Побудова комбінованих методів граничних і скінченних елементів для моделювання процесів деформування гетерогенних середовищ

Размещено на http://www.allbest.ru/

національна академія наук україни

інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я. С. ПІДСТРИГАЧА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Побудова комбінованих методів граничних і скінченних елементів для моделювання процесів деформування гетерогенних середовищ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Макар Ігор Григорович

Львів - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент

Дияк Іван Іванович,

Львівський національний університет імені Івана Франка,
доцент кафедри прикладної математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Грищенко Олександр Юхимович,

Київський національний університет ім. Тараса Шевченка,

професор кафедри обчислювальної математики;

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Михаськів Віктор Володимирович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, м. Львів,

провідний науковий співробітник.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Комп'ютерне моделювання важливих задач сьогодення вимагає значних потужностей обчислювальної техніки. Комерційні програмні комплекси (ABAQUS, FEMLAB, ANSYS і т.п.) не забезпечують ефективного розв'язування складних різномасштабних та гетерогенних задач, незважаючи на вражаючі можливості сучасних комп'ютерів. Створення ефективних чисельних систем є одним із найактуальніших науково-технічних завдань.

Серед сучасних чисельних методів розв'язування крайових задач математичної фізики найпоширенішими є метод скінченних різниць, метод скінченних елементів (МСЕ) і метод граничних елементів (МГЕ). Кожен із методів має свої характерні переваги та недоліки, що зумовлюють область його застосування. Переконливою перевагою МГЕ є зменшення на одиницю геометричної розмірності задачі. Гранична дискретизація у порівнянні з геометричним моделюванням внутрішньої частини тіла веде до значно меншої системи лінійних алгебраїчних рівнянь. До позитивних якостей МГЕ слід віднести те, що, завдяки використанню фундаментальних розв'язків задачі, похибки вносяться лише при задоволенні граничних умов. Для розв'язування високоградієнтних задач ефективність МГЕ зумовлена однаковим порядком апроксимації величин різного характеру з однаковою точністю. Наприклад, переміщень і напружень у теорії пружності, потенціалу та потоку у теорії перенесення. Для широкого класу задач у необмежених областях, зокрема задач акустики та електромагнетизму, переваги МГЕ є незаперечними. Підтвердження цього знаходимо, зокрема, у роботах М. М. Войтовича, Г. І. Марчука, В. В. Михаськіва, A. Aimi, O.C. Zienkiewicz, N. Nishimura, J. Oden та ін. Проте, врахування фізичної і геометричної нелінійності матеріалу, розрахунок оболонок, є класичними областями застосування МСЕ. Використання МГЕ для розв'язування таких задач вимагає спеціальних формулювань і ускладнює чисельну реалізацію, внаслідок чого метод втрачає первинну простоту і привабливість.

Відтак для розв'язування задач, які містять підобласті з різними фізико-механічними чи геометричними характеристиками та властивостями, доцільно використовувати комбіновані методи скінченних та граничних елементів у рамках однієї чисельної моделі, що поєднує переваги обох методів. Окрім того, однією із основних вимог до сучасних чисельних алгоритмів є можливість їх ефективного розпаралелювання та організації розподілених обчислень. Зазначеній проблематиці присвячено багато сучасних наукових публікацій, зокрема роботи В. И. Агошкова, В. И. Лебедєва, О. В. Непомнящих, Б. А. Остудіна, W. Elleithy, G. C. Hsiao, N. Kamiya, E. Schnack, M. Tanaka, W. L. Wendland та ін. Побудові, дослідженню та реалізації таких гетерогенних методів і присвячена ця робота.

Зв'язок із науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у рамках держбюджетних науково-дослідних тем кафедри прикладної математики Львівського національного університету імені Івана Франка ПП-84Б “Розробка математичних моделей і чисельних схем для дослідження процесів у неоднорідних середовищах” (№ держреєстрації 0101U001433), ПП-106Ф “Розробка числових методів та програмно-алгоритмічних засобів для гетерогенного моделювання процесів у неоднорідних середовищах з різномасштабними включеннями” (№ держреєстрації 0104U002136) і ПП-231Ф “Розробка математичних методів та програмно алгоритмічних засобів для гетерогенного моделювання у неоднорідних середовищах” (№ держреєстрації 0104U002136).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є побудова та реалізація ефективних гетерогенних чисельних схем на основі МГЕ і МСЕ для розв'язування локально нелінійних задач деформування твердих тіл (локальна пластичність, задачі теорії тріщин та ін.), а також їх теоретичне обґрунтування. Досягнення мети передбачає вирішення таких задач:

