Вплив зв’язаності термопружних полів на розподіл напружень в елементах просторових конструкцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ ім. А.М. ПІДГОРНОГО

УДК 539.3

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

ВПЛИВ ЗВ'ЯЗАНОСТІ ТЕРМОПРУЖНИХ ПОЛІВ

НА РОЗПОДІЛ НАПРУЖЕНЬ В ЕЛЕМЕНТАХ ПРОСТОРОВИХ КОНСТРУКЦІЙ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

БОНДАР Олександр В'ячеславович

Харків - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Сумському державному університеті

Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор

Фильштинський Леонід Аншелович,

Сумський державний університет МОН України, завідувач кафедри прикладної математики і механіки.

Офіційні опоненти - доктор технічних наук, професор

Морачковський Олег Костянтинович,

Національний технічний університет «ХПІ» МОН України,

завідувач кафедри теоретичної механіки;

доктор фізико-математичних наук, ст. наук. співробітник

Хома Іван Юрійович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України,

старший науковий співробітник відділу реології.

Захист відбудеться «09» квітня 2009 р. о 16-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.180.01 в Інституті проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою:

61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою:

61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий «06» березня 2009 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради

доктор технічних наук, проф.О.О. Стрельнікова

АНОТАЦІЯ

Бондар О.В. Вплив зв'язаності термопружних полів на розподіл напружень в елементах просторових конструкцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, Харків, 2008.

Дисертаційна робота присвячена розробці нового методу розв'язування просторових задач зв'язаної термопружності, основаного на методі Ф-розв'язків - ефективного методу дослідження зв'язаних термопружних полів у елементах просторових конструкцій, які представлено циліндрами скінченної довжини, а також скінченними та напівнескінченними плитами, послабленими наскрізними отворами. Метод дозволяє звести просторову задачу зв'язаної термопружності до добре вивчених систем сингулярних інтегральних рівнянь другого роду, які за допомогою сучасних методів механічних квадратур зводяться до систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Створено ефективні чисельні схеми та програмне забезпечення, які дозволяють розв'язувати нові задачі дослідження зв'язаних хвильових термопружних полів та виявляти вплив зв'язаності полів на амплітудно-частотні характеристики скінченних циліндрів та динамічну концентрацію напружень у плитах, послаблених наскрізними отворами. Показано необхідність використання узагальненої моделі зв'язаної термопружності для розрахунку на міцність конструкцій, створених із сучасних полімерних матеріалів з великими значеннями коефіцієнта зв'язаності полів.

Ключові слова: зв'язана задача термопружності, коефіцієнт зв'язаності, Ф-розв'язки, система сингулярних інтегральних рівнянь, плита з отвором, скінченний циліндр, динамічна концентрація напружень, амплітудно-частотна характеристика.

АННОТАЦИЯ

Бондарь А.В. Влияние связанности термоупругих полей на распределение напряжений в элементах пространственных конструкций. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт проблем машиностроения им А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, 2008.

Диссертационная работа посвящена разработке нового метода решения пространственных задач связанной термоупругости, основанного на методе Ф-решений - эффективного метода исследований связанных волновых термоупругих полей в элементах пространственных конструкций, которые представлены цилиндрами конечной длины, а также конечными и полубесконечными плитами, ослабленными одним или двумя сквозными отверстиями. Метод позволяет свести пространственную задачу связанной термоупругости к хорошо изученным системам сингулярных интегральных уравнений второго рода, которые при помощи современных методов механических квадратур сводятся к системам линейных алгебраических уравнений. Созданы эффективные числовые схемы и программное обеспечение, которые позволяют решать новые задачи исследования связанных волновых термоупругих полей и проявлять влияние связанности полей на амплитудно-частотные характеристики конечных цилиндров и динамическую концентрацию напряжений в плитах, ослабленных сквозными отверстиями. Показана необходимость использования обобщенной модели связанной термоупругости для расчета на прочность конструкций, созданных из современных полимерных материалов альдегидных и формальдегидных групп, обладающих большой степенью связанности полей.

Также в работе на базе построенных однородных решений связанной термоупругости получены точные решения соответствующих осесимметричных задач в виде рядов по цилиндрическим функциям, которые использовались для верификации полученных результатов. На основе матрицы Ф-решений для слоя были решены задачи об импульсном и гармоническом возбуждении термоупругого слоя.

Часть результатов, полученных в диссертационной работе, получила практическое применение в машиностроении и в учебном процессе, что подтверждается соответствующими актами.

Ключевые слова: связанная задача термоупругости, коэффициент связанности, Ф-решения, система сингулярных интегральных уравнений, плита с полостью, конечный цилиндр, динамическая концентрация напряжений, амплитудно-частотные характеристики.

SUMMARY

Bondar O.V. Influence of thermoelastic fields coupling on stresses distribution in three-dimensional construction elements. - Manuscript.

