Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ

ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Розв'язування квазістатичних задач термопружності для півбезмежних неоднорідних тіл на основі розвинень за кратними інтегралами ймовірностей

ГОРЕЧКО Надія Олександрівна

Львів - 2009

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Елементи конструкцій сучасного приладо- та машинобудування (двигуни внутрішнього згорання, турбіни, теплообмінники, трубопроводи, компоненти електронних схем) при їх виготовленні та експлуатації можуть зазнавати впливу різких змін температур у результаті теплообміну з довкіллям чи локальних імпульсних теплових навантажень високої інтенсивності. Для забезпечення надійного функціонування таких систем, які в реальних умовах перебувають під дією неусталених теплових навантажень, необхідно проводити детальний аналіз їх нестаціонарного температурного поля та відповідного термопружного стану з повним урахуванням структури, неоднорідності (конструктивної або зумовленої тим, що фізико-механічні характеристики матеріалів залежать від зміни температури), а також умов реальної експлуатації.

Побудова розв'язків квазістатичних задач термопружності при застосуванні класичного методу математичної фізики - інтегрального перетворення Лапласа за часовою змінною - наштовхується на проблему обернення, яка за своєю складністю у більшості випадків не поступається складності вихідної задачі, особливо при розгляді неоднорідних тіл. Зокрема, для дво- і тривимірних задач термопружності, навіть за можливості аналітичного обернення застосованих інтегральних перетворень за просторовими змінними, здійснити обернення перетворення Лапласа за часовою змінною часто вдається лише числовим способом або з використанням асимптотичних властивостей трансформант, що впливає на точність результатів.

Аналіз існуючих розв'язків нестаціонарних задач теплопровідності, побудованих за допомогою інтегрального перетворення Лапласа, показує, що вони доволі часто записуються у вигляді рядів та інтегралів. Аналітичні розв'язки квазістатичних задач термопружності для безмежних і півбезмежних областей, як правило, записуються у вигляді функцій помилок чи інтегралів від них (кратних інтегралів ймовірностей).

Тому актуальною є потреба розробки нової аналітично-числової методики розв'язування нестаціонарних задач теплопровідності і відповідних квазістатичних задач термопружності для півбезмежних неоднорідних, зокрема, кусково-однорідних та термочутливих (із залежними від температури фізико-механічними характеристиками) тіл, яка б давала можливість записувати розв'язки задач для півбезмежних областей у замкнутому вигляді та спрощувати в цілому процедуру розрахунку теплового і термопружного станів таких тіл.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася в рамках держбюджетних тем Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України: “Розробка аналітично-чисельних методів дослідження напруженого стану неоднорідних тіл з тепловими та залишковими деформаціями та дефектами структури” (2004-2006 рр., № держреєстрації 0103U000131), “Розробка моделей та методів розрахунку теплового і напружено-деформованого стану структурно-неоднорідних елементів конструкцій з урахуванням фізичної нелінійності матеріалу” (2007-2008 рр., № держреєстрації 0107U000357), “Математичне моделювання і методи дослідження та оптимізації в термомеханіці неоднорідних тіл” за цільовою науковою програмою НАН України “Сучасні методи дослідження математичних моделей в задачах природознавства та суспільних наук” (2007-2008 рр., № держреєстрації 0107U000362), “Дослідження і оптимізація процесів тепломасопереносу та деформування в шаруватих і багатокомпонентних тонкостінних елементах конструкцій” за проектом з програми спільних досліджень НАН України та Сибірського відділення РАН (2006-2008 рр., № держреєстрації 0106U006380).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка аналітично-числової методики визначення нестаціонарних температурних полів та спричинених ними напружень у півбезмежних неоднорідних тілах з використанням розкладів за кратними інтегралами ймовірностей, а також побудова на цій основі розв'язків квазістатичних задач термопружності для неоднорідних тіл, які нагріваються зовнішнім середовищем і джерелами тепла, та дослідження їх теплового і термопружного станів.

