Динаміка зростання шорстких поверхонь

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Метою дисертаційної роботи є побудова динамічної теорії виникнення шорсткості в процесі осадження тонких плівок і для зростаючих меж розділу з використанням методу динамічної ренормгрупи, розробка методів обчислення показників динамічного скейлінга, а також нових моделей, які описують зростання шорстких поверхонь з нелінійною дифузією і в анізотропному випадку, і нових підходів до цієї проблеми.

Для досягнення мети в роботі потрібно було вирішити наступні наукові задачі:

- побудувати основне рівняння, що описує процеси зростання поверхні тонкої плівки з нелінійною поперечною дифузією;

- використовуючи теоретико-польовий підхід, розробити метод для побудови рівнянь ренормгрупи, який оперує безпосередньо з динамічними рівняннями;

- на основі аналізу рівнянь динамічної ренормгрупи одержати скейлінгові показники для динаміки зростання межі розділу з нелінійною поперечною дифузією;

- одержати за допомогою методу польової ренормгрупи у функціональному формулюванні рівняння, що описують скейлінгову поведінку системи з самоорганізованим критичним станом;

- розробити нову теорію збурень, пов'язану з розвиненням за степенем нелінійності, для аналізу динамічних систем із степеневою нелінійністю в умовах дії зовнішнього шуму та одержати відповідне розвинення спектру флуктуацій до другого порядку за степенем нелінійності.

- вирішити завдання про стійкість періодичних структур на зростаючій поверхні.

1. Дослідження нерівноважної динаміки зростаючих поверхонь із використанням динамічного рівняння для товщини плівки, в якому потік частинок осаджуючих поверхню підкладки моделюється зовнішнім випадковим джерелом

Перш за все, вводиться локальна товщина плівки , яка може змінюватись випадковим чином уздовж підкладки від точки до точки. Для даного експерименту маємо єдину реалізацію шорсткої поверхні. Таким чином, для визначення середніх величин доцільно користуватися не усереднюванням по ансамблю систем, а просторовим усереднюванням. Для цього поверхня розбивається на малі інтервали, потім підсумовується і ділиться на число розбиття. В результаті, для середнього від товщини плівки:

,

де - просторова розмірність, маючи на увазі подальше узагальнення на простір довільної розмірності; таким чином, - розмірність поверхні; - характерний розмір плоского субстрату, на якому відбувається формування плівки. Шорсткі зростаючі поверхні, незалежно від умов їх отримання, характеризуються флуктуаціями мікропрофілю (локальна товщина субстрату) щодо його середньої величини. Шорсткість визначається як корінь з середньоквадратичного відхилення товщини плівки (висота профілю) від його середньої величини, а саме: . Ґрунтуючись на даних математичного моделювання і на аналогії з масштабно-інваріантними законами в теорії фазових переходів, раніше запропоновано вираз для шорсткості , де функція , визначається наступними асимптотичними виразами: , , . Завдання дослідження - є обчислення таких скейлінгових показників.

, (1)

де - коефіцієнт дифузії; - стохастичне джерело, яке подається гаусівським шумом із середнім значенням і кореляційною функцією .

Використовуються масштабні перетворення рівняння (1) щодо визначення критичної просторової розмірності та відповідних скейлінгових показників у відсутності нелінійної взаємодії. Знайдено, що критична розмірність .

Обговорюються особливості методу динамічної ренормгрупи у стандартному формулюванні (підхід Каданова-Вільсона). Для ілюстрації цього підходу аналізується рівняння Кардара-Парізі-Занга, симетрія якого дозволяє скоротити кількість незалежних скейлінгових показників.

Будується теорія збурень по степені нелінійної взаємодії для рівняння (1). Для більш наглядного опису використовується діаграмна техніка, яка дозволяє провести аналіз суттєвих вкладів в коефіцієнт дифузії , вершину взаємодії та інтенсивність шуму. Виходячи з аналізу діаграм, наведено явні аналітичні вирази. Показано, що некомутативна симетрія рівняння з нелінійною поверхневою дифузією призводить до ненульового вкладу у вершину взаємодії.