- варіаційне формулювання задачі для гетерогенної чисельної моделі. Доведення існування та єдиності розв'язку варіаційної задачі для гібридної чисельної схеми;

- побудова ітераційних алгоритмів методу декомпозиції області (МДО) та доведення їх збіжності;

- реалізація скінченноелементної моделі теорії пластичного течіння;

- побудова і реалізація симетричного варіанта прямого МГЕ із використанням методу Бубнова-Гальоркіна;

- розробка чисельних схем для обчислення подвійних гіперсингулярних інтегралів;

- ефективна програмна реалізація запропонованого підходу.

Об'єктом дослідження є математичне моделювання та чисельний аналіз процесів деформування гетерогенних середовищ.

Предметом дослідження у дисертаційні роботі є комбіновані методи граничних та скінченних елементів для розв'язування локально нелінійних задач деформування твердих тіл.

Як методи дослідження у роботі використовуються методи математичного та функціонального аналізу, варіаційні методи математичної фізики (зведення крайових задач до граничних інтегральних рівнянь, побудова узагальнених розв'язків у розумінні слабкої збіжності), методи теорії пружності та пластичного течіння, методи декомпозиції області, чисельні методи розв'язування інтегральних рівнянь і варіаційних задач, об'єктно-зорієнтована технологія програмування.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у тому, що:

- запропоновано гібридні гранично-скінченноелементні апроксимації для моделювання процесів деформування пружно-пластичних тіл із локальними нелінійностями на основі теорії пластичного течіння;

- здійснено варіаційне формулювання задачі для гетерогенної моделі з використанням гіперсингулярних інтегральних рівнянь та доведено її коректність;

- побудовано симетричний варіант прямого МГЕ. Запропоновано ефективні чисельні схеми обчислення гіперсингулярних інтегралів при реалізації симетричного варіанта прямого МГЕ для розв'язування задачі теорії пружності. Здійснено порівняльний аналіз різних квадратурних формул для інтегралів з особливостями на основі проведених чисельних експериментів;

- розвинуто підхід до оцінювання збіжності ітераційних алгоритмів МДО, а саме, сформульовано необхідні умови збіжності при розв'язуванні задач про пластичне деформування;

- застосовано МГЕ для розв'язування гомогенізованої моделі середовища з мікролокальними параметрами для багатошарових композитних матеріалів з періодичною структурою;

- рекомендовано гібридні гранично-скінченноелементні апроксимації для моделювання процесів нелінійного деформування шаруватих композитів з локальними дефектами типу тріщин чи включень.

Достовірність отриманих результатів забезпечується строгістю математичних викладок, застосуванням добре досліджених чисельних алгоритмів. Достовірність чисельних результатів на основі запропонованого підходу підтверджується їх збігом із аналітичними розв'язками та чисельними результатами, що отримані методом скінченних елементів у рамках класичного підходу.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблені у роботі гетерогенні чисельні схеми можуть бути використані для ефективного розв'язування складних інженерних задач про пластичне деформування твердих тіл з локальними нелінійностями. Застосування гібридних апроксимацій дозволяє краще врахувати специфіку розв'язку у підобластях за менших обчислювальних затрат. Запропоновані алгоритми МДО та об'єктно-зорієнтована програма є придатними для реалізації паралельних і розподілених обчислень на багатопроцесорних системах.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи автор отримав самостійно. У роботах, опублікованих у співавторстві з науковим керівником [ 1-4, 6-9, 14, 15 ], І. І. Дияку належить вибір методу дослідження задач у неоднорідних середовищах на основі гетерогенних чисельних схем МСЕ і МГЕ, формулювання вихідної задачі та аналіз чисельних результатів. Особистий внесок здобувача полягає в участі у формулюванні вихідних завдань, реалізації симетричного варіанту МГЕ і скінченноелементної моделі теорії пластичного течіння, розробці та реалізації чисельних схем МДО, здійсненні чисельних експериментів, доведенні лем та теорем, участь в аналізі результатів. У співавторстві з І. І. Прокопишином [ 3, 9 ] авторові належить участь у реалізації ітераційних схем методу декомпозиції області та обґрунтуванні тестових прикладів, програмна реалізація МГЕ.

