Нелокальна гідродинаміка та взаємодія квазічастинок із межею квантова рідина - тверде тіло

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Національний науковий центр

Харківський фізико-технічний інститут

УДК 538.94

Нелокальна гідродинаміка та взаємодія квазічастинок із межею квантова рідина - тверде тіло

01.04.02 - теоретична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Танатаров Ігор Володимирович

Харків 2009

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті теоретичної фізики ім. О. І. Ахієзера Національного наукового центру «Харківський фізико-технічний інститут» Національної академії наук України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, Адаменко Ігор Миколайович, Харківський національний університет ім. В. Н. Каразіна, професор кафедри теоретичної ядерної фізики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Конторович Віктор Мусійович, старший науковий співробітник Радіоастрономічного інституту НАН України.

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Соколов Святослав Сергійович, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б. І. Вєркіна НАН України, провідний науковий співробітник відділу квантових рідин і кристалів

Захист відбудеться 18.02. 2009 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.845.02 у Національному науковому центрі «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України за адресою: 61108, м. Харків, вул. Академічна, 1.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного наукового центру «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України за адресою: 61108, м. Харків, вул. Академічна, 1.

Автореферат розісланий 09.01.2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради канд. фіз.-мат. наук Кірдін А.

квазічастинка квантовий фонон ротон

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Квантова рідина - унікальний стан речовини, в якому на макроскопічних масштабах проявляються квантові ефекти та спостерігаються такі надзвичайні явища як надплинність і надпровідність. Фізика квантових рідин і газів інтенсивно розвивається, і успіхи в цій галузі фундаментальних досліджень є важливими для просування в інших розділах науки - від астрофізики до фізики атомного ядра. Тому не дивно, що з 1996 року за дослідження в цій області фізики конденсованого стану було присуджено п'ять Нобелівських премій.

Список об'єктів, у яких спостерігається стан квантової рідини, постійно зростає. Надплинність проявляє себе як у мікросвіті (атомне ядро), так і в макросвіті (пульсари, нейтронні зірки). У мезосвіті вона спостерігається в таких об'єктах, як надплинні ⁴He, ³He та їхні розчини, Бозе-Ейнштейнівські конденсати розріджених газів, електронна рідина металів. Бозе-Ейнштейнівський конденсат - унікальний стан речовини, в якому можна досліджувати експериментально на макроскопічних масштабах квантові явища, які, завдяки слабкій взаємодії між частинками, піддаються повному теоретичному опису на основі «перших принципів». Значення для фундаментальної науки квантових рідин, у яких взаємодія між частинками сильна, також складно переоцінити. Надплинний ⁴He є ідеальним об'єктом для дослідження турбулентності. ³He сполучає в собі властивості феро- і антиферомагнетиків, рідких кристалів і надплинних рідин. Перехід у надплинний стан електронної рідини в металах приводить до явища надпровідності, без якої немислиме просування в сучасній науці та техніці. Дослідження високотемпературних надпровідників має вкрай важливе прикладне значення.

Надпровідні магніти використовуються в прискорювачах частинок, зокрема в Великому адронному колайдері (LHC); у поїздах на магнітній подушці, які розвивають швидкість більше 500 км/год. Надпровідні квантові інтерференційні прилади застосовуються для виміру надслабких магнітних полів. Надплинний ⁴He застосовується для охолодження різних прецизійних приладів, і, завдяки термомеханічному ефектові, його можливо використовувати на супутниках, в умовах невагомості; обговорюється його застосування в аналітичній хімії як квантового розчиннику. За допомогою розчинів ³He - ⁴He здобувають наднизькі, мілікельвинові температури.

Квазічастинковий підхід дає змогу привести задачу про систему великої кількості сильно взаємодіючих частинок до задачі слабко взаємодіючих квазічастинок, для яких можна використати методи газової динаміки та побудувати всю теорію квантового об'єкту до кінця. Квазічастинковий підхід застосовується для опису різних об'єктів. Уводяться квазічастинки, що відповідають коливальному руху в досліджуваному середовищі - це фонони й магнони, домішкові квазічастинки, плазмони, екситони, полярони, електрони та дірки і багато інших.

У гелію, внаслідок немонотонності його дисперсійної кривої, існують три типи квазічастинок, які реєструються в експериментах - фонони,R- ротони та R+ ротони. Дивними є властивості R- ротона, що має «негативну дисперсію» - його енергія зменшується зі зростанням імпульсу. Внаслідок цього напрямок імпульсу R- ротона є протилежним напрямку його руху.

Слід зазначити, що, незважаючи на великі успіхи, дотепер немає відповідей на багато питань і немає пояснення низки експериментальних даних. Згадаємо тільки деякі з них, які визначили дослідження, проведені в цій дисертації.

Модель фононів загальновідома, однак для ротонів існує багато різних суперечливих моделей; при цьому відсутній загальний підхід до опису всіх трьох типів квазічастинок He II.

Повністю відсутнє розуміння того, як ротони взаємодіють із межею поділу.

Невідомим є внесок ротонів у стрибок Капіци на межі з твердим тілом.

Не існує опису явища фонтанування He II, на основі концепції квазічастинок.

Не існує пояснення тому, що R- ротони не реєструвалися в ранніх експериментах з пучками квазічастинок He II.

В останні десятиліття інтенсивно досліджувалися як експериментально, так і теоретично анізотропні системи квазічастинок He II, які створюються твердотільным нагрівачем і реєструються на болометрі, - поширення пучків, їхня еволюція та взаємодія між собою, а також квантове випаровування. У цих експериментах спостерігалися фонони та R+ ротони, але не R- ротони. Лише в 1999 році експериментальній групі А. Вайта вдалося зареєструвати R- ротони в пучку, квазічастинки якого створювалися в проміжку між двома нагрівачами, поставленими поряд, випромінюючими поверхнями один до одного; для реєстрації використовувалося квантове випаровування.

