Двовимірний напружений стан тіл із тонкими структурними елементами

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

УДК 539.3

01.02.04 - механіка деформованого твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ДВОВИМІРНИЙ НАПРУЖЕНИЙ СТАН ТІЛ ІЗ ТОНКИМИ СТРУКТУРНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ

Пастернак Ярослав Михайлович

Львів - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Луцькому національному технічному університеті Міністерства освіти і науки України та Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Сулим Георгій Теодорович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри механіки.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Михаськів Віктор Володимирович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАНУ, провідний науковий співробітник;

доктор фізико-математичних наук, професор Попов Всеволод Геннадійович, Одеська національна морська академія, завідувач кафедри вищої математики.

Захист відбудеться “9” грудня 2009 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

Автореферат розіслано “2” жовтня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор фізико-математичних наук, професор О.В. Максимук



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасні конструкції та механізми дуже часто містять елементи, один із характерних розмірів яких значно менший від решти. Це різноманітні оболонки, пластини, стрижні, а також різьбові з'єднання, у яких розміри нарізів значно менші від розмірів самого тіла. Поширеними є й тонкостінні дефекти однорідної будови матеріалів, зокрема, щілини, оксидні плівки, сульфідні та графітові включення в металах, різноманітні заповнені газом, рідиною чи твердою субстанцією порожнини, а також інші неоднорідності, що виникають під час виробництва та обробки матеріалів, у тому числі й конструкційних. Тонкостінними включеннями є також: різноманітні підкріплювальні елементи; заповнення після заліковування щілин; впроваджені всередину масивних конструкцій термо- і тензодавачі; волокна та плівки композиційних матеріалів; продукти фазових перетворень, хімічних реакцій (корозії), у тому числі й на межах поділу матеріалів. Усі такі дефекти породжують істотну концентрацію напружень, яка, сприяючи розвиткові пластичних знакосталих і знакозмінних деформацій та пошкоджень, може зумовити руйнування матеріалу.

Саме тому проектування та розрахунок сучасних матеріалів і конструкцій неможливий без урахування впливу наявних тонких елементів. У випадку тіл складної конфігурації підходи специфічних теорій, зокрема, й методу функцій стрибка теорії тонких включень, стають дуже громіздкими та малопридатними для застосування. Тому для визначення напружено-деформованого стану найзручніше скористатися аналітично-числовими і прямими числовими методами. Тим більше, що вони доволі гнучкі, універсальні й придатні для легкого переналаштування на вивчення об'єктів різної форми та розмірів. Однак застосування до аналізу тіл із тонкими елементами геометрії та структури традиційних схем прямих числових методів пов'язане із великими ускладненнями, спричиненими, зокрема, появою у цьому випадку поганої обумовленості результуючих систем алгебричних рівнянь. Через це отримані за їхньою допомогою розрахункові дані не можна вважати вірогідними, передусім поблизу концентраторів напружень, а достовірне визначення коефіцієнтів інтенсивності напружень та інших параметрів, які дають можливість оцінити граничний стан конструкційного елемента з позицій механіки руйнування, взагалі є доволі проблематичним.

Тому розробка спеціальних засобів аналітично-числового й числового аналізу напружено-деформованого та граничного станів тіл із тонкими елементами геометрії та структури є на часі. У зв'язку із цим сформульована тема дисертаційного дослідження є актуальним із погляду теоретичного та практичного застосування науковим завданням.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалася в межах наукових бюджетних тем „Методика розрахунку напружено-деформованого стану кріплень гідротурбін з урахуванням експлуатаційних дефектів” № д/р 0107U005517 (2007-2009 рр.) в рамках комплексної програми наукових досліджень НАН України „Проблеми ресурсу і безпеки експлуатації конструкцій, споруд і машин” („РЕСУРС”) та „Розробка методів розрахунку криволінійних траєкторій поширення втомних тріщин в елементах конструкцій та способів уповільнення їх руху” № д/р 0107U000230 (2007-2009 рр.) Луцького національного технічного університету.

Метою дослідження є розробка математичних моделей та засобів аналізу двовимірного (плоского, антиплоского та осесиметричного) напружено-деформованого та параметрів оцінювання граничного станів пружних тіл із тонкими елементами геометрії та структури матеріалу. Досягнення мети передбачає вирішення таких завдань:

розробити на основі методів конформних відображень та інтегральних рівнянь схему розв'язування плоскої задачі теорії пружності тіл із включеннями, зокрема, тонкими;

розробити засоби регуляризації схеми методу граничних елементів, придатні для аналізу тонких елементів структури кусково-однорідних тіл;

порівняти відомі обчислювальні схеми із запропонованими та дати рекомендації щодо вибору оптимальних обчислювальних схем;

опрацювати методи ефективного обчислення J-, M_інтегралів та класичних і узагальнених коефіцієнтів інтенсивності напружень (УКІН), а також наступних членів асимптотичних розвинень напружень біля тонких неоднорідностей; напружений деформований тіло осесиметричний

здійснити аналіз прикладів розрахунку скінченних та необмежених тіл із тонкими елементами, особливо включеннями (плоска, антиплоска і осесиметрична задачі), а також різьбових з'єднань методами граничних і скінченних елементів; виявити нові закономірності, зокрема, щодо впливу розмірів тіл;

з'ясувати умови застосовності принципу поліноміальної консервативності до тіл скінченних розмірів та специфіку механічної інтерпретації інтегралів енергії для тіл із тонкими жорсткими включеннями.

Об'єктом дослідження є однорідні та кусково-однорідні ізотропні й анізотропні тіла з тонкими елементами геометрії та структури матеріалів.

Предметом дослідження є плоский, антиплоский та осесиметричний напружено-деформовані стани та параметри оцінювання граничного стану (коефіцієнти концентрації та інтенсивності напружень, T_напруження і ін.) ізотропних та анізотропних пружних тіл із тонкими елементами геометрії та структури, зокрема, тонкими пружними включеннями і щілинами (тріщинами).

Методи дослідження. Для досягнення поставленої мети використані загальні співвідношення теорії пружності та механіки руйнування; метод граничних елементів для розв'язування систем граничних інтегральних рівнянь; інваріантні J_ та М_інтеграли; метод найменших квадратів для визначення параметрів оцінювання граничного стану тіл із дефектами; метод скінченних елементів для додаткової верифікації результатів.

