Неадитивні властивості скінченних одновимірних Ізингових ланцюгів з дальньою взаємодією

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ НАУКОВИЙ ЦЕНТР

“ХАРКІВСЬКИЙ ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.04.02 - теоретична фізика

Неадитивні властивості скінченних одновимірних ізингових ланцюгів з дальньою взаємодією

Майзеліс Захар Олександрович

Харків - 2009

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним з постулатів класичної статистичної фізики і термодинаміки, що не завжди явним чином формулюється, є гіпотеза щодо малості радіусу взаємодії частинок у порівнянні з розмірами системи, що досліджується. З цього постулату витікає адитивність (екстенсивність) таких термодинамічних величин, як енергія, вільна енергія, ентропія і т.д. Однак, якщо розміри підсистем, що досліджуються, за порядком співпадають з характерним масштабом взаємодії, енергія системи не дорівнює сумі енергій підсистем. Тому не ясно, що в такому випадку називати ентропією і температурою; ентропія не є логарифмом числа станів, тобто не є больцманівською; такі величини, як енергія, ентропія і т.д. перестають бути екстенсивними; імовірність реалізації макроскопічного стану системи не дорівнює добутку ймовірностей для підсистем, а тому функція розподілу в неекстенсивних системах не є гібсівською.

У фізиці відомо багато прикладів систем з дальніми взаємодіями [1^*] - це гравітаційні і електрично заряджені системи, магнетики з дипольною взаємодією і мезоскопічні системи з розмірами, що за порядком співпадають з дальністю взаємодії між частинками [2^* - 4^*]. Важливим прикладом такого класу систем є ізингові ланцюги з дальньою взаємодією [5^*].

Дальні взаємодії призводять до кореляцій у системах, що досліджуються. Системи з дальніми кореляціями представляють самостійний інтерес та інтенсивно вивчаються не тільки в фізиці, але й у теорії динамічних систем і теорії ймовірностей. Такі системи зазвичай мають складну структуру і включають ряд ієрархічних об'єктів. Негаусівські розподіли зустрічаються в різних науках, що використовують статистичні методи. Прикладами розподілів, що відрізняються від гібсівського, є розподіл Ципфа в лінгвістиці, розподіл нуклеотидів у ДНК послідовностях, розподіли в комп'ютерних кодах, розподіли землетрусів у сейсмології, розподіли на фінансових ринках у економіці, розподіли в соціології, фізіології та багатьох інших галузях [6^*, 7^*]. Таким чином, вивчення статистичних властивостей сильно корельованих систем є важливою проблемою як сучасної теоретичної фізики, так і інших наук.

Типовим об'єктом для дослідження ефектів, що пов'язані з дальніми кореляціями, є неекстенсивні термодинамічні системи [8^*], у яких і радіус взаємодії, і розмір системи є макроскопічними величинами. Інший приклад систем з дальніми кореляціями - мезоскопічні системи, розміри яких не достатньо великі для їх розгляду в термодинамічній границі. Статистичні властивості таких систем, що досліджуються в дисертаційній роботі, дуже схожі на властивості нескінченних неекстенсивних термодинамічних систем. Тому їх вивчення є актуальною задачею сучасної теоретичної фізики.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках наступних НДР, що проводилися на замовлення Президії НАН України Інститутом радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова НАН України, в яких автор був виконавцем: «Дослідження регулярних та стохастичних явищ, що обумовлені взаємодією електромагнітних хвиль і потоків заряджених часток з речовиною», номер державної реєстрації 01.03U002260, термін виконання 2004 - 2006, шифр: «Кентавр-3»; «Дослідження лінійних та нелінійних властивостей твердотільних структур із застосуванням електромагнітних хвиль НВЧ діапазону і заряджених часток», номер державної реєстрації 0106U011978, термін виконання 2007 - 2011, шифр: «Кентавр-4»; «Дослідження взаємодії електромагнітних та акустичних полів, а також електронних пучків з біологічними та твердотільними структурами», номер державної реєстрації 0102U003139, термін виконання 2002 - 2006, шифр: «Структура»; а також згідно з особистим планом аспіранта.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка способу розрахунку статистичних величин одновимірних мезоскопічних систем, що базується на статистичному співставленні їх з марківськими ланцюгами, і дослідження цим способом статистичних характеристик спінових лан-цюгів в моделі Ізинга. Це зумовлює розв'язання наступних задач дослідження:

· знаходження мікроскопічних статистичних характеристик ізингових ланцюгів, що знаходяться у стані термодинамічної рівноваги;

· встановлення статистичної відповідності між фізичним об'єктом - спіновим ланцюгом і математичним - марківською стохастичною послідовністю символів;

· дослідження статистичних властивостей марківських ланцюгів, зокрема, знаходження їх кореляційних функцій різних порядків;

· за допомогою знайденого правила відповідності, дослідження статистичних величин, що визначають властивості мезоскопічних систем - фрагментів спінових ланцюгів.