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень доповідалися на Всеукраїнських та Міжнародних наукових конференціях, симпозіумах, семінарах, зокрема на: VII і VIII Всеукраїнській студентській науковій конференції з прикладної математики та інформатики СНКПМІ (м. Львів, 2004-2005); Всеукраїнських наукових конференціях “ Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики ” (м. Львів, 2005-2008); Міжнародній науковій конференції “ Інтегральні рівняння та їх застосування ” (м. Одеса, Україна, 2005); Міжнародній науковій конференції “ Математичні проблеми механіки неоднорідних структур ” (м. Львів, Україна, 2006); Minisimposium on BEM / Fast BEM at the APCOM'07 / EPMESC XI, Kyoto, Japan, 2007; Всеукраїнській науковій конференції “ Нелінійні проблеми аналізу ” (м. Івано-Франківськ, 2008); VII International Conference “INTERPOR 2008” (Lubostron/Bydgoszcz, Poland, 2008).

Окрім того, апробація результатів дослідження відбувалась на щорічних науково-звітних конференціях та наукових семінарах кафедри прикладної математики Львівського національного університету імені Івана Франка, науковому семінарі кафедри обчислювальної математики факультету кібернетики Київського національного університету ім. Т. Шевченка, загальноінститутському науковому семінарі “Математичне моделювання та обчислювальні методи” Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України.

Публікації. Основні положення, окремі ідеї та обґрунтовані висновки дисертації викладено у 15 працях, з них 5 [ 1-5 ] -- у фахових виданнях з переліку ВАК України, 10 [ 6-15 ] -- у тезах доповідей на Всеукраїнських та Міжнародних конференціях.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу і чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, який містить 169 найменувань на 18 сторінках. Повний обсяг дисертації 153 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито сутність і значущість наукової проблеми, що досліджується у роботі, обґрунтовано актуальність проблеми, сформульовано мету та задачі досліджень, визначено наукову новизну і практичне значення одержаних результатів, відображено зв'язок роботи з науковими програмами та темами. Подано стислу характеристику результатів дослідження, ступеня їх апробації та опублікування.

У першому розділі здійснено огляд літератури за темою дисертації, визначено невирішені, або не повністю вирішені проблеми, окреслено місце комбінованих методів граничних і скінченних елементів серед сучасних чисельних методів розв'язування крайових задач математичної фізики. Відзначено праці багатьох вітчизняних та зарубіжних авторів. Математичному моделюванню процесів у неоднорідних середовищах присвячені роботи В. И. Агошкова, В. М. Александрова, Я. Й. Бурака, М. М. Войтовича, О. Я. Григоренка, В. С. Дейнеки, Г. С. Кіта, Р. М. Кушніра, В. И. Лебедєва, О. В. Максимука, Р. М. Мартиняка, Г. І. Марчука, В. В. Панасюка, Я. С. Підстригача, М. П. Саврука, Я. Г. Савули, І. В. Сергієнка, В. В. Скопецького, Г. Т. Сулима, М. В. Хая, В. Ф. Чекуріна та інших. Різні теоретичні та практичні аспекти реалізації МСЕ і МГЕ розглянуто у працях В.С. Дейнеки, Б.А. Дробенка, Ж.-Л. Ліонса, Г. Манга, М. В. Марчука, С. Г. Міхліна, В. В. Михаськіва, Р. Розіна, Я.Г. Савули, Р. С. Хапка, Г.А. Шинкаренка, A. Aimi, I. Babushka, K. Bathe, M. Bonnet, C. A. Brebbia, P. Ciarlet, T. A. Cruse, M. Denda, L. J. Gray, M. Guiggiani, Y. Liu, N. Nishimura, J. Oden, F. Rizzo, J. Sladek, V. Sladek, O.C. Zienkiewicz та ін. Комбіновані методи граничних і скінченних елементів досліджено у роботах W. Elleithy, G. C. Hsiao, N. Kamiya, E. Schnack, M. Tanaka, W. L. Wendland та ін. Огляд наукових публікацій засвідчив актуальність та широке коло незавершених наукових досліджень у вказаній проблематиці. Обґрунтовано вибір гібридних гранично-скінченноелементних апроксимацій для виконання поставлених у дисертаційній роботі завдань.

