Розв'язок задач про коливання п'єзоелектричних шаруватих стрижнів та пластин при динамічному навантаженні на основі асимптотичного підходу

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

«ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

МІНІСТЕРСТВА ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

УДК 539.3:537.226.86

01.02.04 - Механіка деформованого твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧ ПРО КОЛИВАННЯ П'ЄЗОЕЛЕКТРИЧНИХ ШАРУВАТИХ СТРИЖНІВ ТА ПЛАСТИН ПРИ ДИНАМІЧНОМУ НАВАНТАЖЕННІ НА ОСНОВІ АСИМПТОТИЧНОГО ПІДХОДУ

Ганілова Ольга Анатоліївна

Запоріжжя - 2009



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Державному вищому навчальному закладі «Запорізький національний університет» Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор, Грищак Віктор Захарович, Державний вищий навчальний заклад «Запорізький національний університет» Міністерства освіти і науки України, завідувач кафедри прикладної математики і механіки, заслужений діяч науки і техніки України.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, Новицький Віктор Володимирович, Інститут математики НАН України, завідувач відділом аналітичної механіки;

доктор фізико-математичних наук, професор, Павленко Анатолій Васильович, Національна металургійна академія України, завідувач кафедри вищої математики.

Захист відбудеться « 11 » грудня 2009 р. о 1500 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 17.051.06 при Державному вищому навчальному закладі «Запорізький національний університет» Міністерства освіти і науки України за адресою:69600, м. Запоріжжя, вул. Жуковського,66.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Державного вищого навчального закладу «Запорізький національний університет» Міністерства освіти і науки України за адресою:69600, м. Запоріжжя, вул. Жуковського,66.

Автореферат розісланий « 05 » листопада 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Ю. О. Сисоєв



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Значна кількість задач механіки деформівного твердого тіла зводиться до розв'язку лінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами та параметром при старшій похідній. Навіть задачі в нелінійній постановці у результаті лінеаризації можуть бути зведені до диференціальних рівнянь такого типу. Подібні рівняння, як правило, не можуть бути розв'язані точно, саме тому застосовуються різноманітні наближені аналітичні або чисельні методи. Відзначимо, що серед наближених аналітичних методів суттєве місце посідають асимптотичні підходи, які дозволяють провести аналіз основних диференціальних рівнянь та отримати у ряді випадків надійні наближені аналітичні розв'язки.

Існуючі дослідження у цьому напрямі пов'язані головним чином із застосуванням чисельних методів. Слід відзначити, що поведінка конструкцій з інтегрованими в них п'єзоелектричними компонентами аналізується в значній кількості досліджень на базі методу скінчених елементів. Саме тому особливе теоретичне і прикладне значення набувають дослідження у цій сфері на базі наближених аналітичних підходів, що дозволяє на етапі проектування реальних конструкцій досить швидко проаналізувати вплив геометричних та механічних параметрів на динамічні характеристики досліджуваних систем.

Дисертаційна робота присвячена розробці асимптотико-чисельного підходу, на базі гібридного ВКБ-Гальоркін методу, з метою побудови алгоритмів розв'язку та отримання надійних наближених аналітичних залежностей і чисельних результатів для задач динаміки шаруватих конструкцій у більш загальній постановці, враховуючи змінний у часі коефіцієнт демпфування, що характерно для систем із встановленим зовнішнім демпфером. У дисертації проводиться дослідження поведінки багатошарового п'єзоелектричного стрижня, прямокутної ортотропної та п'єзоелектричної тришарових пластин та вивчається поведінка прямокутної пластини за умов нелінійної постановки задачі. Суттєвим етапом дослідження шаруватих конструкцій є аналіз впливу змінного у часі коефіцієнта згасання, що надає змогу запропонувати практичні рекомендації стосовно методу і результатів дослідження. Отримані наближені аналітичні розв'язки є розв'язками класу лінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, до яких зводиться значна кількість задач деформівних середовищ.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в межах науково-дослідницької теми Міністерства освіти і науки України «Розв'язання проблем механіки неоднорідного середовища на основі гібридних, асимптотичних та чисельних підходів» (номер держреєстрації 0106У000582), де здобувач була виконавцем окремих розділів, присвячених розв'язанню задач динамічної поведінки шаруватих конструкцій.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розробка ефективного асимптотико-чисельного підходу на базі гібридного ВКБ-Гальоркін методу для розв'язання проблем вимушених коливань лінійних та нелінійних механічних шаруватих конструкцій, демпфування яких представлено як функція часу. Дані задачі механіки деформівного твердого тіла зводяться до лінійних диференціальних рівнянь та систем зі змінними коефіцієнтами і параметром при старшій похідній.