Об'єктом дослідження є одновимірні послідовності спінів в моделі Ізинга з великим, але скінченим радіусом взаємодії між частинками, що складають ланцюг. Неадитивні статистичні величини для фрагментів таких ланцюгів, що знаходяться у стані термодинамічної рівноваги, такі як внутрішня та повна енергії, ентропія, намагніченість, становлять предмет дослідження.

Методи дослідження полягають в отриманні і розв'язанні рівнянь, що виражають умови встановлення в системі термодинамічної рівноваги. Статистичні властивості фрагментів спінових ланцюгів визначаються зі статистичного співставлення марківських випадкових послідовностей і фізичних ланцюгів спінів. Результати, що отримуються, у різних граничних випадках відповідають відомим висновкам класичної термодинаміки. Статистичні характеристики багатокрокових марківських ланцюгів досліджуються методами теорії ймовірностей. Достовірність співвідношень, що отримуються, підтверджується їх відповідністю відомим аналітичним результатам для однокрокових марківських ланцюгів.

Наукова новизна результатів, одержаних у дисертації, полягає у тому, що в ній вперше:

1. Запропоновано загальний алгоритм знаходження статистичних характеристик фрагментів спінових ланцюгів в моделі Ізинга з дальньою взаємодією між елементами послідовності, що базується на співставленні їх з багатокроковими марківськими ланцюгами. При цьому розмір фрагменту може бути одного порядку з дальністю взаємодії, що і призводить до неадитивності цих характеристик.

2. Доведена статистична еквівалентність двох стохастичних об'єктів - спінових ланцюгів в моделі Ізинга, що знаходяться у стані термодинамічної рівноваги, та марківських ланцюгів. Кожній фізичній системі при цьому ставиться в однозначну відповідність марківський ланцюг.

3. Запропоновано загальний метод знаходження кореляційних функцій довільних порядків багатокрокового марківського ланцюга, що дозволяє описувати усі його статистичні властивості та використовувати доведену еквівалентність марківських і ізингових ланцюгів для аналізу статистичних характеристик останніх: можна побудувати марківський ланцюг, всі кореляційні функції якого приймають ті ж значення, що і в ізинговій системі.

4. Знайдено намагніченість фрагменту спінового ланцюга, що знаходиться у зовнішньому магнітному полі. Досліджено дисперсію цієї величини, що нелінійно зростає з ростом розміру мезоскопічної системи - фрагменту ланцюга, довжина якого за порядком співпадає з радіусом взаємодії. При прямуванні величини зовнішнього магнітного поля до нуля намагніченість прямує до нуля, на відміну від її дисперсії.

5. Знайдені неадитивні внутрішня і повна енергії та ентропія фрагменту ізингового ланцюга. Всі ці величини нелінійно залежать від довжини фрагменту. Розглянуто два граничних випадки - малої та високої температури у порівнянні з енергією взаємодії спінів.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані в дисертаційній роботі результати представляють собою якісний та кількісний опис статистичних властивостей мезоскопічних систем. Вони поглиблюють розуміння ролі дальніх кореляцій в системі та їх вплив на її статистичні властивості, дозволяють отримати точні кількісні результати. Узагальнення та перенесення запропонованого підходу для аналізу систем з дальніми кореляціями, що зустрічаються як у фізиці, так і в інших науках, дозволить повніше проаналізувати їх властивості.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертації опубліковано в статтях [1 - 7] і тезах доповідей наукових конференцій [8 - 13]. Здобувач приймав участь у проведенні всіх аналітичних і чисельних розрахунків, а також у постановці задач, що розв'язуються в дисертації. В статті [1] здобувач отримав і проаналізував вираз для кореляційної функції марківського ланцюга зі сходинко-подібною функцією пам'яті. В роботі [2] здобувачем виведено співвідношення, що пов'язує функції умовної імовірності марківського та двостороннього ланцюгів, доказана статистична еквівалентність марківських і двосторонніх ланцюгів. В роботі [3] здобувач отримав аналітичні вирази для повної енергії та ентропії фрагменту спінового ланцюга за відсутності зовнішнього магнітного поля. В роботі [4] результати, що отримані для рівноважного ланцюга, узагальнені здобувачем на випадок ланцюгів з переважним вмістом символів одного типу. Знайдені результати дозволяють аналізувати спінові ланцюги за наявності зовнішнього магнітного поля. В роботі [5] здобувачем виведені умови, при яких марківський ланцюг є ізотропним. В роботі [6] здобувач вивів рекурентне співвідношення, що дозволяє визначити кореляційні функції різних порядків, і проаналізував отримані вирази в граничних випадках слабко та сильно корельованого ланцюга. В роботі [7] здобувач вивів аналітичні вирази для намагніченості та її дисперсії для фрагменту спінового ланцюга у зовнішньому магнітному полі, узагальнив вирази для енергії та ентропії фрагменту.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися та обговорювалися на наступних наукових конференціях: International Conference “XXV Dynamics Days Europe 2005” (Berlin, Germany, 2005); 7-ма міжнародна конференція “Фізичні явища в твердих тілах” (Харків, Україна, 2005); International conference “Modern stochastic: theory and applications” (Kyiv, Ukraine, 2006); International Jubilee Seminar “Current problems in Solid State Physics”, E. A. Kaner memorial conference (Kharkov, Ukraine, 2006); 2-ая международная конференция ``Теория конденсированного состояния'' (Харьков, Украина, 2007); International Conference on the occasion of the 150 Birthday of A. M. Lyapunov (Kharkov, Ukraine, 2007), а також на семінарах відділу теоретичної фізики ІРЕ ім. О. Я. Усикова НАН України.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 13 робіт: 7 статей у фахових наукових журналах [1-7] і 6 робіт у вигляді тез доповідей на наукових конференціях [8-13].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація викладена на 133 сторінках, містить 11 рисунків у тексті, складається із вступу, шести розділів, висновків та списку використаних джерел із 109 найменувань на 12 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі коротко аналізуються наукові проблеми, розв'язанню яких присвячено дану дисертацію, визначається коло задач, які розглянуто у роботі, актуальність теми дисертації, формулюються мета та задачі дослідження, характеризується наукова новизна отриманих результатів і практичне значення роботи, описується структура дисертації.

