Пружний контакт тіл з узгодженими поверхнями за наявності газорідинного заповнювача міжконтактних просвітів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пружний контакт тіл з узгодженими поверхнями за наявності газорідинного заповнювача міжконтактних просвітів

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Серед чинників, які мають визначальний вплив на контактну передачу зусиль, навантажень і енергії між об'єктами в природі й техніці, найвагомішими є геометрія поверхонь тіл та середовище в області їх контакту. Природна субстанція (газ, рідина), в якій перебувають спряжені тіла, речовина функціонального призначення (мастило, охолоджувальна рідина), біологічна рідина (синовіальна рідина в суглобах) - типові приклади такого середовища, що відіграє важливу роль у процесах контактної взаємодії та функціонуванні структур. Воно створює додатковий тиск на поверхні тіл, приймає на себе частину прикладеного до них навантаження і може істотно впливати на фактичну площу контакту, контактні напруження і міцність тіл. Тому контактні задачі теорії пружності за наявності середовища в області спряження тіл сформувалися в окремий розділ контактної механіки, який має важливі прикладні застосування в техніці й природознавстві.

Найновіші дослідження в цьому напрямі стосуються моделювання взаємодії деформівних тіл за наявності в прилеглій до ділянки контакту області міжконтактного зазору рідинних міжповерхневих містків з урахуванням змочування рідиною тіл та її поверхневого натягу. Прикладний інтерес до цих робіт зумовлений потребою кількісної оцінки впливу капілярних явищ на функціонування жорстких дисків комп'ютерів, мікро - та нановимірювальної техніки, біологічних структур, механічну поведінку гранульних матеріалів, коли волога, конденсуючись на межах тіл, під дією поверхневого натягу переміщається у найвужчі місця міжконтактних зазорів.

Системні дослідження взаємодії рухомих і нерухомих з'єднань з урахуванням рідини в області контакту в основному проведено для тіл неузгодженої форми (згідно з термінологією Джонсона), яким властивий локальний контакт, коли його ділянка значно менша від розмірів тіл та їх поверхонь. Водночас, у природі та різноманітних конструкціях широко розповсюджені структури з узгодженими поверхнями, область контакту яких або цілком охоплює ці поверхні, або співмірна з ними. При взаємодії тіл узгодженої форми можлива локальна відсутність їх контакту, зумовлена малими локальними нерівностями поверхонь чи силовими факторами. При цьому формуються міжконтактні зазори малої висоти, розміри і об'єм яких в процесі навантаження можуть істотно змінюватися навіть за пружних деформацій тіл. Саме тому заповнювач таких зазорів стає активним чинником взаємодії тіл з узгодженими поверхнями, а його реакція (у вигляді тиску) на зміну навантаження може бути значно більшою, ніж за контакту неузгоджених поверхонь. Проте на сьогодні розв'язано лише окремі плоскі й осесиметричні контактні задач для тіл з поодинокими плиткими тунельними і круговими в плані виїмками, коли міжповерхневий зазор цілком заповнений газом або рідиною. Відсутні моделі механічної взаємодії тіл, локальні просвіти між якими містять одночасно рідину й газ, з урахуванням поверхневого натягу рідини. Назріли дослідження контактної поведінки структур за множинного характеру та просторової конфігурації поверхневих заповнених виїмок, оскільки саме такі геометричні характеристики найбільш притаманні поверхням реальних об'єктів.

Дисертація присвячена розвитку методики дослідження пружної взаємодії півнескінченних тіл з узгодженими поверхнями, що мають локальні нерівності, за наявності у міжконтактних просвітах газу й рідини та вивченню на цій основі закономірностей контактної поведінки тіл з узгодженими межами з урахуванням механічної реакції заповнювача зазорів та капілярних явищ у ньому, регулярного розташування поверхневих виїмок або їх просторової геометрії. Сформульоване завдання є актуальним для контактної механіки і відображає практичні потреби трибології, біомеханіки, машинобудування, геофізики та інших галузей в розробці теоретичних моделей для прогнозування контактної міцності й жорсткості реальних структур, що функціонують в різноманітних газорідинних середовищах.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дослідження за темою дисертації виконано в межах держбюджетних наукових тем Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України «Дослідження механотермодифузійної взаємодії тіл з урахуванням міжконтактного середовища та поверхневих і міжфазних неоднорідностей» (№ держреєстрації 0102U005096, 2005-2006 рр.) та «Розвиток математичних методів контактної механіки складених тіл із геометричними і фізичними неоднорідностями границь за дії термодифузійних процесів та їх застосування в біомеханіці тканин» (№ держреєстрації 0106U006856, 2006-2010 рр.).

Метою дисертації є встановлення закономірностей контактної взаємодії ізотропних тіл з узгодженими межами з урахуванням рідини й газу у локальних міжконтактних просвітах, що зумовлені плиткими поверхневими виїмками різної геометричної форми. Досягнення цієї мети передбачає:

- моделювання механічного контакту узгоджених поверхонь за наявності у зазорах між ними рідини та ідеального газу і перепаду тисків у цих субстанціях, зумовленого кривиною рідинного меніска і поверхневим натягом рідини;

- розвиток математичної методики дослідження плоских контактних задач теорії пружності для півнескінченних тіл з урахуванням капілярних явищ у газорідинному заповнювачі міжповерхневих зазорів, що базується на зведенні задач до сингулярних інтегральних рівнянь відносно функції висоти зазорів та системи трансцендентних рівнянь для визначення заздалегідь невідомих геометричних параметрів (довжини зазору, локалізації ділянок з рідиною і газом, радіуса меніска) та силових параметрів (тиску рідини й газу);

- гранично-інтегральне формулювання просторових контактних задач для тіл з узгодженими межами за наявності між ними еліптичного в плані зазору, що містить ідеальний газ або цілком чи частково заповнений стисливою рідиною;

- побудову аналітичних і аналітично-числових розв'язків контактних задач теорії пружності для тіл з плиткими виїмками різної форми (гладкої або з кутовими точками, періодичної системи виїмок, виїмки з еліптичним обрисом) за різних варіантів заповнення міжповерхневих просвітів рідиною й газом;

Об'єктом дослідження є взаємодія пружних тіл з узгодженими поверхнями за локальної відсутності прямого механічного контакту.