Використовується метод польової ренормргрупи для обчислення скейлінгових показників. Динамічні показники зазвичай неможливо визначити поза рамками теорії збурень. Проте при обчисленні виникають розбіжності: деякі величини в теорії прагнуть до нескінченності. Останнє суперечить тому факту, що фізичні спостережувані є кінцевими величинами. Таким чином, необхідно позбавитися від величин, які розходяться, у такий спосіб, щоб обчислені параметри співпадали з тими значеннями, які вимірюються в експерименті.

Оскільки інтеграли визначені в просторі з довільною розмірністю, то і характер розбіжностей, природно, залежить від розмірності простору. Зокрема, при критичній розмірності зустрічаються тільки логарифмічні розбіжності, вигляд яких легко визначається, якщо ввести “обрізання” інтегралів на малих масштабах; в рамках розмірної регуляризації логарифм замінюється на полюс по критичній розмірності. Необхідно взяти до уваги, щоб коефіцієнти при полюсах - при використанні розмірної регуляризації - і при логарифмі, у рамках стандартної методики введення “обрізання”, співпадали. У просторі з розмірністю вище критичної основний внесок в інтеграли дають мікроскопічні масштаби, а для розмірності нижче критичною - макроскопічні, відповідні великомасштабним збудженням. У будь-якому випадку, яку б методику щодо виділення розбіжних частин не використовувати, всі вони забираються шляхом перенормування основного рівняння. Доведено, теорія в даному випадку не є перенормованою в тому сенсі, який використовується в квантовій теорії поля, оскільки для усунення розбіжностей необхідно додавати в рівняння доданки спочатку в ньому відсутні: це можуть бути члени з вищими похідними або шумові доданки з іншими кореляційними функціями. Проте є важливим той факт, що можливо працювати з розбіжними доданками в гідродинамічній межі, коли хвильове число збуджень . Тільки в цьому випадку всі розбіжності забираються шляхом перенормування, яке визначається необхідними контрчленами , основних параметрів. При цьому рівняння (1) модифікується таким чином:

, (2)

де - розмірний параметр, вбираючий на себе масштабні розмірності.

Константи перенормування вибираються так, щоб скоротити розбіжності в кожному порядку теорії збурень. Іншими словами, проводиться обчислення функції Гріна, ефективного корелятора шуму, ефективної вершини взаємодії; потім виділяються розбіжності у вигляді полюсів - якщо використовується метод розмірної регуляризації, - по критичній розмірності і залишаються тільки полюсні доданки (мінімальні віднімання). Проте слід врахувати, що (2) - точне рівняння і результати, отримані при його аналізі не повинні залежати від того, як вибирається параметр . Ця вимога абсолютно не пов'язана з теорією збурень, тому цілком можливо провести обчислення в довільному порядку теорії збурень, а потім використовувати факт незалежності результату від розмірного параметру . Останнє твердження і визначає ренормгрупову інваріантність. Таким чином, можна визначити такий набір величин:

,

які не залежатимуть від . В результаті, зокрема, для функції шорсткості справедлива рівність . Тепер можливо диференціювати останнє рівняння по параметру; оскільки ліва частина цього рівняння не залежить від , в результаті маємо основне ренормгрупове рівняння:

, (3)

де визначає аномальну розмірність. У гідродинамічній межі рішення (3) має вигляд . Таким чином, поведінка шорсткості на великих характерних масштабах пов'язана з існуванням інфрачервоної нерухомої крапки ренормгрупового потоку, поблизу якої виходить проста степенева залежність із повністю певними критичними показниками.

Контрчлени, абсорбуючі ультрафіолетові розбіжності|, вибираються у вигляді полюсів по критичній розмірності, що визначається методом мінімальних віднімань.

, , , ,

де:

, .

В результаті отримано систему ренормгрупових рівнянь:

, ,

, , (4)

де .

Таким чином, з останнього рівняння (4) визначається значення ефективної константи зв'язку в інфрачервоній нерухомій крапці: . Вважаючи швидкості зміни параметрів в нерухомій крапці рівними нулю, отримано набір скейлінгових показників: ,, .

2. Модель для межі розділу з анізотропною кінематичною нелінійністю і анізотропним коефіцієнтом дифузії

Обговорюється концепція самоорганізованого критичного стану. Для дослідження рівнянь використовується метод динамічної ренормгрупи в її польовому формулюванні.

Обговорюється концепція самоорганізованого критичного стану з точки зору зростання анізотропних меж розділу.