Thesis for the scientific degree of Candidate of Technical Science by speciality 01.02.04 - mechanics of the deformable solids. A.M. Podgorny's Institute for Mechanical and Engineering Problems NAS Ukraine, Kharkov, 2008.

The work is devoted to the development of a new F-solutions method - an effective method of coupled thermoelastic fields investigation in the elements of three-dimensional constructions, which are modeled by finite length cylinders and layer or half-layer, weakened by through-the-thickness holes. F-solutions method is used to reduce generalized coupled thermoelasticity problem to a well-known systems of singular integral equations of the second order, which are reduced to the systems of linear algebraic equations by modern mechanical quadrature method. Effective numeric schemes and software has been developed and used to solve the problems of thermoelastic coupling influence on frequency-amplitude characteristics of finite cylinders and dynamic stresses concentration in a layer and half-layer, weakened by through-the-thickness holes. Necessity of using generalized coupled model has been shown for materials with a high valued coupling coefficient.

Key words: coupled thermoelasticity problem, coupling coefficient, F-solutions, system of singular integral equations, layer with a hole, finite cylinder, dynamic stresses concentration, amplitude-frequency characteristic.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Послаблені отворами плити та суцільні циліндри скінченної довжини є важливими елементами в сучасному машинобудуванні, тому задачі дослідження їх на міцність актуальні на сьогодні. Зазвичай дані конструктивні елементи працюють під дією механічних або температурних навантажень, що спричиняє необхідність використання моделі зв'язаної термопружності для поліпшення точності розрахунків їх на міцність. Незважаючи на значну кількість робіт, присвячених даній проблематиці, математичні труднощі, викликані взаємозв'язком термомеханічних полів та врахуванням часу теплової релаксації, постійно змушують дослідників шукати нові та вдосконалювати існуючі методи розв'язування граничних задач термопружності. Таким чином, розвиток і модифікація одного з основних сучасних підходів для розв'язання граничних задач пружності та зв'язаної термопружності (методу Ф-розв'язків) є актуальними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження пов'язані з науково-дослідними роботами (НДР), які проводилися на кафедрі прикладної математики і механіки Сумського державного університету Міністерства освіти і науки України під керівництвом проф., д. ф.-м. н Л.А. Фильштинського і фінансувалися Міністерством освіти і науки України: «Тривимірні граничні задачі електромагнітопружності і споріднені їм проблеми математичної фізики» (ДР № 0103U000767) за період 2003-2005 рр., «Граничні задачі некласичних моделей теплопровідності і термопружності для ізотропних і анізотропних тіл» (ДР № 0106U001943) за період 2006-2008 рр.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є поширення методу Ф-розв'язків на просторові задачі теорії зв'язаної термопружності та його застосування до побудови розв'язків граничних задач для багатозв'язних циліндричних тіл. Для досягнення сформульованої мети необхідно:

· побудувати кососиметричні однорідні розв'язки термопружності для пружного шару при мішаних граничних умовах на його основах;

· на базі отриманих однорідних розв'язків побудувати точний розв'язок граничної вісесиметричної задачі;

· користуючись однорідними розв'язками побудувати матриці Ф-розв'язків (сингулярних розв'язків спеціального вигляду) для шару та півшару;

· звести граничні задачі для плити та півплити (плити з отвором поблизу межі), послаблених наскрізними отворами, а також циліндра скінченної довжини, до системи одновимірних сингулярних інтегральних рівнянь та розробити процедуру чисельної реалізації побудованого алгоритму;

· провести параметричне дослідження термопружних полів у плиті та півплиті, послаблених наскрізним отвором, плиті, послабленій двома наскрізними отворами, і в циліндрі скінченної довжини, дослідити вплив зв'язаності термомеханічних полів на розподіл амплітудно-частотних характеристик та динамічну концентрацію напружень.

Об'єктом дослідження є зв'язані термопружні поля в деформівних твердих тілах.

Предметом дослідження є подальший розвиток методу Ф-розв'язків для дослідження зв'язаних термопружних полів у граничних задачах для елементів просторових конструкцій.

Методи досліджень. На основі методу Ф-розв'язків, запропонованого Л.А. Фильштинським, побудовано однорідні та Ф-розв'язки зв'язаної термопружності для кососиметричного напруженого стану термопружного шару при ковзному закріпленні його торців. Розроблений підхід спирається на структуру однорідних розв'язків зв'язаної задачі термопружності для шару при мішаних граничних умовах на його торцях. Методом Ф-розв'язків гранична задача зв'язаної термопружності для кусково-однорідного шару зведена до системи одновимірних сингулярних інтегральних рівнянь, для розв'язування якої використано метод механічних квадратур.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному:

- на основі операторного методу побудовано однорідні розв'язки зв'язаної задачі термопружності для кососиметричного напруженого стану шару при ковзному закріпленні його торців, яка спрощує схему О.І. Лур'є;