Перший розділ дисертаційної роботи присвячено оглядові літератури. В ньому обговорюються найбільш фундаментальні роботи інших авторів, які тісно пов'язані з питаннями, що вивчаються в дисертації. Описуються існуючі підходи до систем з дальньою взаємодією та до неекстенсивних систем, обговорюється важливість та актуальність розв'язання існуючих наукових проблем.

У другому розділі дисертації досліджено статистичні властивості бінарних N-крокових марківських ланцюгів. Так називають послідовності випадкових величин, які можуть приймати одне з двох значень, наприклад, 1 або -1, що задовольняють наступній умові. Імовірність того, що даний символ ланцюга приймає деяке значення, наприклад, 1, при умові заданих значень усіх попередніх символів ланцюга, визначається лише N попередніми символами,

(1)

Параметр N називається глибиною пам'яті марківського ланцюга. Розглядається найпростіший клас таких ланцюгів - адитивні, що визначаються умовною імовірністю лінійного вигляду,

(2)

де - середнє значення символів в ланцюгу, а функція F(r) називається функцією пам'яті адитивного марківського ланцюга. Вона характеризує безпосередній вплив попереднього символу на даний. Вивчення властивостей таких ланцюгів важливе, оскільки, як показано у наступних розділах роботи, спінові ланцюги у стані рівноваги статистично еквівалентні саме адитивним марківським ланцюгам.

Для адитивних ланцюгів не вдається в загальному випадку знайти ймовірності реалізації різних фрагментів, тобто визначити всі статистичні характеристики. Тому у роботі [9^*] модель адитивних марківських ланцюгів було ще більше звужено і розглянуто випадок сходинко-подібної функції пам'яті, F(r)=const, r<N і нульового середнього значення символів. У другому розділі дисертаційної роботи результати, що отримані для таких ланцюгів узагальнюються на випадок довільного середнього значення. Це узагальнення є дуже важливим, оскільки дозволяє аналізувати спінові ланцюги у зовнішньому магнітному полі.

Для ланцюгів зі сходинко-подібною функцією пам'яті знайдено статистичні властивості фрагментів, що складаються з L послідовних символів ланцюга. Ймовірності фрагментів, довжина яких не перевищує глибину пам'яті N, не залежить від порядку символів в цьому фрагменті, а визначається лише сумою символів в ньому. Ймовірності таких фрагментів досліджено як функцію глибини пам'яті і довжини фрагменту L. Для слабко корельованої послідовності залежність цієї ймовірності від кількості одиниць у фрагменті має гаусівську форму, кореляції лише незначно деформують цю криву. Але при збільшенні функції пам'яті ланцюга крива цієї залежності становиться більш плавною, і навіть перетворюється на таку, що має мінімум.

Важливою характеристикою стохастичної послідовності є бінарна кореляційна функція, яка визначається таким чином:

(3)

На відміну від функції пам'яті, кореляційна функція враховує не лише безпосередній вплив символів, але й опосередкований вплив через інші символи. Ця величина грає важливу роль у фізиці і визначає, наприклад, енергію фрагменту спінового ланцюга.