Ґрунтуючись на інтерпретації моделей чисельного моделювання, обговорюється просте нелінійне рівняння, яке описує зростання шорсткості анізотропної межі розділу, зокрема, і процеси, що відбуваються при еволюції піску на схилі. Оскільки тут відбувається зростання межі розділу, пов'язане з випадковим осадженням, то результуюче рівняння відноситься до класу рівнянь Кардара-Парізі-Занга, тільки узагальнене шляхом введення анізотропії:

, (5)

де - товщина профілю субстрату щодо плоскої поверхні схилу; перший доданок у правій частині описує релаксацію уздовж схилу (від низу до верху), друге - релаксацію в поперечному напрямі. Нелінійність обумовлена симетрією при , де - координата уздовж схилу, проте, можливі подальші узагальнення, що враховують конкретні особливості експериментальної ситуації. Останній доданок описує випадкове джерело, яке подається гаусівським шумом.

У третьому підрозділі обговорюються масштабні перетворення рівняння (5). Встановлено, що , і визначено критичну розмірність .

Вводиться твірний функціонал:

, (6)

де - ефективний “лагранжіан”. Завдання|задача| зводиться до теоретико-польового аналізу в більш стандартному формулюванні. Обговорюється перенормування у рамках формалізму з використанням твірного функціоналу.

Аналіз процесу перенормування. Для усунення розбіжностей при критичній розмірності додаються необхідні контрчлени:

. (7)

Визначено, що на структуру контрчленів - доданків, які скорочують нескінченність, повинні накладатися обмеження, які витікають із симетрії даної системи. Інваріантність щодо перетворень , і призводить до того, що в структурі контрчленів, що визначаються (7), відсутні доданки, пов'язані з перенормуванням коефіцієнта нелінійного зв'язку. Внаслідок цього, із тотожності типу Уорда витікає, що . Слідуючи методиці проведення квантово-польової теорії перенормувань, визначаються неперенормовані величини:

,

(8)

де .

Обчислено необхідні контрчлени. Виявлено, що Це призводить до скейлінгового співвідношення . Наряду з цим, при обчисленні ефективного корелятору шуму доказано, що в ньому відсутні члени з полюсами по критичної розмірності, тому . Цих умов достатньо для знаходження скейлінгових показників, тому що існує ще одне співвідношення між ними, яке випливає із галілеївської інваріантності. У зв'язку з цим система ренормгрупових рівнянь скорочується до:

(9)

де - розмірний параметр, ; . Із аналізу системи рівнянь (9) знайдено скелінгові показники , та , які узгоджуються з отриманими раніше методом динамічної ренормгрупи з використанням вільсоновского підходу. Внаслідок цього показана узгодженість цих двох методів.| Проте застосування польовий ренормгрупи стикається з меншими обчислювальними труднощами. Разом з цим, показано існування полюса Ландау: тобто при певному масштабі має місце розбіжність ефективної константи зв'язку. Показано, що неможливо, використовуючи ренормгрупову інваріантність, екстраполювати результати на область великих хвильових чисел, щоб, наприклад, ідентифікувати ефективне поверхневе натягнення, визначене в даному масштабі хвилевих чисел, з мікроскопічним.

Висновки

скейлінговий дифузія поперечний

У результаті проведеного дослідження побудовано теорію виникнення шорсткості в процесі осадження тонких плівок і для зростаючих меж методу динамічної ренормгрупи у польовому формулюванні.

Вирішено наукові завдання, які полягали в побудові теорії виникнення шорсткості, розробці методів обчислення показників динамічного скейлінгу і нових підходів до цієї проблемі.

Головні результати та висновки з проведеного дослідження можна сформулювати наступним чином.

1. Отримано нове рівняння, що описує зростаючі межі розділу, з нелінійною поперечною дифузією і досліджено його симетрію. Виявлено, що унаслідок некомутативності перетворення симетрії необхідно враховувати перенормування вершини взаємодії. Запропоновано метод динамічної ренормгрупи з використанням методики розмірної регуляризації спільно з мінімальними відніманнями, що оперує безпосередньо з динамічними рівняннями. На основі аналізу ренормгрупових рівнянь отримано нові скейлінгові показники.