Досягнення вказаної мети передбачає вирішення таких завдань:

· розробити методику визначення нестаціонарних температурних полів для півбезмежних неоднорідних тіл, яка ґрунтується на розкладі розв'язку за кратними інтегралами ймовірностей, та побудувати алгоритм визначення відповідних квазістатичних напружень; провести тестування запропонованого підходу на типових задачах термопружності;

· поширити розроблену методику на двовимірні за просторовою координатою квазістатичні задачі термопружності для складених тіл та на відповідні задачі термопружності з нелінійними умовами контакту;

· адаптувати запропоновану методику для побудови розв'язків нелінійних нестаціонарних задач теплопровідності та отриманої методом збурень послідовності крайових задач щодо визначення термопружного стану термочутливих тіл за умов осесиметричного теплового навантаження.

Об'єктом дослідження є неоднорідні півбезмежні (термочутливі та складені) тіла, що перебувають в умовах конвективного теплообміну з довкіллям та неусталеного теплового навантаження.

Предметом дослідження є аналіз розподілів нестаціонарних полів температури та квазістатичних температурних напружень у неоднорідних тілах, які нагріваються шляхом теплообміну з довкіллям та джерелами тепла.

Методи дослідження. Для досягнення поставленої мети використано відомі та розвинуто нові методи. Зокрема, розроблено метод розкладу шуканих розв'язків задач за кратними інтегралами ймовірностей та поліномами Ерміта, використано спеціальні функції, методи інтегральних перетворень, “лінеаризуючого параметра” та збурень.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

· вперше до розв'язання нестаціонарних задач теплопровідності та відповідних квазістатичних задач термопружності для півбезмежних тіл запропоновано застосувати методику, яка ґрунтується на розкладі розв'язку розглядуваної задачі за кратними інтегралами ймовірностей. Це дозволяє шукати розв'язки початково-крайових задач термопружності у вигляді рядів з невідомими коефіцієнтами, які обчислюються за рекурентними співвідношеннями;

· відпрацьовано процедуру застосування запропонованої методики до побудови замкнутих розв'язків одно- та двовимірних за просторовою координатою квазістатичних задач термопружності для кусково-однорідних тіл з урахуванням нелінійностей у граничних умовах;

· показано ефективність застосування такої методики для побудови розв'язків нестаціонарних нелінійних задач теплопровідності півбезмежних термочутливих тіл, які нагріваються внутрішніми джерелами тепла та обмінюються теплом з зівнішнім середовищем;

· адаптовано запропоновану методику до побудови розв'язків отриманої методом збурень послідовності крайових задач при визначенні термопружного стану термочутливих тіл за осесиметричного теплового та силового навантажень;

· отримано замкнуті розв'язки та проведено числовий аналіз низки нових квазістатичних задач термопружності для кусково-однорідних структур (циліндричної оболонки, пластинки, простору) при їх нагріванні джерелами тепла та довкіллям;

· визначено і досліджено осесиметричне нестаціонарне температурне поле і спричинені ним квазістатичні температурні напруження у термочутливому півпросторі за умов сумісної дії конвективного та імпульсного нагрівання.

Достовірність отриманих результатів забезпечується коректністю та строгістю постановок крайових задач, чітким та послідовним застосуванням апробованих математичних методів, контрольованою точністю обчислень, узгодженням розв'язків ряду тестових задач теплопровідності і термопружності, які знайдено з використанням розробленої методики, з відомими в літературі розв'язками, отриманими іншими методами, фізичною адекватністю отриманих числових результатів.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблена в роботі методика може ефективно використовуватися для розрахунку нестаціонарних температурних полів і зумовлених ними напружень у тонкостінних і масивних кусково-однорідних та термочутливих елементах конструкцій, які моделюються півбезмежними тілами і нагріваються зовнішнім середовищем та джерелами тепла. Вона дає можливість вивчати нові закономірності щодо впливу геометричних та теплофізичних характеристик елементів конструкцій на розподіли у них температури та напружень. Дана методика, маючи самостійне значення в задачах теплопровідності, може бути застосованою і до задач дифузії, фільтрації, сушки та ін. Результати проведених в дисертаційній роботі досліджень можуть знайти застосування в інженерній практиці при проектуванні теплонавантажених елементів конструкцій.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 11 наукових праць [1 - 11], серед яких: 4 статті [1 - 4] у фахових виданнях ВАК України, 7 матеріалів і тез доповідей на міжнародних та всеукраїнських наукових конференціях [5 - 11].