Для досягнення сформульованої мети у роботі були поставлені наступні завдання: гальоркін коливання шаруватий демпфування

- проведення аналізу моделей коливань шаруватих механічних структур, приділяючи особливу увагу п'єзоелектричним шаруватим системам;

- проведення дослідження шляхів застосування різних гібридних методів у задачах механіки деформівного твердого тіла та аналіз їх точності з метою визначення найбільш ефективного підходу для розв'язання поставлених задач;

- розробка асимптотико-чисельного підходу, на базі гібридного ВКБ-Гальоркін методу, для отриманих диференціальних рівнянь, в загальному випадку зі змінними коефіцієнтами та параметром при старшій похідній, які характеризують задачі у більш загальній постановці;

- здобуття та перевірка точності розв'язків, одержаних із використанням розробленого підходу для задач динаміки тришарових пластин, а також задачі про коливання пластини у нелінійній більш загальній постановці;

- чисельний аналіз впливу характеру змін коефіцієнта демпфування на розв'язок основного диференціального рівняння;

- розробка та застосування асимптотико-чисельного підходу, на базі гібридного ВКБ-Гальоркін методу, до розв'язання задач механіки, зокрема, задач про коливання шаруватих п'єзоелектричних стрижня та пластини, враховуючи динамічний характер коефіцієнта демпфування;

- чисельний аналіз результатів, отриманих за запропонованим наближеним аналітичним підходом і за прямим чисельним методом, та формулювання висновків і рекомендацій стосовно використання розробленого підходу.

Об'єкт дослідження - багатошарові стрижні та тришарові пластини, які є основними структурними елементами конструкцій.

Предмет дослідження - поведінка при динамічному навантаженні за умов змінного у часі коефіцієнта демпфування п'єзоелектричного багатошарового стрижня, тришарової ортотропної пластини та тришарової п'єзоелектричної пластини.

Методи дослідження. Для досягнення сформульованої мети у дисертаційній роботі застосовано гібридний ВКБ-Гальоркін метод для розробки асимптотико-чисельного підходу з метою дослідження поведінки шаруватих структур. Прямий чисельний метод Рунге-Кутта застосовано для розв'язку задач про вимушені коливання досліджуваних систем та порівняння чисельних результатів з отриманими наближеними аналітичними розв'язками. Завдяки методу Бубнова-Гальоркіна нелінійна задача про вимушені коливання прямокутної пластини зі змінним у часі коефіцієнтом демпфування зводиться до розв'язку нелінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами. У цьому випадку для проведення лінеаризації обрано метод збурень, як найбільш прийнятний для поставленої задачі, з метою отримання більш загального розв'язку та проведення зіставлення з уже існуючими розв'язками.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

- вперше сформульовано та розроблено наближений асимптотико-чисельний підхід на базі гібридного ВКБ-Гальоркін методу, який дозволяє отримати розв'язки класу прикладних задач механіки деформівного твердого тіла, зокрема про коливання шаруватих конструкцій, що характеризуються змінним у часі демпфуванням, характерним для новітніх систем зі встановленим зовнішнім демпфером та які описуються лінійними та нелінійними диференціальними рівняннями зі змінними коефіцієнтами;

- запропонований аналітико-чисельний підхід уперше застосовано для розв'язку задач про вимушені коливання під дією динамічного навантаження п'єзоелектричного багатошарового стрижня з початковими геометричними недосконалостями, тришарових ортотропної та п'єзоелектричної пластин, що характеризуються впливом ефекту зсувних зусиль та змінним у часі коефіцієнтом згасання;

- завдяки розробленому підходу було вперше одержано розв'язок задачі про вимушені коливання прямокутної пластини в нелінійній більш загальній постановці, яка характеризується змінним у часі демпфуванням та удосконалено отриманий для даного типу задач аналітичний розв'язок;

- дістав подальший розвиток гібридний ВКБ-Гальоркін метод, що надало можливість отримувати загальний роз'язок класу задач, які зводяться до розв'язку диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, що сприяє суттєвому зменшенню обчислювальних затрат.