Наукова новизна отриманих результатів полягає у наступному:

на основі методів рядів та інтегральних рівнянь запропоновано аналітично-числовий метод визначення у плоскій задачі напруженого стану тіл із включеннями довільної форми, зокрема, й тонкими;

спираючись на отримані розв'язки, досліджено ефективність застосування класичного методу граничних елементів (МГЕ) до задач про включення за різного способу обчислення сингулярних інтегралів і типу використаних граничних елементів;

для плоскої ізотропної та антиплоскої анізотропної задач теорії пружності розроблено регуляризаційний підхід для усунення майже-сингулярних інтегралів, що виникають під час числового дослідження методами крайових інтегральних рівнянь тіл із тонкими елементами геометрії та структури;

отримано саморегуляризовні інтегральні рівняння осесиметричної задачі теорії пружності стосовно переміщень та напружень, які повністю усувають також і негативний ефект примежового шару;

для оцінювання параметрів граничного стану тіл із тонкими пружними включеннями запропоновано використовувати енергетичні інтеграли на основі виявленого зв'язку J- та М_інтеграла з УКІН; у зв'язку з цим розроблено методи домінуючих УКІН та інтеграла взаємодії;

обґрунтовано фізичний зміст J_інтеграла як швидкості звільнення енергії при „зростанні” дефекту (солідифікації та десолідифікації прифронтової зони) для випадку тонкого пружного включення;

на основі методу найменших квадратів побудовано розрахункові схеми визначення УКІН і T_напружень шляхом апроксимації поля напружень у зоні інтенсивності напружень;

розглянуто двовимірні задачі для обмежених та необмежених тіл із тонкими прямолінійними та викривленими включеннями; оцінено похибки застосування принципу поліноміальної консервативності до тіл скінченних розмірів із еліптичними включеннями;

здійснено аналіз концентрації напружень у різьбовому з'єднанні за осьового навантаження та запропоновано зручну для обчислення концентрації напружень формулу, що враховує радіус заокруглення впадин та коефіцієнт тертя ковзання у різьбовому з'єднанні; подано оцінку КІН для поверхневих тріщин у впадинах витків різьби.

Достовірність отриманих результатів забезпечується: коректним застосуванням математичного апарату і апробованих рівнянь теорії пружності; використанням при розв'язуванні запропонованих інтегральних рівнянь відомих числових методів і розрахункових схем (МГЕ, МСЕ); контрольним розв'язуванням добре вивчених задач; зіставленням отриманих результатів із відомими частковими розв'язками.

Практичне значення отриманих результатів. Запропоновані підходи можуть бути використані при розрахунку міцності та надійності конструкцій з тонкими елементами; числовому визначенні параметрів оцінювання граничного стану тіл із дефектами типу тонких пружних включень; оцінці надійності відповідальних конструкцій; проектуванні стрічкових та платівкових композитів, різьбових з'єднань матеріаломістких і відповідальних конструкцій.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основний зміст дисертації викладено в 22 наукових працях, серед яких 5 статей у виданнях, що входять у перелік ВАК для фізико-математичних наук ([1-5]), 5 статей у виданнях, що входять у перелік ВАК для технічних наук ([6-10]), 1 стаття [11] у закордонному міжнародному журналі з філадельфійського списку, 11 тез і матеріалів конференцій.

Усі основні результати дисертації отримані автором самостійно. У публікаціях, написаних у співавторстві, дисертанту належать такі наукові результати. У роботах [6-8, 12, 13] дисертант брав участь у постановці задачі та обговоренні результатів, отримав розв'язок задачі та здійснив її числовий аналіз. У працях [2, 4, 11, 14-16] дисертант брав участь у формулюванні задачі, обговоренні результатів, особисто здійснив усі аналітичні перетворення й обчислення та отримав регуляризовні інтегральні рівняння. У роботах [1, 3, 17, 18] дисертант брав участь у постановці задачі та формулюванні висновків, отримав зв'язок інваріантних інтегралів з узагальненими коефіцієнтами інтенсивності напружень та розробив методи декомпозиції останніх, здійснив числовий аналіз задач. У працях [19, 20] дисертанту належить числовий аналіз задач, участь у їхньому формулюванні та обговоренні результатів. У роботах [5, 9, 10, 21] дисертанту належить побудова розрахункових схем, числовий аналіз та участь у постановці задачі та формулюванні висновків. Результати, опубліковані у праці [22], отримані дисертантом особисто. Співавтори брали участь у постановці задач, обговоренні результатів та формулюванні висновків. Науковий керівник, окрім того, формулював напрями наукових досліджень та здійснював загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Основні матеріали роботи доповідалися та обговорювалися на VII Міжнародній науковій конференції „Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 2006); IV Міжнародному симпозіумі „Механіка руйнування матеріалів і конструкцій” (Польща, Білосток, 2007); VII Українсько-польському науковому симпозіуму „Актуальні задачі механіки неоднорідних структур” (Львів, 2007); Відкритій науково-технічній конференції молодих науковців і спеціалістів ФМІ НАН України „Проблеми корозійно-механічного руйнування, інженерія поверхні, діагностичні системи” (Львів, 2007); VII Міжнародному симпозіумі „Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій” (Київ, 2007); II Міжнародній науковій конференції „Сучасні проблеми механіки та математики” (Львів, 2008); VI Міжнародній науково-технічній конференції „Техніка і технологія складання машин” (Польща, Кальниця, 2008); V Міжнародній науковій конференції „Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (Донецьк _ Мелекіно, 2008); 17-й Європейській конференції з руйнування ECF-17 (Чехія, Брно, 2008); I Міжнародній науково-технічній конференції „Теорія та практика раціонального проектування, виготовлення і експлуатації машинобудівних конструкцій” (Львів, 2008), 9-ому Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (2009), V Міжнародному симпозіумі „Механіка руйнування матеріалів і конструкцій” (Польща, Білосток, 2009), 4-й Міжнародній конференції „Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій” (Львів, 2009).

У повному обсязі дисертація доповідалася на розширеному науковому семінарі кафедри технічної механіки Луцького національного технічного університету, науковому семінарі кафедри механіки Львівського національного університету ім. Івана Франка, розширеному науковому семінарі відділу математичних методів механіки руйнування та контактних явищ ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАНУ.