Усі основні результати дисертації отримані автором самостійно. У працях, які опубліковані у співавторстві, дисертанту належать такі наукові результати: розробка методики розв'язування, побудова розв'язків задач, аналіз числових результатів [1, 6]; ідея поширення розробленої методики на поставлені задачі, розробка алгоритмів і програм числового аналізу, участь у формулюванні висновків [2, 8, 9, 11]; участь у розробці аналітично-числової методики визначення термонапруженого стану термочутливих тіл обертання [4]; побудова розв'язків задач теплопровідності та термопружності термочутливих тіл, проведення та аналіз числових розрахунків нестаціонарних температурних полів і напружень [3, 10].

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на конференціях молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка НАН України Я.С. Підстригача (Львів, 24-26 травня 2004 р., 24-27 травня 2005 р.), Всеукраїнських наукових конференціях “Сучасні проблеми механіки” до 80-річчю Д.В. Гриліцького (Львів, 2-5 листопада 2004 р.) і до 100-річчя М.П. Шереметьєва (Львів, 5-8 грудня 2005 р.), 6-ій Європейській конференції з механіки твердого деформівного тіла (Будапешт, Угорщина, 28 серпня-1 вересня 2006 р.), Міжнародній науковій конференції “Актуальні проблеми прикладної математики і механіки”, присвяченій 80-річчю академіка НАН України В.Л. Рвачова (Харків, 23-26 жовтня 2006 р.), 2-ій Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки та математики” (Львів, 25-29 травня 2008 р.).

У повному обсязі дисертація доповідалась на наукових семінарах: відділу термомеханіки та за напрямком “Механіка взаємозв'язаних полів” під керівництвом доктора фіз.-мат. наук, проф. О.Р. Гачкевича Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, кафедри механіки Львівського національного університету ім. Івана Франка під керівництвом доктора фіз.-мат. наук, проф. Г.Т. Сулима, кафедри технічної механіки Луцького національного технічного університету під керівництвом доктора фіз.-мат. наук, проф. В.М. Максимовича, відділу термопружності Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України під керівництвом доктора фіз.-мат. наук, проф. В.Г. Карнаухова.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 232 найменувань. Робота містить 31 рисунок. Повний обсяг дисертації становить 153 сторінки, з яких 22 с. список використаних джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи; окреслено зв'язок дисертації із науково-дослідними темами; сформульовано мету та завдання досліджень; висвітлено наукову новизну, достовірність і практичне значення отриманих результатів; надано відомості про публікації за темою дисертації та особистий внесок у них здобувача, апробацію результатів дисертації, її структуру та обсяг; тезисно викладено зміст роботи.

У першому розділі наведено огляд літератури стосовно проблем дослідження термонапруженого стану неоднорідних тіл, фізико-механічні характеристики яких залежать від координат чи температури. Основні результати таких досліджень відображені в низці монографій та статей, зокрема, у працях О.Є. Андрейківа, В.В. Болотіна, Я.Й. Бурака, А.Т. Василенка, В.М. Вігака, О.Р. Гачкевича, Е.І. Григолюка, Я.М. Григоренка, Д.В. Гриліцького, В.Т. Грінченка, В.С. Гудрамовича, О.М. Гузя, О.І. Ільюшина, С.О. Калоєрова, В.Г. Карнаухова, Г.С. Кіта, А.Д. Коваленка, В.І. Козлова, Л.І. Коздоби, Ю.М. Коляна, В.Д. Кубенка, Р.М. Кушніра, Л.М. Лобанова, В.А. Ломакіна, Р.М. Мартиняка, В.В. Мелешка, І.О. Мотовиловця, Ю.В. Немировського, Ю.М. Неміша, Ю.М. Новичкова, В.А. Осадчука, Я.С. Підстригача, А.К. Приварнікова, Б.Ю. Победрі, Б.В. Процюка, Г.Я. Попова, В.С. Поповича, Ю.С. Постольника, В.Л. Рвачова, М.П. Саврука, Я.Г. Савули, В.С. Саркісяна, І.К. Сенченкова, Л.І. Сєдова, П.О. Стеблянка, Г.Т. Сулима, Р.Ф. Терлецького, А.Ф. Улітка, І.І. Федика, Л.А. Фільштинського, Л.П. Хорошуна, В.Ф. Чекуріна, О.М. Шаблія, Р.М. Швеця, В.П. Шевченка, Ю.М. Шевченка, М.О. Шульги, B. Boley, E. Melan, W. Nowacki, H. Parcus, J. Weiner та інших.