- уперше на основі однорідних розв'язків отримано точні чисельні розв'язки вісесиметричних задач у вигляді рядів по циліндричних функціях для шару, послабленого наскрізним отвором, та для суцільного циліндру скінченної довжини;

- уперше побудовано матриці Ф-розв'язків задачі зв'язаної термопружності для шару та півшару;

- уперше розв'язано задачі про гармонічне та імпульсне збудження шару в рамках гіперболічної моделі теплопровідності;

- отримав свій подальший розвиток метод Ф-розв'язків у задачах теорії зв'язаної термопружності: з використанням матриці Ф-розв'язків розв'язано граничні задачі для плити та півплити, послаблених наскрізним отвором або двома отворами, а також суцільного циліндру скінченної довжини;

- уперше показано вплив зв'язаності термопружних полів на розподіл амплітудно-частотних характеристик циліндру скінченної довжини, та на динамічну концентрацію напружень у плиті та півплиті, послаблених наскрізним отвором або двома отворами різних поперечних перерізів.

Практичне значення отриманих результатів полягає в можливості досліджувати на основі побудованих однорідних розв'язків та Ф-розв'язків термопружні поля в плитах та півплитах, послаблених різнорідними технологічними або конструктивними отворами, і в циліндричних тілах скінченної довжини при мішаних умовах закріплення торців. Результати чисельних досліджень можуть бути використані в НДІ та КБ, які займаються розрахунком і проектуванням конструкцій та деталей машин із класичних та нових полімерних матеріалів з високим значенням коефіцієнту зв'язаності термомеханічних полів, а також деталей машин і будівельних конструкцій, працюючих під дією механічних та теплових навантажень. Результати розрахунків використано при проектуванні конструкції механоскладального цеху СМНВО ім. Фрунзе, про що свідчить відповідна довідка. Також результати дисертаційної роботи використано на кафедрі прикладної математики і механіки Сумського державного університету в навчальному процесі при викладанні дисциплін «Методи моделювання фізичних полів» та «Механіка суцільного середовища», про що свідчить акт впровадження результатів дисертаційної роботи в навчальний процес.

Особистий внесок здобувача. Основні результати отримано автором самостійно. Особистий внесок дисертанта в публікації, написані у співавторстві: 1) побудовано однорідні розв'язки рівнянь зв'язаної термопружності для шару при ковзному закріпленні його торців (кососиметричний випадок) [1]; 2) побудовано матриці Ф-розв'язків для термопружного шару та півшару, основи яких ковзно закріплені, у випадку кососиметричного термопружного стану [1, 8]; 3) за допомогою Ф-розв'язків розглянуто задачі про гармонічне та імпульсне збурення термопружної плити [1, 9]; 4) за допомогою Ф-розв'язків побудовано розв'язки граничних задач зв'язаної термопружності для плити та півплити, послаблених наскрізним отвором, плити, послабленої двома наскрізними отворами, а також циліндра скінченної довжини (кососиметричний випадок) [2 - 7, 10]. Здобувачем самостійно розроблено алгоритми та створено необхідне програмне забезпечення для розв'язування даних задач, а також проведені чисельні розрахунки та аналіз отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися на Міжнародній науковій конференції «Математичні проблеми технічної механіки» (м. Дніпропетровськ, 2005 р.), на Міжнародній конференції «Актуальні проблеми прикладної математики і механіки», присвяченій 80-річчю з дня народження академіка НАН України Рвачова В.Л. (м. Харків, 2006 р.), на XVII Міжнародній науковій школі ім. академіка С.А. Христиановича «Деформація та руйнування матеріалів з дефектами та динамічні явища в гірських породах та виробітках» (м. Алушта, 2007 р.), на Міжнародній науковій конференції пам'яті академіка НАН України В.І. Моссаковського «Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій» (м. Дніпропетровськ, 2007 р.), на Міжнародній науковій конференції «Сучасні проблеми механіки та математики» (м. Львів, 2008 р.), на щорічних науково-технічних конференціях викладачів, співробітників та студентів Сумського державного університету (м. Суми, 2003 - 2008 рр.).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалася на науково-технічному проблемному семінарі Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, а також на наукових семінарах кафедри прикладної математики і механіки Сумського державного університету (м. Суми, 2006 - 2008 рр.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 10 наукових праць [1 - 10], у тому числі 5 статей у наукових журналах [1 - 5], що входять до переліку фахових видань України, та 5 матеріалів та тез конференцій [6 - 10].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, загальних висновків, двох додатків, у яких містяться акти впровадження результатів роботи (на двох сторінках), та переліку використаних джерел із 138 найменувань на 14 сторінках. Загальний обсяг дисертаційної роботи становить 132 сторінки, у тому числі 47 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи: обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету та задачі дослідження; висвітлено наукову новизну, теоретичне та практичне значення отриманих результатів; подано відомості про апробацію роботи та її зв'язок з науково-дослідними темами установи, де вона виконана; зазначено кількість публікацій, у яких висвітлено основні результати проведених досліджень, окреслено особистий внесок здобувача в публікаціях, підготовлених за участю співавторів.