Структура дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та переліку літератури. Загальний обсяг дисертації складає 195 сторінок (основна частина - 148 с.), у тому числі 84 рисунки, 4 таблиці, 249 найменувань бібліографічного списку.

Автор щиро вдячний науковому керівнику, доктору фізико-математичних наук, професору Георгію Теодоровичу Сулиму за постійну увагу та підтримку.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи; окреслено зв'язок дисертації з науково-дослідними темами; сформульовано мету та завдання досліджень; висвітлено наукову новизну, достовірність і практичне значення отриманих результатів; подано інформацію про публікації за темою дисертації та особистий внесок здобувача у них, апробацію результатів дисертації, її структуру та обсяг.

У першому розділі здійснено огляд літератури стосовно дослідження двовимірних задач теорії пружності тіл із тонкими елементами геометрії та структури, зокрема, тонкими пружними включеннями і щілинами. Теоретичного та експериментального дослідження такого типу задач стосуються роботи В.М. Александрова, О.Є. Андрейківа, Н.Х. Арутюняна, Л.Т. Бережницького, М.І. Бобира, В.В. Божидарніка, Д.В. Гриліцького, В.Т. Грінченка, В.С. Гудрамовича, О.М. Гузя, А.П. Зіньковського, О.Є. Євтушенка, С.О. Калоєрова, Г.С. Кіта, В.І. Кир'яна, Я.І. Кунця, Р.М. Кушніра, А.О. Лебедєва, О.М. Лінькова, В.В. Лободи, В.М. Максимовича, Р.М. Мартиняка, В.В. Мелешка, В.В. Михаськіва, О.Б. Мовчана, В.В. Можаровського, М.Ф. Морозова, В.К. Опанасовича, В.А. Осадчука, В.І. Острика, В.В. Панасюка, Я.С. Підстригача, В.Г. Попова, Г.Я. Попова, М.П. Саврука, Я.Г. Савули, В.С. Саркісяна, М.М. Стадника, М.Г. Стащука, В.П. Силованюка, Г.Т. Сулима, А.О. Сяського, А.Ф. Улітка, Л.А. Фільштинського, П.О. Фомічова, М.В. Хая, М.Г. Чаусова, Г.П. Черепанова, П.В. Яснія, I.M. Allison, F. Dal Corso, J.D. Eshelby, E.E. Gdoutos, L.C. Hollaway, G.J. Davies, M. Fujiwara, T.F. MacLaughlin, D.M. Shuster, E. Scala, W.R. Tyson, G.C. Sih та інших вчених. Особливу увагу в огляді приділено застосуванню прямих числових методів, а саме методу граничних елементів, як одного з ефективних підходів дослідження лінійних задач теорії пружності, для визначення напружено-деформованого стану тіл із тонкими елементами геометрії та структури. Зокрема, розглянуто праці А. Казберука, В.В. Панасюка, М.П. Саврука, E. Berger, T.A. Cruse, D. Elliott, K. Hayami, P.R. Johnston, Y.J. Liu, J.F. Luo, J.C.F. Telles, W. Ye та ін., що стосуються обчислення майже-сингулярних (квазісингулярних) інтегралів та усунення ефекту примежового шару. Також приділено увагу роботам, що стосуються визначення параметрів оцінювання граничного стану за знайденим числовим розв'язком шляхом обчислення енергетичних інтегралів, екстраполяції поля напружень та ін. Зазначене місце дисертаційної роботи в даній проблематиці.

У другому розділі подано основні співвідношення двовимірних (антиплоска, плоска та осесиметрична) задач теорії пружності, відповідні інтегральні рівняння і числову схему розв'язування останніх методом граничних елементів (МГЕ). Розглянуто асимптотичні поля напружень і переміщень в околі торця тонкого пружного включення, узагальнені коефіцієнти інтенсивності напружень (УКІН) та відповідні області, пов'язані із зовнішнім та внутрішнім асимптотичними розвиненнями.

Третій розділ складається з п'яти підрозділів і стосується визначення напружено-деформованого стану тіл із тонкими структурними елементами. У першому підрозділі комбінуючи методи рядів, конформних відображень та інтегральних рівнянь розроблено алгоритм розв'язування плоских задач теорії пружності для необмеженого середовища із пружним включенням практично довільної форми, придатний також для дослідження тіл із тонкими включеннями. Комплексні потенціали для включення записані у вигляді скінченних сум рядів

, , (1)

а відповідні потенціали для матриці визначено із інтегральних рівнянь за умови рівності векторів зусиль, що передаються через межу з боку включення та матриці. Невідомі комплексні сталі та в (1) визначено із умови рівності перших гармонік для переміщень межі включення та матриці у відображеній на одиничне коло області.

Для надійного й ефективного контролю точності розв'язку як параметр використано міру задовольнення крайових умов на переміщення на межі включення-матриця

, (2)

де , .



З'ясовано, що вже відносно невеликої кількості членів () розвинень (1) комплексних потенціалів для включення достатньо для доволі точного (похибка менше 2 %) опису його напружено-деформованого стану. У випадку включення еліптичної форми розроблений алгоритм дає обумовлений принципом поліноміальної консервативності точний аналітичний розв'язок задачі.

Докладно розглянуто поле напружень, зумовлене тонким включенням, близьким за формою до прямокутного (рис. 1).

Зокрема, досліджено зміну рівня інтенсивності дотичних напружень , що є однією з мір опору матеріалу пластичному деформуванню. На безмежності рівномірно розподілене навантаження спрямоване паралельно до осі включення. У податному включенні інтенсивність дотичних напружень фактично не змінюється у поперечному напрямі і плавно зменшуються від центра до торця. Це означає, що пластичне деформування такого включення розпочнеться у його центральній частині. Абсолютно протилежна картина спостерігається для дуже жорсткого включення (для відносної жорсткості відповідні графіки зображено на рис. 1) - з віддаленням від його центра дотичні напруження різко збільшуються і досягають свого максимуму на торцях. Також добре помітна неоднорідність останніх у поперечному напрямі. Найбільша концентрація дотичних напружень матриці виникає у „кутових точках” торця. Для податного включення інтенсивність дотичних напружень у вершині згладженого прямокутного ядра є більшою, ніж для жорсткого. Характерним є те, що доволі велика концентрація величини постає і біля торця включення. На відміну від податного, поблизу торця жорсткого включення інтенсивність дотичних напружень є навіть меншою від зовнішнього навантаження .