2. Досліджено динаміку межі розділу з анізотропною кінематичною нелінійністю і анізотропним коефіцієнтом дифузії. Побудовано ренормгрупові рівняння, з розв'язування яких визначаються скейлінгові показники. Показано, що отримані скейлінгові показники співпадають з тими, які виходять із стандартного підходу, який використовує методику послідовного «обрізання» дрібномасштабних збуджень. Розглянуто проблему аномально швидкого зростання шорсткості при осадженні деяких органічних напівпровідників. Виявлено, що аномальну шорсткість можна пояснити тим, що частинки інкорпоруються на поверхню із випадковим ефективним коефіцієнтом дифузії. Отримано точні скейлінгові показники, співпадаючі з експериментальними даними.

3. Досліджено модель зростаючою поверхні тонкої плівки з довільною степеневою нелінійністю. Отримано скейлінгові показники. В умовах нехтування просторовими мірами свободи виведено рівняння із степеневою нелінійністю, що описує зростання незалежних колонок при осадженні частинок.

4. Для нелінійної системи, схильної до дії зовнішнього адитивного шуму, побудовано нову теорію збурень, яка пов'язана з розвиненням по степені нелінійності. Обчислено спектр флуктуацій до другого порядку теорії збурень. Доведено можливість перебудови спектру флуктуацій при зміні степені нелінійності. Для поверхні із степеневою нелінійністю отримано критичний показник, що є функцією інтенсивності шуму, коефіцієнту згасання і власної частоти. На основі аналізу спектру флуктуацій до другого порядку по степені нелінійності показано, що зміна знаку нелінійного внеску в спектр флуктуацій системи призводить до зміни напряму перекачування енергії за рахунок нелінійної взаємодії. Перебудова спектру у разі просторово-розподілених систем може грати роль механізму підкачки великомасштабних структур шумом.

5. Доведено, що твірний функціонал для просторово-розподіленої системи із зовнішнім шумовим джерелом є інваріантним щодо перетворень суперсиметрії. Показано, що причини виникнення каскадного механізму передачі енергії по спектру із області великих масштабів до малих пов'язуються з порушеною суперсиметрією. Для періодичних систем, таких як періодичні структури на поверхні, поставлено завдання про стійкість. Аналіз малих збурень зведено до аналізу рівняння Ламе, яке відноситься до типу рівняння Шредінгера з періодичним потенціалом у вигляді еліптичних функцій. Показано, якщо в системі існують дві періодичні хвилі, які описуються еліптичними функціями, то одна хвиля нестійка, інкремент нестійкості якої пов'язано з модулем еліптичної функції Якобі. Проведено аналіз спектру рівняння Ламе з використанням методу суперсиметричної квантової механіки. Показано, що суперсиметрія порушена, оскільки існують однакова кількість нульових мод для обох суперпартнерів. Отримано точний інкремент нестійкості.

Література

1. Altaisky M.V. Scaling and sypersymmetry in spectral problems of strong turbulence / M.V. Altaisky, S.S. Moiseev, S.I. Pavlik // Physics Letters. - 1990. - V. 147, № 2-3. - P. 142-146.

2. Моисеев С.С. -разложение спектра флуктуаций нелинейной системы, подверженной действию шума / С.С. Моисеев, С.И. Павлик // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. - 1991. - Т.100, № 2(8) - С. 559-604.

3. Павлик С.И. Скейлинг для растущей границы раздела с нелинейной диффузией / С.И. Павлик // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. - 1994. - Т. 106, № 2(8) - С. 553-559.

4. Pavlik S.I. Amplification in a free - electron laser with a random longitudinal field / S.I. Pavlik // Laser Physics. - 1994. - V. 4, № 3. - P. 507-509.

5. Павлик С.І. Самоорганізована критичність та метод польової ренормгрупи / С.І. Павлик // Український Фізичний Журнал. - 1995. - Т.40, № 1,2. - С. 113-118.

6. Pavlik S.I. On the Stability of Periodic Waves in a Resonant Medium / S.I. Pavlik // Laser Physics - 2007. - V. 17, № 10. - P. 1229-1233.

7. Швец Е.Я. Аномальная шероховатость в процессе роста тонких пленок органических полупроводников / Е.Я. Швец, С.И. Павлик, С. Хрипко //Нанорозмірні системи: будова, властивості, технології: ІІ международная конференція, 21-23 ноября 2007 г.: тезисы докл. - К.: ИМФ НАН Украины, 2007. - С. 5-78.

Размещено на Allbest.ru