У першому розділі проведено аналіз існуючого стану розвитку даної проблематики за літературними джерелами, з хронологічної точки зору досліджено процес становлення та розвитку задач зв'язаної термопружності. Розробці конкретних моделей та методів дослідження зв'язаних термопружних полів присвячено роботи Б. Болі, Дж. Уейнера, П. Седвіка, В.І. Даніловської, Е. Стернберга, Дж. Чакраворті, Р. Хетнарського, Д. Вілмза, О. Діллана, А.В. Ликова, Є.Б. Попова, М. Гуртіна, А. Піпкіна, В.Д, Купрадзе, Т.В. Бурчуладзе, В. Новацького, А.Д. Коваленка, В.Г. Андрєєва, Г.А. Кільчинської, В.І. Козлова, А.С. Зильберглейта, В.Ф. Семерака, В.Ф. Грібанова, Н.Г. Панічкіна, Р.І. Мокріка, О.Ю. Пир'єва, Ю. Такеуті, Ю. Танігави, М.П. Ленюка, Н.В. Котенко, А.С. Підстригача, Ю.М. Коляно, Е.М. Карташова, М.В. Молотова, І.Д. Кіля, П.Ю. Бородіна, М.П. Галаніна, Н.Н. Каркусти, Ю.Г. Ісполова, Ю.М. Ганделя, Е.Г. Янютіна, Ю.М. Мацевитого, Л.А. Фильштинського, С.А. Личова, Я. Сладека, В. Сладека та ін. У першому розділі також коротко описано основні методи, що використовуються при розв'язанні задач зв'язаної термопружності, охарактеризовано їх переваги та недоліки. Обґрунтовано вибір теми дисертації та методів розв'язування поставлених задач.

У другому розділі наведено основні рівняння зв'язаної динамічної задачі термопружності в загальній постановці, приведено основні типи граничних умов, відмічено нелінійність поставленої задачі. Усі співвідношення та крайові умови представлено в переміщеннях, указано, які члені рівнянь відповідають за зв'язаність полів та діапазон значень коефіцієнту зв'язаності.

Основна система рівнянь зв'язаної термопружності після виключення з неї часового множника має вигляд

(1)

де - амплітуди переміщень , температури , інтенсивностей масових сил і теплових джерел відповідно; модуль Юнга, коефіцієнт Пуассона і густина матеріалу, - коефіцієнти лінійного розширення, теплопровідності і теплоємності матеріалу; и - швидкості поширення теплових і механічних зсувних збурень; - температура тіла в початковому незбудженому стані, - час релаксації теплового потоку, - колова частота.

Амплітуди тензора напружень визначаємо за такими співвідношеннями:

(2)

де - символ Кронекера.

У задачах зв'язаної термопружності великий інтерес представляє врахування впливу зв'язаності полів на напружено-деформований стан тіла. Даний ефект характеризується коефіцієнтом зв'язаності полів, який описується співвідношенням

(3)

Діапазон значень цього коефіцієнту варіюється в межах . Для алюмінію та сталей різних марок його значення мають порядок , що дозволяє висловити припущення про незначний вплив зв'язаності полів на розподіл напружень у конструкціях із вказаних матеріалів. Але для багатьох сучасних матеріалів, таких як: полівінілформаль, полівінілбутираль, полівінілацеталь та деяких інших полімерних матеріалів альдегідних і формальдегідних груп, які широко використовуються в сучасній промисловості, значення коефіцієнту зв'язаності наближаються до максимальних. Отже, можна очікувати, що використання більш точної моделі - моделі зв'язаної термопружності при розрахунку на міцність конструкцій із вказаних матеріалів - виявить суттєві якісні та кількісні ефекти.

У третьому розділі побудовано однорідні розв'язки рівнянь зв'язаної термопружності для шару у випадку кососиметричного навантаження при ковзному закріпленні його торців. Запропонована процедура побудови однорідних розв'язків дозволяє запобігти суттєвих математичних труднощів у порівнянні з методом О.І.Лур'є.

При побудові однорідних розв'язків рівнянь (1) будемо вважати, що і . У прямолінійній декартовій системі координат розглянемо шар при наступних граничних умовах на його основах :

.(4)

З механічної точки зору ці умови відповідають ковзному закріпленню теплоізольованих торців шару. Користуючись операторним методом, інтегруємо систему (1) та, маючи на увазі лише кососиметричний випадок, остаточно отримуємо систему однорідних розв'язків задачі у вигляді:

(5)

, ,

де - метагармонічні функції, які задовольняють рівнянню Гельмгольца.