Ще однією важливою характеристикою фрагменту марківського ланцюга є дисперсія суми всіх символів у фрагменті,

(4)

Ця величина, як показано у дисертації, характеризує флуктуації намагніченості фрагменту спінового ланцюга.

У другому розділі дисертаційної роботи знайдено, що кореляційна функція адитивного ланцюга зі сходинко-подібною функцією пам'яті постійна при значеннях аргументу, менших за глибину пам'яті. Залежність дисперсії D(L) від довжини фрагменту при цьому квадратична. Відхилення цієї залежності від лінійної є наслідком кореляції ланцюга.

У третьому розділі розроблено підхід, що дозволяє знаходити кореляційні функції різних порядків для марківського ланцюга. Багато фізичних характеристик фрагментів спінових ланцюгів потребують знання не тільки бінарної кореляційної функції, але і кореляційної функції вищих порядків. Тому важливим є знаходження способу підрахунку цих функцій у загальному випадку.

В першому підрозділі запропоновано підхід, який дозволяє виразити усі статистичні величини, що характеризують властивості фрагменту марківського ланцюга, через ймовірності N-фрагментів. Такий спосіб дуже зручний для аналізу так званих перестановочних ланцюгів, для яких функція умовної ймовірності не залежить від порядку символів у попередньому N-фрагменті, а визначається лише сумою цих аргументів. Це означає, що всі символи з попереднього N-фрагменту однаковим чином впливають на символ, що розглядається. Така модель дозволяє врахувати вплив характерного масштабу взаємодії елементів фізичної системи на її властивості, але не дозволяє дослідити ефекти, що пов'язані з характером залежності енергії взаємодії від відстані між частинками.

У другому підрозділі дисертації запропоновано спосіб знаходження кореляційних функцій без попереднього знаходження ймовірностей N-фрагментів. Цей метод базується на розв'язанні рекурентних співвідношень, що пов'язують кореляційні функції з функціями пам'яті. Визначимо кореляційну функцію -го порядку таким чином:

(5)

У цьому визначенні враховано, що ланцюг є однорідним, а отже, кореляційна функція -го порядку залежить лише від (s - 1) аргументу. В дисертаційній роботі показано, що кореляційна функція задовольняє такому співвідношенню:

(6)

Воно пов'язує кореляційну функцію з функцією пам'яті марківського ланцюга. Щоб знайти з цього рекурентного співвідношення кореляційну функцію, треба доповнити його початковими умовами. Одна умова - це зв'язок кореляційної функції, останній аргумент якої дорівнює нулю, з кореляційними функціями менших порядків. Наприклад, для ланцюга з нульовим середнім значенням вона має вигляд:

Решта початкових умов записуються для кореляційних функцій з від'ємними значеннями останнього аргументу. Якщо символи у визначенні кореляційної функції (5) розташовані насправді у іншому порядку, то аргументи кореляційної функції слід відповідним чином поміняти для отримання зв'язку із кореляційними функціями того ж порядку, але іншими значеннями аргументів. Наприклад,

Таким чином, можна, розв'язуючи послідовно рекурентні співвідношення (6), знайти кореляційну функцію будь-якого порядку з будь-якими значеннями аргументів. Цей підхід розповсюджено в роботі на випадок неадитивних ланцюгів. Окрім загального підходу, який можна використовувати для чисельних підрахунків, отримані деякі аналітичні результати. Наприклад, для слабо корельованого ланцюга з функцією пам'яті F(r) бінарна кореляційна функція асимптотично повторює функцію пам'яті, K(r)=2F(r). Це співвідношення важливе для знаходження статистичних характеристик спінових ланцюгів у граничному випадку високих температур. Для того, щоб використати знайдені статистичні характеристики марківських ланцюгів, що досліджені в другому і третьому розділах, необхідно встановити правило відповідності між спіновими і марківськими ланцюгами.

В четвертому розділі дисертаційної роботи вводиться поняття двостороннього ланцюга. Як видно з визначення марківського ланцюга (1), він визначається ймовірністю при умові заданих значень попередніх символів. Однак багато фізичних об'єктів з просторовими, а не часовими, кореляціями природно характеризувати не такою «односторонньою», а двосторонньою умовною ймовірністю. Якщо така функція умовної ймовірності залежить лише від скінченної кількості 2N символів (по обидві сторони від символу, що розглядається), то такий ланцюг називається N-двостороннім:

(7)

Параметр N називається глибиною пам'яті двостороннього ланцюга. Аналогічно адитивним марківським ланцюгам вводяться адитивні двосторонні ланцюги:

(8)

де функція G(r) називається функцією пам'яті двостороннього ланцюга. Такими адитивними двосторонніми ланцюгами є спінові послідовності при високих температурах.

