Теорія та аналіз явищ оптичної дифракції на складних періодичних структурах

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. У 80-их роках та в першій половині 90-их років минулого століття сформувався строгий метод зв'язаних хвиль (МЗХ). Цей метод набрав широкої популярності завдяки тому, що задача дифракції на одновимірних ґратках зводиться до розв'язку системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними чи змінними коефіцієнтами, і ці рівняння зручно розв'язувати матричними методами. Величезна кількість публікацій у провідних виданнях Заходу присвячена металічним ґраткам, які мають унікальні властивості та знаходять практичне застосування, фотонним кристалам та пристроям на їх основі, а також ґраткам Брегга на оптичних волокнах. На основі періодичних структур розробляються оптичні прилади нового типу, наприклад, оптичні фільтри з надзвичайно вузькою смугою пропускання, компенсатори дисперсії оптичних волокон, поляризатори, світлоподільники, мультиплексори та демультиплексори. Тому періодичні структури та можливості їх застосувань, методи аналізу таких структур інтенсивно досліджуються науковцями світу, в тому числі вченими України.

Досягнення українських учених, які стосуються вивчення періодичних структур, займають вагоме місце у спільному доробку науковців світу. У хронологічному порядку появи визначних досягнень слід згадати Хижняка М.А. (Харків, ІРЕ НАНУ), який вперше почав досліджувати “штучні анізотропні діелектрики, утворені правильними просторовими ґратками зі складними розсіюючими центрами у вузлах”; тобто мова іде фактично про фотонні кристали. Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Масалов С.О., Сіренко Ю.К. та їх співробітники (Харків, ІРЕ НАНУ) провели фундаментальні дослідження з дифракції електромагнітних хвиль НВЧ діапазону на різноманітних періодичних структурах, причому розроблювані теорії мали строге математичне обґрунтування. Вагомий внесок у вивчення періодичних структур та пристроїв на їх основі внесли Соскін М.С. зі співавторами (Київ, ІФ НАНУ). Тут варто згадати їхню монографію, яка стосується лазерів на динамічних ґратках або, іншими словами, оптичних генераторів на чотирихвильовому змішуванні. Значні дослідження з дифракції виконані Назарчуком З.Т. (Львів, ФМІ НАНУ). Ґрунтовний аналіз багатошарових структур і відповідних пристроїв на їх основі проведений Фекешгазі І.В. і Перваком Ю.О. (Київ, ІФН, НАНУ). Останніми роками проводяться цікаві дослідження дифракції на періодичних структурах Кацом А.В. зі співробітниками (Харків, ІРЕ НАНУ), які стосуються актуальної проблеми аналітичних методів аналізу, та Борульком В.Ф. (Національний університет Дніпропетровська), який вивчає генерацію другої гармоніки в періодичних структурах. Вагомі дослідження дифракції на випадкових та періодичних фазових структурах проводяться в ІФКС НАНУ і в ФМІ НАНУ під керівництвом Шовгенюка М.В. та Муравського Л.І. Значний внесок зробили українські вчені у розробку фоточутливих матеріалів для запису ґраток голографічним методом і відповідних пристроїв на їх основі: Находкін М.Г. зі співробітниками (Київ, Національний університет ім. Т. Шевченка) досліджували та розробляли реверсивні фототермопластичні матеріали; Смирнова Т.М. і Тихонов Е.О. та їх співробітники (Київ, ІФ НАНУ) створили фотополімерні композиції для запису високоефективних фазових голограм; Індутний І.З., Романенко П.Ф. та співавтори (Київ, ІФН НАНУ) провели фундаментальні дослідження фоточутливих середовищ на основі халькогенідних стекол та запропонували виготовляти дифракційні ґратки для спектральних приладів та райдужні голограми на цих матеріалах.

Отже, періодичні структури та їх застосування, методи аналізу таких структур інтенсивно вивчаються багатьма ученими світу, що свідчить про актуальність цих досліджень.

У дисертації досліджується взаємодія електромагнітних хвиль оптичного діапазону з періодичними структурами, пояснюються фізичні явища, що зумовлені таким взаємодіями, вдосконалюються МЗХ та інші методи аналізу дифракції.