За допомогою побудованих однорідних розв'язків розглянемо вісесиметричну задачу зв'язаної термопружності для ізотропного шару, послабленого наскрізним отвором кругового поперечного перерізу (зовнішня задача), і суцільного кругового циліндра скінченної довжини (внутрішня задача) (рис. 1)

Розв'язки задачі шукаємо у вигляді рядів за відповідними циліндричними функціями. Вважаємо, що на поверхні отвору діє гармонічне навантаження, у зв'язку з чим напруження представимо у формі

.(6)

Виходячи зі структури однорідних розв'язків, напруження остаточно набувають вигляд

(7)

\

Уводимо в розгляд стандартні комплексні комбінації напружень і отримаємо граничні умови у вигляді

, (8)

Метагармонічні функції, які входять до складу виразів (5), представимо у вигляді рядів за циліндричними функціями Бесселя першого роду (для внутрішньої задачі) або Ганкеля першого роду (для зовнішньої задачі), - радіус циліндра або отвору. Оскільки розглядаємо розв'язок вісесиметричних задач, то в представленнях для метагармонічних функцій залишаються лише нульові члени ряду

(9)

Після підстановки розкладів у граничні умови отримаємо систему з чотирьох лінійних алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтів при циліндричних функціях:

(10)

Розв'язуючи цю систему аналітично, знаходимо значення невідомих коефіцієнтів при циліндричних функціях, після чого відновлюємо компоненти польових величин. Для визначення напруженого стану шару з отвором або циліндра скінченної довжини, розглянемо відносне нормальне колове напруження, яке описується співвідношеннями

(11)

Результати розрахунків будуть використані для перевірки розв'язків граничних задач.

У четвертому розділі за допомогою процедури, запропонованої проф. Л.А. Фильштинським, побудовано матриці Ф-розв'язків, що відповідають кососиметричному термопружному стану шару та півшару з ковзно закріпленими теплоізольованими торцями. Нехай уздовж відрізку розподілено зусилля або теплові джерела з амплітудами

.(12)

Тоді, враховуючи однорідні розв'язки (5), польові величини представимо у вигляді

(13)

де - температура зовнішнього середовища.

Виключаючи з (1) товщинну координату , отримаємо систему диференціальних рівнянь відносно коефіцієнтів Фур'є польових величин. Розглядаючи окремо кожен із чотирьох варіантів збудження, остаточно отримуємо матрицю Ф-розв'язків у вигляді

.(14)

До складу її компонентів, які не приводяться з причини їх громіздкості, входять циліндричні функції Ганкеля першого роду.

Для півшару маємо такі граничні умови на бічній поверхні :

або (15)

Перші умови в (15) відповідають покриттю границі півшару діафрагмою, жорсткою у своїй площині та рухливою в перпендикулярній, а другі - ковзному закріпленню границі півшару.

Користуючись матрицями Ф-розв'язків для шару, запишемо матриці Ф-розв'язків для півшару у вигляді

, (16)

При маємо шар та півшар з граничними умовами першого або другого типу відповідно. Величини відповідають матриці Ф-розв'язків для основного джерела, - для відбитого джерела.

З використанням отриманих матриць Ф-розв'язків розглянуто задачі про гармонічне та імпульсне збудження термопружного шару.

Розглянемо випадок, коли вздовж відрізку у напрямку вісі діє навантаження, розподілене вздовж координати за законом:

.(17)

Коефіцієнти Фур'є функції , що фігурує в (17), обчислюються за формулою

(18)

Користуючись матрицею Ф-розв'язків (13) та формулами (2), можемо записати стандартні комбінації напружень і обчислити амплітуди напружень .

На рис. 2 представлена залежність величини від відстані між точкою спостереження та джерелом збуджень для полістиролу при півтовщині шару . Криві 1, 2 відповідають значенням і відповідно, при цьому мали на увазі, що час теплової релаксації . Крива 3 відповідає значенням і .

Тепер розглянемо випадок зосередженого збурення шару прямокутним імпульсом, розподіленим уздовж відрізка . Просторову інтенсивність об'ємних сил та теплових джерел представимо у вигляді

(19)

Вектори переміщень і температуру запишемо у вигляді відповідних рядів Фур'є. Виключаємо із системи (1) товщинну координату та застосовуємо до неї одностороннє перетворення Фур'є за часом. Припускаємо, що , а інтенсивність об'ємної сили у напрямку осі задається співвідношенням

(20)

де - висота прямокутного імпульсу, - його тривалість, - одинична функція Хевісайда.

Виконуючи обернене перетворення Фур'є, отримаємо остаточно хвильові поля переміщень і температури у вигляді

(21)

де компоненти матриці Ф-розв'язків визначаються формулами (14).