Предметом дослідження є пружний контакт півбезмежних ізотропних тіл з узгодженими поверхнями з урахуванням газу й рідини, що заповнюють міжконтактні зазори, та поверхневого натягу рідини.

Методи досліджень. Для досягнення сформульованої мети в роботі використано методи теорії функції комплексної змінної, методи комплексних і ньютонівських потенціалів, аналітичні методи розв'язування сингулярних інтегральних рівнянь, числові методи розв'язування трансцендентних рівнянь.

Наукова новизна роботи полягає у формулюванні задач про пружний контакт тіл з узгодженими номінально плоскими поверхнями з урахуванням газорідинного заповнювача міжконтактних просвітів, розвиненій методиці їх розв'язання та отриманих результатах. В роботі

§ здійснено постановку нового класу плоских контактних задач теорії пружності для півнескінченних тіл з узгодженими поверхнями за наявності в міжконтактних зазорах, зумовлених плиткими виїмками, стисливої рідини й газу, між якими виникає перепад тисків, що описується формулою Лапласа;

§ запропоновано методику дослідження сформульованих задач, яка полягає у

- поданні напружено-деформованого стану тіл через функцію висоти міжконтактного зазору;

- побудові сингулярних інтегральних рівнянь відносно цієї функції;

- аналітичному визначенні функції висоти зазору, використовуючи формули обернення отриманих рівнянь, через відому функцію форми виїмки та невідомі геометричні (довжина зазору, довжина ділянки з рідиною, висота меніска) та силові (тиск газу і рідини) параметри;

- формулюванні в термінах функції висоти зазору рівняння стану стисливої рідини, рівняння Клапейрона-Менделєєва для ідеального газу, формули Лапласа, умов плавного змикання берегів просвіту і рівності діаметра меніска висоті зазору в точці з координатою меніска та отриманні системи трансцендентних рівнянь для визначення невідомих геометричних і силових параметрів;

§ побудовано аналітично-числові розв'язки нових контактних задач для тіл з поверхневими тунельними виїмками різного профілю та міжповерхневими містками нестисливої змочувальної або незмочувальної рідини на краях або посередині міжконтактного зазору, і газом у іншій його частині, що перебуває під сталим або змінним в процесі навантаження тиском;

§ поширено метод функцій міжконтактних зазорів на просторові задачі для півпросторів, один з яких має еліптичну в плані поверхневу виїмку, за наявності середовища в міжконтактному просвіті та побудовано аналітичні розв'язки відповідних задач у випадку заповнення зазору лише ідеальним газом, стисливою рідиною, або за частинного заповнення зазору рідиною;

§ досліджено контактну взаємодію тіл з регулярним профілем, коли всі міжповерхневі просвіти містять однакову кількість рідини або газу;

§ проаналізовано особливості контактної поведінки тіл з газорідинним заповнювачем міжповерхневих просвітів за силового навантаження і вивчено вплив форми виїмок, кількості рідини й газу в зазорах, поверхневого натягу рідини, її стисливості та змочувальності на контактний тиск, висоту зазорів, локалізацію ділянок з рідиною й газом, контактне зближення тіл.

Практичне значення отриманих результатів. Результати роботи формують теоретичне підґрунтя для моделювання контактної поведінки технічних, природних і біологічних структур з узгодженими поверхнями за наявності рідини й газу в області контакту і мають перспективу застосування в геофізиці, трибології, біомеханіці та машинобудуванні для прогнозування контактної податливості й міцності вузлів і з'єднань з урахуванням впливу заповнювача міжповерхневих просвітів. Деякі теоретичні і прикладні положення дисертації використано під час виконання держбюджетних тем і проекту з Цільової програми НАН України.

Вірогідність отриманих результатів і висновків забезпечується використанням положень лінійної теорії пружності ізотропних середовищ; строгістю та фізичною коректністю формулювань контактних задач; використанням апробованих аналітичних і числових методів; граничним переходом в аналітичних виразах і під час числових розрахунків для отримання розв'язків простіших задач; відповідністю висновків фізичній суті досліджуваних явищ; узгодженням частинних результатів із відомими в літературі.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 14 наукових праць, у тому числі 6 статей [1-6] у фахових журналах і збірниках з переліку ВАК України. Основні результати дисертаційної роботи отримано здобувачем самостійно. Праці [9, 12] опубліковані автором одноосібно. Науковому керівнику д.ф._м.н. Мартиняку Р.М. належать визначення напрямку досліджень, ідеї щодо постановки і методів розв'язування задач, участь в інтерпретації результатів. У працях [1-8, 11, 13-14], опублікованих у співавторстві, автору належить участь у постановці задач, розвиток і реалізація підходу, який базується на застосуванні методу функцій міжконтактних зазорів до задач про взаємодію тіл з узгодженими поверхнями за наявності різних видів газорідинного заповнювача просвітів між ними, побудова аналітичних розв'язків, розробка та реалізація числових алгоритмів, числовий аналіз залежності контактних параметрів від вхідних даних, графічна візуалізація результатів та участь у їх інтерпретації.

Апробація результатів. Результати досліджень за темою дисертації доповідались і обговорювались на Всеукраїнській науковій конференції «Сучасні проблеми механіки» (Львів, 2005), XI Міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ, 2006), Всеукраїнській науковій конференції молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань (Донецьк, 2006), 8_му Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові МСУІМЛ_8 (Львів, 2007), 7_му Українсько-польському науковому симпозіумі «Актуальні задачі механіки неоднорідних структур» (Львів, 2007), Міжнародній математичній конференції ім. Я.С. Скоробагатька (Дрогобич, 2007), Міжнародній науково-технічній конференції «Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій» (Дніпропетровськ, 2007), II Міжнародній науковій конференції «Сучасні проблеми механіки та математики» (Львів, 2008).

Дисертація у повному обсязі доповідалась на семінарі відділу математичних методів механіки руйнування і контактних явищ та на загальноінститутському семінарі «Математичні проблеми механіки руйнування та поверхневих явищ» в ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України; на семінарі Центру математичного моделювання ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України, на об'єднаному семінарі кафедри обчислювальної математики Національного університету водного господарства та природокористування і кафедри інформатики та прикладної математики Рівненського державного гуманітарного університету.

Структура роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, які містять 62 рисунки, висновків та списку літератури, що налічує 211 найменувань. Загальний обсяг роботи складає 129 сторінок.

Основний зміст роботи

механічний газ пружність

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи та її зв'язок із науковою тематикою установи, в якій працює автор; сформульовано мету та задачі досліджень; охарактеризовано новизну, вірогідність та практичну значимість отриманих результатів; наведено дані про їх апробацію; вказано кількість публікацій за темою дисертації та особистий внесок здобувача; викладено короткий зміст роботи.

У першому розділі наведено огляд наукових праць, в яких вивчено проблеми, близькі за напрямком до теми дисертації; висвітлено стан досліджень взаємодії пружних тіл з урахуванням газорідинної субстанції в області контакту, окреслено місце роботи серед сучасних досліджень з даної проблематики.

Другий розділ присвячений математичному моделюванню контактної взаємодії пружних тіл з узгодженими межами за наявності газу й рідини у просвіті між ними та дослідженню впливу їх тиску і поверхневого натягу рідини на контактну поведінку тіл, одне з яких має виїмку.

Розглядається взаємодія двох ізотропних півбезмежних тіл з неоднаковими механічними характеристиками. Поверхня верхнього півпростору плоска. Поверхня нижнього вздовж смуги шириною 2c має плитку, пологу, гладку (без кутових точок) тунельну виїмку, форму якої описує парна, неперервно-диференційована функція r(x) (r(x)/2c << 1, r'(x) << 1 при ; r(±c) = r'(±c) = 0). Зовні виїмки (при |x| > c) межа нижнього тіла плоска.

Тіла контактують без тертя під дією рівномірно розподіленого навантаження на нескінченності за умов плоскої деформації. Зважаючи на це, розглядатимемо взаємодію двох півплощин D₁ і D₂, які є перетинами нижнього та верхнього півпросторів площиною Oxy, перпендикулярною до твірної виїмки. Через виїмку на межі одного з тіл за дії навантаження їх безпосередній механічний контакт неповний і між ними буде зазор (просвіт) завдовжки 2b, b<c (рис. 1). Він частково заповнений стисливою рідиною, частково - ідеальним газом. Зазор герметичний, тобто рідина й газ не можуть виходити з нього і в процесі навантаження їх кількість залишається незмінною. Спочатку розглянуто рідину, що цілком змочує поверхні тіл (змочувальна рідина). Така рідина збиратиметься у вужчих місцях зазору, на його краях, утворюючи між поверхнями тіл два симетричні містки вздовж ділянок та . Газ накопичуватиметься між ними в середній частині зазору. Меніск - бічна поверхня рідини, що межує з газом - у перетині має форму дуги кола деякого радіуса . Згідно із законом Паскаля тиск газу і рідини є рівномірними. Проте, внаслідок поверхневого натягу змочувальної рідини , що діє на меніск, і кривини меніска, тиск у рідині менший, ніж у газі, а перепад між ними описується формулою Лапласа

. (1)

Крайові умови сформульованої задачі, знесені на вісь , мають вигляд:

на ділянках безпосереднього контакту тіл :

, , , , , ; (2)

на ділянці міжконтактного зазору :

на ділянці дії газу ()

, , ; (3)

на ділянках дії рідини ()

, , ; (4)

на нескінченності:

, , . (5)

Тут , , - компоненти тензора напружень; - складова вектора переміщення вздовж осі ; знаками «+» і «-» позначено граничні значення функції за прямування точки до осі у верхній і нижній півплощині ().

Тиск ідеального газу описується рівнянням Клапейрона-Менделєєва:

, (6)

де і - маса і об'єм газу, що припадають на одиницю довжини зазору в його поздовжньому напрямі, перпендикулярному до площини ; - молярна маса газу; T - температура газу; R - універсальна газова стала.

Тиск рідини описується рівнянням стану стисливої баротропної рідини:

(7)

Тут - об'єм рідини, що припадає на одиницю довжини зазору в його поздовжньому напрямі; - модуль об'ємної пружності рідини, - об'єм рідини в початковому стані за відсутності тиску.

Для дослідження сформульованої задачі застосовано метод функцій міжконтактних зазорів, що полягає у поданні напружено-деформованого стану тіл через функції висоти початкового зазору між тілами (висоти виїмки) і актуального зазору , який формується за дії навантаження, та зведенні задачі до інтегрального рівняння відносно функції висоти зазору. Такі подання мають вигляд:

,

, , , (8)

де , , , , ; , - модуль зсуву і коефіцієнт Пуассона півплощини . Вони враховують всі крайові умови задачі, за винятком першої умови в (3) та першої в (4). Задовольнивши їх, одержимо для визначення похідної від висоти зазору сингулярне інтегральне рівняння (СІР):

, , (9)

де ,

Крім того, шукана функція повинна задовольняти умови

а) , б) . (10)

Умова (10а) забезпечує неперервність нормальних переміщень границь півплощин. Умова (10б) вказує на плавне змикання берегів зазору і забезпечує обмеженість контактних напружень.

Зазначимо, що СІР (9) містить чотири невідомі параметри: два геометричні - півдовжину зазору і півдовжину ділянки з газом (координату меніска), та два механічні - тиск газу і тиск рідини . Для їх визначення необхідно залучити умову плавного змикання берегів зазору (10б), рівняння Клапейрона-Менделєєва (6), рівняння стану стисливої рідини (7) та формулу Лапласа (1). Водночас у формулу Лапласа (1) входить невідомий радіус меніска .

Згідно з положеннями праці діаметр меніска можна вважати рівним висоті меніска , з урахуванням чого формула Лапласа (1) запишеться так:

. (11)

Висота меніска визначається висотою зазору в точці з координатою :

. (12)

Розв'язок рівняння (9), що задовольняє умову (10б), визначаємо, застосувавши до нього формулу обернення СІР з ядром Коші першого роду. Інтегруючи цей розв'язок з урахуванням умови (10а), знаходимо функцію висоти зазору

, (13)

де ,

.

Обмежений розв'язок СІР (9) існує за виконання додаткової умови на його праву частину, з якої отримуємо рівняння

. (14)

Визначаючи об'єм газу і рідини через функцію висоти зазору (13) та враховуючи їх у рівнянні Клапейрона-Мендєлєєва (6) і рівнянні стану стисливої баротропної рідини (7), отримаємо наступні два рівняння:

, (15)

. (16)

З формули Лапласа (11) та умови (12), врахувавши в ній залежність (13), отримаємо ще два рівняння

, . (17)

Рівняння (14) - (17) складають систему п'яти трансцендентних рівнянь для визначення п'яти невідомих параметрів: тиску газу , тиску рідини , висоти меніска , довжини зазору та довжини ділянки з газом . Після розв'язання цієї системи параметри , , в правій частині (13) набувають конкретних значень, отже, стає визначеною функція висоти зазору а також подані через неї формулами (8) напруження і похідні від переміщень.

Коли газ може вільно виходити із зазору (негерметичний просвіт), його тиск дорівнює тиску газу зовні контактної системи і не змінюється з навантаженням ( - задана величина). В цьому разі рівняння (15) вилучається з розгляду і залишається система чотирьох рівнянь (14), (16), (17) для визначення , , , .

Якщо рідина є нестисливою (), тоді її об'єм відомий і не змінюється:

, (18)

а трансцендентне рівняння (16) набуває вигляду

. (19)

Для подальшого дослідження впливу заповнювача просвіту на контакт тіл потрібно конкретизувати форму виїмки. У наступних трьох підрозділах другого розділу розглянуто виїмку, форма якої описана функцією , де . Для неї функції , у формулах (9), (13) набувають вигляду

, . (20)

Спершу вивчено випадок, коли газ перебуває під незмінним тиском , а рідина нестислива. Врахувавши вирази (20) у другому рівнянні (17) та розв'язавши його як квадратне рівняння відносно висоти меніска , подаємо через довжину зазору і довжину ділянки з газом :

. (21)

Підставивши цю залежність у перше рівняння (17), визначаємо тиск рідини через і та відомий тиск газу . Після цього рівняння (14) і (19) трансформуються у систему двох трансцендентних рівнянь для знаходження параметрів і :

,

(22)

.

Для числових розрахунків введено безрозмірні величини , , , , , , , , , . Тут - об'єм виїмки.

Розв'язання системи (22) можна дещо спростити, якщо за невідомі вибрати і , вважаючи довжину зазору відомою і змінювати її в межах фізично допустимого діапазону, верхня межа якого 1, а нижня - та, за якої . Тоді друге рівняння системи буде рівнянням з одним невідомим , яке числово розв'язуємо методом Ньютона. Знаючи і , з першого рівняння визначаємо .

На рис. 2 суцільною лінією зображено розподіл модуля нормальних контактних напружень (контактного тиску ) у випадку, коли рідина займає одну десяту частину об'єму виїмки (). Дві горизонтальні ділянки на графіку відображають розподіл цих напружень вздовж зазору: перша - на середній його частині, що заповнена газом, друга - на двох крайніх, які заповнені рідиною. Бачимо, що містки змочувальної рідини та її поверхневий натяг зумовлюють локальне розвантаження поверхонь зазору - на крайніх його ділянках величина у півтора рази менша, ніж на середній. При віддаленні від зазору контактні напруження спочатку зростають, досягаючи максимуму на кінцях виїмки (при ), а далі спадають, асимптотично наближаючись до напружень, заданих на нескінченності.

Штрихованою лінією на рис. 2 показано розподіл напружень у випадку відсутності рідинних містків, коли вздовж всього зазору на поверхні тіл діє тиск газу . Порівнюючи обидві криві, бачимо що локальне пониження напружень на поверхні зазору, спричинене наявністю у ньому рідини, компенсується збільшенням контактного тиску на ділянках налягання. Зокрема, максимальна величина напружень у крайніх точках виїмки зростає на 4,3%.

Зі збільшенням поверхневого натягу рідини висота зазору і його довжина зменшуються (рис. 3).

Далі досліджено випадок герметичного зазору, коли у ньому є фіксована маса газу, тиск якого змінюється при навантаженні. Знайшовши об'єм газу в зазорі та підставивши його в рівняння Клапейрона-Мендєлєєва (6), одержимо рівняння:

.

Додавши його до системи (22), маємо систему трьох рівнянь, з якої визначаємо довжину зазору, довжину ділянки з газом та тиск газу.

Виявлено, що збільшення натягу рідини зумовлює зменшення ділянки з газом. Цей ефект істотніший за малих навантажень.

Останній підрозділ другого розділу присвячений математичному моделюванню взаємодії півпросторів, коли рідина в зазорі є нестислива і незмочувальна. В цьому разі рідина зосереджується в ширшому місці просвіту - на його середній частині (рис. 4), і тиск у ній буде більший, ніж в газі. Тиск газу вважається незмінним в процесі навантаження. Формула Лапласа для перепаду тисків у двох субстанціях набуває вигляду:

. (23)

Висота зазору і висота меніска даються формулами (13) і (21). З умови існування обмеженого розв'язку СІР та збереження кількості рідини в зазорі отримано систему рівнянь відносно довжин зазору і ділянки з рідиною:

,

Вплив поверхневого натягу рідини на залежність довжини ділянки з рідиною (суцільні криві) та довжини зазору (штриховані криві) від навантаження. Бачимо, що у випадку незмочувальної рідини її поверхневий натяг якісно інакше впливає на геометричні параметри зазору, ніж у випадку змочувальної - збільшення поверхневого натягу рідини зумовлює збільшення довжини і висоти зазору та зменшення ділянки з рідиною. Зі збільшенням навантаження довжина зазору зменшується, а ділянка з рідиною збільшується. Контрастно проявився різний характер зміни величин і для двох діапазонів навантаження. На початковому етапі відбувається різке спадання і зростання , на наступному - дуже повільна їх зміна зі збільшенням навантаження та поступове зближення і , яке фізично означає наближення менісків рідини до кінців зазору. Тоді кривина меніска значно зростає, зумовлюючи (як це випливає з формули Лапласа (23)) збільшення тиску рідини, яка починає чинити більший опір закриттю зазору.

Порівняно і проілюстровано залежності довжини зазору від навантаження для трьох випадків: 1 - рідина не змочує поверхні тіл; 2 - рідина повністю змочує поверхні тіл; 3 - рідина відсутня, зазор цілком заповнений газом. Виявлено, що у випадку незмочувальної рідини довжина зазору буде найбільшою, а у випадку змочувальної - найменшою.

У третьому розділі розглянуто контакт пружного тіла з жорсткою основою, що має виїмку з кутовими точками. Спочатку досліджено випадок прямокутної виїмки (), коли рідина в зазорі змочує поверхні тіл і нестислива. Рідина збирається у середній частині зазору, де він є вужчий. Газ міститися на краях зазору (рис. 6) і перебуває під тиском , незмінним в процесі навантаження. Довжина зазору відома і рівна довжині виїмки. Невідомими є висота зазору , тиск рідини та довжина ділянки з рідиною . Розв'язавши СІР такої задачі та проінтегрувавши отриманий розв'язок з урахуванням умови рівності зазору і виїмки у крайніх її точках (), знайдемо висоту зазору:

, (24)

де .

Підставивши функцію (24) в умови (11), (12), (18), отримаємо три трансцендентні рівняння відносно тиску рідини , довжини ділянки з рідиною та висоти меніска . Визначивши з перших двох рівнянь і через та підставивши їх у третє, отримаємо рівняння

,

з якого знаходимо зв'язок між довжиною ділянки з рідиною і навантаженням.

Вплив поверхневого натягу рідини і навантаження на перепад тисків у рідині й газі проілюстровано на рис. 7. Бачимо, що величина істотно реагує на зміну поверхневого натягу рідини, збільшуючись разом з ним. Для фіксованого натягу перепад тисків немонотонно залежить від прикладеного навантаженням: спочатку зростає за його збільшення, а після досягнення навантаженням певної величини - починає спадати. Це пояснюється зростанням радіуса меніска при наближенні рідини до країв зазору. Що більший натяг рідини, то за меншого навантаження досягається максимум тиску у рідині. На рис. 8 проілюстровано розподіл нормальних контактних напружень (1 - за наявності рідинних містків, 2 - рідинні містки відсутні, зазор заповнений лише газом). На ділянці з рідиною контактні напруження менші за тиск газу. В точці розмежування рідини і газу є стрибок напружень, а далі до кінців зазору контактні напруження рівні тиску газу. На краях виїмки () напруження мають кореневу особливість. З віддаленням від виїмки напруження зменшуються, асимптотично прямуючи до значення напружень на нескінченності. Коли в зазорі є рідинні містки, напруження поза зазором більші, ніж у разі заповнення зазору лише газом, що перебуває під сталим тиском.

Далі розглянуто контактну задачу для пружного тіла і жорсткої основи з виїмкою, що має еліптичний в перерізі профіль , коли рідина нестислива і змочувальна, а газ не може виходити із зазору. В цьому разі рідина збиратиметься у вужчих місцях на краях зазору (рис. 9). Після розв'язання СІР цієї задачі визначимо висоту зазору:

.(25)

З умов (6), (18), (11), (12), підставивши в дві останні функцію з (25), отримаємо систему рівнянь, з якої визначимо довжину ділянки з газом , тиск газу , тиск рідини і висоту меніска .

Залежність тиску рідини (штриховані криві) і газу (суцільні криві) від навантаження і об'єму рідини зображено на рис. 10. Зі збільшенням навантаження величини і монотонно зростають. Що менша кількість рідини в зазорі, то менші тиски і . Тиск рідини значно чутливіший до зміни кількості рідини, ніж тиск газу.