Другий розділ присвячений побудові та дослідженню гетерогенної моделі на основі гібридних апроксимацій методів скінченних та граничних елементів. У підрозділі 2.1 подано слабке варіаційне формулювання задачі для гетерогенної моделі. Область побудови розв'язку задається як ( рис. 1), де -- підобласть у якій розв'язок знаходиться МСЕ, -- підобласть у якій розв'язок знаходиться МГЕ, -- спільна границя підобластей та на якій задаються умови нерозривності вектора переміщень.

У пункті 2.1.3. введено необхідні для побудови слабкої варіаційної задачі функціональні простори Соболєва. Позначимо , , , , , , де і -- частини границі із заданими граничними умовами типу Неймана та Діріхле, відповідно. Уведемо простір-добуток. Простір пробних функцій визначимо як, де -- енергетичний простір пробних функцій. Із використанням граничних операторів Стєклова-Пуанкаре та їх узагальнення варіаційну задачу сформульовано в такому вигляді: знайти і, що задовільняють неоднорідні граничні умови, , варіаційне рівняння.

Розв'язування крайової задачі у підобасті у цьому формулюванні замінено дією узагальненого оператора Стєклова-Пуанкаре . Таке представлення варіаційної задачі є зручним для теоретичного дослідження гетерогенної моделі, оскільки дозволяє використовувати класичну теорію варіаційних методів. На практиці, дія оператора реалізується чисельним розв'язуванням системи парних граничних інтегральних рівнянь. Теорема 2.5. характеризує властивості білінійної форми гібридної чисельної схеми.

Теорема 2.5. Білінійна форма , неперервна та - еліптична, тобто така, що ітераційний гіперсингулярний інтеграл пластичний

.

Оскільки для довільної , права частина визначає неперервний лінійний функціонал на , то за теоремою Лакса-Мільграма існує єдиний розв'язок варіаційної задачі для гібридної чисельної моделі.

У підрозділі 2.2. описано ітераційні схеми методу декомпозиції області. На відміну від прямих методів, вони дозволяють незалежно розв'язувати задачі у підобластях різними методами без формування спільної матриці коефіцієнтів. Умова спряження на спільній границі задовольняється в ході ітераційного процесу. Глобальна блок-схема ітераційного алгоритму зображена на рис. 2.

У підрозділі 2.3 показано еквівалентність описаних ітераційних схем МДО методові простої ітерації для розв'язування деякого операторного рівняння. Для послідовної схеми Діріхле-Неймана маємо:

Відомо, що різницева схема є стійкою тоді і лише тоді, коли всі корені за модулем менші одиниці. Сформульовано та доведено необхідні умови існування оптимального ітераційного параметра, що забезпечує збіжність ітераційних алгоритмів МДО:

Теорема 2. 8. 1) Якщо , то існує, таке що для всіх. 2) Якщо , то існує , таке що для всіх . Тут і, є коренем , -- нетривіальний розв'язок рівняння.

Наслідок 2. 10. Нехай. Якщо додатно визначена (від'ємно визначена ), то існує таке, що схема стійка для всіх.

У підрозділі 2.5 наведено результати апробації чисельної ефективності описаних варіантів ітераційних схем. Зокрема, розглянуто задачу про односторонній розтяг смуги з круговим вирізом малого діаметра. Наявність вирізу спричиняє значні локальні напруження, які різко зменшуються при збільшенні відстані до концентратора напружень. Для розв'язування даної задачі МСЕ використано 2434 квадратичних трикутних скінченних елементи (5073 вузлів) (рис. 3). Зважаючи на локальний характер зони з високою концентрацією напружень, поділ на підобласті доцільно здійснити, як зображено на рис. 4. Для гетерогенної чисельної схеми МДО на основі МСЕ та МГЕ (рис. 4) застосовано 226 скінченних елементів (529 вузлів) і сітку з 32+60+32+60 лінійних граничних елементів. З точністю ітераційний процес послідовної схеми Діріхле-Неймана збігся за 17 ітерацій зі сталим ітераційним параметром .

Обчислено значення коефіцієнта концентрації напружень: з використанням МСЕ -- K_t^МСЕ = 3.031; з використанням МДО -- K_t^МДО = 3.044; відоме аналітичне значення для цієї задачі становить K_t^A = 3.04. Як видно, результат за гетерогенною моделлю краще узгоджується з аналітичним значенням. Підхід на основі гібридних апроксимацій ефективніший з обчислювальної точки зору, оскільки дозволяє значно зменшити кількість ступенів вільності у підобласті МСЕ -- для даної задачі більше ніж у десять разів.