На рис. 3 показано характер зміни відносної величини за часом у точці і при для полістиролу. Слід відзначити новий ефект, який полягає в наступному: в околі дії носія зосередженого функціоналу головна асимптотика напружень і температури залежить від частоти збурень. Цей ефект не спостерігається в класичній моделі термопружності. У дисертаційній роботі подано більш детальні графіки, що відповідають моменту початку та закінчення дії імпульсу, і результати розрахунків переміщень за умови дії «майже дельта-подібного» імпульсу.

Також матриці Ф-розв'язків (13) і (15) будуть використані для побудови розв'язків відповідних граничних задач.

У п'ятому розділі розглянуто кососиметричний термопружний стан плити та півплити, послаблених наскрізними вздовж товщинної координати отворами, а також суцільного циліндра скінченної довжини. Основи плити ковзно закріплені, а на поверхні отвору виконується умова теплообміну з навколишнім середовищем за законом Ньютона. Даний тип задач виник при проектуванні конструкції механоскладального цеху № 4 СМНВО ім. Фрунзе (рис. 4). Шар, послаблений наскрізним отвором або двома отворами, є моделлю товстих плит, позначених на рис. 4 номерами 1, 2 та 3, послаблених технологічними отворами. Частина отриманих автором результатів здобула практичне застосування, що підтверджується відповідною довідкою.

Користуючись відповідними Ф-розв'язками (14), введемо інтегральні представлення польових величин у вигляді згортки матриці Ф-розв'язків з компонентами вектора переміщень і температури

,(22)

де - «щільності», які треба визначити, - контур поперечного перерізу отвору або циліндра.

Нехай на поверхні циліндра або отвору задані нормальна та дотична компоненти вектора напружень, а тепловий потік задовольняє умові теплообміну з навколишнім середовищем за законом Ньютона. Виконуючи операцію граничного переходу в комбінаціях напружень, отримуємо систему одновимірних сингулярних інтегральних рівнянь першого роду на контурі отвору або циліндра

.(23)

Ядра інтегральних рівнянь не подаються з причини їх об'ємності. Користуючись представленнями (22), введемо нормальне колове напруження на контурі отвору у вигляді

, ,

,(24)

Дотичне переміщення на бічній поверхні має вигляд

, ,(25)

Ядра інтегралів у (24) та (25) також не подаються в силу їх об'ємності.

Система сингулярних інтегральних рівнянь була зведена до системи лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою методу механічних квадратур. Потім за знайденими із системи «щільностями» відновлювалися компоненти вектора переміщень і температура, розраховувалися динамічна концентрація напружень у плиті з отвором та амплітудно-частотні характеристики скінченних циліндрів.

У підрозділі 5.3 проведено чисельне дослідження зв'язаних хвильових термопружних полів у елементах просторових конструкцій на основі розробленого алгоритму, який реалізувався самостійно розробленою автором програмою на мові алгоритмічного програмування Fortran F90.

У пункті 5.3.1 розглядався напружено-деформований стан товстої плити, послабленої наскрізним вздовж осі отвором достатньо довільного поперечного перерізу, яка знаходиться під дією механічних і температурних навантажень. Необхідність дослідження динамічної концентрації напружень у таких тілах виникла при проектуванні й розрахунку на міцність елементів конструкції нового механоскладального цеху № 4 (рис. 4) Сумського машинобудівного науково виробничого об'єднання ім. Фрунзе. Плити, послаблені технологічними отворами різних форм, планувалося використовувати в якості складових елементів міжрівневих перекриттів (плити позначено на рис. 4 номерами 1 і 2).

Параметризація контуру отвору задається співвідношеннями

,(26)

.

Перша формула в (26) застосовується для колових, еліптичних та квадратних контурів (квадрат з округленими кутами). При цьому для кола маємо , для еліпсу - , для квадрату - , . Друга формула в (26) використовується для контурів трикутного поперечного перерізу (трикутник з округленими кутами), причому .

На рисунках 5 - 6 представлено результати розрахунків величини , яка фігурує у формулах (24), за умови, що на тіло діє гармонічно змінний у часі нормальний тиск з амплітудою, розподіленою за законом . Пунктирні лінії відповідають зв'язаній задачі, суцільні - незв'язаній. Таким чином демонструється вплив ефекту термомеханічної зв'язаності на динамічну концентрацію напружень. Результати, наведені на рис. 5 та 6 відповідають плиті з полівінілбутиралю (коефіцієнт зв'язаності полів ), послабленої коловим та квадратним отвором при . Точками на рис. 5 нанесено точний розв'язок, отриманий у розділі 3. Із рисунків видно, що для плити з полівінілбутиралю результати розрахунків для зв'язаної та незв'язаної задачі відрізняються якісно в сторону збільшення амплітуд. Зі зростанням частоти збудження криві поступово зближуються до майже повного співпадіння.