У другому підрозділі розглянуто застосування відомих схем МГЕ до тіл із включеннями та порівняно три схеми обчислення сингулярних інтегралів у МГЕ: 1) без регуляризації сингулярних інтегралів; 2) із регуляризацією останніх; 3) із регуляризацією сингулярних інтегралів та спеціальними квадратурами для слабо сингулярних інтегралів. Досліджено вплив порядку інтерполяції крайових функцій на елементі та кількості вузлових точок на межі включення-матриця на точність обчислень (рис. 2).

З'ясовано, що недоцільно застосовувати першу схему реалізації МГЕ для дослідження концентрації напружень біля тонких пружних включень з ділянками великої зміни кривини межі розділу матеріалів, оскільки похибка досить велика, а у деяких випадках розв'язок навіть починає осцилювати, що не дає підстав розраховувати на виявлення тенденції до підвищення достовірності отриманих результатів зі збільшенням . Доцільно застосовувати другу і третю схеми (щоправда, остання вимагає окремого обчислення інтегралів із логарифмічною особливістю, що майже вдвічі збільшує обсяг обчислень), використовуючи квадратичну або кубічну інтерполяцію крайових функцій на елементі.

У третьому підрозділі розроблено регуляризаційний підхід обчислення майже-сингулярних інтегралів, що виникають під час дослідження антиплоскої деформації пружних анізотропних тіл із тонкими структурами за допомогою МГЕ. Для регуляризації використано метод накладання елементарного розв'язку задачі.

Останній вибрано у формі

, (3)

де - різниця переміщень точок та (рис. 3); - відстань між точками та ; - точка колокації на межі, в якій регуляризується сингулярний інтеграл; - найближча до точка межі, в якій виникає квазіособливість; сталі означені так:

Накладанням інтегрального подання розв'язку (3) на інтегральне рівняння задачі отримано

, (4)

де - компонента вектора напружень; , - фундаментальні розв'язки для переміщень і напружень, зумовлених дією зосередженої сили в точці безмежного пружного середовища. У рівнянні (4) регуляризовано сингулярний інтеграл. Крім того, враховано новий член , що з'являється внаслідок процедури обчислення майже-сингулярних інтегралів. У числовій схемі виявляється поправкою, що враховує тонкостінність і регуляризує майже-сингулярний інтеграл з ядром , а також може служити мірою точності побудованого розв'язку.

Для ілюстрації переваг запропонованого регуляризаційного МГЕ (РМГЕ) розглянуто задачі про тонкі еліптичні отвір та пружне стрічкове включення з центром у початку координат у безмежному циліндричному прямолінійно анізотропному тілі за однорідного всебічного зсуву на безмежності (). Відношення півосей еліпса . Для порівняння ці ж задачі розглянуто за допомогою МГЕ із регуляризацією лише сингулярних інтегралів (СМГЕ), а також із обчисленням майже-сингулярних інтегралів за допомогою нелінійної поліноміальної заміни змінних (СМГЕНЗ).

На рис. 4 зображено залежність відносної похибки трьох досліджуваних варіантів МГЕ від міри анізотропії ортотропної матриці () та відносної жорсткості включення , де - модуль зсуву матеріалу включення; - модулі податності матриці. Найкращим для податних включень серед усіх розглянутих методів виявився РМГЕ. Для відносно жорстких включень усі три розглянуті підходи мають приблизно однакову точність обчислень, оскільки домінуючими у цьому випадку є інтеграли з ядром . Зі зменшенням відносної жорсткості включення РМГЕ, у порівнянні з рештою підходів, дає можливість отримати щораз кращі результати.

У четвертому підрозділі розглянуто плоску задачу теорії пружності тіл із тонкими елементами геометрії та структури. Аналогічно до антиплоскої задачі для регуляризації сингулярних та майже-сингулярних інтегралів використано метод накладання елементарного розв'язку. Останній вибрано так:

, (5)

де ; - компоненти вектора переміщень. У результаті цієї регуляризаційної процедури отримано таке інтегральне рівняння задачі:

, (6)

де поправкова функція враховує тонкостінність області дослідження.

Розглянуті тестові задачі засвідчили високу ефективність розробленого на основі (6) регуляризаційного МГЕ. Окрім тестових, розглянуто задачу С.П. Тимошенка про симетричний згин балки під дією власної ваги та прикладених до правого і лівого кінців сил, що її піднімають. Середня частина балки лежить на жорсткій основі і перебуває під дією власної ваги та контактного тиску. Результати розв'язування задачі за уточненою моделлю згину добре узгоджуються (похибка менша за 3 %) із даними числового розв'язування задачі за допомогою МГЕ на основі рівняння (6).

У п'ятому підрозділі отримано регуляризовані інтегральні рівняння осесиметричної задачі теорії пружності стосовно переміщень

(7)

та напружень

, (8)

де ; , , , - спеціальні розв'язки задачі у формі полінома. При ядра рівнянь мають особливості ; ; ; . У рівняннях (7) та (8) регуляризовано сингулярні та гіперсингулярні інтеграли. Завдяки такій регуляризації існує границя інтегралів (7) та (8), коли , що дає можливість обчислювати переміщення та напруження у всьому тілі неперервно аж до межі, і на ній. Таким чином, рівняння (7) та (8) цілком усувають негативний ефект примежового шару, який є особливо небажаним під час обчислення параметрів оцінювання граничного стану.

Стосовно аналізу тонкостінних елементів геометрії та структури в осесиметричній задачі, то внаслідок громіздкості подібних до (4) та (6) формулювань, запропоновано користуватися методом нелінійної заміни змінних під час обчислення майже-сингулярних інтегралів.