Отже, наукове значення роботи полягає в отриманні нових науково обґрунтованих результатів, які в сукупності є істотними для розвитку досліджень в галузі механіки деформівного твердого тіла та динамічної поведінки шаруватих і п'єзоелектричних конструкцій.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи дозволяють отримати наближений аналітичний розв'язок класу задач механіки деформівного твердого тіла, що зводяться до лінійних та нелінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами та параметром при старшій похідній.

Запропонований підхід рекомендовано використовувати для розв'язання задач механіки п'єзоелектричних шаруватих структур за умови застосування моделей з урахуванням геометричних недосконалостей, впливу зовнішнього демпферу або зміни механічних параметрів за часом.

Результати роботи використані при виконанні робіт за держбюджетною темою Міністерства освіти і науки України, а також у навчальному процесі Державного вищого навчального закладу «Запорізький національний університет» Міністерства освіти і науки України на кафедрі прикладної математики і механіки.

Особистий внесок здобувача. Робота виконувалася під науковим керівництвом професора В. З. Грищака, разом з яким було опубліковано наукові праці [1-3,5-13]. Основні результати дисертаційної роботи отримано здобувачем самостійно. При цьому конкретний особистий внесок автора полягає у проведенні дослідження та встановленні основних найбільш поширених у використанні напрямів моделювання поведінки шаруватих п'єзоелектричних структур та інших задач деформованого твердого тіла у цій сфері; формальній побудові алгоритму аналітико-чисельного підходу на базі гібридного ВКБ-Гальоркін методу для розв'язання поставлених задач, які описуються лінійними та нелінійним диференціальними рівняннями зі змінними коефіцієнтами та параметром при старшій похідній [1-13]; застосуванні гібридного ВКБ-Гальоркін методу до розв'язання деяких задач про поведінку п'єзоелектричних шаруватих конструкцій [1-3,5,8,9,13] та прикладних задач механіки деформівного твердого тіла: про напружено-деформований стан ортотропної тришарової пластини, та нелінійної задачі про коливання пластини [4,6,7,10-12] у загальній постановці, враховуючи змінний за часом коефіцієнт згасання. Співавтору професору В. З. Грищаку належать постановка задач, рекомендації щодо розробки підходу на базі гібридного ВКБ-Гальоркін методу. Співавтору професору М. Ф. Картмеллу належать рекомендації щодо подальшого застосування розробленого підходу до розв'язку задач про коливання систем із включеннями з матеріалів з пам'яттю форми [7].

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційного дослідження доповідались на міжнародній конференції «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (м. Харків, 2006 р.), міжнародній конференції «Dynamical System Modeling and Stability Investigation. DSMSI-2007» (м. Київ, 2007 р.), міжнародній конференції «Advanced Problems in Mechanics. APM 2007» (м. Санкт-Петербург, Росія, 2007 р.), міжнародній науково-технічній конференції «Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій» (м. Дніпропетровськ, 2007 р.), міжнародній конференції «6th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference. ENOC 2008» (м. Санкт-Петербург, Росія, 2008 р.), міжнародній конференції «Nonlinear Dynamics of Composite and Smart Structures, Euromech 498 Colloquium» (м. Kazimierz Dolny, Польща, 2008 р.), регіональних наукових конференціях молодих дослідників «Актуальні проблеми математики та інформатики» (м. Запоріжжя, 2006, 2007 рр.), міжнародному симпозіумі «Stability of Structures XIth Symposium» (м. Закопане, Польща, 2006 р.), міжнародному семінарі з проблем динаміки деформування механічних систем із доповіддю «Investigation of Piezoelectric Structures Subjected to Dynamic Loading» (м. Глазго, Великобританія, 2008 р.), на міжвузівському семінарі з проблем механіки деформівного твердого тіла (м. Дніпропетровськ, Придніпровська державна академія будівництва і архітектури, 2008 р.), на міжвузівському семінарі «Актуальні проблеми прикладної математики і механіки» (м. Запоріжжя, Запорізький національний університет, 2008 р.), а також на науково - практичних семінарах кафедри прикладної математики і механіки й кафедри математичного моделювання та інформаційних технологій Державного вищого навчального закладу «Запорізький національний університет» Міністерства освіти і науки України.