Потрібність відповідей на поставлені питання визначає актуальність теми дисертації. Отримані відповіді також спрогнозували ряд нових явищ, які чекають свого експериментального підтвердження. Проведені в дисертації дослідження виявилися актуальними також для інших галузей фізики, зокрема, для класичної акустики, в якій дотепер було розв'язано задачу про взаємодію хвиль із межею поділу лише у випадку строго лінійної дисперсії обох суцільних середовищ.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота була виконана в Інституті теоретичної фізики Національного наукового центра «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України відповідно до програми «Відомче замовлення НАН України на проведення наукових досліджень з атомної науки і техніки Національного наукового центру „Харківський фізико-технічний інститут” на 2005-2010 рр. по темі «Дифузійні процеси й електронні властивості конденсованих середовищ», шифр теми III-4-06 (ІТФ), № держреєстрації 0809006UР010. Робота також виконувалась у рамках науково-дослідницької роботи кафедри теоретичної ядерної фізики Інституту високих технологій Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна, у відповідності з темою "Теорія багаточастинкових систем ферміонів і бозонів", № держреєстрації 0106U003130. В цих роботах дисертант брав участь в якості виконавця.

Мета й завдання дослідження. Ціль дослідження - побудувати теорію квантової рідини, в рамках якої єдиним чином описуються всі три типи квазічастинок надплинного гелію - фонони, ротони й ротони. На основі цієї теорії вирішити задачу про взаємодію квазічастинок всіх типів із межею поділу квантова рідина - тверде тіло.

Для досягнення поставленої мети необхідно було вирішити наступні задачі:

1. Розбудувати теорію квантової рідини як суцільного середовища на будь-яких відстанях, включаючи міжатомні. З такої теорії повинна випливати єдина модель опису всіх квазічастинок надплинного гелію.

2. Узагальнити цю теорію на випадок, коли квантова рідина займає обмежену область у просторі, для того, щоб розв'язати задачу про взаємодію квазічастинок із істотно нелінійною дисперсією з межею поділу квантова рідина - тверде тіло.

3. Розвинути теорію взаємодії квазічастинок з межею поділу на випадок немонотонної дисперсії квазічастинок; розв'язати задачу про проходження фононів, R- ротонів і R+ ротонів через межу з твердим тілом, обчислити ймовірності всіх процесів.

Об'єктом дослідження є квазічастинки надплинного гелію, фонони, R- ротони та R+ ротони.

Предметом дослідження є взаємодія квазічастинок надплинного гелію із межами поділу, їх проходження, відбиття і народження на межі з твердим тілом.

Методи дослідження засновані на описі квантової рідини як суцільного середовища з кореляціями із залученням методів механіки суцільних середовищ і нелокальної гідродинаміки. Для розв'язання нелокальних рівнянь квантової рідини в присутності поверхні використовується метод Вінера-Хопфа.

Наукова новизна отриманих результатів:

1. Побудовано теорію квантової рідини як суцільного середовища на всіх масштабах відстаней, з якої випливає єдина модель опису всіх квазічастинок надплинного гелію. В цій моделі досліджено перенос енергії у хвильовому пакеті з довільним законом дисперсії та показано, що енергія переноситься з груповою швидкістю.

2. За допомогою методу Вінера-Хопфа отримане рішення рівнянь квантової рідини, що заповнює півпростір. Показано, що нелінійність дисперсії приводить до існування поблизу межі особливих приграничних хвиль.

3. Розв'язано задачу про проходження хвиль із істотно нелінійним законом дисперсії крізь межу поділу, обчислені амплітудні й енергетичні коефіцієнти відбиття та проходження, що залежать від частоти. Доведено, що між хвилею, що пройшла, та падаючою і відбитою хвилями існують нетривіальні зсуви фаз.

4. Уперше розв'язано задачу про проходження хвиль із немонотонним законом дисперсії через межу поділу. Обчислено ймовірності народження на межі квазічастинок гелію - фонону, R- ротону та R+ ротону, - а також фонону твердого тіла при падінні на межу будь-якої з цих квазічастинок. Доведено, що в процесах з народженням і знищенням R- ротонів має місце андреєвське відбиття. Отримано внесок ротонів у теплообмін між надплинним гелієм і твердим тілом.

5. Показано що, внаслідок якісного виду дисперсійної кривої надплинного гелію та негативної дисперсії R- ротонів, останні дуже слабко народжуються фононами твердого тіла та дуже слабко їх народжують.

6. Уперше отримано парціальні внески фононів, R- і R+ ротонів у тиск квазічастинок на межу поділу та в тиск фонтанування; показано що тиск R- ротонів є негативним.

Наукове і практичне значення отриманих результатів.

1. Побудовано теорію, що дає змогу описувати квантову рідину методами механіки суцільних середовищ на будь-яких відстанях, включаючи міжатомні. Запропоновано єдину модель опису всіх квазічастинок надплинного гелію. Розв'язано задачу про взаємодію квазічастинок із межею поділу квантова рідина - тверде тіло.

2. Отримані результати дали змогу пояснити експериментальні дані, та передбачили нові явища, які можуть спостерігатися експериментально. Так, показано, що R- ротони погано народжуються твердотільним нагрівачем і настільки ж погано детектуються твердотільним болометром. Тим самим пояснені невдачі в прямої реєстрації R- ротонів у ранніх експериментах. Запропоновано експерименти з відбиття пучків квазічастинок надплинного гелію від межі з твердим тілом і спостереженню андреєвського відбиття R- ротонів; за спостереженням негативного імпульсу, що передається мембрані пучком R- ротонів.

3. Використаний метод розв'язання задачі про суцільне середовище з кореляціями, що заповнює півпростір, є універсальним. Він може бути використаний в акустиці для розв'язання задач про взаємодію із поверхнею хвиль у суцільних середовищах з істотно нелінійною, а також немонотонною, дисперсією. Результат обчислення індивідуальних внесків різних гілок дисперсійної кривої в осмотичний тиск також можна використати для будь-якого квантового суцільного середовища з немотононною кривою дисперсії.

Результати дисертаційної роботи впроваджені в Національному науковому центрі «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України, у Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразіна, у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, в університеті Эксетер (Великобританія).

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати, що винесені на захист, отримані здобувачем особисто. У роботах, опублікованих у співавторстві, здобувачеві належать всі основні розрахунки, написання текстів статей; він брав участь в обговоренні отриманих результатів і висновків.