Четвертий розділ складається з трьох підрозділів і стосується розробки підходів для визначення у двовимірних задачах параметрів оцінювання граничного стану тіл із тонкими включеннями і щілинами (тріщинами). У першому підрозділі розглянуто антиплоску деформацію пружних анізотропних тіл зі стрічковими пружними включеннями. Отримано зв'язок J_інтеграла із УКІН:

. (9)

Для пружного тіла J_інтеграл дорівнює швидкості звільнення потенціальної енергії деформованого тіла при трансляції (віртуальному переміщенні) точкової сингулярності вздовж осі розташування дефекту:

. (10)

Поширення включення можна трактувати як його збільшення чи зменшення внаслідок фазового перетворення або розм'якшення матеріалу чи відшарування, тобто трансляцію вздовж його осі однієї із вершин (фронту), що містить сингулярність поля напружень. Таким чином у зростанні (чи зменшенні) пружного включення не слід вбачати чогось протиприродного і тому, так само, як і для зростання тріщини, залежність (10) має свій фізичний сенс.

Із (9) з урахуванням домінування для жорстких включень УКІН видно, що у цьому випадку J_інтеграл, а отже, й швидкість звільнення енергії, є від'ємними. Явище, що характеризує „зростання” абсолютно жорсткого включення, слід сприймати як стверднення невеликої зони перед ним (солідифікацію). Солідифікація стягує матеріал перед включенням, тобто на таку деформацію енергія повинна витрачатися. У межах класичної теорії пружності це явище у повному обсязі описати не можна, оскільки тут суто пружні ефекти не можуть щось змінити, а повинні бути задіяні фізико-хімічні процеси, наприклад, полімеризація, фазові перетворення та ін., що вивільнюють додаткову енергію, яка компенсуватиме зміну потенціальної енергії деформованого тіла. За відсутності таких чинників енергетично вигідним є лише зменшення довжини включення (наприклад, його відшарування або розм'якшення).

Для обчислення УКІН за значенням J_інтеграла запропоновано два підходи: метод домінуючих УКІН:

(11)

та метод інтеграла взаємодії:

. (12)

У останньому підході задається множина лінійно незалежних комбінацій УКІН , допоміжної задачі, обчислюються J_інтеграли вихідної та допоміжної задач і їхньої суперпозиції , а відповідні УКІН , визначаються із отриманих значень інтеграла взаємодії за рівняннями (12).

Також для визначення УКІН і решти параметрів асимптотичного розв'язку в околі вістря тонкої неоднорідності на основі методу найменших квадратів розроблено метод апроксимації поля напружень, розрахункове рівняння якого має вигляд

, (13)

де ; ; ; ; ; ; -

напруження у вузлах апроксимації (); - вектор шуканих параметрів (УКІН та інших членів асимптотичного розв'язку); , - відомі функції, що відповідають асимптотичному розв'язку з урахуванням його перших членів.

Розглянуті числові приклади засвідчили ефективність розроблених підходів визначення УКІН. Окрім цього, вивчено залежність сталого члена асимптотичного розв'язку від відносної жорсткості тонкого пружного включення та міри анізотропії матриці. Досліджено поздовжній зсув квадратного в перерізі тіла з тонким стрічковим еліптичним у перерізі включенням із відношенням півосей 0,01. На рис. 5 зображено знайдену залежність нормованих значень УКІН від відносних жорсткості та довжини включення. Суцільні криві відповідають випадку ізотропного () тіла; штрихові - ; штрихпунктирні - .

Для сильно податних включень зменшення розмірів тіла порівняно з довжиною включення збільшує значення УКІН. Таке зростання природне, адже нетто-переріз тіла зменшується і воно утримується цілісним в основному невеликими суцільними ділянками між вершинами податного включення та межею тіла. Натомість для жорстких включень УКІН зменшується. Це стає зрозумілим, якщо розглянути граничний випадок . Йому відповідає задача зсуву призматичного стрижня із защемленим краєм, для якої коренева особливість розв'язку відсутня. Для сумірних жорсткостей включення і матриці () істотний вплив розмірів тіла на УКІН простежується лише для сильно анізотропних тіл.

У другому підрозділі розглянуто плоску задачу теорії пружності тіл із тонкими включеннями. Доведено, що для пружного включення J_інтеграл є інваріантним лише за умови замкнутості контура інтегрування, в тому сенсі, що точки початку і кінця контура повинні лежати на відповідних берегах включення і мати однакові абсциси. Отримано зв'язок J_інтеграла з відповідними УКІН:

, (14)

де - стала Мусхелішвілі; - модуль зсуву; . Декомпозицію на симетричну та антисиметричну складові здійснено за допомогою перетворень H. Kitagawa, H. Okamura, H. Ishikawa. Як і для антиплоскої деформації із (14) випливає, що для жорсткого включення енергетично вигідним за відсутності додаткових немеханічних чинників є зменшення його довжини.

Розрахункові рівняння для визначення УКІН методом домінуючих УКІН для податних включень мають вигляд

, , (15)

а для жорстких -

, . (16)

Для методу інтеграла взаємодії отримано таку залежність:

. (17)

Також розроблено відповідний підхід методу апроксимації поля напружень для визначення параметрів оцінювання граничного стану у плоскій задачі.

Розглянуто задачі визначення УКІН та інших параметрів оцінювання граничного стану для обмежених і необмежених тіл із прямолінійними та криволінійними тонкими включеннями. Подано оцінку меж застосовності принципу поліноміальної консервативності до обмежених тіл із еліптичними включеннями.

Зокрема, на рис. 6 зображено нормовані значення УКІН для тонкого викривленого уздовж дуги кола включення у їхній залежності від відносної жорсткості та піврозхилу за розтягу матриці на безмежності зусиллями , паралельними до осі симетрії включення. Суцільні лінії отримано з використанням методу апроксимації поля напружень, штрихові - домінуючих УКІН, а штрихпунктирні - інтеграла взаємодії.

Обчислені максимальні відхилення значень УКІН для від аналогічних величин для тріщини не перевищували 0,6 % для методу апроксимації поля напружень, 4,5 % для інтеграла взаємодії і 2,5 % для методу домінуючих УКІН. Отримані для результати порівнювалися з відповідними УКІН для абсолютно жорсткого включення. Максимальні відхилення не перевищували 1,8 %, 4,8 % та 2,1 % відповідно для методів апроксимації, інтеграла взаємодії та домінуючих УКІН.

З'ясовано, що вибрані у роботах на основі методу лінійного розвинення комплексних потенціалів значення апріорних торцьових сталих та неповноцінне врахування опору на згин не дають можливості із достатньою точністю оцінити УКІН , який, як це видно з рис. 6, для при від'ємний, а далі поступово збільшується і тільки за практично досягає відповідного значення для абсолютно жорсткого включення. На відміну від цього у методі лінійного розвинення комплексних потенціалів не змінює знаку і надзвичайно швидко досягає свого граничного значення.