У третьому розділі досліджено чисельні аспекти ефективної реалізації методу граничних елементів для гетерогенної моделі. У підрозділі 3.3 розглянуто побудову симетричного варіанта прямого методу граничних елементів (СПМГЕ) для розв'язування задачі лінійної теорії пружності.

Відоме граничне інтегральне рівняння для задачі теорії пружності має вигяд

Шляхом диференціювання та підстановкою отриманих градієнтів переміщень у закон Гука отримаємо граничне інтегральне рівняння для зусиль

Частину границі, де відомі переміщення позначимо , частину границі, де задані зусилля -- . Вважаємо, що . Для чисельного розв'язування рівнянь , використаємо метод Бубнова-Гальоркіна. За вагові функції вибираємо ті ж базисні функції , що і для апроксимації переміщень та зусиль на границі. Для отримання симетричної матриці коефіцієнтів СЛАР перше рівняння в використовуємо на, а друге рівняння -- на. Отримаємо таку систему парних граничних інтегральних рівнянь:

Систему інтегральних рівнянь запишемо у блоково-матричній формі та приведемо до вигляду :

Перший рядок представляє дискретну форму граничних інтегральних рівнянь, які визначені на , другий -- дискретну форму гіперсингулярних граничних інтегральних рівнянь на . Індекс «» означає, що величина є відомою, а «» -- шуканою. Із властивостей ядер інтегральних рівнянь та описаного способу дискретизації на основі методу Бубнова-Гальоркіна слідує:

Теорема 3.1. Матриця коефіцієнтів системи лінійних алгебраїчних рівнянь симетрична ( ) та додатновизначена.

У підрозділі 3.4 описано квадратурні формули для обчислення інтегралів з особливостями та сформульовано теореми про порядок збіжності. На їх основі побудовано ефективні схеми чисельного інтегрування подвійних гіперсингулярних інтегралів вигляду , які виникають за формування матриці системи лінійних алгебраїчних рівнянь симетричного методу граничних елементів

У підрозділі 3.5 досліджено застосування МГЕ для розв'язування анізотропних задач теорії пружності. Подано основні співвідношення гомогенізованої моделі з мікролокальними параметрами для багатошарових композитних матеріалів з періодичною структурою. У підрозділі 3.6 наведено результати чисельних експериментів. Розглянуто приклади обчислення гіперсингулярних інтегралів. СПМГЕ апробовано на модельній задачі теорії пружності. Виконано чисельне дослідження напружено-деформованого стану шаруватих композитних матеріалів на основі гомогенізованої моделі з мікролокальними параметрами та багатошарової моделі.

Четвертий розділ присвячено застосуванню побудованих схем методу декомпозиції області для чисельного дослідження задач пластичного деформування. У підрозділі 4.1 описано основні співвідношення теорії пластичного течіння Мізеса. За принципом віртуальних робіт, застосувавши апроксимацію МСЕ, отримаємо

Поверхня течіння описується функцією Мізеса:

У теорії пластичного течіння приймають лінійний зв'язок між нескінченно малими приростами напружень і деформацій, який у випадку асоціативного нормального закону течіння має вигляд:

У підрозділі 4.2 описано метод Ньютона-Рафсона для чисельного розв'язування задачі теорії пластичного течіння. Умова рівноваги записується у формі вектора нев'язки зовнішніх і внутрішніх сил:

Напруження є нелінійна функція переміщень. Застосувавши метод Ньютона-Рафсона до розв'язування нелінійного рівняння отримаємо ітераційний процес:. Використавши , а також зв'язок між приростами напружень та деформацій , на -й ітерації знаходимо з рівняння:

Теорема 4.6. Якщо матриця несингулярна, -- неперервнодиференційована в околі розв'язку , тоді послідовність наближень методу Ньютона-Рафсона збігається до . Якщо матриця задовольняє умову Ліпшиця для всіх і з околу :

У підрозділі 4.4 наведено результати чисельних експериментів. Зокрема, дієвість та ефективність запропонованих підходів продемонстровано на прикладі задачі про плоску пластичну деформацію шаруватого композита з тріщиною. Конструктивна схема задачі зображена на рис. 5. Армуючий шар конструкції (включення) виготовлено з титану, механічні характеристики якого такі: модуль Юнга , напруження течіння . Інший шар -- матриця (пластична основа), виготовлений із сплаву алюмінію з модулем Юнга , напруження течіння . Коефіцієнт Пуасона . Відношення висоти меншого шару (включення) до висоти мегаблоку . Навантаження .

Багатошарову модель цієї задачі досліджено за допомогою МСЕ в переміщеннях з квадратичними апроксимаціями на трикутних елементах. Обчислення проведено на скінченноелементні сітці з 1087 трикутників. Отримано розподіл безрозмірного еквівалентного напруження Мізеса. Зона прогнозованого пластичного течіння матеріалу локалізована в околі вістря тріщини. Тому, доцільно здійснити декомпозицію області на три підобласті: і (рис. 5, б), врахувавши також симетрію задачі. У підобласті використано скінченноелементну модель теорії пластичного течіння, у підобластях і -- гомогенізовану модель з мікролокальними параметрами, яку чисельно розв'язано МГЕ.

Розрахункова сітка для гетерогенної моделі зображена на рис. 6. Підобласть складається з двох мегаблоків, між якими розміщена тріщина. Для дискретизації використано 220 трикутників із квадратичною апроксимацією (рис. 8). Метод граничних елементів застосовано на сітці з 90 граничних елементів на границях підобластей і з лінійною апроксимацією переміщень та зусиль.

Отриману гетерогенну чисельну і математичну модель реалізовано за допомогою послідовної ітераційної схеми МДО Діріхле-Неймана. За сталого ітераційного параметра ітераційний процес збігся за ітерацій з відносною точністю. За змінного ітераційного параметра, таку саму точність досягнуто за 29 ітерацій. Збіжність ітераційного процесу послідовної схеми Діріхле-Неймана проілюстровано на рис. 7. Результати, отримані за чисельного розв'язування багатошарової моделі методом скінченних елементів та гетерогенної моделі методом декомпозиції області добре узгоджуються між собою. Запропонована гетерогенна чисельна модель дозволяє зменшити використання ресурсів оперативної пам'яті та центрального процесора. Чисельне розв'язування задачі про пластичне деформування МСЕ вимагає значних обчислювальних затрат. Тому, додаткові ітерації методу декомпозиції області компенсуються за рахунок суттєвого зменшення розміру скінченноелементної сітки та вищій точності комбінованої моделі. Окрім того, використання технології розподілених та паралельних обчислень значно зменшує час виконання алгоритмів МДО.

Основні результати та ВИСНОВКИ

У дисертаційні роботі досліджено гетерогенний підхід на основі гранично-скінченноелементних апроксимацій до розв'язування локально нелінійних задач.

Отримано такі основні наукові результати:

1. Здійснено варіаційне формулювання задачі для гетерогенної моделі із використання операторів Стєклова-Пуанкаре та обґрунтовано існування та єдиність слабкого розв'язку;

2. Побудовано гетерогенну чисельну схему розв'язування задачі про пластичне деформування на основі МДО із використанням МСЕ та МГЕ. Обґрунтовано, що такий підхід є ефективним, оскільки забезпечує використання переваг кожного із методів у своїй підобласті;

3. Побудовано і досліджено збіжність ітераційних алгоритмів МДО для розв'язування задач про пластичне деформування;

4. Реалізовано симетричний варіант прямого МГЕ для розв'язування задач теорії пружності. Здійснено порівняльний аналіз різних квадратурних формул для обчислення гіперсингулярних інтегралів на основі проведених чисельних експериментів;

5. Реалізовано скінченноелементну модель задачі теорії пластичного течіння із використанням методу Ньютона-Рафсона і досліджено його збіжність;

6. За допомогою МГЕ розв'язано гомогенізовану модель з мікролокальними параметрами для багатошарових композитів з періодичною структурою, виконано дослідження їх напружено-деформованого стану;

7. Проведено чисельні експерименти для ряду модельних задач. Зокрема, на прикладі задачі про пластичну деформацію багатошарового композиту з тріщиною показано ефективність запропонованого підходу.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Дияк І. Комп'ютерне моделювання локально нелінійних задач на основі методу декомпозиції області / І. Дияк, І. Макар // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. -- 2009. -- Вип. 9. -- С. 55-66.

2. Дияк І. Обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів розв'язання задач математичної фізики / І. Дияк, І. Макар // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. -- 2007. -- Вип. 5. -- С. 98-108.