У дисертаційній роботі подано результати розрахунків плит з полівінілбутиралю та сталі, послаблених коловими, квадратними, еліптичними та трикутними наскрізними отворами різних розмірів. Результати розрахунків для плит зі сталі показують відсутність різниці між зв'язаною та незв'язаною задачами, що відповідає очікуванням та пояснюється низьким значенням коефіцієнту зв'язаності полів у сталі, у той час, як для полівінілбутиралю на всіх рисунках вплив зв'язаності полів простежується виразно.

У пункті 5.3.2 наведено результати розрахунків амплітудно-частотних характеристик суцільних циліндрів скінченної довжини. Такі циліндри є моделлю опор будівельних та машинобудівельних конструкцій, катків роликових підшипникових механізмів і т.д. Дослідження амплітудно-частотних характеристик цих тіл є важливою з практичної точки зору задачею, оскільки сприяє підвищенню надійності складених з них механізмів і конструкцій.

хвильовий термопружний амплітудний циліндр

На рис. 7 - 8 представлено результати розрахунків величини з формули (24) за умови, що на тіло діє гармонічно змінний у часі нормальний тиск з амплітудою, розподіленою за законом . Рис. 7 відповідає коловому циліндру при , точками позначено точний розв'язок. Рис. 8 побудований для квадратного циліндра при . На рис. 9 представлено результати розрахунків для задачі про скручування квадратного циліндричного тіла () у випадку дії на нього змінного в часі за гармонічним законом дотичного напруження з амплітудою, розподіленою за співвідношенням . При цьому розраховувалася величина , що фігурує в формулах (25). Усі результати на рис. 7 - 9 наведено для полівінілбутиралю, суцільні лінії відповідають незв'язаній задачі, пунктирні - зв'язаній. На графіках вплив зв'язаності полів простежується виразно, спостерігається помітне зміщення власних частот при збільшенні відносного хвильового числа, у той час як форма кривих та амплітудні значення суттєво не змінюються.

У дисертаційній роботі подано багато результатів розрахунків амплітудно-частотних характеристик скінченних циліндрів з полівінілбутиралю та сталі при різних геометричних формах та характеристиках указаних тіл.

У пункті 5.3.3 наведено результати розрахунків для плити, послабленої поблизу межі наскрізним отвором (півплити), модель якої подано на рис. 10, де - відстань від границі плити до отвору.

Інтегральні представлення польових величин вводимо як згортку матриці Ф-розв'язків для півшару (16) з компонентами простого шару. У результаті чисельного експерименту було досліджено динамічну концентрацію напружень для плити з отвором поблизу межі, подано результати розрахунків для півплити з полівінілбутиралю, послабленої коловим та квадратним наскрізними отворами при різних геометричних параметрах отворів та граничних умовах на межі . Порівняння результатів з отриманими раніше для плити, підводить до висновку, що при малих частотах графіки практично співпадають за формою, однак спостерігається певна осциляція, викликана наявністю відбитих від границі півплити хвиль. Зі збільшенням відносного хвильового числа відмінність між результатами зростає, однак вплив зв'язаності спостерігається виразно в зміщенні пікових частот та збільшенні амплітуди для зв'язаної задачі в порівнянні з незв'язаною.

У пункті 5.3.4 розглядався напружено-деформований стан товстої плити, послабленої двома наскрізними вздовж осі отворами, яка знаходиться під дією механічних і температурних навантажень та є моделлю товстої плити перекриття цеху, позначеної номером 3 на рис. 4. Відстань між отворами дорівнює . Інтегральні представлення польових величин та система інтегральних рівнянь задачі зберігають вигляд (22) та (23) відповідно. У даних формулах під контуром інтегрування слід розуміти об'єднання контурів поперечних перерізів отворів із загальною границею без точок самоперетину, тобто . На рис. 11 зображено результати розрахунків для плити з полівінілбутиралю, послабленої двома еліптичними отворами (). Суцільні лінії відповідають незв'язаній, а пунктирні - зв'язаній задачі, відстань між отворами приймалася . У роботі наведено велику кількість розрахунків для плит з полівінілбутиралю та сталі, послаблених отворами різних форм і розмірів. Відзначено, що для плит з полівінілбутиралю вплив зв'язаності полів простежується виразно, геометричні параметри плити та отворів можуть як збільшувати його, так і зменшувати. Для сталі графіки зв'язаної та незв'язаної задач не відрізняються. З точки зору підвищення міцності конструкцій доцільно вибирати два колових або близьких до них за параметрами еліптичних отвори.

У додатках А і Б наведено довідку про використання результатів дисертаційної роботи в машинобудуванні, а також акт упровадження результатів роботи в навчальний процес.

ВИСНОВКИ

У даній дисертаційній роботі розроблено та узагальнено нові методи розв'язування зв'язаних динамічних задач термопружності для просторових кусково-однорідних тіл (кососиметричний випадок), а також показано вплив зв'язаності термомеханічних полів на напружено-деформований стан плити, послабленої наскрізним отвором, і циліндру скінченної довжини при ковзному закріпленні торців.