Видно, що визначення (1) і (7) дуже схожі. В дисертаційній роботі доведено, що класи марківських та двосторонніх ланцюгів співпадають. Тобто не тільки будь-який марківський ланцюг є двостороннім, але й навпаки, кожній двосторонній послідовності, що визначається певною двосторонньою функцією умовної ймовірності, відповідає єдиний марківський ланцюг з точно такими статистичними характеристиками. Глибина пам'яті марківського і двостороннього ланцюгів при цьому співпадають. Знайдено правило, що встановлює зв'язок між односторонньою та двосторонньою функціями умовної ймовірності. Це співвідношення дозволяє для будь-якої двосторонньої послідовності знаходити функцію умовної ймовірності відповідного їй марківського ланцюга і дозволяє моделювати спінові ланцюги у стані рівноваги без проведення процедури врівноваження ланцюгу, наприклад, за схемою Метрополіса. Замість цього достатньо послідовно генерувати елементи відповідного марківського ланцюга.

Окрім цього, зв'язок між односторонньою та двосторонньою функціями умовної ймовірності, може бути проаналізований у деяких важливих граничних випадках. Наприклад, слабо корельованому двосторонньому адитивному ланцюгу відповідає адитивний марківський ланцюг, причому функція пам'яті марківського ланцюга асимптотично дорівнює функції пам'яті двостороннього, F(r)=G(r).

Нажаль, запропонований алгоритм знаходження кореляційних функцій різних порядків не вдалося узагальнити для аналізу двосторонніх ланцюгів. Але доведена еквівалентність дозволяє спочатку знайти відповідний марківський ланцюг, а потім скористатися способом знаходження їх кореляційних функцій. Таким чином, факт еквівалентності марківських та двосторонніх ланцюгів розкриває можливості для аналізу фізичних систем.

У п'ятому розділі дисертаційної роботи такий підхід використовується для дослідження магнітних властивостей спінових ланцюгів в моделі Ізинга. Розглядається послідовність спінів, що можуть приймати одне з двох значень, наприклад -1 та 1, що визначається такою функцією Гамільтона:

(9)

де враховано взаємодію кожного спіну з 2N спінами справа та зліва від нього. Параметр N є характерним радіусом взаємодії в ланцюзі, функція описує довільну залежність енергії взаємодії спінів від відстані між ними, H - напруженість зовнішнього однорідного магнітного поля, в якому знаходиться ланцюг.

Ми розглядаємо такий ланцюг у стані рівноваги з зовнішнім гібсівським термостатом, температура якого дорівнює T. Хоча в формулі (9) взаємодія з таким термостатом не врахована явним чином, але саме вона призводить до того, що згодом статистичні властивості фрагментів спінового ланцюга перестають змінюватися - ланцюг приходить до рівноваги.

Оскільки радіус взаємодії в такій системі скінченний, спонтанна намагніченість відсутня. Окрім того, розглядаючи такий ланцюг в термодинамічній границі, можна скористатися методами класичної термодинаміки. Таким чином, у роботі знайдені термодинамічні потенціали для ланцюга як цілого. Ми розглядаємо фрагмент такого ланцюга довжиною L. Якщо L за порядком величини співпадає з N, цей фрагмент являє собою мезоскопічну систему. Для неї застосувати класичні термодинамічні співвідношення не вдається. Саме дослідження таких мезоскопічних систем і є основною задачею дисертаційної роботи.

Для того, щоб скористатися знайденими статистичними властивостями марківських ланцюгів, треба знайти функцію умовної ймовірності спінового ланцюга. Як показано в дисертаційній роботі (або див. [1^*], де вона виведена дещо іншим методом), вона визначається такою функцією

(10)

Ця функція дійсно залежить лише від 2N символів по обидві сторони від символу s_i, тобто ланцюг, що розглядається, дійсно статистично еквівалентний двосторонньому, а тоді, в силу доведеної еквівалентності, він еквівалентний марківському. Як було зазначено, існують системи, прикладом яких є спінові ланцюги, що природно характеризуються двосторонньою умовною ймовірністю, але для знаходження їх статистичних властивостей зручно перейти до розгляду еквівалентних їм марківських ланцюгів.

У п'ятому розділі дисертації вивчаються магнітні властивості фрагментів спінових ланцюгів. Як було зазначено, спонтанна намагніченість в ланцюгу відсутня, отже за відсутності магнітного поля намагніченість фрагменту дорівнює нулю. Тоді магнітні властивості визначаються флуктуаціями намагніченості. Тому, окрім середнього значення намагніченості, у роботі досліджене також її середньоквадратичне значення у випадку відсутності магнітного поля.