Розглянуто також випадок, коли газ в зазорі перебуває під сталим тиском, а рідина не змочує поверхні тіл і збирається в середній частині зазору (рис. 11). На рис. 12 зображено залежність довжини ділянки з рідиною (штрихові лінії) і перепад тисків у двох субстанціях (суцільні лінії) від навантаження для різних поверхневих натягів рідини, що займає половину об'єму виїмки (). Зі збільшенням навантаження довжина ділянки з рідиною зростає, але за її наближення до краю виїмки це зростання значно сповільнюється. Це зумовлено зменшенням радіуса меніска, що спричиняє збільшення тиску в рідині і збільшення її опору закриттю зазору. Перепад тисків, навпаки, зі збільшенням навантаження спочатку повільно зростає, а за наближення рідини до країв зазору починає зростати значно стрімкіше і залежність від стає практично лінійною. Зі збільшенням поверхневого натягу рідини довжина ділянки з нею спадає, а перепад тиску зростає, що за сталого тиску газу означає збільшення тиску рідини.

У четвертому розділі досліджено взаємодію тіл, границя одного з яких має періодичний рельєф, за різних типів заповнювача міжповерхневих зазорів. Основна мета розділу - вивчити вплив заповнювача на ефективне контактне зближення тіл.

Розглянуто контакт двох пружних ізотропних півплощин із неоднакових матеріалів за умов плоскої деформації. Межа одного з тіл прямолінійна, а іншого вздовж нескінченної системи розташованих з періодом відрізків () має плиткі пологі виїмки однакової форми (). Тіла контактують під дією стискальних навантажень . Внаслідок нерівності однієї з меж між ними будуть міжповерхневі просвіти (рис. 13), висота і довжина яких змінюються разом з навантаженням і заздалегідь невідомі.

Спочатку вважаємо, що всі зазори незаповнені. В цьому разі для визначення функції висоти зазорів отримано СІР з ядром Гільберта, яке після заміни змінних , перетвориться в СІР з ядром Коші

, ; (26)

Для виїмок форми СІР (26) розв'язано аналітично:

. (27)

З умови існування обмеженого розв'язку СІР (26) отримано рівняння для визначення довжини зазорів: .

Зумовлене поодинокою виїмкою збурення переміщень у півплощинах заникає на нескінченності. Проте інтегральний вплив періодичної системи виїмок проявляються у тому, що на великих відстанях від поверхні контакту (при ) в напрямі дії прикладених зусиль виникає додаткове зближення матеріалів тіл (тут - переміщення в напрямі осі у півплощинах за відсутності виїмок), яке визначається за формулою . Величину називатимемо ефективним контактним зближенням. Встановлено, що зближення монотонно зростає зі збільшенням навантаженням, доки зазори повністю не закриються. Якщо далі збільшувати навантаження, контактне зближення не змінюється. У разі довших виїмок зближення є більшим.

Далі вивчено взаємодію тіл за заповнення періодично розташованих міжповерхневих зазорів лише однією субстанцією - рідиною або газом, що не може з них виходити. У цьому разі до правої частини СІР (26) на висоту зазору потрібно додати член , де - тиск заповнювача, для визначення якого використано рівняння (6) і (7) за наявності газу й рідини відповідно.

Розрахунки, проілюстровані на рис. 14, показали: на початковій стадії навантаження зближення швидко зростає, на наступній - змінюється повільно, наближаючись до величини зближення, що відповідає цілковитому закриттю незаповнених зазорів. Що більше газу в зазорах, то менше зближення.

У разі заповнення виїмок рідиною характер залежності контактного зближення від навантаження аналогічний. Зі зменшенням модуля об'ємної пружності рідини контактне зближення збільшується. Якщо рідина нестислива (), то виявлено, що зазори не трансформуються під час навантаження і їх висота залишається рівною висоті виїмок, а тиск у рідині рівний тиску, прикладеному до тіл. В цьому разі контактне зближення рівне нулю і виїмки не впливають на деформування тіл.

П'ятий розділ присвячено просторовим контактним задачам про взаємодію ізотропних пружних тіл за наявності заповнювача міжповерхневого еліптичного в плані просвіту.

Розглянуто два півпростори, границя одного з яких (верхнього) є плоскою, а іншого в межах еліптичної ділянки має плитку пологу виїмку

, ,

де ; , - півосі ; , . На рис. 15 виїмка зображена штрихованими лінями. За контакту тіл без навантаження між ними вздовж еліпса буде зазор висоти . Під дією прикладених на нескінченності стискальних зусиль ділянка міжповерхневого зазору зменшуватиметься (). Вважаємо, що зазор цілком заповнений газом або рідиною. Тиск заповнювача , ділянка і висота просвіту змінюються з навантаженням і заздалегідь невідомі.

З використанням запропонованої в праці методики таку просторову контактну задачу зведено до граничного інтегрального рівняння на висоту просвіту

, (28)

де , , ,

, ,

, ,

,

- ексцентриситет еліпса , і - повні еліптичні інтеграли першого і другого роду.

Функція на контурі ділянки зазору задовольняє умови

, , . (29)

Як показано в праці ⁴, ділянка зазору , висота якого визначається з рівняння (28), є еліптичною. Функцію , яка задовольняє умови (29), шукаємо у вигляді

, (30)

де , - півосі еліпса . Підставивши її у СІР (28), одержимо рівність

, (31)

де , , ,

, ,

- ексцентриситет еліпса .

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях многочленів у правій і лівій частині (31), отримаємо систему трьох рівнянь, з якої визначаємо

, , , (32)

де . З отриманих виразів випливає, що ексцентриситет зазору дорівнює ексцентриситету виїмки.

Підставивши функцію (30) у рівняння (6) та (7), отримаємо рівняння, з яких визначаємо тиск газу або рідини відповідно. Коли зазор заповнений стисливою рідиною, геометричні характеристики зазору одночасно і монотонно спадають зі збільшенням навантаження, причому найшвидше спадає об'єм зазору, найповільніше - його півосі. Збільшення стисливості рідини зумовлює зменшення геометричних розмірів зазору.

У разі заповнення зазору газом спостерігається якісно аналогічна залежність геометричних параметрів зазору від навантаження. Зі зменшенням маси газу розміри зазору зменшуються.

В останньому підрозділі розв'язано просторову контактну задачу для розглянутих півпросторів за частинного заповнення виїмки рідиною, коли , . Тут і - об'єм рідини і виїмки, - коефіцієнт заповнення виїмки. Контактна поведінка такої системи відрізняється для двох етапів навантаження. На початковому етапі, коли об'єм зазору залишається більшим за об'єм рідини, остання не чинить опору зближенню поверхонь зазору і його закриттю. У цьому разі розв'язок задачі збігається з розв'язком задачі для незаповненої виїмки ⁴, а висота зазору дається формулами (30), (32), в яких .

Коли навантаження досягає величини , об'єм зазору зрівнюється з об'ємом рідини і поверхні тіл вздовж зазору повністю контактують з рідиною. Після цього (при ), реалізується другий етап навантаження, коли рідина чинить опір закриттю зазору, створюючи тиск на його поверхні. В цьому разі висота зазору має вигляд (30), де , , , , , . Тиск рідини визначається з рівняння

.

Залежності максимальної висоти зазору (штриховані криві), його півосей (суцільні криві) та об'єму (пунктирні криві) від навантаження та модуля об'ємної пружності рідини у разі просвіту з ексцентриситетом . На першому етапі навантаження геометричні характеристики зазору швидко спадають з навантаженням. На другому це спадання значно сповільнюється - потрібно прикладати значно більше навантаження для зменшення зазору.

Основні результати та висновки

У дисертаційній роботі розв'язано наукове завдання - розвинути методику дослідження пружної взаємодії півнескінченних тіл з узгодженими поверхнями, що мають локальні нерівності, за наявності газу й рідини в міжконтактних просвітах та вивчити на цій основі локальні й інтегральні контактні параметри тіл з узгодженими межами з урахуванням механічної реакції заповнювача зазорів та капілярних явищ у ньому, регулярного розташування або просторової геометрії плитких поверхневих виїмок. Отримано такі основні наукові результати:

1. Здійснено постановку нових плоских контактних задач теорії пружності для півнескінченних тіл з узгодженими поверхнями за наявності в міжконтактному зазорі стисливої рідини, що утворює міжповерхневі містки, та ідеального газу, перепад тисків між якими описується формулою Лапласа.

2. Розроблено методику розв'язання сформульованих контактних задач, яка передбачає:

· подання напружень і переміщень в тілах через функцію висоти міжповерхневого просвіту;

· зведення задач до сингулярних інтегральних рівнянь відносно цієї функції;

· аналітичне визначення, використавши формулу обернення отриманих інтегральних рівнянь, функції висоти міжконтакного зазору через невідомі геометричні (довжину зазору і ділянки з рідиною, висоту меніска) і силові (тиск газу і рідини) параметри та відому функцію, що описує форму виїмки;

· формулювання системи трансцендентних рівнянь для визначення невідомих силових і геометричних параметрів на основі подання через функцію висоти зазору рівняння стану стисливої рідини, рівняння Клапейрона-Менделєєва для газу, формули Лапласа, умови плавного змикання берегів зазору та рівності діаметра меніска висоті зазору в точці розмежування рідини й газу;

3. З використанням розробленої методики побудовано аналітично-числові розв'язки низки нових плоских контактних задач для півнескінченних тіл за наявності газу й рідинних містків у міжповерхневих просвітах, зумовлених виїмками різного профілю, за різного розташування містків на краях чи посередині зазору залежно від того, змочує чи не змочує рідина поверхні тіл. Розглянуто негерметичний зазор, коли газ може вільно виходити з зазору і його тиск рівний тиску газу ззовні контактної системи, та герметичний зазор, коли тиск газу змінюється з навантаженням. Встановлено наступне:

• збільшення поверхневого натягу рідини зумовлює зменшення висоти і довжини міжконтактного зазору, коли рідина повністю змочує поверхні тіл, та збільшення зазору у разі незмочування поверхонь тіл рідиною;

• наявність рідинних містків зі змочувальною рідиною призводить до збільшення контактних напружень на ділянках поза просвітом;

• у разі, коли рідина в зазорі незмочувальна, за збільшення навантаження довжина ділянки з рідиною зростає, але з її наближенням до краю виїмки це зростання значно сповільнюється;

• у випадку зазору прямокутної форми перепад тисків у змочувальній рідині й газі немонотонно залежить від прикладеного навантаження: спочатку зростає за його збільшення, а після досягнення навантаженням певної величини - починає спадати. Що більший поверхневий натяг рідини, то за меншого навантаження досягається максимум тиску у рідині.

4. Досліджено контакт пружних півпросторів, поверхня одного з яких має регулярно розташовані плиткі тунельні виїмки, коли міжконтактні зазори заповнені однаковою кількістю ідеального газу чи стисливої рідини. Проаналізовано вплив заповнювача просвітів на зміну їх форми, зумовлену деформуванням тіл за дії навантаження, та на інтегральну контактну характеристику - ефективне контактне зближення тіл. Виявлено, що

• на початковій стадії навантаження контактне зближення швидко зростає, на наступній змінюється повільно, наближаючись до величини зближення, що відповідає цілковитому закриттю незаповнених зазорів;

• у разі заповнення зазорів газом чи рідиною контактне зближення буде меншим, ніж у разі незаповнених зазорів;

• що більша кількість газу в зазорах та модуль об'ємної пружності рідини, то менше контактне зближення тіл;

• коли рідина нестислива, зазори не трансформуються в процесі навантаження і їх висота залишається рівною висоті виїмок, а тиск у нестисливій рідині рівний тиску, прикладеному до тіл.

5. Поширено метод функцій міжконтакних зазорів на просторові контактні задачі для півпросторів, межа одного з яких має еліптичну в плані виїмку із заповнювачем. Побудовано аналітичні розв'язки для випадку, коли міжповерхневий зазор заповнений лише ідеальним газом або стисливою рідиною, або частково заповнений стисливою рідиною. Встановлено наступне:

• при зменшенні в процесі навантаження еліптичного в плані зазору його ексцентриситет залишається незмінним та рівним ексцентриситету виїмки;

• у випадку повного заповнення зазору стисливою рідиною чи ідеальним газом геометричні характеристики зазору (півосі, максимальна висота, об'єм) монотонно спадають зі збільшенням навантаження, причому найшвидше спадає об'єм зазору, найповільніше - його півосі;

• у разі часткового заповнення виїмки рідиною виявлено два діапазони навантаження, для яких якісно відрізняється трансформація зазору: доки об'єм зазору більший за об'єм рідини, геометричні параметри зазору швидко спадають з ростом навантаження; коли об'єм зазору стає рівним об'єму рідини і далі зменшується, це спадання значно сповільнюється і стає плавним.

Основний зміст дисертації відображено у публікаціях

1. Мартиняк Р.М. Взаємодія двох тіл за наявності капілярів у міжконтактному зазорі / Р.М. Мартиняк, Б.С. Слободян // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2006. - 49, № 1. - С. 164-173.

2. Слободян Б.С. Моделювання взаємодії тіл з урахуванням поверхневого натягу рідини в міжконтактному просвіті / Б.С. Слободян, Р.М. Мартиняк // Фіз.-мат. моделювання та інформаційні технології. - 2007. - Вип. 6. - С. 19-29.

3. Мартиняк Р.М. Моделювання деформування інтерфейсних поверхонь із заповненими мікропустотами у цементному з'єднанні імплантанту з кісткою / Р.М. Мартиняк, Б.С. Слободян // Прикл. проблеми механіки і математики. - 2007. - Вип. 5. - С. 127-133.

4. Мартиняк Р.М. Вплив рідинних містків у міжповерхневому просвіті на контакт тіл із податливих матеріалів / Р.М. Мартиняк, Б.С. Слободян // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2008. - 44, №2. - С. 7-13.

5. Мартиняк Р.М. Тиск пружного півпростору на жорстку основу з прямокутною виїмкою за наявності між ними рідинного містка / Р.М. Мартиняк, Б.С. Слободян, В.М. Зеленяк // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2008. - 51, № 1. - С. 150-156.

6. Мартиняк Р.M. Просторова контактна задача для пружних півпросторів, зазор між якими заповнений газом / Р.М. Мартиняк, Б.С. Слободян // Прикл. проблеми механіки і математики - 2008. - Вип. 6. - С. 183-186.

7. Мартиняк Р.М. Взаємодія півпросторів за наявності симетрично розташованих капілярів у міжконтактному зазорі / Р.М. Мартиняк, Б.С. Слободян // Всеукраїнська наукова конференція «Сучасні проблеми механіки»: тези доповідей (Львів, 5-8 грудня 2005 р.). - Львів: ЛНУ ім. І. Франка, 2005. - С. 16-17.

8. Слободян Б.С. Математична модель контакту півпросторів із періодичним рельєфом з урахуванням рідинних менісків / Б.С. Слободян, Р.М. Мартиняк // XI Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука: матеріали конференції (Київ, 18 -20 травня 2006 р.). - Київ. - 2006. - С. 258.

9. Слободян Б.С. Вплив форми виїмки на взаємодію півпросторів за наявності капілярів у міжконтактному зазорі / Б.С. Слободян // Всеукраїнська наукова конф. молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань: тези доп. (Донецьк, 6-7 грудня 2006 р.) - Донецьк: ДонНУ, 2006. - С. 114-116.

10. Слободян Б.С. Локальне проковзування півплощин за дії зосереджених чинників та тиску газорідинного заповнювача міжконтактного простору / Б.С. Слободян, Н.І. Маланчук // 8_й Міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові: тези доповідей (МСУІМЛ - 8, Львів, 23-25 травня 2007 р.). - Львів: НУ «Львівська політехніка», 2007. - С. 67-68.

11. Слободян Б.С. Пружна взаємодія півпростору та жорсткої основи з виїмкою, заповненою стисливим газом і рідиною / Б.С. Слободян, Р.М. Мартиняк // VII Українсько-польський науковий симпозіум «Актуальні задачі механіки неоднорідних структур»: тези (Львів, 5-9 вересня 2007 р.). - Львів: ЛНУ ім. І. Франка, 2007. - С. 24-25.

12. Слободян Б.С. Контакт півпростору та жорсткої основи з еліптичною виїмкою, що містить симетричні капіляри / Б.С. Слободян // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробагатька: тези доповідей (Дрогобич, 24-28 вересня 2007 р.). - Дрогобич, 2007. - С. 254.

13. Мартиняк Р.М. Контактна поведінка півпросторів з урахуванням симетричних капілярів у міжповерхневому зазорі / Р.М. Мартиняк, Б.С. Слободян // Міжнародна науково-технічна конференція «Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій»: тези доповідей (Дніпропетровськ, 17-19 жовтня 2007 р.). - Дніпропетровськ: ДНУ, 2007. - С. 46-47.

14. Монастирський Б. Контактна взаємодія пружного півпростору та жорсткої основи з еліптичною в плані виїмкою, що містить стисливий заповнювач / Б. Монастирський, Р. Мартиняк, Б. Слободян // II Міжнародна наукова конференція «Сучасні проблеми механіки та математики»: матеріали конференції (Львів, 25 - 29 травня 2008 р.). - Львів: ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України. - 2008. - Т. 2. - С. 198-200.

Размещено на Allbest.ru

...