Публікації. За результатами виконаних досліджень опубліковано 13 робіт у наукових виданнях, в яких відображено основний зміст дисертаційної роботи та етапи її підготовки. З них: 3 - у фахових виданнях, 6 тез доповідей.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота загальним об'ємом 167 сторінок складається з вступу, 4 розділів, висновків, списку використаних літературних джерел (115 найменувань), 4 додатків на 8 сторінках, і включає у себе 155 сторінки тексту, 34 малюнка та 10 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, зазначено її зв'язок з науковими планами, темами; сформульовано мету і задачі дослідження; відображено наукову новизну, практичну та наукову цінності здобутих результатів та ступінь апробації роботи; визначено особистий внесок здобувача в публікаціях, виконаних у співавторстві. Розглянуто структуру дисертації, а також окреслено основні положення та результати, які виносяться на захист.

У першому розділі на основі дослідження літературних джерел, опублікованих як у вітчизняній, так і закордонній літературі, надано опис сучасного стану проблеми за темою дисертації. Відзначено, що суттєвий внесок у розробку теорій та методів дослідження поведінки шаруватих стрижнів та пластин був зроблений такими вченими, як А. С. Вольмир, С. П. Тимошенко, А. Найфе, С. О. Амбарцумян, С. Г. Лехницький, В. В. Болотін - у галузі анізотропних конструкцій, В. Т. Грінченко, А. Ф. Улітко, Н. А. Шульга, В. Г. Карнаухов, І. Ф. Кірічок, С. П. Томпсон, Дж. Лоаглан, М. Ішіхара, С. Е. Міллер - у сфері п'єзоелектричних структур, та Л. І. Маневіч, А. В. Павленко, Н. Н. Моісеєв, В. З. Грищак, Дж. Хедінг, Дж. Гір - у розвиток асимптотичних методів.

Були досліджені питання п'єзоелектричного ефекту, умови його виникнення та впливу на систему. Особливо було відзначено розвиток сучасних п'єзоелектричних матеріалів, які характеризуються більш сильним п'єзоелектричним ефектом. У контексті опису матеріалів із вказаним ефектом було виділено основні величини, які характеризують прямий та зворотній п'єзоелектричні ефекти, а також основні напрями застосування цих матеріалів на практиці. Слід відзначити, що у цьому розділі було проаналізовано ряд різноманітних задач, які існують у цій галузі механіки та був зроблений акцент на шляхах моделювання поведінки багатошарових п'єзоелектричних конструкцій.

У результаті проведеного дослідження напрямів моделювання п'єзоелектричних систем та методів розв'язку розглянутих задач, моделювання було сконцентроване у сфері шаруватих конструкцій та ефективного аналітичного методу для розв'язку поставленої проблеми на базі асимптотичного підходу.

У другому розділі були розглянуті основні напрями задач, пов'язані з динамічним навантаженням багатошарових п'єзоелектричних стрижнів. Спираючись на роботу А. Макхерджі та А. С. Чаудхурі, у якій використовувалася теорія непрямолінійного стрижня для отримання точного розв'язку проблеми контролю нестійкості п'єзоелектричного багатошарового стрижня, який знаходиться під дією динамічної сили, було сформульовано більш загальну постановку задачі та розроблено алгоритм розв'язку на основі гібридного ВКБ-Гальоркін методу, який дозволив отримати ефективний наближений аналітичний розв'язок задачі.