Для отримання аналітичних результатів розглянуто два граничні випадки. Перший з них - випадок високих температур у порівнянні з енергією взаємодії спінів,

(11)

Тоді функція умовної ймовірності (10) ізингового ланцюга набуває у першому наближенні лінійного вигляду, тобто ланцюг є адитивним. Еквівалентний йому адитивний N-кроковий марківський ланцюг має таку функцію умовної ймовірності:

(12)

де середнє значення та функція пам'яті F(r) визначаються функцією е(r), температурою спінового ланцюга T та напруженістю зовнішнього магнітного поля H:

 (13)

Оскільки, як було зазначено вище, кореляційна функція адитивного слабо корельованого марківського ланцюга повторює його функцію пам'яті, отримуємо для неї такий вираз:

(14)

Це співвідношення виражає той очевидний факт, що взаємодія між спінами в ланцюгу призводить до збільшення кореляцій, а збільшення температури - до хаотизації ланцюга і зменшення кореляцій в ньому.

Розглянемо спіновий ланцюг за високих температур і відсутності зовнішнього магнітного поля. Середньоквадратичне значення намагніченості фрагмента такого ланцюга довжиною L, що визначається співвідношенням

(15)

близьке до величини , флуктуації намагніченості некорельованого ланцюга. Характер цієї залежності змінюється, що обумовлене впливом дальньої взаємодії між спінами в ланцюгу.

За наявності зовнішнього магнітного поля середнє значення намагніченості фрагмента ланцюга не дорівнює нулю. Воно пропорційне до довжини фрагменту, і його питоме на один спін значення дорівнює середній величині , що визначається формулою (13).

Протилежному граничному випадку низьких температур відповідає сильно корельований ланцюг. Він складається з довгих ділянок, майже цілком заповнених однаково напрямленими спінами. Рідко в них зустрічаються протилежні спіни - ймовірність цього мала, . Ймовірність зустріти в такій ділянці пару протилежних спінів набагато менша, хоча більша ніж P₁², що пов'язано з наявністю дальніх кореляцій в ланцюгу. Далі, трійки «чужих» спінів зустрічаються з ще меншою ймовірністю і т.д. Умова, за якої реалізується такий граничний випадок, описується нерівністю, що у випадку сходинко-подібної функції е(r) має такий вигляд:

(16)

Ця нерівність означає, що температура може бути малою не тільки у порівнянні з енергією взаємодії спінів, але і у порівнянні з напруженістю зовнішнього магнітного поля. Тоді при високих, у порівнянні з енергією взаємодії, температурах і у сильному, у порівнянні з температурою, магнітному полі реалізуються одночасно обидві граничні випадки, що розглядаються. При цьому відповідні асимптотики для намагніченості і її середньоквадратичного значення співпадають.

У випадку низьких температур знайдено флуктуації намагніченості фрагмента ланцюга довжиною L за відсутності магнітного поля. Вони близькі за значенням до L, оскільки найбільш імовірна ситуація у випадку сильно корельованого ланцюга - така, що майже всі спіни у фрагменті однаково напрямлені. За наявності зовнішнього поля сильні кореляції призводять до того, що майже всі спіни в ланцюгу орієнтуються у напрямку зовнішнього поля, тобто намагніченість фрагменту повинна бути близькою до 1. Це підтверджується аналітичними результатами, що отримані в дисертаційній роботі. Вираз для намагніченості переходить у відомий результат для випадку врахування взаємодії лише найближчих сусідів.

Аналітичні результати, що зображені суцільними і штриховими кривими, порівнюються з результатами чисельних симуляцій. Ізинговий ланцюг приводиться у стан термодинамічної рівноваги методом Метрополіса, і намагніченість підраховується усередненням вздовж ланцюга суми значень спінової змінної. Видно узгодження цих результатів і асимптотичних розрахунків. Розглянутий випадок відповідає сильному магнітному полю, що призводить до того, що високо- і низькотемпературні асимптотики перекриваються.

У шостому розділі дисертації пропонується загальний підхід до знаходження довільної статистичної величини, що характеризує фрагмент ізингового ланцюга у стані термодинамічної рівноваги з зовнішнім термостатом, температура якого T. Позначимо систему (фрагмент довжиною L), що розглядається, буквою М; два оточуючих його N-фрагменти - буквою В; решту ланцюга - буквою R. Тоді за рахунок дальніх взаємодій у ланцюгу його повна енергія не дорівнює сумі енергій системи М і решти ланцюга В+R. Це означає, що безпосередньо застосувати методи класичної термодинаміки неможливо.

У роботі запропоновано весь ансамбль ланцюгів розбити на підансамблі, в межах кожного з яких граничні фрагменти В фіксовані. Це означає, що «стінки» В фактично не приймають участі у перерозподілі енергії у рамках кожного підансамбля. Тоді умові рівноваги відповідає рівність

(17)

де E_M,R - повна енергія систем М (R), що включає в себе і енергію їх взаємодії зі стінками В, а W_M,R - умовна статистична вага, що підраховується у межах кожного підансамблю.