Мета і задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає у створенні теоретичних основ для аналізу взаємодії оптичних хвиль з різноманітними періодичними структурами, в аналізі цієї взаємодії МЗХ та іншими методами, в отриманні точних та наближених аналітичних виразів для визначення параметрів періодичних структур, які можуть мати застосування для синтезу оптичних приладів нового типу.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв'язати такі задачі:

1. Отримати методом збурень точну систему лінійних диференціальних рівнянь МЗХ та систему рівнянь у параболічному наближенні. Знайти зручні представлення електромагнітного поля для аналізу періодичних структур.

2. Показати, що для аналізу суто відбивних ґраток та багатошарових структур можна використати розклад поля в ряд Фур'є та отримати нескінченновимірну систему лінійних диференціальних рівнянь.

3. Розробити стійкі методи числового аналізу періодичних структур МЗХ. Для задач дифракції, в яких виконуються умови просторової симетрії, переформатувати систему диференціальних рівнянь МЗХ для скорочення часу комп'ютерних розрахунків і/або підвищення точності аналізу.

4. На основі розв'язку МЗХ на одному періоді створити та дослідити новий ефективний метод аналізу 2D фотонних кристалів.

5. Дослідити нелінійність запису товстих голограм і отримати аналітичні вирази, що зв'язують істинну та ефективну модуляції показника заломлення.

6. Знайти області застосування наближених методів аналізу дифракції на ґратках та провести взаємну верифікацію МЗХ і наближених методів. Змоделювати ефект Тальбота МЗХ та порівняти з наближеною моделлю.

7. Провести дослідження поглинання електромагнітної енергії системою, що складається з діелектричної або металічної ґратки на металічній підкладці. Виявити механізми поглинання та показати, що високе поглинання супроводжується хвилеводними та резонансними явищами у системі.

8. Провести дослідження пропускання металічних ґраток з вузькими щілинами, а також структур: діелектрична або металічна ґратка - тонка плівка металу - діелектрична або металічна ґратка; шар діелектрика - тонка плівка металу або інтерференційне дзеркало - шар діелектрика. Показати, що аномально високе пропускання у вузькій спектральній області супроводжується хвилеводними ефектами та резонансом електромагнітного поля.

9. Провести дослідження МЗХ багатошарових голограм, виявити їхні властивості, запропонувати методи виготовлення та можливі застосування.

10. Проаналізувати одномодові оптичні волокна з системою ґраток Брегга. Дослідити аподизацію ґраток та її вплив на спектральну залежність коефіцієнта відбивання.

11. Дослідити нетрадиційні методи просвітлення за допомогою перехідного шару та рельєфних діелектричних ґраток.

1. Літературні джерела, які стосуються оптичної дифракції на ґратках, поширення оптичних хвиль у фотонних кристалах, у багатошарових структурах та в оптичних волокнах з ґратками Брегга, а також досліджено різні методи аналізу взаємодії електромагнітних хвиль з періодичними структурами

Зроблено висновок, що найбільш перспективним методом для аналізу дифракції на одновимірних періодичних структурах є МЗХ. Коротко опишемо його для двох випадків. Так, для голографічних ґраток, для яких зміна діелектричної сталої в певному напрямку описується законом косинуса, відома така система диференціальних рівнянь для хвиль ТЕ - поляризації:

(1)

де - напруженість електричного поля в ґратці, яка відповідає -вій зв'язаній хвилі, , - середнє значення відносної діелектричної проникливості матеріалу ґратки, - амплітуда гармонічно змінної складової діелектричної сталої, - кут нахилу штрихів до площини ґратки, - кут падіння пучка на ґратку, , де - період ґратки.

Поле в ґратці представляється так:

(2)

де - хвильовий вектор заломленої падаючої хвилі в ґратці при нульовій модуляції. На основі (2) на границі однорідних та неоднорідного (ґратка) середовищ формуються краєві умови, які разом з системою рівнянь (1) дозволяють розрахувати дифракційні ефективності всіх плоских хвиль, що поширюються в однорідних середовищах. Система рівнянь (1) отримана з використанням теореми Флоке.

Для планарних ґраток з прямокутним чи іншим рельєфом використовують таку систему рівнянь для хвиль ТЕ - поляризації:

(3)

причому, напруженості полів у ґратці можна представити таким чином:

(4)

де , , - матриця Теплиця, яка формується з коефіцієнтів розкладу в комплексний ряд Фур'є.