Для оцінювання граничного стану тіл із викривленими включеннями слід також поряд з УКІН використовувати значення максимальних згинального момента та зусилля розтягу, що діють у поперечному перерізі включення. Обчислено відповідні значення для тонкого пружного включення уздовж дуги кола.

У третьому підрозділі розглянуто осесиметричну деформацію тіл обертання з тонкими пружними включеннями. Обґрунтовано можливість застосування методів визначення параметрів оцінювання граничного стану плоскої та антиплоскої задач до осесиметричної задачі. Окремо отримано зв'язок енергетичного M_інтеграла з УКІН для осесиметричної деформації:



, , (18)

де - відстань від осі обертання до фронтальної лінії дефекту.

Досліджено задачі для тонкого сфероїдного включення в обмеженій та необмеженій матриці, а також розтяг середовища із тонким куполоподібним включенням. Побудовано відповідні графіки залежностей УКІН від відносної жорсткості включення, його геометричних характеристик, а для обмежених тіл - від розмірів матриці.

У п'ятому розділі досліджено концентрацію напружень та КІН поверхневих тріщин у різьбових з'єднаннях гідроагрегатів. За допомогою регуляризованих інтегральних рівнянь (7), (8) осесиметричної задачі теорії пружності досліджено напружений стан різьбового з'єднання. Виходячи з даних числового аналізу задачі отримано таку універсальну емпіричну залежність для інженерних обчислень коефіцієнта концентрації напружень у впадинах різьби болта:

, (19)

що враховує крок різьби , радіус заокруглення впадин та коефіцієнт тертя ковзання у різьбі (важливо при урахуванні впливу змінюваного навантаження).

Для оцінювання КІН поверхневих тріщин у різьбовому з'єднанні гідротурбін запропоновано метод на основі використання калібрувальних функцій. Так на рис. 7 зображено отримані за допомогою розроблених варіантів МГЕ розподіли нормальних напружень у різьбовому з'єднанні, у смузі з півкруглим концентратором напружень та у валі з кільцевою виточкою за їхнього розтягу паралельно до осі симетрії (розміри нормовані до величини - найменшої відстані від осі симетрії чи обертання до вирізу).

Із рис. 7 видно, що характер розподілу нормальних напружень поблизу впадини різьби болта, а також у смузі чи валі з концентратором напружень подібні. Основна відмінність для болта полягає у певній асиметрії, пов'язаній з несиметричністю навантаження, що передається від фланця до різьби. З урахуванням цього використано підхід побудови калібрувальних функцій для оцінки КІН тріщин у різьбовому з'єднанні.

Методом скінченних елементів розв'язано задачу розтягу вала з поверхневою тріщиною. Виявлено форму фронту тріщини, за якої будуть найбільші КІН, а також залежність цих КІН від заглиблення фронту тріщини. Визначено КІН для вала з виточкою, що є концентратором напружень, і поверхневою тріщиною всередині концентратора. За допомогою МГЕ розв'язано плоску задача теорії пружності для смуги з крайовою тріщиною та для смуги з концентратором напружень і тріщиною та побудовано функції відношень КІН плоскої та просторової задач (калібрувальні чи кореляційні функції - функції впливу об'єму). Визначено КІН для кільцевої тріщини в стрижні (осесиметрична задача) та побудовано відношення цих КІН до КІН просторової задачі (функції впливу неосесиметричності).

За допомогою отриманих кореляційних функцій, виходячи з МГЕ-розв'язків плоскої задачі для тріщини поблизу зуба різьбового профілю та осесиметричної модельної задачі для кільцевої тріщини в різьбовому з'єднанні, отримано придатну для інженерних розрахунків оцінку КІН різьбового з'єднання з локальною поверхневою тріщиною :

(20)



для , що лежить в межах . Тут - глибина тріщини; - середній радіус болта; - осьове зусилля, прикладене до головки болта.



ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

Досягнуто мету дисертаційного дослідження: розроблено математичні моделі та засоби аналітично-числового і числового аналізу двовимірного (плоского, антиплоского та осесиметричного) напружено-деформованого та параметрів оцінювання граничного станів пружних тіл із тонкими елементами геометрії та структури. Основні наукові результати та висновки є такими:

На основі методів рядів та інтегральних рівнянь запропоновано аналітично-числовий метод визначення напруженого стану тіл із пружними включеннями довільної форми, зокрема, тонкими. Спираючись на отримані розв'язки розглянуто ефективність застосування класичного МГЕ до задач про включення за різного способу інтегрування сингулярних інтегралів та типу граничних елементів. З'ясовано, що при цьому найкраще використовувати регуляризовані рівняння, а інтеграли зі слабою логарифмічною особливістю обчислювати за допомогою спеціальних квадратур. Ефективними для задач про включення, зокрема, тонкі, виявилися квадратичні та кубічні інтерполяції крайових функцій на граничних елементах.

Для плоскої та анізотропної антиплоскої задач теорії пружності розроблено регуляризаційний підхід для усунення майже-сингулярних інтегралів, що виникають під час дослідження тіл із тонкими елементами геометрії та структури. З'ясовано, що методи нелінійної заміни змінних при інтегруванні не дають можливості з високою надійністю розв'язувати задачі, зокрема, для тонких включень, оскільки ці методи є чутливими до різноманітних параметрів, зокрема, у антиплоскій задачі - до анізотропії матеріалу. Регуляризаційний підхід засвідчив свою ефективність для всіх розглянутих випадків, де великий вплив на точність обчислень мають майже-сингулярні інтеграли.

Отримано саморегуляризовні інтегральні рівняння осесиметричної задачі теорії пружності стосовно переміщень та напружень. З їхнім впровадженням у МГЕ повністю усунуто також і ефект примежового шару, що виникає внаслідок утворення майже-сингулярних інтегралів при дослідженні напруженого стану поблизу межі тіла. Таким чином, стало можливим обчислювати напруження у всьому тілі неперервно аж до межі, що є необхідним для числового визначення параметрів оцінювання граничного стану, зокрема, таких інтегральних характеристик асимптотичного поля напружень, як УКІН.

Запропоновано використовувати інваріантні інтеграли для оцінки граничного стану тіл із тонкими пружними включеннями. Отримано зв'язок УКІН із J_інтегралом для плоскої та антиплоскої задач, а також із М_інтегралом для осесиметричної. Обґрунтовано фізичний зміст J_інтеграла як швидкості звільнення енергії при „зростанні” дефекту для випадку тонкого пружного включення. Зміну довжини включення слід трактувати як наслідок процесів тверднення чи розм'якшення матеріалів матриці і включення в зоні його фронту.

Для визначення УКІН на основі J- та М_інтегралів розроблено методи домінуючих УКІН та інтеграла взаємодії. На основі методу найменших квадратів побудовано розрахункові схеми визначення УКІН та інших параметрів асимптотичного розв'язку шляхом апроксимації поля напружень.

За допомогою числового аналізу із використанням розроблених регуляризаційних схем МГЕ та підходів визначення УКІН з'ясовано, що при застосуванні спеціальних підходів теорії тонких включень в окремих випадках, зокрема, викривлених включень, у побудованих моделях слід повніше враховувати опір на згин, а апріорні торцьові коефіцієнти потребують істотного коригування. Подано результати аналізу взаємодії включення з отвором. Розглянуто двовимірні задачі для обмежених тіл із тонкими включеннями. Оцінено межі застосовності принципу поліноміальної консервативності до скінченних тіл. Досліджено УКІН куполоподібного включення.

Здійснено аналіз концентрації напружень у різьбовому з'єднанні за осьового навантаження. Розглянуто різні контактні моделі та побудовано зручну для обчислення концентрації напружень інженерну залежність, що враховує радіус заокруглення впадин та коефіцієнт тертя ковзання у різьбовому з'єднанні. Здійснено аналіз просторових задач теорії пружності та отримано кореляційні (калібрувальні) функції, за якими можна здійснити перехід від наскрізної чи осесиметричної тріщини до поверхневої у валі. Подано оцінку КІН для поверхневої тріщини у впадині витка різьби, зокрема, першого (найкритичнішого).



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ ВІДОБРАЖЕНО У ПУБЛІКАЦІЯХ

1. Сулим Г. Використання енергетичних підходів для дослідження тонких пружних включень / Г. Сулим, Я. Пастернак // Машинознавство. - 2006. - № 9-10. - С. 13-16.

2. Сулим Г. Регуляризована тотожність Cомільяни для задач теорії пружності з тонкостінними структурами / Г. Сулим, Я. Пастернак // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. Прикладна математика та інформатика. - Вип. 13. - 2007. - С. 142-150.

3. Сулим Г.Т. Використання J-інтеграла для дослідження поздовжнього зсуву анізотропних тіл із тонкостінними стрічковими включеннями / Г.Т. Сулим, Я.М. Пастернак // Вісн. Донецьк. ун-ту. Сер. А: Прир. науки. - 2008. - Вип. 1. - С. 88-92.

4. Сулим Г.Т. Застосування методу граничних елементів до аналізу антиплоскої деформації анізотропних тіл із тонкостінними структурами / Г.Т. Сулим, Я.М. Пастернак // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2008. - 51. - № 4. - С. 136-144.

5. Сулим Г.Т. Визначення параметрів граничного стану пластинок із тонкими криволінійними пружними включеннями / Г.Т. Сулим, Я.М. Пастернак // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2009. - 45. - № 2. - С. 75-84.

6. Сулим Г. Пружна рівновага пластинки з тонким прямокутним включенням / Г. Сулим, М. Драган, Я. Пастернак // Вісн. Тернопільськ. держ. техн. ун-ту. - 2007. - 12. - № 2. - С. 12-19.

7. Сулим Г.Т. Плоска задача теорії пружності для пластинки з включенням / Г.Т. Сулим, М.С. Драган, Я.М. Пастернак // Мех. і фіз. руйнування будівельних матеріалів та конструкцій. - Львів: Каменяр, 2007. - Вип. 7. - С. 112-124.

8. Сулим Г.Т. Дослідження точності різних реалізацій ПМГЕ для плоских задач теорії пружності тіл із включеннями / Г.Т. Сулим, Я.М. Пастернак // Наукові нотатки. Міжвузівський збірник. - Луцьк, 2008. - 21. - С. 290-298.

9. Сулим Г.Т. Визначення параметрів граничного стану пружних тіл із тонкими включеннями за числовим розв'язком задачі / Г.Т. Сулим, Я.М. Пастернак // Вісн. Тернопільського держ. техн. ун-ту. - 2009. - 14. - № 1 - С. 15-22.

10. Сулим Г.Т. Вплив розмірів анізотропних тіл зі стрічковими пружними включеннями на параметри граничного стану за антиплоскої деформації / Г.Т. Сулим, Я.М. Пастернак // Методи розв'яз. прикл. задач механіки деформівного твердого тіла. - Дніпропетровськ, 2009. - Вип. 10. - С. 263-269.

11. Pasternak I. Self-regular stress integral equations for axisymmetric elasticity / I. Pasternak, H. Sulym // Engineering Analysis with Boundary Elements - 2009. - 33. - P. 1001-1004.

12. Сулим Г. Про один метод дослідження пружної рівноваги пластин із включеннями / Г. Сулим, М. Драган, Я. Пастернак // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. - Львів, 2006. - Т. 2. - С.106-109.

13. Сулим Г. Упругое равновесие пластинки с тонким прямоугольным включением / Г. Сулим, М. Драган, Я. Пастернак // Materiaіy IV Miкdzynarodowego Sympozjum Mechaniki Zniszczenia Materiaіуw i Konstrukcji . - Biaіystok, 2007. - S. 255-260.

14. Пастернак Я. Саморегуляризовний МГЕ для тіл із тонкостінними елементами / Я. Пастернак, Г. Сулим // Тези 7 укр.-польськ. наук. симпозіуму „Актуальні задачі механіки неоднорідних структур”. - Львів, 2007. - С. 32-34.

15. Сулим Г. Метод граничних елементів для аналізу антиплоскої деформації анізотропних тіл з тонкостінними структурами / Г. Сулим, Я. Пастернак // 1-ша Міжнародна наук.-техн. конф. «Теорія та практика раціонального проектування, виготовлення і експлуатації машинобудівних конструкцій» (Львів, 22_24 жовтня, 2008). Праці конференції. - Львів, 2008. - С. 79-81.