Для практичних розрахунків нестаціонарних полів температури доволі часто застосовується метод перетворення Лапласа. Дослідженню проблеми отримання оригіналу та її розв'язанню шляхом розробки ряду числових методів, їх аналітико-числових модифікацій (уточнені формули обернення), а також методів подання розв'язку у вигляді повних систем функцій (ортогональні поліноми) присвячені роботи В.М. Амербаєва, В.А. Галазюка, В.А. Діткіна, Г. Деча, О.О. Євтушенка, Р.М. Кушніра, В.І. Крилова, В.М. Максимовича, В.В. Михаськіва, О.В. Побережного, А.П. Пруднікова, Я.Д. П'янила, В.М. Рябова, Н.С. Скоблі, Т.Я. Соляр, І.М. Турчина, R.E. Bellman, K.S. Crump, B. Davies, L. D'Amore, L. Delves, W. Essah, R.E. Kalaba, G. Laccetti, A. Murli, A. Papoulis, R. Pissens, T.A. Schuster, D.V. Widder та інших.

У згаданих працях недостатньо уваги приділено побудові розв'язків квазістатичних задач термопружності для півбезмежних областей у явному вигляді. На розробку такої методики і розв'язання за її допомогою вказаних задач за наявності джерел тепла, лінійних і нелінійних умов теплової взаємодії з довкіллям та урахуванням залежності термомеханічних характеристик від температури спрямована дана робота.

У другому розділі наведено основні рівняння та співвідношення нестаціонарної задачі теплопровідності та відповідної квазістатичної задачі термопружності для термочутливих та кусково-однорідних тіл.

Побудова розв'язку такої нестаціонарної задачі теплопровідності (1) для термочутливих тіл у подальшому буде здійснюватися шляхом поетапної лінеаризації вихідної задачі, який включає введення інтегральної змінної Кірхгофа та застосування запропонованого В.С. Поповичем методу ”лінеаризуючих параметрів” для повної лінеаризації задачі.

Відповідна квазістатична задача термопружності в переміщеннях для осесиметричного

Наведено також основні рівняння та співвідношення квазістатичної задачі термопружності для кусково-однорідних тіл. Зокрема, приведені частково-вироджені диференціальні рівняння нестаціонарної задачі теплопровідності та відповідної квазістатичної задачі термопружності для тонкої кусково-однорідної циліндричної оболонки в осесиметричному випадку, отримані Р.М. Кушніром за допомогою методу узагальнених задач спряження.

Далі подано запропоновану у роботі методику розв'язування початково-крайових задач нестаціонарної теплопровідності і квазістатичної термопружності з використанням розкладів шуканих розв'язків за кратними інтегралами ймовірностей та відзначено особливості її застосування. ЇЇ суть полягає в тому, що використання підстановки Больцмана для задач нестаціонарної теплопровідності та розділення змінних дозволяє записати розв'язки такої задачі у вигляді розвинень за кратними інтегралами ймовірностей.

Доведено абсолютну збіжність ряду (7) при будь-яких значеннях координати і часу. Для розглянутої задачі з використанням інтегрального перетворення Лапласа за часом побудовано розв'язок, аналітичний вираз якого співпадає з розв'язком у вигляді ряду (7).

Розрахунок параметрів напружено-деформованого стану проводиться підстановкою знайдених виразів температури у відомі рівняння і співвідношення квазістатичної задачі термопружності. Показано, що отримані розв'язки такої задачі термопружності також подаються у вигляді розвинень за кратними інтегралами ймовірностей, які аналогічно до ряду температури є збіжними.