Таким чином, було досліджено поведінку суставно опертого п'єзоелектричного шаруватого стрижня, з геометричними недосконалостями, під впливом статичного, періодичного та навантаження заданого змінною у часі функцією.

У випадку, коли конструкція знаходилась під дією статичного навантаження, було розглянуто вплив змінної жорсткості та отримано диференціальне рівняння зі змінними коефіцієнтами, до розв'язку якого застосовано підхід, на основі гібридного ВКБ-Гальоркін методу, для знаходження однорідного розв'язку та метод варіації довільних змінних для знаходження часткового розв'язку. Для аналізу отриманих результатів було проведено чисельний експеримент, який підтвердив ефективність обраного підходу.

У випадку періодичного навантаження п'єзоелектричного багатошарового непрямолінійного стрижня динамічна сила, яка діє на стрижень, була представлена як , де - статична складова навантаження та - амплітуда періодичної складової, а рівняння рівноваги для даного випадку, враховуючи періодичність навантаження, набуло вигляду:

. (1)

Принциповим є той факт, що у даному розділі розглядається задача, яка враховує коефіцієнт демпфування як функцію часу виду . Відзначимо, що описане рівняння (1) було розв'язано з використанням аналітичного підходу. У чисельному прикладі було проведено аналіз впливу коефіцієнта демпфування на отриманий загальний розв'язок, змінюючи три значення параметрів () у функції демпфування, та встановлено, що найбільший вплив на поведінку функції розв'язку спричиняє зміна константи .

При дослідженні задачі, що описує поведінку п'єзоелектричного багатошарового непрямолінійного стрижня під дією навантаження заданого як функція часу, рівняння рівноваги для цього стрижня мало вигляд:

(2)

де с(t) - змінний у часі коефіцієнт демпфування, заданий у формі с(t)=c0 ц(t); t - час; P(t) - діюче довільне навантаження.

Загальний розв'язок було отримано, застосовуючи підхід на базі гібридного ВКБ-Гальоркін методу - для пошуку однорідного розв'язку та метод варіації довільних змінних - для отримання часткового розв'язку. У результаті порівняльного аналізу було встановлено, що найбільшу похибку результатів порівняно з чисельним методом дає метод фазових інтегралів. Результати гібридного розв'язку були суттєво близькими до чисельних. Проведений чисельний експеримент надав можливість встановити, що підхід на основі гібридного ВКБ-Гальоркін методу дозволяє отримувати достатньо точні результати і у галузі дослідження динамічної поведінки п'єзоелектричних багатошарових структур, які описуються диференціальними рівняннями зі змінними коефіцієнтами та характеризуються змінною жорсткістю, геометричними недосконалостями чи впливом зовнішнього демпферу.

У третьому розділі було побудовано з використанням аналітичних підходів розв'язок задачі про динамічне навантаження суставно опертої ортотропної прямокутної симетрично зібраної тришарової пластини (), що описується лінійним диференціальним рівнянням. Отриманий розв'язок базується на класичній та уточнюючій теоріях багатошарових пластин С. О. Амбарцумяна, але має більш загальну постановку та був застосований до моделі динамічного навантаження п'єзоелектричної тришарової пластини.

В результаті розв'язання задачі прогину пластини за класичною теорією, було отримано основне рівняння:



, (3)

де навантаження, прикладене нормально, з урахуванням динамічності та згасання коливань ( - коефіцієнт демпфування), розподілено по закону:

. (4)

Загальне рівняння (3), застосовуючи апроксимацію , було зведене до диференціального рівняння:

. (5)

Однорідний розв'язок цього рівняння був отриманий при застосуванні аналітичних методів, а частковий - за допомогою метода невизначених коефіцієнтів. Відзначимо, що поставлена задача (3) була також розглянута згідно ітераційної теорії, яка враховує поправкові члени, які уточнюють класичну теорію. Отримане рівняння було зведене до загального диференціального рівняння виду (5). Таким чином, отриманий загальний аналітичний однорідний розв'язок рівняння (5) було застосовано до рівняння, отриманого згідно ітераційної теорії, а частковий розв'язок було здобуто за методом невизначених коефіцієнтів.