Аналогічно вводиться будь-яка умовна величина Q(|B) - у рамках кожного підансамблю її можна підрахувати згідно із методами класичної термодинаміки, а потім, для знаходження середнього значення величини Q, необхідно провести усереднення за всіма підансамблями. Це означає, наприклад, що середня ентропія мезоскопічної системи M не дорівнює логарифму статистичної ваги, але ця рівність виконується для умовного значення ентропії для кожного з підансамблів.

У роботі застосовано цей метод для знаходження неекстенсивних величин повної енергії фрагмента, його внутрішньої енергії і ентропії. Аналітичні вирази отримано у граничних випадках високих і низьких температур. Значення енергії визначаються лише бінарними кореляційними функціями і можуть бути отримані і без підрахунку її умовних значень. Для знаходження ентропії необхідно спочатку знайти всі її умовні значення. Наприклад, неадитивна поправка до ентропії фрагменту у випадку низьких температур має такий вигляд:

(18)

Всі вирази для енергії та ентропії описують неекстенсивні температурно-залежні величини. При прямуванні розмірів системи до нескінченності (термодинамічна границя), коли ці розміри значно перевищують характерний масштаб взаємодії між спінами, всі вирази переходять у екстенсивні.

Отримані результати можна застосувати не тільки до канонічного, але і до мікро канонічного ансамблю. Так, не обов'язково забезпечувати контакт із зовнішнім термостатом для встановлення термодинамічної рівноваги. Якщо ланцюг приходить у рівновагу тільки за рахунок взаємодії між спінами, температура різних його фрагментів виявляється однаковою, її значення визначається початковою енергією системи. Якщо це значення від'ємне, температура ланцюга є додатною, і всі його статистичні характеристики точно співпадають із випадком канонічного ансамблю. Коли ж повна енергія ланцюга додатна, температура є від'ємною. Такі нестійкі стани неможливо отримати у рамках канонічного ансамблю.

мезоскопічний марківський ланцюг ізинг

ВИСНОВКИ

Таким чином, в даній дисертаційній роботі теоретично досліджено статистичні властивості фрагменту ізингового ланцюга спінів, що представляє собою мезоскопічну систему. Подібні системи зустрічаються не лише в фізиці, але й у багатьох інших областях науки, і запропонований підхід до знаходження статистичних властивостей спінових ланцюгів може бути розповсюджено і на ці системи. Основні результати дисертаційної роботи полягають в наступному:

1.Запропоновано спосіб знаходження довільної статистичної величини, що характеризує фрагмент спінового ланцюга з довільною, але скінченою дальністю взаємодії. В загальному випадку цей спосіб дозволяє чисельно знаходити усереднені величини, минаючи процедуру приведення ланцюга в рівноважний стан. У граничних випадках він дозволяє отримувати аналітичні результати.

2.Для кожного спінового ланцюга, що визначається залежністю енергії взаємодії між спінами від відстані між ними, знайдено марківський ланцюг, кореляційні властивості якого у всіх порядках співпадають із властивостями спінового ланцюга. Глибина пам'яті цього марківського ланцюга співпадає з дальністю взаємодії елементів спінового ланцюга, а його функція умовної ймовірності нелінійним чином зв'язана з функцією двосторонньої умовної ймовірності ізингового ланцюга.

3.Запропоновано спосіб знаходження кореляційних функцій довільних порядків для багатокрокового марківського ланцюга. Це дозволяє скористатися знайденою відповідністю між марківськими і спіновими ланцюгами для аналізу статистичних величин останніх.

4.Досліджено магнітні властивості спінового ланцюга, що знаходиться у зовнішньому магнітному полі. Намагніченість фрагменту ланцюга про-порційна довжині фрагменту, її залежність від величини магнітного поля і потенціалу взаємодії спінів переходить у відому для випадку врахування взаємодії лише найближчих сусідів. Розглянуто випадки слабко і сильно корельованого ланцюга. Перший реалізується при високих температурах, коли температурні флуктуації відіграють більшу роль, ніж ефект збільшення кореляцій за рахунок взаємодії спінів. Сильно корельованим ланцюг становиться у випадку достатньо сильних взаємодій в ньому або сильного зовнішнього магнітного поля. Такий ланцюг складається з довгих областей з переважним вмістом однакових спінів. За відсутності магнітного поля середня намагніченість звертається в нуль, що відображає факт відсутності фазового переходу у ланцюгу. При цьому дисперсія намагніченості як функція довжини фрагменту змінюється нелінійно, що поясняється наявністю дальніх кореляцій в ланцюзі.