Для кусково-однорідних тіл, складених з двох півбезмежних, розв'язок задачі теплопровідності, відповідно до розглянутого підходу, записується у вигляді ряду для кожної складової. Система рівнянь для визначення коефіцієнтів отриманого ряду формується шляхом задоволення контактних умов на межі поділу різнорідних складових і прирівнювання відповідних виразів при однакових степенях часової змінної. У випадку двовимірної задачі застосовується інтегральне перетворення за однією із просторових змінних, а отримана одновимірна задача в трансформантах розв'язується в рядах аналогічно.

У третьому розділі із застосованням запропонованої методики розвинень за кратними інтегралами ймовірностей побудовано розв'язки квазістатичних задач термопружності для кусково-однорідних тіл.

Розглянуто вільну від зовнішніх навантажень тонку кусково-однорідну циліндричну оболонку, складену із зістикованих півбезмежних ізотропних кругових циліндричних оболонок товщиною і радіусом. Через поверхні оболонки відбувається теплообмін за законом Ньютона з навколишнім середовищем температури в області і нульової температури в області. На межі поділу складових має місце ідеальний термомеханічний контакт.

Квазістатичні переміщення серединної поверхні отримано з відповідного частково-виродженого диференціального рівняння шляхом застосування перетворення Фур'є за осьовою координатою та підстановки виразів температури (8). На цій основі побудовано відповідні вирази компонент тензора напружень у вигляді рядів, інтеграли обернення Фур'є у яких обчислюються за одержаними через кратні інтеграли ймовірностей рекурентними співвідношеннями.

Результати розрахунків розподілів безрозмірних температури і компонент температурних напружень,, у складеній оболонці зі сталі та алюмінію при,,, (суцільні криві) та в однорідній алюмінієвій оболонці (штрихові криві) у залежності від безрозмірних координати та часу зображені на рис.1, 2.

Побудовані розв'язки дозволяють розрахувати термопружний стан оболонки як при перехідних режимах, так і при великих часах (розв'язок прямує до стаціонарного). Для порівняння отриманого розв'язку з відомим та оцінки точності наближення рядами був використаний частковий випадок відомого розв'язку нестаціонарної задачі теплопровідності для однорідної пластинки із складним нагрівом. Встановлено, що при утриманні 20 членів ряду відносна похибка в розрахунках не перевищила 0.1%.

Неоднорідність матеріалу оболонки суттєво впливає на знак та величину температурних напружень, на межі поділу її різнорідних складових має місце розрив кільцевих напружень.

У наступному параграфі розділу запропонована методика застосована до розв'язування трибоконтатної квазістатичної задачі термопружності на прикладі кусково-однорідної трибосистеми, яка складена з двох різнорідних, стиснутих на безмежності зусиллями, пружних півпросторів. У початковий момент часу верхній півпростір починає рухатися по поверхні нижнього півпростору поступально зі швидкістю. Внаслідок дії сил тертя на ділянці контакту починає утворюватися тепло, що поширюється вглиб кожного із співдотичних тіл. Температура кожного із співдотичних півпросторів визначається з аналогічного до (4) рівняння нестаціонарної теплопровідності.

Числовий аналіз контактної температури та переміщень для серійної пари тертя під час гальмування показав наявність максимуму цієї температури перед зупинкою та відповідність залежності переміщень від часу характеру зміни температури.

У цьому ж розділі на прикладі складеної безмежної пластинки показано процедуру застосування запропонованої методики до побудови замкнутих розв'язків двовимірних за просторовою координатою квазістатичних задач термопружності. Розглянуто вільну від зовнішнього навантаження безмежну ізотропну пластинку, що складається з двох зістикованих між собою півбезмежних різнорідних пластинок з теплообміном. У початковий момент часу починає діяти рівномірно розподілене вздовж лінії джерело тепла постійної потужності . На стику пластин має місце ідеальний термомеханічний контакт.

Згідно із запропонованою методикою, при попередньому застосуванні інтегрального перетворення Фур'є за просторовою координатою , отримано Фур'є-трансформанти температури у вигляді розвинень за кратними інтегралами ймовірностей.