Основні результати, отримані в роботі, такі:

1. За допомогою операторного методу побудовано однорідні розв'язки задачі зв'язаної термопружності для шару при ковзному закріпленні теплоізольованих його торців.

2. Базуючись на однорідних розв'язках, отримано точні чисельні розв'язки граничних вісесиметричних задач у замкненому вигляді.

3. Уперше побудовано матриці Ф-розв'язків, що відповідають кососиметричному термопружному стану шарнірно-опертого шару та півшару з теплоізольованими основами.

4. Уперше розв'язано задачі про гармонічне та імпульсне збурення термопружного шару, виявлено відмінності від класичної параболічної моделі теплопровідності.

5. Методом інтегральних рівнянь побудовано систему одновимірних сингулярних інтегральних рівнянь граничної задачі зв'язаної динамічної термопружності для шару та півшару, послаблених наскрізним отвором, а також для циліндра скінченної довжини. Розроблено схему чисельної реалізації отриманого теоретичного алгоритму, з використанням якої досліджено вплив зв'язаності термомеханічних полів на динамічну концентрацію напружень у плиті та півплиті, а також на амплітудно-частотні характеристики скінчених циліндрів.

6. Достовірність отриманих результатів підтверджується добрим співпадінням результатів чисельних розрахунків граничних задач для колових контурів з результатами точного розв'язку вісесиметричних задач.

7. Практичне значення отриманих результатів полягає в можливості їх використання при розрахунках та проектуванні елементів просторових конструкцій, таких як плит, послаблених наскрізними отворами, та циліндричних тіл з матеріалів, яким притаманні високі значення коефіцієнту зв'язаності термомеханічних полів.

8. Результати дисертаційної роботи використано при проектуванні конструкції механоскладального цеху СМНВО ім. Фрунзе та впроваджено в навчальний процес підготовки бакалаврів та спеціалістів по спеціальності «Прикладна математика» Сумського державного університету, про що свідчать відповідні довідки.

ОПУБЛІКОВАНІ ПРАЦІ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Фильштинський Л. Зв'язані термопружні поля в шарі при зосереджених збудженнях (кососиметричний розв'язок) / Фильштинський Л., Бондар О. // Машинознавство. - 2004. - №6 (84). - С. 30 - 38.

2. Фильштинський Л.А. Дослідження спектрів власних частот скінчених циліндрів при скручуванні (кососиметричний розв'язок) / Фильштинський Л.А. Бондар О.В. // Машинознавство. - 2006. - №4. - С. 20 - 25.

3. Фильштинский Л.А. Влияние связанности механических и температурных полей на амплитудно-частотные характеристики цилиндра / Фильштинский Л.А., Бондарь А.В. // Прикладная механика. - 2006. - Т. 42, № 10. - С. 86 - 95.

4. Фильштинський Л.А. Динамічна кососиметрична задача зв'язаної термопружності для шару з отвором / Фильштинський Л.А., Бондар О.В. // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2007. - Т. 43, № 6. - С. 5 - 13.

5. Фильштинский Л.А. Задача связанной термоупругости для полуслоя с туннельной полостью (кососимметричный случай) / Фильштинский Л.А., Бондарь А.В. // Прикладная механика. - 2008. - Т 44, № 10. - С. 28-36.

6. Бондарь А.В. Точное решение динамической связанной задачи термоупругости (кососимметричный случай) / Бондарь А.В. // Міжнародна наукова конференція «Математичні проблеми технічної механіки», Дніпропетровськ. - 2005. - С.71.

7. Фильштинский Л.А. Неклассические пространственные задачи связанной термоупругости / Фильштинский Л.А., Бондарь А.В. // Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», Харьков. - 2006. - С. 100.

8. Бондарь А.В. Пространственная неклассическая задача термоупругости для полуслоя с полостью / Бондарь А.В., Фильштинский Л.А. // Материалы МНТК памяти академика В.И. Моссаковского «Актуальные проблемы механики сплошной среды и прочности конструкций», Днепропетровск. - 2007. - С. 142-144.

9. Ковалев Ю.Д. Некоторые динамические задачи теории упругости и связанной термоупругости для изотропного слоя / Ковалев Ю.Д., Бондарь А.В. Мизина Т.Л. // Материалы XVII Международной научной школы им. академика С.А. Христиановича «Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках», Алушта. - 2007. - С. 137-140.

10. Фильштинський Л. Дослідження зв'язаних хвильових термопружних полів у багатозв'язних циліндричних тілах / Фильштинський Л., Бондар О., Молдаванова Н. // Матеріали ІІ МНК «Сучасні проблеми механіки та математики», Львів. - Т. 2. - С.221 - 222.

Размещено на Allbest.ru

...