У роботах [1] і [3] дисертантом виконані розрахунки теорії квантової рідини як суцільного середовища з кореляціями в безмежному просторі. В [2] ним запропоноване застосування методу Вінера-Хопфа для рішення задач про взаємодію квазічастинок із межею. У роботах [2], [4], [5] за допомогою цього методу ним вирішено задачу для дисперсії Бозе-Ейнштейнівського конденсату - отримано рішення рівнянь квантової рідини в півпросторі, обчислені ймовірності всіх процесів. В [6] і [7] дисертантом вирішено задачу про взаємодію з межею фононів і ротонів надплинного гелію. Обчислено імовірності народження всіх квазічастинок і показано, що ротони слабко народжуються на твердотільному нагрівачеві та погано детектуються на болометрі. Тим самим пояснений експеримент. У роботі [8] обчислені внески кожної з гілок кривої дисперсії в тиск фонтанування.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідалися та обговорювалися на семінарах ІТФ ННЦ ХФТІ та ФТІНТ ім. Б.І. Вєркіна і на Міжнародних конференціях, у тому числі:

2nd International Conference "Physics of Liquid Matter: Modern Problems", Kyiv, Ukraine, September 12-15, 2003.

International Symposium on Quantum Fluids and Solids QFS2004, Trento, Italy, July 5-9, 2004.

3rd International Conference "Physics of Liquid Matter: Modern Problems", Kyiv, Ukraine, May 27-31, 2005.

2nd International Conference on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics QEDSP 2006, Kharkov, Ukraine, September 19-23, 2006.

International Symposium on Quantum Liquids and Solids QFS2007, Kazan', Russia, August 1-6, 2007.

4th International Conference "Physics of Liquid Matter: Modern Problems", Kyiv, Ukraine, May 23-26, 2008.

25th International Conference on Low Temperature Physics, Amsterdam, The Netherlands, August 6-13, 2008.

Публікації. Результати наукових досліджень опубліковані в 8 друкованих працях у журналах за фахом, що відповідають вимогам ВАК України [1-8] та 8 тезах доповідей у збірниках матеріалів конференцій [9-16].

Структура й об'єм дисертації. Дисертація представлена на 127 сторінках і містить вступ, п'ять розділів (117 сторінок, 17 рисунків у тексті), висновки й список використаних джерел зі 105 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовується вибір і актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовані мета й основні задачі дослідження, методи й теоретичні основи їхнього рішення, розкрита наукова новизна положень, що винесено на захист, визначене теоретичне й практичне значення проведеного дослідження.

Перший розділ присвячено огляду історичної перспективи та сучасного стану проблеми взаємодії квазічастинок надплинного гелію з межею поділу з твердим тілом. Наведено огляд експериментів групи А. Вайта університету Ексетер (Великобританія) зі створення та дослідження пучків квазічастинок гелію. В цих експериментах пучки звичайно створюються твердотільним нагрівачем і реєструються твердотільним болометром. Але R- ротони, квазічастинки гелію, що відповідають спадаючій ділянці кривої дисперсії та мають негативну групову швидкість, в цих експериментах не детектувалися. Вони були вперше прямо зареєстровані лише в 1999 році, коли було застосовано джерело спеціального виду, а реєстрація стала проводитися за допомогою квантового випаровування. Пряма експериментальна реєстрація R- ротонів стала головною мотивацією дослідження, що проведено в цій дисертації.

Поставлено та сформульовано послідовність рішення головної задачі - дослідити взаємодію фононів та ротонів із межею поділу з твердим тілом. Рішення цієї задачі, зокрема, повинно дати пояснення відсутності зареєстрованих R- ротонів в ранніх експериментах з пучками квазічастинок гелію, якого досі не існувало. Беручи до уваги відсутність дотепер єдиного підходу до теоретичного опису фононів та ротонів надплинного гелію, по-перше, необхідно було запропонувати єдиний підхід до опису фононів та ротонів. Цьому етапу присвячено другий розділ дисертації. В наступних розділах розроблена теорія використовується для рішення задачі про взаємодію фононів та ротонів із межею.

У другому розділі розвинуто теорію квантової рідини як суцільного середовища з кореляціями в безмежному просторі. Підрозділ 2.1 присвячений обґрунтуванню використаного підходу, що заснований на тім факті, що у квантовій рідині, на противагу рідині класичній, теплова довжина хвилі де Бройля перевищує середню міжатомну відстань. Таким чином, атоми делокалізовані в просторі, що дає змогу в імовірнісному розумінні ввести значення змінних суцільного середовища в кожній математичній точці простору. Однак на міжатомних відстанях співвідношення між ними стають нелокальними.

У підрозділі 2.2 побудовано загальну теорію суцільного середовища з кореляціями в Лагранжевім формалізмі, на основі гідродинамічного лагранжіану з кореляціями як функціоналу канонічної змінної

. (1)

Тут ₀ - рівноважна густина; функція h(r₁,r₂) є характеристикою суцільного середовища. Для ізотропної й однорідної рідини

h(r₁,r₂)= h(r₁-r₂). (2)

Рівняння руху квантової рідини в безмежному просторі має вигляд

, (3)

де крапка позначає похідну за часом. Рівняння (3) є інтегральним узагальненням хвильового рівняння і переходить в останнє в границі великих довжин хвиль, коли ядро h(r) може бути апроксимоване -функцією. Права частина рівняння є згорткою, тому воно вирішується перетворенням Фур'є. Рішеннями (3) є плоскі хвилі з дисперсійним співвідношенням квантової рідини (k), що безпосередньо пов'язано з образом Фур'є ядра h(r):

h(k)=k²/²(k). (4)

Таким чином, завдяки введенню нелокальності, запропонована теорія дає змогу описувати квантову рідину з довільним нелінійним законом дисперсії.

У підрозділах 2.3 і 2.4 здійснюється перехід до формалізму Гамільтона і канонічні змінні ототожнюються зі змінними суцільного середовища. В нових змінних канонічні рівняння є лінеаризованими рівняннями ідеальної рідини, у яких відхилення густини і тиску P від їх відповідних рівноважних значень зв'язані нелокальним співвідношенням

. (5)

Тоді рівняння для кожної зі змінних суцільного середовища має вигляд (3).