5.Знайдено аналітичні вирази для внутрішньої і повної енергії фрагменту ланцюга. Ці величини виявляються неекстенсивними при розмірах системи, що за порядком співпадає з дальністю взаємодії у ній. На відміну від випадку таких мезоскопічних систем, енергія макроскопічної системи, що розглядається в термодинамічній границі, становиться екстенсивною величиною. Знайдена ентропія фрагменту, яка, на відміну, наприклад, від ентропії Тсаліса, є неекстенсивною не внаслідок неекстенсивності ланцюга як цілого, а за рахунок неекстенсивності енергії мезоскопічної системи.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Memory functions and Correlations in Additive Binary Markov Chains / [S. S. Melnyk, O. V. Usatenko, V. A. Yampol'skii, S. S. Apostolov, Z. A. Maizelis] // J. Phys. A: Math. Gen. - 2006. - V. 39. - P. 14289-14301.

2. Equivalence of the Markov Chains and Two-Sided Symbolic Sequences / [S. S. Apostolov, Z. A. Maizelis, O. V. Usatenko, V. A. Yampol'skii] // Europhys. Lett. - 2006. - V. 76. - P. 1015-1021.

3. Неэкстенсивная термодинамика одномерных систем и марковские цепи / [С. С. Апостолов, З. А. Майзелис, О. В. Усатенко, В. А. Ямпольский] // Вісник Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна. - 2006. - №739. - С.26-30.

4. Additive N-Step Markov Chains as Prototype Model of Symbolic Stochastic Dynamical Systems with Long-Range Correlations / [Z. A. Mayzelis, S. S. Apostolov, S. S. Mel'nyk, O. V. Usatenko, V. A. Yampol'skii] // Chaos, Solitons and Fractals - 2006. - V. 34. - P. 112-128.

5. Isotropy Properties of the Multi-Step Markov Symbolic Sequences / [S. S. Apostolov, Z. A. Mayzelis, S. S. Mel'nyk, O. V. Usatenko, V. A. Yampol'skii] // Physica A - 2007. - V. 376. - P. 165-172.

6. High Order Correlation Functions of Binary Multi-Step Markov Chains / [S. S. Apostolov, Z. A. Mayzelis, O. V. Usatenko, V. A. Yampol'skii] // Int. J. Mod. Phys. B - 2008. - V. 22. - P. 3841-3853.

7. Non-additive properties of finite 1D Ising chains with long-range interactions / [S. S. Apostolov, Z. A. Mayzelis, O. V. Usatenko, V. A. Yampol'skii] // J. Phys. A: Math. Theor. - 2009. - V. 42. - P. 095004-095017.

8. Statistical Equivalence of the Markov sequences and Spin Chains / [Z. A. Mayzelis, O. V. Usatenko, V. A. Yampol'skii, S. S. Melnik] // XXV Dynamics Days Europe 2005: Internat. conf., 25-28 July 2005: Book of Abstracts - Berlin (Germany), 2005. - P. 108-109.

9. Марковские цепи и неэкстенсивная термодинамика низкоразмерных систем / [С. С. Апостолов, З. A. Майзелис, O. В. Усатенко, В. A. Ямпольский] // Фізичні явища в твердих тілах: 7-ма міжнародна конференція, 14-15 грудня 2005 р.: матеріали конференції - Харків, 2005. - C. 31.

10. Random symbolic dynamic systems and additive multi-step Markov chains / [O. V. Usatenko, V. A. Yampol'skii, S. S. Melnyk, S. S. Apostolov, Z. A. Mayzelis, K. E. Kechedzhy] // Modern stochastics: theory and applications: Internat. conf., 19-23 June 2006: conf. materials - Kyiv, 2006. - P. 264.

11. Additive multi-step Markov chains and their applications / [O. V. Usatenko, V. A. Yampol'skii, S. S. Melnik, S. S. Apostolov, Z. A. Mayzelis] // Current problems of Solid State Physics: Internat. Jubilee Seminar E.A. Kaner memorial conf., 16-18 November 2006: Book of Abstracts - Kharkov, 2006. - P. 52-53.

12. Стохастические системы с дальними корреляциями: от локализации Андерсона и модели Изинга до ДНК и литературных текстов / [O. В. Усатенко, В. A. Ямпольский, С. С. Мельник, С. С. Апостолов, З. A. Майзелис] // Теория конденсированного состояния: 2-ая международ-ная конференция, 16-17 января 2007 г.: материалы конференции - Харьков, 2007. - C. 31.

13. Stochastic dynamic systems viewed as additive multi-step Markov chains / [O. V. Usatenko, V. A. Yampol'skii, S. S. Melnik, S. S. Apostolov, Z. A. Mayzelis] // International Conference on the occasion of the 150 Birthday of A.M. Lyapunov: Internat. conf., 24-30 June 2007: Book of Abstracts - Kharkov, 2007. - P. 169-170.

Размещено на Allbest.ru