Розглянутий чисельний приклад дозволив проаналізувати поведінку отриманих аналітичних розв'язків для класичної та ітераційної теорій. Отримані результати підтвердили висновок, представлений в праці С. О. Амбарцумяна, тобто класична теорія для багатошарових пластин дає прийнятні результати за умови, якщо матеріал середнього шару пластини є більш жорстким, ніж матеріал крайніх шарів. В іншому ж випадку для недостатньо тонких пластин треба враховувати поправки до класичної теорії.

У цьому ж розділі отриманий розв'язок було застосовано до розв'язку задачі про коливання п'єзоелектричної тришарової пластини під дією динамічного механічного Zm(x,y,t) та електричного навантаження (Vk(x,y,t)), з урахуванням коефіцієнту демпфування. Спираючись на результати аналізу моделей п'єзоелектричної багатошарової пластини, представлені у першому розділі, та використовуючи класичну теорію тришарової пластини, для задачі поперечного прогину пластини було отримано загальне рівняння у формі:

(6)

Описаний у розділі чисельний приклад був представлений для випадку квадратної пластини, п'єзоелектричний матеріал верхнього та нижнього шарів якої є BaTiO3, а середній шар являє собою PVDF. Електричне навантаження мало форму: , а механічне зовнішнє навантаження було представлено у вигляді (4) та , торкаючись питання врахування зсувних зусиль за допомогою п'єзоелектричного коефіцієнта . Отримані результати підтвердили результати для ортотропної пластини відносно впливу коефіцієнта згасання та показали значний вплив ефекту, пов'язаного з п'єзоелектричною константою (рис. 1). Подальше дослідження полягало у пошуку розв'язку, згідно ітераційної теорії, що надало можливість дослідити процес врахування зсувних зусиль для ортотропної та п'єзоелектричної пластини.

Зауважимо, що отриманий для прогину пластини розв'язок стане у нагоді також для багатьох інших практичних задач механіки, які зводяться до диференціального рівняння типу (3). Так наприклад, для моделі біморфної п'єзоелектричної пластини, яка описана рівнянням виду (3), у роботі В. Т. Грінченко, здобувши співвідношення для прогину пластини, не складає значних труднощів підрахунок величини струму провідності у ланцюгу генератора та параметрів електропружного поля.

У четвертому розділі роботи досліджується поведінка прямокутної тришарової ортотропної пластини під дією динамічного навантаження (4), але враховуючи змінне за часом демпфування , що характеризує конструкції з встановленим зовнішнім демпфером.

Для дослідження та аналізу застосовувалися як класична, так і ітераційна теорії. Згідно класичної теорії багатошарових пластин, враховуючи дослідження, проведені у попередніх розділах, основне рівняння набуло форми:

(7)

та було зведене до рівняння вигляду:

, (8)

де , л2 - малий безрозмірний параметр при старшій похідній.

Для розв'язку поставленої задачі та отримання наближеного аналітичного здобутку використовувався розроблений асимптотико-чисельний підхід, на базі гібридного ВКБ-Гальоркін методу. Застосовуючи цей метод для пошуку однорідного розв'язку та метод варіації довільних змінних для отримання часткового розв'язку, загальний розв'язок було здобуто у вигляді:



, (9)

де ,, та ,

де , С - довільні константи.

Слід відзначити, що поставлена задача (7) була розглянута також в рамках ітераційної теорії багатошарових пластин, враховуючи поправкові члени. У цьому випадку отримане диференційне рівняння було зведене до загального рівняння типу (8), гібридний аналітичний розв'язок якого було отримано у формі (9).

Відзначимо, що отриманий аналітичний розв'язок було застосовано до проблеми динамічного деформування п'єзоелектричної тришарової пластини, враховуючи динамічне демпфування у формі е(t)=Ct та , де C, M, K - довільні константи (рис. 2).

Отримані результати (рис. 2) були проаналізовані та зіставленні з прямим чисельним розв'язком за методом Рунге-Кутта, що надало можливість стверджувати, що наближений аналітичний розв'язок дозволяє отримувати достатньо точні результати, навіть у разі змінного за часом коефіцієнта демпфування. Слід зауважити, що цей розв'язок надає також можливість суттєво зменшити обчислювальні затрати порівняно з деякими чисельними методами.

Завдяки отриманому аналітичному розв'язку було також досліджено вплив ефекта зсувних зусиль на коливання п'єзоелектричної тришарової пластини. У цьому випадку моделювалася поведінка прямокутної суставно опертої п'єзоелектричної пластини, яка знаходилася під дією динамічного електричного навантаження, та нормально прикладеного механічного навантаження (4) при та

. (10)

Під час дослідження поставленої задачі надавалася особлива увага п'єзоелектричним константам , які відповідають за індукцію та зсувні зусилля, та , які визначають наявність поперечних згинальних моментів та кутового прогину. Таким чином, для дослідження впливу п'єзоелектричної константи , яка визначає наявність зсувних зусиль, та впливу уточнюючих членів ітераційної теорії, які також є поправковими до класичної теорії з метою врахування зсувних зусиль у пружній багатошаровій пластині, були розглянуті наступні два випадки. У першому випадку була розглянута пластина, під дією зовнішніх механічних сил (4) при та динамічного електричного навантаження , нехтуючи доданком з п'єзоелектричною константою , але враховуючи зсувні зусилля, застосовуючи ітераційну теорію багатошарових пластин. У другому ж випадку при діючому електричному та механічному (10) навантаженнях застосовувалася модель, яка враховує зсувні зусилля шляхом введення доданку з . Кореляція результатів, отриманих для на основі класичної та ітераційної теорій, та для випадку представлена графічно на рис. 3. Виходячи з вище отриманих результатів, можливо стверджувати, що застосування теорій та поправкових доданків, які являють собою врахування зсувних зусиль є доцільними для випадку п'єзоелектричної тришарової пластини, описаної у цій роботі. Однак, у результаті аналізу розв'язків представлених на рис. 3 для моделей п'єзоелектричної тришарової пластини, можливо зробити висновок, що більш доцільно враховувати ефект зсуву, беручи до уваги п'єзоелектричну константу, ніж застосовуючи ітераційну теорію багатошарових пластин.

Враховуючи, що багаточисельні фізичні феномени, включаючи коливання конструкцій, не можуть бути описаними у рамках лінійної теорії у цьому розділі було розглянуто модель коливання пластини у більш загальній нелінійній постановці на базі основного нелінійного диференціального рівняння зі змінними коефіцієнтами. Тобто, було розглянуто суставно оперту пластину, яка знаходиться під дією динамічного навантаження q(t), враховуючи коефіцієнт демпфування, представлений як змінна у часі функція .

Згідно процедури розв'язку, описаній у монографії А. Найфе, можливо отримати рівняння:

(11)

Для розв'язку представленого нелінійного рівняння (11) було застосовано метод збурень, який приводить до розв'язку системи диференціальних рівнянь виду (8), для яких було знайдено наближений аналітичний розв'язок застосовуючи розроблений асимптотико-чисельний підхід, на базі гібридного ВКБ-Гальоркін підходу, у формі (9). Чисельний аналіз та зіставлення результатів з прямим чисельним розв'язком на основі методу Рунге-Кутта зведено у табл. 1.

Відзначимо, що вплив нелінійності у рівнянні (11), було проаналізовано у результаті зіставлення розв'язку рівняння (11) та результату, отриманого для рівняння, виключаючи нелінійний доданок.

Таблиця 1 - Співвідношення чисельного та отриманого розв'язків

t	Метод Рунге-Кутта	Отриманий розв'язок	по-хибка %
0.01	0.49993	0.49826	0.3
0.02	0.000019988	0.000019856	0.7
0.03	0.000044940	0.000044495	1.0
0.04	0.000079809	0.000078759	1.3
0.05	0.00012453	0.00012249	1.7
0.1	0.00049258	0.00047664	3.3