У підрозділі 2.5 уводяться квазічастинки квантової рідини, що описуються як хвильові пакети, що поширюються в суцільному середовищі з кореляціями. У підрозділі 2.6 досліджено транспорт енергії в таких хвильових пакетах. Шляхом виведення виразу для щільності потоку енергії, в дусі робіт про перенос енергії у хвильових пакетах електромагнітного поля в середовищі, доведено, що енергія переноситься із груповою швидкістю.

Таким чином, побудована теорія дає змогу описувати квазічастинки квантової рідини з довільною нелінійною дисперсією, і, зокрема, з неї випливає погоджена єдина модель фононів, R- ротонів і R+ ротонів надплинного гелію. У наступних розділах дисертації ця модель використовується для опису взаємодії квазічастинок із межею поділу квантова рідина - тверде тіло.

У розділі 3 розв'язується задача про взаємодію квазічастинок квантової рідини із межею поділу у випадку дисперсії Бозе-Ейнштейнівського конденсату, що істотно нелінійна, але монотонна:

²(k)=s²k²(1+ k²/2k₀²). (6)

Тут s - швидкість звуку, k₀/s=2^1/2m/h; m- маса частинки конденсату.

У підрозділі 3.1 загальна теорія квантової рідини як суцільного середовища з кореляціями узагальнюється на той випадок, коли рідина заповнює півпростір. Внаслідок нелокальності, це узагальнення виявляється нетривіальним. Якщо рідина заповнює область z>0, то рівняння для одної змінної приймає вигляд

. (7)

Внаслідок скінченності межі інтегрування по z₁, права частина рівняння (7) не є згорткою, ні у сенсі перетворення Фур'є, дво- або однобічного, ні у сенсі перетворення Лапласа. Однак виявляється, що його можна розв'язати в досить загальному випадку, для монотонної залежності ²(k²) поліноміального виду, за допомогою методу Вінера-Хопфа. Фур'є образи по координатах і часу двох лінійно-незалежних рішень P_out (“out-рішення”) та P_in (“in-рішення”) у такому випадку мають вигляд

. (8)

Тут добутки беруться по всіх коріннях k_z=k_i(k,) рівняння

²(k²= k²+ k_z²)=² (9)

у верхній напівплощині C₊ комплексної змінної k_z; k є компонента хвильового вектора в площині межі поділу. Прийнято, що дійсні коріння k_z зміщені з дійсної вісі відповідно до вимоги, щоб хвильові пакети, складені з out-рішення, бігли від межі, а з in-рішення - в напрямку до межі. Штрих над знаком добутку означає, що множник з «головним» коренем, зміщеним з дійсної осі, не входить у добуток. Цей корінь є k₁(k,) в out-рішенні та (-1)k₁(k,) в in-рішенні. Після зсуву з дійсної вісі він лежить у верхній напівплощині та k₁(k,)->+0. Функції C_in й C_out є амплітудами, що визначаються із граничних умов.

У границі малих частот дроби у виразах (8) прямують до одиниці, та рішення P_out й P_in переходять у плоскі хвилі, що біжать відповідно в напрямку від межі та до межі. У загальному випадку з виразів (8) можна бачити, що нелінійність дисперсії приводить до наявності експоненційно загасаючих доданків у рішенні, які відповідають комплексним корінням рівняння (9).

У підрозділі 3.2 докладно досліджується окремий випадок дисперсії виду (6). Тоді рівняння ²(k²)=² має чотири корені, два дійсних +-k_R і два уявних +-k_I. Знаки визначено так, що k_R>0, ik_I<0. Тоді, якщо ввести позначення

(10)

то два лінійно-незалежних рішення P_out й P_in можна записати у вигляді

. (11)

Таким чином, рішення являють собою хвилі, що біжать, викривлені поблизу межі експоненційно загасаючими доданками.

У підрозділі 3.2, за допомогою отриманого рішення у квантовій рідині та граничних умов, розв'язується задача про проходження хвильових пакетів через межу поділу квантова рідина - тверде тіло. Тверде тіло для простоти описується як ізотропне суцільне середовище з швидкістю звуку s_sol та рівноважною густиною _sol. Граничні умови виводяться звичайним чином з інтегральних форм локальних рівнянь суцільного середовища, що є вірними по обидва боки межі поділу, і вимагають безперервності тиску та нормального компонента швидкості. Амплітудні коефіцієнти відбиття та проходження виводяться в першому наближенні - як для плоских хвиль; енергетичні коефіцієнти виводяться з врахуванням того, що, як було показано в підрозділі 2.6, енергія у хвильовому пакеті переноситься із груповою швидкістю.

Народженню квазічастинки квантової рідини фононом твердого тіла відповідає рішення, що у твердому тілі складається з плоских хвиль, що падає та відбивається, а у квантовій рідині являє собою P_out рішення (див. рис. 1а). Внаслідок виконання на межі двох лінійних граничних умов, частоти та проекції хвильових векторів на площину межі k всіх хвиль збігаються. Тому кут падіння _s дорівнює куту відбиття, а з кутом проходження _q він зв'язаний узагальненням закону Снеліуса (всі кути відраховуються від нормалі):

. (12)

Тут s_R()=/k_R() - фазова швидкість хвилі, що біжить, у квантовій рідині.

Кут повного внутрішнього відбиття визначається звичайним співвідношенням, що випливає з (12); відмінність від звичайного випадку полягає в тому, що він залежить від частоти. Дріб s_R()/s_sol за малих частот мала, а зі збільшенням частоти монотонно зростає і при деякій критичній частоті _cr досягає одиниці. Тому при <_cr кут повного відбиття існує для хвиль, що падають на межу з боку квантової рідини, він зростає із частотою і при _cr стає рівним /2. При >_cr критичний кут існує для хвиль, що падають із твердого тіла, і він зменшується зі збільшенням частоти.