Фур'є-трансформанта функції напружень знайдена у вигляді розвинення за кратними інтегралами ймовірностей, коефіцієнти якого визначаються через згадані вище коефіцієнти . Вирази компонент тензора напружень знайдені шляхом почленного обчислення інтегралів Фур'є у замкнутому вигляді. Нижче, для прикладу, наведена одна з них

Розподіли безрозмірних температури та нормальних напружень на межі стику півбезмежних пластин при, зображено на рис. 3 і 4.

Основні зміни температурного поля відбуваються у межах. Поза ними температура є практично постійною, при віддаленні від джерела тепла заникає експоненціально. З плином часу температура і напруження монотонно зростають і виходять на стаціонарний режим. Нормальні напруження досягають максимальних значень на лінії дії джерела. При зменшенні тепловіддачі температурні напруження зростають.

Таким чином, у цьому розділі із застосуванням розробленої методики отримано замкнуті розв'язки одно- і двовимірних квазістатичних задач термопружності для складених із півбезмежних частин тіл у вигляді швидкозбіжних рядів за кратними інтегралами ймовірностей, коефіцієнти яких визначаються з рекурентних співвідношень.

У четвертому розділі викладено методику побудови аналітично-числових розв'язків осесиметричних квазістатичних задач термопружності для термочутливих тіл, з використанням якої визначено і досліджено тепловий і термопружний стани термочутливого півпростору за осесиметричного теплового навантаження.

Далі побудовано аналітично-числовий розв'язок квазістатичної задачі термопружності для вільного від навантаження термочутливого півпростору, на лінії якого в початковий момент часу миттєво виділяється деяка кількість тепла. Початкова температура півпростору дорівнює. Через поверхню відбувається конвективний теплообмін з довкіллям температури .

Спочатку розглянуто нестаціонарну температурну задачу (1) при. Після застосування до неї перетворення Кірхгофа та лінеаризації умови конвективного теплообміну методом “лінеаризуючих параметрів” отримано лінійну осесиметричну задачу теплопровідності на змінну Кірхгофа.

Здійснивши обернене перетворення Кірхгофа, яке для випадку лінійної залежності коефіцієнта теплопровідності від температури має вигляд, знаходимо температуру як функцію координат, часу та невідомих параметрів, які обчислюються ітераційно за нев'язкою виконання нелінійної умови теплообміну.

На основі отриманих розв'язків задачі теплопровідності здійснено числові дослідження нестаціонарного температурного поля в термочутливому півпросторі зі сталі з коефіцієнтом теплопровідності . Розрахунки виконані при єК, єК,. Проведений аналіз отриманих результатів показує, що запропонована методика побудови аналітично-числових розв'язків є ефективною для всієї часової області. Розбіжність між знайденими значеннями температури у термочутливому і нетермочутливому (при опорних значеннях теплофізичних характеристик) півпросторі зростає на лінії дії джерела тепла при малих значеннях часу та при зменшенні рівня тепловіддачі з поверхні, її величина не перевищує 5%.

За відомим розподілом температури розв'язано крайові задачі (13)-(14) для нульового наближення методу збурень та (15)-(16) для решти наближень.

Крайова задача для нульового наближення (13)-(14) складається з одного рівняння Пуассона і двох граничних умов. Тому розв'язок рівнянь Ляме для переміщень основного наближення подано у вигляді суми часткового розв'язку неоднорідного рівняння (13) та розв'язку Тередзави для пружного півпростору, навантаженого нормальними та дотичними осесиметричними зусиллями. Вирази підставлені у співвідношення (17) для напружень, а їх трансформанти на границі - у розв'язок Тередзави. Звідси компоненти напружень записано у вигляді суми.

Для побудови наступних наближень розглянуто системи (15)-(16). Праві частини рівнянь (15) при, аналогічно до нульового наближення, подано у вигляді розвинень за кратними інтегралами ймовірностей.

Коефіцієнти знайдено з числової апроксимації правої частини другого рівняння (15), а- з апроксимації правої частини першого з них.

Для визначення невідомих коефіцієнтів шляхом задоволення граничних умов (16) отримана СЛАР для та. Для наступних наближень та у праву частину рівнянь (15) підставляємо вже знайдені розклади за для компонент напружень з попередніх ітерацій. Далі обчислюємо лише числові апроксимації для розкладів за кратними інтегралами ймовірностей та коефіцієнти та .

Числовий аналіз проведено для сталевого півпростору, модуль зсуву якого є квадратичною функцією температури, а коефіцієнт теплового лінійного розширення - лінійною функцією . Коефіцієнт Пуассона вважається незалежним від температури і рівним 0.3. Розподіли радіального та колового температурних напружень (віднесених до величини), за радіальною координатою для різних значень наведено на рис.5, а їх залежність від часу - на рис.6 при однакових значеннях тепловіддачі з поверхні (). Результати для термочутливого тіла зображені суцільними кривими, а для аналогічного нетермочутливого тіла (при опорних значеннях термомеханічних характеристик) - штриховими кривими.

Отримані результати для обчислених основного і перших двох наближень показали, що друге наближення складає не більше 5% сумарних величин обчислених напружень. Зі зменшенням (при наближенні до поверхні півпростору) радіальні напруження змінюють знак на протилежний при наближенні до лінії дії джерела, а колові напруження із стискуючих стануть розтягуючими. Лише напруження монотонно спадає по на різних глибинах. Решта напружень поблизу поверхні є немонотонними функціями. Радіальні та колові напруження набувають максимального значення поблизу зони нагрівання на початку перехідного процесу, а далі зменшуються з часом. Розбіжність між знайденими значеннями напружень при врахуванні залежності термомеханічних характеристик від температури та без нього не перевищує 40% і переважно досягає максимальних значень на лінії дії джерела.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

нестаціонарний температурний кратний інтеграл

У дисертаційній роботі вирішено наукове завдання, яке полягає у розробці аналітично-числової методики для визначення і дослідження неусталених температури і термонапружень у півбезмежних неоднорідних тілах з використанням розвинень за кратними інтегралами ймовірностей. При цьому отримані наступні основні результати:

1. Запропонована ефективна методика розв'язування квазістатичних задач термопружності для напівбезмежних неоднорідних (кусково-однорідних, термочутливих) тіл дозволяє подати їх загальні розв'язки у вигляді розвинень за кратними інтегралами ймовірності. Числові дослідження показали швидку збіжність отриманих рядів у розв'язках нестаціонарних задач теплопровідності та квазістатичних задач термопружності для таких неоднорідних тіл.

2. За допомогою запропонованої методики отримано замкнуті розв'язки низки нових квазістатичних задач термопружності для кусково-однорідних структур, складові яких містять півбезмежні області:

- складеної циліндричної оболонки, яка нагрівається шляхом теплообміну з навколишнім середовищем;

- кусково-однорідної трибосистеми за нелінійних теплових граничних умов;

- безмежної складеної пластинки, яка нагрівається рівномірно розподіленим вздовж осі джерелом тепла.

3. Розроблена методика використана при розв'язуванні осесиметричної нелінійної нестаціонарної задачі теплопровідності для термочутливого півпростору з урахуванням конвективного теплообміну з поверхні. Розв'язок відповідної квазістатичної задачі термопружності для такого півпростору побудовано методом збурень, в якому вирази для визначення всіх наближень компонент напружено-деформованого стану подано у вигляді сум за кратними інтегралами ймовірностей.

4. Проведений числовий аналіз отриманих розв'язків квазістатичних задач термопружності дозволив з'ясувати кількісні та якісні закономірності розподілів температури та параметрів спричиненого нею напружено-деформованого стану. Зокрема, встановлено:

- суттєвий вплив неоднорідності матеріалу на величину та розподіл нестаціонарної температури та спричинених нею напружень у складеній циліндричній оболонці з теплообміном, розривність кільцевих напружень на межі поділу її різнорідних складових;

- наявність максимуму контактної температури перед зупинкою, а також відповідність залежності переміщень від часу характеру зміни температури у парі тертя при гальмуванні;