3. Дияк І. Числова ефективність гібридних скінченно-граничноелементних апроксимацій задач теорії пружності на підставі методу декомпозиції області / І. Дияк, І. Макар., І. Прокопишин // Вісник Львівського університету. -- 2007. -- № 12 : Серія прикладна математика та інформатика. -- С. 93-100.

4. Дияк І. І. Числовий аналіз схем обчислення гіперсингулярних інтегралів при моделюванні проблем механіки / І. І. Дияк, І. Г. Макар, Л. Б. Чирун // Вісн. Нац. ун-ту "Львів. політехніка". Комп'ют. системи проектув. Теорія і практика. -- 2007. -- № 591. -- С. 94-102.

5. Макар I. Числові схеми для гіперсингулярних інтегралів у задачах теорії пружності // I. Макар // Вісник Львівського університету. -- 2007. -- № 13 : Серія прикладна математика та інформатика. -- С. 126-136.

6. Вовк В.Д. Дослідження плоскої задачі теорії пружності на основі симетричного варіанту прямого методу граничних елементів / В. Д. Вовк, І. І. Дияк, І. Г. Макар // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Тези доповідей XI Всеукраїнської наукової конференції . -- Львів. -- 2004. -- С. 37.

7. Дияк I Обчислювальні аспекти знаходження гіперсингулярних інтегралів при реалізації симетричного варіанту прямого методу граничних елементів / І. Дияк, І. Макар // Інтегральні рівняння та їх застосування: Тези доповідей міжнародної конференції. -- Одеса. -- 2005. -- С. 49.

8. Дияк I Побудова та дослідження симетричних схем ПМГЕ для задач теорії пружності / І. Дияк, І. Макар, М. Шахін // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур: Тези доповідей VII міжнародної конференції . -- Львів. -- 2006. -- С. 80-82.

9. Дияк I. I. Скінченно-граничноелементні схеми методу декомпозиції області для локально нелінійних задач міцності багатошарових композитів / І. І. Дияк, І. Г. Макар, І. І Прокопишин // Нелінійні проблеми аналізу: Тези доповідей IV Всеукраїнської конференції . -- Івано-Франківськ. -- 2008. -- С. 27.

10. Макар І. Об'єктний підхід до програмування МСЕ / І. Макар // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Тези доповідей XIV Всеукраїнської наукової конференції . -- Львів. -- 2007. -- С. 95-96.

11. Макар І. Чисельне дослідження локально нелінійних задач для багатошарових композитних матеріалів / І. Макар // Сучасні проблеми прикладної марематики та інформатики: Тези доповідей XV Всеукраїнської наукової конференції. -- Львів. -- 2008. -- с.79.

12. Макар І. Чисельне дослідження плоскої задачі теорії пружності з використанням гіперсингулярних інтегральних рівнянь / І. Макар, М. Дмитрів // Восьма Всеукраїнська (третя міжнародна) студентська наукова конференція з прикладної математики та інформатики: Тези доповідей. -- Львів. -- 2005. -- С. 89-90.

13. Макар І. Числові схеми обчислення (гіпер)сингулярних інтегралів / І. Макар, О. Щур // Сьома Всеукраїнська (друга міжнародна) студентська наукова конференція з прикладної математики та інформатики: Тези доповідей. -- Львів. -- 2004. -- С. 138-139.

14. Побудова та дослідження симетричних схем прямих методів граничних елементів для задач математичної фізики / О. Я. Григоренко, І. І. Дияк, Н. П. Кухарська, І. Г. Макар // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Тези доповідей XII Всеукраїнської наукової конференції . -- Львів. -- 2005. -- С. 71.

15. Savula Y. H. Computer simulation the problems of mechanics for the constructions with thin inclusions and local nonlinearity / Y. H. Savula, I. H. Makar, L I. Vynnytska // Proceedings of the VII International Conference INTERPOR 2008. -- Lubostron/Bydgoszcz. -- P. 33-34.

АНОТАЦІЯ

Макар І. Г. Побудова комбінованих методів граничних і скінченних елементів для моделювання процесів деформування гетерогенних середовищ. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 -- математичне моделювання та обчислювальні методи. -- Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів, 2009.