Зшиваючи рішення по обидва боки межі граничними умовами, одержуємо амплітудний коефіцієнт відбиття r_-> як відношення амплітуд тиску у відбитій і падаючій хвилі:

. (13)

Тут використані позначення

, . (14)

За малих частот s_R~s і Z_R переходить у вираз для звичайного хвильового опору (імпедансу), а прямує до нуля. Таким чином, (13) переходить у відомий вираз для коефіцієнту відбиття в класичній акустиці.

Коефіцієнт r_-> є комплексною величиною, що означає наявність зсувів фаз, відмінних від нуля або , між усіма хвилями. Енергетичний коефіцієнт проходження дорівнює D_->=1-|r_->|², і, так само як і r_->, є функцією кута падіння _s так само як і частоти :

. (15)



Народженню фонона твердого тіла квазічастинкою квантової рідини відповідає рішення, що у твердому тілі складається з плоскої хвилі, що пройшла, а у квантовій рідині являє собою лінійну комбінацію P_out та P_in рішень (див. рис. 1б). Коефіцієнти відбиття та проходження виводяться у такий же спосіб, як у попередньому випадку. Доведено, що енергетичний коефіцієнт проходження дорівнює D_->, як і повинно бути внаслідок закону детальної рівноваги.

Залежність коефіцієнтів проходження і відбиття від частоти призводить до кутового розпливання та деформації хвильових пакетів при проходженні через межу або відбитті від неї. Опису цих ефектів присвячений підрозділ 3.6, в якому також обчислені зсуви моментів хвильового пакета при відбитті, - як далеко від кута повного внутрішнього відбиття, так і поблизу нього. Показано, що поблизу кута повного внутрішнього відбиття для несучої частоти деформація пакета сильніша, ніж у звичайному випадку.

Переходячи до рішення задачі з немонотонною дисперсією, якій присвячено четвертий розділ дисертації, варто очікувати, що будуть мати місце всі описані вище ефекти, обумовлені нелінійністю закону дисперсії, і ймовірно, що додадуться нові, внаслідок її немонотонності.

У підрозділі 4.1 рішення рівнянь квантової рідини в півпросторі узагальнюється на випадок немонотонної дисперсії. Воно використовується для розв'язання задачі про проходження хвиль через межу поділу для закону дисперсії немонотонного виду

. (16)

Тут k_g задає масштаб хвильових векторів, на яких (k) має екстремуми, а параметр визначає форму кривої. При певних значеннях параметрів вираз (16) добре апроксимує реально вимірювану дисперсійну криву He II.

Найпростіше рішення рівняння (7) для дисперсії (16) має вигляд суми трьох монохроматичних хвиль із загальними частотою та проекцією хвильового вектора на площину межі k:

. (17)

Тут амплітуди пов'язані між собою двома лінійними співвідношеннями, таким чином, вільною є тільки одна з них; k_z - будь-які три із шести коренів рівняння (9) із законом дисперсії (16) відносно k_z. З рішень виду (17) можна побудувати базіс рішень рівнянь квантової рідини в півпросторі.

Нетривіальний вид рішень (17) приводить до того, що при падінні будь-якої хвилі на межу поділу у квантовій рідині завжди народжуються три монохроматичні хвилі, що відповідають фонону, R- ротону та R+ ротону. Позначимо через k_i їхні хвильові вектора, зіставивши значення індексу i хвилям у порядку зростання їх k - фонону i=1, R- ротону i=2, і R+ ротону i=3. Внаслідок граничних умов частоти та проекції хвильових векторів на площину поверхні k всіх хвиль є рівними та задаються хвилею, що падає. Тому їхні кути поширення відносно нормалі, як і в попередньому розглянутому випадку, зв'язані між собою узагальненням закону Снеліуса:

. (18)

Тут s_i=/k_i - фазові швидкості кожної з хвиль. Якщо вираз (18) дає значення синуса будь-якого з кутів більше одиниці, це означає, що z-компонента хвильового вектора k_izвідповідної хвилі уявна, хвиля загасає і квазічастинка не народжується.

Інтервали кутів падіння різних типів квазічастинок, за яких інші квазічастинки народжуються або не народжуються на межі, розділяються набором із шести критичних кутів (кутів повного внутрішнього відбиття), що залежать від частоти:

; . (19)

Нехай квазічастинка i падає з гелію. Тоді фонон у твердому тілі не народжується за умови _i>_i^cr, а квазічастинка гелію j (j<i) не народжується якщо _i>_ij^cr.

Внаслідок граничних умов тангенціальні компоненти хвильових векторів всіх хвиль є рівними. Але в R- ротону групова швидкість негативна, і він поширюється в напрямку, що протилежний напрямку хвильового вектора. Тому в процесах з народженням і знищенням R- ротонів має місце андреєвське відбиття.

Підрозділ 4.1 присвячений виведенню коефіцієнтів відбиття та проходження. Нехай на межу падає фонон твердого тіла. Тоді рішення у твердому тілі є сумою хвилі що падає та відбитої хвилі, а у квантовій рідині рішення має вигляд (17) і складається із трьох хвиль - фононної, R- ротонної і R+ ротонної. За допомогою граничних умов амплітуди всіх хвиль виражаються через амплітуду хвилі, що падає, і виводяться коефіцієнти відбиття r_-> та проходження t_i (i=1,2,3):

. (20)

Тут використані такі позначення: Z=Z₀cos_sol /sk_g є узагальненням хвильового імпедансу Z₀; , індекси {i,j,k} приймають значення {1,2,3}, {2,3,1} і {3,1,2}.

Енергетичні парціальні коефіцієнти проходження обчислюються з врахуванням того, що енергія переноситься із груповою швидкістю

. (21)

Ці величини дорівнюють імовірностям народження квазічастинок квантової рідини фононом твердого тіла, що падає на межу поділу.

Внаслідок великої різниці у швидкостях звуку s_sol>>s, кути _i малі, і вирази (21) спрощуються. Кутові залежності зводяться до множника cos_sol. На рис. 2 наведені графіки частотних залежностей парціальних і повних коефіцієнтів проходження при нормальному падінні.

Відносна ймовірність народження R- ротону, з урахуванням знаків k_iz, визначається виразом

, (22)

у якому обидва дроби менше одиниці. На противагу цьому, один з дробів у відповідних виразах для D_1,3 є оберненим, що приводить до сильної нерівності

D₂<<D_1,3. (23)

Таким чином, імовірність народження фононом твердого тіла R- ротону гелію на межі набагато менша, ніж фонону або R+ ротону, що обумовлено якісним видом дисперсійної кривої гелію та негативною дисперсією R- ротонів. Внаслідок закону детальної рівноваги настільки ж малоймовірний і зворотний процес - народження фонону твердого тіла R- ротоном. Повна ймовірність проходження при цьому мала в міру імпедансу Z₀. Тому R- ротони дуже слабко народжуються твердотільним нагрівачем і настільки ж погано детектуються твердотільним болометром. Таким чином, дане пояснення тому, що R- ротони не були зареєстровані в прямих експериментах з пучками квазічастинок доти, поки в експериментах групи А. Вайта 1999 року не були використані альтернативні методи створення й реєстрації пучка.

Аналогічним чином виводяться ймовірності R_ij того, що при падінні з гелію квазічастинки i на межі народжується квазічастинка j. І частотні і кутові залежності цих величин нетривіальні (див. рис. 2). Зокрема, показано, що поблизу ротонного мінімуму _rot, де R- та R+ ротонні гілки зливаються, ці квазічастинки перетворюються одна в іншу з імовірністю, що прямує до одиниці. Такий само ефект має місце для фононів і R- ротонів поблизу максонного максимуму _max. Коефіцієнт R₂₂ має різкий пік при кутах падіння трохи вище за ₂₁^cr, коли глибина загасання фононної хвилі є порядку довжини кореляції квантової рідини.

На основі отриманих імовірностей проходження, у підрозділі 4.3 обчислено внески фононів, R- ротонів і R+ ротонів у потік енергії через межу поділу, і тим самим у стрибок Капіци.

У п'ятому розділі обчислено тиск, що квазічастинки здійснюють на межу поділу, а також внески в нього фононів, R- ротонів і R+ ротонів. Доведено, що, незважаючи на більш складний характер взаємодії квазічастинок із межею поділу, з урахуванням всіх процесів, внесок кожної гілки в тиск на межу визначається класичною формулою для тиску газу частинок:

. (24)

Тут n_T(e) - розподіл Бозе-Ейнштейну, u_i - групова швидкість. Для R- ротонів u₂<0 і внесок їх у тиск є негативним.

Показано, що отриманий повний осмотичний тиск газу квазічастинок P=SP_i фактично є тиском фонтанування, що пов'язаний з ентропією гелію S співвідношенням dP=SdT. Тоді тиски P_i є парціальними внесками кожної з гілок кривої дисперсії надплинного гелію в тиск фонтанування.

Запропоновано експеримент зі спостереження негативного тиску, що пучок R- ротонів здійснює на мембрану. Пучок цей, як було показано в розділі 4, досить ефективно створюється при падінні на поверхню твердого тіла пучка високоенергетичних фононів, і здійснює максимальний за абсолютною величиною тиск на мембрану при кутах падіння, що відповідають знайденому максимуму R₂₂. Мембрана повинна вигинатися в бік пучка, що на неї падає.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі розвинуто теорію квантової рідини як суцільного середовища на міжатомних відстанях, з якої випливає єдина модель опису всіх квазічастинок надплинного гелію. У рамках цієї моделі вперше розв'язано задачу про взаємодію фононів, R-ротонів і R+ ротонів гелію із межею поділу надплинний гелій - тверде тіло.

Основні результати дисертаційної роботи полягають у наступному:

1. Розвинуто теорію квантової рідини як суцільного середовища на всіх масштабах відстаней, з кореляціями на міжатомних відстанях, з якої випливає єдина модель опису всіх квазічастинок надплинного гелію. Виведено та досліджено відповідні нелокальні рівняння в формалізмах Лагранжу і Гамільтону. Доведено, що в рамках цієї моделі можна описувати квантову рідину з довільним нелінійним дисперсійним співвідношенням, а квазічастинки - як хвильові пакети в такім середовищі. Показано, що в цій моделі у хвильовому пакеті суцільного середовища з довільним законом дисперсії енергія переноситься із груповою швидкістю.

2. За допомогою методу Вінера-Хопфа вперше розв'язано задачу про квантову рідину з довільною дисперсією, що заповнює півпростір. Показано, що відмінність закону дисперсії від лінійного призводить до наявності в рішенні, поряд із хвилями, що біжать, особливих приграничних хвиль.

3. Задачу про взаємодію хвиль із істотно нелінійною дисперсією із межею поділу розв'язано для випадку аномальної дисперсії Бозе-Ейнштейнівського конденсату. Обчислено коефіцієнти відбиття та проходження. Показано, що нелінійність дисперсії призводить до частотних залежностей коефіцієнтів, кутів проходження, кутів повного внутрішнього відбиття та зсувів фаз між хвилями, що падають, проходять та відбиваються. Досліджено ефекти деформації хвильових пакетів за відбиття й проходження через межу поділу.

4. Розв'язано задачу про взаємодію із межею фононів і ротонів надплинного гелію, їхнє проходження, відбиття та взаємне перетворення. Обчислено імовірності народження кожної з квазічастинок при падінні на межу будь-якої з них або фонона твердого тіла. Показано, що внаслідок негативної дисперсії R- ротонів, у процесах з їхнім народженням або знищенням спостерігаються ефекти андреєвського відбиття та ретро-рефракції. Обчислено внески R- та R+ ротонів у стрибок Капіци.

5. Показано, що внаслідок якісного вигляду дисперсійної кривої надплинного гелію і негативної дисперсії R- ротонів, останні дуже погано реєструються твердотільним болометром і погано народжуються твердотільним нагрівачем, що пояснює невдачі в їхній експериментальній реєстрації відповідною методикою. Запропоновано нові експерименти з відбиття пучків квазічастинок гелію від поверхні твердого тіла.

6. У кінематичному підході розділено внески кожного типу квазічастинок надплинного гелію в тиск квазічастинок на межу поділу та в осмотичний тиск. Показано, що внески R- ротонів є негативними, та запропонований експеримент зі спостереження передачі негативного імпульсу мембрані пучком R- ротонів, що на неї падає.

Таким чином, ціль дисертаційної роботи досягнута, завдання виконані повністю, і дисертація є завершеним дослідженням.

СПИСОК ПРАЦЬ, ОПУБЛІКОВАНИХ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Adamenko I.N. Application of the theory of continuous media to the description of thermal excitations in superfluid helium / I.N. Adamenko, K.E. Nemchenko, I.V. Tanatarov // Phys. Rev. B. - 2003, - Vol. 67, - P. 104513 (9 p).

2. Adamenko I.N. Energy transfer through the interface into a quantum fluid with nonlinear dispersion relation / I.N. Adamenko, K.E. Nemchenko, I.V. Tanatarov // J. of Low Temp. Phys. - 2005, Vol. 138, No. 1/2, - P. 397-402.

3. Adamenko I.N. The density of energy flow of quasiparticles with arbitrary energy-momentum relation / I.N. Adamenko, K.E. Nemchenko, I.V. Tanatarov // J. of Molecular Liquids. - 2005, - Vol. 120, iss. 1-3, - P. 167-169.

4. Adamenko I.N. Normal transmission of phonons with anomalous dispersion through the interface of two continuous media / I.N. Adamenko, K.E. Nemchenko, I.V. Tanatarov // ФНТ. - 2006, - Т. 32, вип. 3, - с. 255-268 [Low Temperature Physics. - 2006, - Vol. 32, No. 3, - P. 187-197].

5. Adamenko I.N. Transmission of phonons with anomalous dispersion through the interface of two continuous media / I.N. Adamenko, K.E. Nemchenko, I.V. Tanatarov // J. of Low Temp. Phys. - 2006, - Vol. 144, No. 1-3, - P. 13-34.

6. Adamenko I.N. Creation of superfluid helium rotons by a solid's phonons incident normal to the interface” / I.N. Adamenko, K.E. Nemchenko, I.V. Tanatarov // Вопросы атомной науки и техники. - 2007, - N3 (2), - с. 404-409.

7. Adamenko I.N. Transmission and reflection of phonons and rotons at the superfluid helium-solid interface / I.N. Adamenko, K.E. Nemchenko, I.V. Tanatarov // Phys. Rev. B, - 2008. - Vol. 77, - P. 174510 (12 p).

8. Pressure of thermal excitations in superfluid helium / [I.N. Adamenko, K.E. Nemchenko, I.V. Tanatarov and A.F.G. Wyatt] // J. Phys: Cond. Mat. - 2008. - Vol. 20, - P. 245103 (6 p).

9. Adamenko I.N. The theory of a quantum liquid as a continuous medium at all length scales / I.N. Adamenko, K.E. Nemchenko, I.V. Tanatarov // Abstracts of 2^rd Int. Conf. “Physics of Liquid Matter: Modern Problems”, Kyiv, Ukraine, September 12-15, 2003, p. 153.

10. Adamenko I.N. Energy flow density of a quasiparticle of continuous medium with arbitrary energy-momentum relation / I.N. Adamenko, K.E. Nemchenko, I.V. Tanatarov // Book of abstracts of 20^th Gen. Conf. of the Condensed Matter Division of the EPS, Prague, July 19-23, 2004, p. 204.

11. Adamenko I.N. The passage of quasiparticles with nonlinear energy-momentum relation through the solid - quantum fluid interface / I.N. Adamenko, K.E. Nemchenko, I.V. Tanatarov // Abstracts of 3^rd Int. Conf. “Physics of Liquid Matter: Modern Problems”, Kyiv, Ukraine, May 27-31, 2005, p. 232.

12. Adamenko I.N. Creation of phonons and rotons in superfluid helium by a solid's phonons incident normal to the interface / I.N. Adamenko, K.E. Nemchenko, I.V. Tanatarov // Book of Abstracts of 2^nd Int. Conf. on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics QEDSP 2006, Kharkov, Ukraine, September 19-23, 2006, p. 201-202.

13. Адаменко И.Н. Прохождение квазичастиц через границу раздела квантовая жидкость - твердое тело / И.Н. Адаменко, К.Э. Немченко и И.В. Танатаров // 2^ая междунар. конф. «Теория конденсированного состояния вещества», Харьков, Украина, 16-17 января, 2007, с. 34.

14. Adamenko I.N. Interaction of superfluid helium quasiparticles with the interface with a solid / I.N. Adamenko, K.E. Nemchenko, and I.V. Tanatarov // Program and Abstracts of Int. Symposium on Quantum Fluids and Solids QFS2007, Kazan', Russia, August 1-6, 2007, p. 100.

15. Interaction of He II quasiparticles with the interface and their contributions to osmotic pressure / [I.N. Adamenko, K.E. Nemchenko, I.V. Tanatarov and A.F.G. Wyatt] // Abstracts of 4^th Int. Conf. “Physics of Liquid Matter: Modern Problems”, Kyiv, Ukraine, May 23-26, 2008, p. 217.

16. Interaction of He II phonons and rotons with the interfaces / [I.N. Adamenko, K.E. Nemchenko, I.V. Tanatarov and A.F.G. Wyatt] // 25^th Int. Conf. on Low Temp. Physics, Amsterdam, Netherlands, August 6-13, 2008, p.12.

АНОТАЦІЇ

Танатаров І.В. Нелокальна гідродинаміка та взаємодія квазічастинок із межею квантова рідина - тверде тіло. - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика. - Національний науковий центр «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України, Харків, 2008.

Дисертацію присвячено дослідженню взаємодії квазічастинок квантової рідини із межею поділу з твердим тілом. Розвинуто теорію квантової рідини як суцільного середовища з кореляціями. На її основі запропоновано єдину модель для всіх квазічастинок надплинного гелію - фононів, R-ротонів і R+ротонів. Вперше розв'язано задачу про проходження крізь межу поділу двох середовищ хвиль із істотно нелінійним законом дисперсії, для випадків дисперсії Бозе-Ейнштейнівського конденсату та дисперсії надплинного гелію. Обчислено ймовірності всіх процесів. Обчислено внески фононів, R-ротонів і R+ ротонів надплинного гелію у тиск квазічастинок на межу поділу та у тиск фонтанування. Отримані результати дали змогу пояснити існуючі експериментальні дані та запропонувати нові експерименти.

Ключові слова: надплинний гелій, квазічастинки, фонони, ротони, межа поділу, закон дисперсії, нелокальність, тиск фонтанування.

Танатаров И.В. Нелокальная гидродинамика и взаимодействие квазичастиц с границей раздела квантовая жидкость - твердое тело. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. - Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт» НАН Украины, Харьков, 2008.

Диссертация посвящена исследованию взаимодействия квазичастиц квантовой жидкости с границей раздела. Построена теория квантовой жидкости как сплошной среды с корреляциями. На ее основе предложена единая модель для всех квазичастиц сверхтекучего гелия - фононов, R- ротонов и R+ ротонов. Впервые решена задача о прохождении через границу раздела двух сред волн с существенно нелинейным законом дисперсии, для случаев дисперсии Бозе-Эйнштейновского конденсата и дисперсии сверхтекучего гелия. Вычислены вероятности всех процессов. Вычислены вклады фононов, R- ротонов и R+ ротонов сверхтекучего гелия в давление квазичастиц на границу раздела и в давление фонтанирования. Полученные результаты позволили объяснить существующие экспериментальные данные и предложить новые эксперименты.

Ключевые слова: сверхтекучий гелий, квазичастицы, фононы, ротоны, граница раздела, закон дисперсии, нелокальность, давление фонтанирования.

Tanatarov I.V. Nonlocal hydrodynamics and quasparticles' interaction with the quantum fluid - solid interface. - Manuscript. Thesis for scientific degree of candidate of science in physics and mathematics by speciality 01.04.02 - theoretical physics. - National Scientific Center “Kharkiv Institute of Physics and Technology” of National Academy of Sciences of Ukraine.

The thesis is dedicated to investigating interaction of a quantum fluid's quasiparticles with the interface with a solid - their reflection, transmission and creation on the interface by each other or by the solid's phonons.

In the thesis the theory of a quantum fluid as continuous medium at all length scales is proposed, in which it is treated as a continuous medium with correlations on interatomic distances. The nonlocality of this theory enables one to consider a quantum fluid with arbitrary nonlinear dispersion relation. The quasiparticles of a quantum fluid are described as wave packets propagating in the medium. Thus the approach provides, in particular, a unified model for all the quasiparticles of superfuid helium - phonons, R- rotons and R+ rotons, which belong to the same nonmonotonic dispersion curve. R- rotons correspond to the decreasing segment and have negative dispersion.

The equations of quantum fluid as a continuous medium with correlations in half-space are solved in the general case. It is shown, that divergence of the dispersion relation from the linear one leads to existence of special boundary waves in the solution.

The problem of quasiparticles' interaction with the interface is solved for the first time for the case of essentially nonlinear but monotonic dispersion relation of Bose-Einstein condensate. It is shown, that the boundary waves, that enter the solution due to the nonlinearity, alter the values of variables of continuous medium at the interface, thus changing the reflection and transmission coefficients for the wave packets. The amplitude reflection and transmission coefficients are derived. They are complex quantities, which means that there are nontrivial phase shifts between the incident, reflected and transmitted waves. The energy coefficients are derived taking into account that in a wave packet the energy is transferred with group velocity. At small frequencies the considered dispersion relation approximates the anomalous dispersion relation of superfluid helium, so in this limit the correction to the transmission coefficient through the interface between superfluid helium and a solid is derived. The frequency dependences of the coefficients and transmission angles lead to the effects of wave packets deformation on reflection and transmission through the interface, which are also investigated. The problem of interaction of superfluid helium phonons, R- rotons and R+ rotons with the interface is solved. The set of six critical angles are introduced. These separate the intervals of incidence angles for the different quasiparticles, for which other quasiparticles can be created. The effect of retro-reflection is predicted for the processes with creation or destruction of R- rotons.

The probabilities of all quasiparticles creation on the interface on the incidence of each of them are derived as functions of frequency and incidence angles. It is shown that the creation probability of an R- roton by a solid's phonon and vice versa are very small for all angles and frequencies. This means that R- rotons are both badly created by a solid heater and poorly they are detected by a solid bolometer. Thus the explanation is given to the failures in detection of R- rotons in the early direct experiments, in which these instruments were used. New predictions are made on experiments on interactions of beams of phonons and rotons with the solid interface and creation of R- rotons on the interface by a beam of high-energy phonons. The individual contributions of helium phonons, R- rotons, and R- rotons into the full energy flow through the interface are calculated at thermodynamic equilibrium, as well as the contribution to the Kapitza temperature jump. The R- rotons' parts are shown to be very small.

The pressure of the quasiparticles gas on the interface is derived as well as the individual contributions to it of phonons', R- rotons', and R+ rotons' parts of the dispersion curve. The pressure due to the R- rotons is shown to be negative due to their negative group velocity. It is compensated by the positive pressure due to R+ rotons, and the total roton pressure is positive and is several times less than the absolute value of either the R- or R+ roton contribution. The partial pressures of quasiparticles of different types can be expressed in the form of the pressure of a classical gas, despite the fact that quasiparticles interact with the interface in a much more complex manner. This result should hold true for any two adjacent continuous media. One of the consequences is that the net force, which the quasiparticles of both media exert on the interface, is directed towards the medium with the greater sound velocity of the two.

It is shown that the expression derived for pressure, due to phonons, R- and R+ rotons, is the same as the fountain pressure in helium. So the fountain effect is due to the osmotic pressure of the quasiparticles that are “solvated” in the superfluid. The negativeness of the R- rotons' pressure but with the obvious positiveness of their contribution to the entropy of superfluid helium, is explained. An experiment is suggested for detecting the negative momentum transferred to a membrane by an incident R- roton beam, which is created by mode change reflection of high-energy phonons at an interface with a solid.

Keywords: superfluid helium, quasiparticles, phonons, rotons, interface, dispersion relation, nonlocality, fountain pressure.

Размещено на Allbest.ru

...