- локалізацію області найбільшої зміни температури в околі контакту складеної безмежної пластинки, яка нагрівається рівномірно розподіленим вздовж нормальної до поверхні поділу осі джерелом тепла, та зростання значень температури та термонапружень із зменшенням тепловіддачі з її поверхонь;

- розбіжність між температурами при врахуванні термочутливості матеріалу і без неї не більшу за 5%, а між напруженнями - за 40% для сталевого термочутливого півпростору в діапазоні температур 273-673єК та її залежність від інтенсивності теплового імпульсу в початковий момент часу. Сума нульового та першого наближень становить понад 95% сумарних величин напружень, що підтверджує добру збіжність рядів, отриманих в результаті застосування методу збурень до задачі термопружності для такого півпростору.

ЛІТЕРАТУРА

1. Горечко Н.О. Розрахунок квазістатичного термонапруженого стану напівбезмежних контактуючих тіл / Н.О. Горечко, Р.М. Кушнір // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2005. - Т. 48, № 3. - С. 82-87.

2. Горечко Н.О. Розрахунок неусталеного термопружного стану трибосистеми під час гальмування / Н.О. Горечко, Р.М. Кушнір // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2006. - Т. 42, № 5. - С. 81-86.

3. Попович В.С. Температурне поле термочутливого півпростору від нагрівання миттєвим лінійним джерелом тепла / В.С. Попович, Н.О. Горечко // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2006. - Т. 49, № 4. - С. 183-188.

4. Попович В. Визначення температурних напружень у термочутливих елементах конструкцій, які моделюють тілами обертання / В. Попович, Н. Горечко // Машинознавство. - 2006. - № 7 - С. 18-22.

5. Горечко Н.О. Про один спосіб розрахунку нестаціонарного температурного поля у двох контактуючих напівбезмежних тілах / Н.О. Горечко // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка Я. С. Підстригача, 24-26 травня 2004 р.: тези доп. - Львів, 2004. - С.61-62.

6. Горечко Н.О. Про використання розкладів за кратними інтегралами ймовірності для задач квазістатичної термопружності / Н.О. Горечко, Р.М. Кушнір // Сучасні проблеми механіки (до 80-річчя Д.В. Гриліцького): всеукраїнська наукова конференція, 2-5 листопада 2004 р.: тези доп. - Львів, 2004. - С. 28-29.

7. Горечко Н.О. Використання розкладів за кратними інтегралами ймовірності в трибоконтактній задачі термопружності / Н.О. Горечко // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка Я. С. Підстригача, 24-27 травня 2005 р.: тези доп. - Львів, 2005. - С.111.

8. Горечко Н. Про розв'язування квазістатичних задач термопружності для напівбезмежних тіл / Н. Горечко, Р. Кушнір // Сучасні проблеми механіки (до 100-річчя М. П. Шереметьєва): всеукраїнська наукова конференція, 5-8 грудня 2005 р.: тези доп. - Львів, 2005. - С. 37-38.

9. Kushnir R. Quasi-Static Thermal Stresses Analysis in Semi-Infinite Bodies [Електронний ресурс]/ R. Kushnir, N. Horechko // 6th European Solid Mechanics Conf., 28 August-1 September 2006: proceedings - Budapest, 2006.- 1 електрон. опт. диск (CD-ROM): 12см.- Систем. вимоги: Pentium: 32Mb RAM; CD-ROM Windows 98/ 2000/NT/XP. - Назва з титул. екрану.

10. Кушнір Р.М. Дослідження термонапруженого стану у термочутливому півпросторі / Р.М. Кушнір, В.С. Попович, Н.О. Горечко // Актуальные проблемы прикл. математики и механики: междунар. конф., посв. 80-летию академика НАН України В.Л. Рвачева, 23-26 октября 2006 г.: тезисы докл. - Х.: ИПМаш им. А.Н. Подгорного НАН Украины, 2006. - С. 74.

11. Кушнір Р. Визначення неусталеного термопружного стану складеної пластинки з теплообміном / Р. Кушнір, Н. Горечко // Сучасні проблеми механіки та математики: II міжнародна наукова конференція, 25-29 травня 2008 р.: матер. конф. -Львів, 2008. - Т. 1. - С. 174-176.

Размещено на Allbest.ru