Дисертаційна робота присвячена побудові та дослідженню комбінованих методів граничних і скінченних елементів для розв'язування задач із локальною нелінійністю. Для моделювання нелінійної поведінки матеріалу використано співвідношення теорії пластичного течіння Мізеса, які дискретизовано методом скінченних елементів. Наближений розв'язок нелінійної задачі знайдено методом Ньютона-Рафсона. У підобластях, в яких напружено-деформований стан описується лінійною теорією пружності, застосовано симетричний варіант прямого методу граничних елементів. Поєднання двох методів здійснено за допомогою ітераційних схем методу декомпозиції області.

У роботі здійснено варіаційне формулювання гетерогенної чисельної моделі та досліджено його коректність. Побудовано та досліджено збіжність ітераційних алгоритмів методу декомпозиції області для розв'язування задач про пластичну деформацію. Розглянуто чисельні аспекти ефективної реалізації симетричного варіанта прямого методу граничних елементів для гетерогенної моделі. Проведено чисельні експерименти, які підтверджують дієвість і ефективність запропонованих підходів.

Ключові слова: метод декомпозиції області, гетерогенна модель, прямий симетричний метод граничних елементів, метод скінченних елементів, пластичність, метод Ньютона-Рафсона.

Макар И. Г. Построение комбинированных методов граничных и конечных элементов для моделирования процессов деформирования гетерогенных сред. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 -- математическое моделирование и вычислительные методы. -- Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2009.

Диссертационная работа посвящена построению и исследованию комбинированных методов граничных и конечных элементов для решения задач с локальной нелинейностью. Для моделирования нелинейного поведения материала использованы соотношение теории пластического течения Мизеса, которые дискретизировано методом конечных элементов. Приближенное решение нелинейной задачи стороится методом Ньютона-Рафсона. В подобластях, в которых напряженно-деформированное состояние описывается линейной теорией упругости, применен симметричный вариант прямого метода граничных элементов. Объединение двух методов осуществлено с помощью итерационных схем метода декомпозиции области.

В первом разделе сделан обзор литературы за темой диссертации, определено нерешенные, или не полностью решенные проблемы, окреслено место комбинированных методов граничных и конечных элементов среди современных численных методов решения краевых задач математической физики. Второй раздел посвящен построению и исследованию гетерогенной модели на основе гибридных аппроксимаций методов конечных и граничных элементов. Осуществлена вариационная формулировка гетерогенной модели. Построено и исследована сходимость итерационных алгоритмов метода декомпозиции области. В третьем разделе исследованы численные аспекты эффективной реализации метода граничных элементов для гетерогенной модели. Построен симметричный вариант прямого метода граничных элементов. Рассмотрены квадратурные формулы для вычисления интегралов с особенностями и численые схемы для вычисления двойных гиперсингулярных интегралов. Использованы фундаментальные решения для задач теории упругости и рассмотрено гомогенизированную модель с микролокальными параметрами для многослойных композитов с периодической структурой. Четвертый раздел посвящен построению алгоритмов метода декомпозиции области для численного исследования задач пластического деформирования. Проведены численные эксперименты, которые подтверждают действенность и эффективность предложенных подходов.

Ключевые слова: метод декомпозиции области, гетерогенная модель, прямой симметричный метод граничных элементов, метод конечных элементов, пластичность, метод Ньютона-Рафсона.

Makar I. H. Construction of combined boundary element -- finite element methods for modelling of deformation processes of heterogeneous structures. -- Manuscript.

Dissertation for the scientific candidate degree of physical and mathematical sciences by specialty 01.05.02 - mathematical modeling and computational methods. - Pidstryhach institute for applied problems of mechanics and mathematics, L'viv, 2009.

The thesis is devoted to construction and investigation of the combined boundary and finite element methods for elastic-plastic problems with local nonlinearities. Nonlinear material behavior has been modeled using von Mises flow theory of plasticity. The finite element method and the Newton-Raphson procedure have been used to solve nonlinear problem. Symmetric Galerkin boundary element method has been utilized in linear elastic subdomains. Coupling of both methods has been performed by iterative schemes of the domain decomposition method.

The variational formulation of heterogeneous numerical model has been implemented and its correctness has been proved. Iterative algorithms of the domain decomposition method for elastic-plastic problems were constructed and their convergence has been investigated. Numerical aspects of effective implementation of the symmetric Galerkin boundary element method have been considered. Numerical experiments that have been carried out in present investigation demonstrate the operability and the effectiveness of proposed approach for solving elastic-plastic problems.

Key words: domain decomposition method, heterogeneous model, direct symmetric boundary element method, finite element method, plasticity, Newton-Raphson method.

Размещено на Allbest.ru