Система диференціальних рівнянь, що описують дифракцію хвиль ТМ - поляризації, має вигляд:

(5)

Але при розрахунках виявилося, що ця система рівнянь не забезпечує швидкої збіжності в залежності від кількості врахованих дифракційних порядків. Тому використовують модифіковану систему рівнянь:

(6)

Напруженості магнітного і електричного полів для хвиль ТМ -поляризації запишемо у вигляді:

(7)

Системи рівнянь (3) і (5) чи (6) можна звести до відповідних систем рівнянь другого порядку у матричному вигляді:

для ТЕ - поляризації: , (8)

для ТМ - поляризації: (9)

Стійкі числові алгоритми зводяться до представлення розв'язку рівнянь (8) і (9) відповідно у таких формах:

, (10)

, (11)

де - вектори, які визначаються крайовими умовами, , , - діагональна матриця, яка сформована на основі впорядкованої послідовності чисел , де - власні числа матриці чи , - матриця, яка сформована з власних векторів матриці або , - товщина ґратки, або товщина шару, в межах якого не залежить від Доповнюючи системи диференціальних рівнянь крайовими умовами, можна розрахувати поле у всьому просторі та дифракційні ефективності усіх порядків, що відповідають плоским хвилям.

Зроблено висновок про можливість ефективного використання МЗХ для побудови зонної структури фотонних кристалів. Вивчено літературні джерела, які стосуються нелінійного запису товстих фазових голограм. Проаналізовано стан досліджень, які стосуються дифракції електромагнітних хвиль на ґратках, що мають у своєму складі метали, оскільки в них спостерігаються аномальні ефекти, які не мали задовільного пояснення.

На основі проведеного аналізу зроблено висновок про можливість вдосконалення МЗХ та його ширшого застосування. Фактично на основі досліджень першого розділу сформульовано мету та задачі дисертаційної роботи, розв'язок яких дозволить створити цілісний та раціональний МЗХ, та пояснити фізичні явища, що мають місце при дифракції, отримати аналітичні вирази для визначення параметрів періодичних структур.

2. Система диференціальних рівнянь для ґратки з косинусоїдальною зміною діелектричної сталої в певному напрямі.

Системи рівнянь можуть бути отримані при виконанні умови:

Цей важливий результат є наслідком того, що періодична об'ємна структура вважається нескінченною в площині , а товщина ґратки обмежена.

Для суто відбиваючих ґраток з довільним періодичним законом зміни діелектричної сталої (чи для структури, для якої діелектрична стала залежить лише від з відповідним періодичним продовженням) отримана така система рівнянь, відповідно, для хвиль ТЕ і ТМ - поляризацій:

Встановлено, що ці нескінченновимірні системи рівнянь з постійними коефіцієнтами еквівалентні відповідним системам двох рівнянь:

В еквівалентності можна переконатись, якщо та представити у такому вигляді:

Метод розв'язку з використанням системи рівнянь назвемо методом розкладу поля в ряд Фур'є (МРПРФ). Крайові умови для систем (20) мають вигляд:

Зв'язок між та визначається через передавальну матрицю у такій формі: . Для суто відбиваючих ґраток, в яких діелектрична стала змінюється за періодичним законом, елементи можна шукати як суму елементів середнього стовпця відповідних матриць , які формуються на основі розв'язку систем. Такий спосіб пошуку матриці забезпечує вищу точність та кращу збіжність числового розв'язку ніж у відомих аналогічних методах. Передавальну матрицю також можна знайти як розв'язок для відповідного матричного рівняння при початковій одиничній матриці 2-го порядку, наприклад, числовим методом Рунге-Кутта четвертого порядку.

З допомогою систем рівнянь та відповідних крайових умов проведено числовий аналіз різноманітних ґраток та багатошарових структур. Для прикладу наведемо результати досліджень поведінки коефіцієнта відбивання від такої структури: діелектрик з діелектричною сталою 3, перехідний шар товщиною 0,5мкм, в якому діелектрична стала змінюється лінійно від 3 до 2, та діелектрик з діелектричною сталою 2. Розрахунок коефіцієнта відбивання проводився МРПРФ з використанням 41 члена в представленні поля, причому, перехідний шар рівний половині періоду, і на другій половині (віртуальній половині) періоду діелектрична стала змінювалась за лінійним законом від 2 до 3. Це забезпечило швидку збіжність в залежності від кількості врахованих членів, оскільки . Для контролю ця задача розв'язувалась також з використанням системи (20). На рис. 1 представлені результати досліджень. Бачимо, що перехідний шар забезпечує просвітлення. Проте, шар з лінійною залежністю діелектричної сталої не є оптимальним. Відбивання у широкій спектральній області мінімізує така залежність показника заломлення перехідного шару: