеру» конструкция самолета начинает испытывать столь сильные вибрации, что он может просто «развалиться в воздухе на куски». Это так называемое явление флаттера. Флаттер оставался бичом авиации, пока не были выяснены его физические причины. Прорыв в этой области был достигнут благодаря работам выдающегося советского математика и механика М. В. Келдыша.

Кратко говоря, главная заслуга Келдыша в исследовании проблемы флаттера сводилась к исследованию достаточно простой математической модели, позволяющей находить такие параметры конструкции самолета, которые сводили влияние флаттера к минимуму. В результате этой деятельности (заметим, что она проходила в «докомпьютерную эру»!) авиация смогла преодолеть звуковой барьер.

Несмотря на сделанное замечание о требовании к математической модели быть, по возможности, достаточно простой, в научной литературе при исследовании сложных физических задач, можно встретить модели, которые включают добрый десяток (и более) нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных…

Литература

Отв. ред. В.В. Щенников: Вычислительная математика и математическая физика. - М.: Просвещение, 2012

Отв. ред. В.В. Щенников: Вычислительная математика и математическая физика. - М.: Просвещение, 2015

Размещено на Allbest.ru