16. Sulym H. Self-regular stress integral equations for the axisymmetric elasticity/ H. Sulym, Ia. Pasternak // Materiaіy V Miкdzynarodowego Sympozjum Mechaniki Zniszczenia Materiaіуw i Konstrukcji. - Biaіystok, 2009. - S. 110.

17. Bozhydarnyk V. Determination of a limit state of elastic solids with thin-walled elastic inclusions using the J-integral / V. Bozhydarnyk, Ia. Pasternak, H. Sulym // 17th European Conference on Fracture. Book of Abstracts & Proceedings on CD ROM (Brno, Czech Republic, 2_5 Sept. 2008). ESIS, 2008. - P. 278.

18. Сулим Г. Визначення параметрів граничного стану тіл обертання з тонкими включеннями / Г. Сулим, Я.Пастернак // Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій / Під заг. ред. В.В. Панасюка. - Львів: Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України, 2009. - С. 491-496.

19. Кир'ян В. Визначення напружено-деформованого стану різьбових кріплень гідротурбін / В. Кир'ян, Г. Сулим, Я. Пастернак // Сучасні проблеми механіки та математики: В 3-х т. - Львів, 2008. - Т. 2. - С. 276-278.

20. Boїydarnik W. Modelowanie numeryczne rozkіadu naprкїeс w poі№czeniach gwintowych turbin hydraulicznych / W. Boїydarnik, G. Sulim, J. Pasternak // Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej. Mechanika. Technika i Technologia Montaїu Maszyn. - 2008. - 72. - Nr. 251. - S. 41-47.

21. Пастернак Я. Вплив розмірів тіла з тонким включенням на параметри граничного стану у плоскій задачі теорії пружності / Я. Пастернак, Г. Сулим // Дев'ятий міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові: Праці. - Львів: КІНПАТРІ ЛТД. - 2009. - С. 92-93.

22. Пастернак Я.М. Визначення узагальнених КІН біля тонких пружних включень за допомогою J_інтегралу / Я.М. Пастернак // Проблеми корозійно-механічного руйнування, інженерія поверхні, діагностичні системи. Відкрита науково-технічна конференція молодих науковців і спеціалістів ФМІ НАН України. - Львів, 2007. - С. 99-100.



АНОТАЦІЯ

Пастернак Я.М. Двовимірний напружений стан тіл із тонкими структурними елементами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2009.

Робота стосується розробки математичних моделей та засобів аналітично-числового і числового аналізу двовимірного (антиплоский, плоский і осесиметричний) напружено-деформованого та граничного станів пружних тіл із тонкими елементами. Запропоновано аналітично-числовий метод визначення напруженого стану тіл із пружними включеннями. Розроблено регуляризаційний підхід для усунення майже-сингулярних інтегралів, що виникають у МГЕ за дослідження тонкостінних об'єктів. Отримано саморегуляризовні інтегральні рівняння осесиметричної задачі стосовно переміщень та напружень, що усувають також і негативний ефект примежового шару. Запропоновано використовувати енергетичні інтеграли для оцінки граничного стану тіл із тонкими включеннями. Отримано зв'язок узагальнених КІН із цими інтегралами, обґрунтовано фізичний зміст J_інтеграла для включення. Побудовано розрахункові схеми визначення параметрів оцінювання граничного стану шляхом апроксимації поля напружень. Розглянуто двовимірні задачі для обмежених та необмежених тіл із тонкими лінійними і викривленими включеннями. Здійснено аналіз концентрації напружень у різьбовому з'єднанні та подано оцінку КІН поверхневих тріщин у різьбі.

Ключові слова: сингулярне інтегральне рівняння, гіперсингулярний інтеграл, майже-сингулярний інтеграл, регуляризація, метод граничних елементів, напружено-деформований стан, параметри оцінювання граничного стану, J_інтеграл, тонке пружне включення.

АННОТАЦИЯ

Пастернак Я.М. Двумерное напряженное состояние тел с тонкими структурными элементами. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2009. Работа посвящена разработке математических моделей и методов аналитико-численного и численного анализа двумерного (антиплоского, плоского, осесимметричного) напряженно-деформированного и граничного состояния упругих тел с тонкими элементами. Предложен аналитико-численный метод определения напряженного состояния тел с упругими включениями. Разработан регуляризационный подход для устранения квазисингулярных интегралов, которые возникают в МГЭ при исследовании тонкостенных объектов. Получены саморегуляризированные интегральные уравнения осесимметрической задачи для смещений и напряжений, которые устраняют также и негативный эффект приграничного слоя. Предложено использовать энергетические интегралы для оценки граничного состояния тел с тонкими включениями. Получено связь обобщенных КИН с этими интегралами, обосновано физический смысл J_интеграла для включения. Построено расчетные схемы определения параметров оценки граничного состояния путём аппроксимации поля напряжений. Рассмотрено двумерные задачи для ограниченных и неограниченных тел с тонкими линейными и искривлёнными включениями. Осуществлен анализ концентрации напряжений в резьбовом соединении и представлено оценку КИН поверхностных трещин в резьбе. Ключевые слова: сингулярное интегральное уравнение, гиперсингулярный интеграл, почти-сингулярный интеграл, регуляризация, метод граничных элементов, напряженно-деформированное состояние, параметры оценки граничного состояния, J_интеграл, тонкое упругое включение.

ABSTRACT

Pasternak Ia.M. Two dimensional stress state of solids containing thin structural components. - Manuscript.

The thesis presented for a Candidate's degree in physics and mathematics by speciality 01.02.04 - mechanics of deformable solid. - Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, L'viv, 2009.

The thesis considers the development of mathematical models and methods for numeric-analytical and numerical analysis of two-dimensional (plane, antiplane and axisymmetric) stress-strain and limit state of elastic solids containing thin shapes. The numeric-analytical method is developed for determination of the stress-strain state of solids containing inclusions, in particular thin ones. The stress field induced by thin rectangular inclusion is studied. Basing on the results of this method different implementations of ordinary BEM are analysed as applied to the inclusion problem. It is shown that the most efficient is the usage of regularized equations and quadratic or cubic boundary elements.

...