Для підтвердження справедливості отриманого аналітичного розв'язку, було прийнято е=е(t)=0.0091 та представлено співставлення розв'язку для аналогічної задачі, описаної у роботі А. Найфе, але для постійного значення коефіцієнта демпфування та отриманого у дисертаційній роботі розв'язку для змінного за часом коефіцієнта згасання (табл. 2). Слід акцентувати на тому, що розв'язок у монографії А.Найфе (u(t)) був здобутий за допомогою методу збурень, як і отриманий вище розв'язок, але є справедливим лише для малих значень часу із-за наявності секулярних членів. Зауважимо, що отриманий, на базі гібридного ВКБ-Гальоркін підходу, розв'язок є розв'язком більш загального диференціального рівняння зі змінними коефіцієнтами та не має секулярних членів, тобто є коректним і для великих значень параметру часу. Однак, для зіставлення розв'язків у табл. 2 зважали лише на малі значення параметру часу. Таким чином, очевидно, що відносна похибка для представленого чисельного прикладу є зневажливо малою.

Таблиця 2 - Співвідношення отриманого розв'язку та розв'язку А.Найфе

t	Розв'язок u(t), А.Найфе	Отриманий розв'язок	похиб-ка, %
0.05	0.00012452	0.00012452	0
0.1	0.00049266	0.00049265	0.002
0.15	0.0010886	0.0010886	0
0.2	0.0018868	0.0018867	0.005
0.25	0.0028530	0.0028529	0.004
0.3	0.0039457	0.0039457	0

Порівняльний аналіз,

проведений вище, дає змогу підтвердити ефективність гібридного ВКБ-Гальоркін методу в галузі динамічної поведінки пластин навіть для задач у нелінійній постановці.

Відзначимо, що у цьому ж розділі для рівняння (8), до якого зводилися більшість розглянутих у дисертаційній роботі задач, було доведено, що його розв'язок, здобутий із застосуванням гібридного ВКБ-Гальоркін методу, має асимптотичний характер.



ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі наведене теоретичне узагальнення і нове вирішення наукової задачі, що виявляється в розробці якісно нового підходу, на основі гібридного ВКБ-Гальоркін методу, до моделювання та розв'язку класу задач деформівного середовища, зокрема про коливання при динамічному навантаженні шаруватих конструкцій, які зводяться до лінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами та параметром при старшій похідній. На підставі аналізу отриманих результатів можна сформулювати наступні найбільш важливі наукові та практичні висновки:

1. Було запропоновано новий підхід до деяких задач механіки деформівного твердого тіла, що зводяться до лінійних та нелінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами і параметром при старшій похідній, в основі якого полягає гібридний ВКБ-Гальоркін метод.

2. Запропонований підхід було застосовано до пошуку розв'язків задач про коливання у більш загальній постановці для п'єзоелектричного багатошарового стрижня, ортотропної тришарової пластини та п'єзоелектричної тришарової пластини, які описуються найбільш поширеними у механіці моделями з використанням диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами.

3. Отримані наближені аналітичні розв'язки надали можливість вперше дослідити характер впливу змінного у часі коефіцієнта демпфування на поведінку шаруватих конструкцій, які знаходяться під дією динамічного навантаження, що характерне для конструкцій аерокосмічної техніки.

4. Детальний аналіз ефекту зсувних зусиль для п'єзоелектричних тришарових пластин за використання різних моделей, застосовуючи вказаний гібридний підхід, дозволив виявити найбільш ефективний підхід до врахування зсуву у механічних системах вказаного типу.

5. Дослідження коливань пластини у нелінійній постановці дозволило одержати більш загальну модель, яка враховує, як динамічність зовнішнього навантаження, так і змінний у часі характер коефіцієнта згасання. Для поставленої задачі вдалося отримати ефективний наближений аналітичний розв'язок на основі запропонованого гібридного підходу.

6. У рамках дослідження кожної з механічних систем було проведено чисельні експерименти, які надали можливість проаналізувати точність запропонованого підходу та провести зіставлення отриманого результату з аналітичними, де можливо, та прямими чисельними розв'язками. Здобуті результати підтвердили ефективність запропонованого підходу при різних значеннях параметра.

7. Даний підхід рекомендовано використовувати для розв'язання задач механіки п'єзоелектричних шаруватих структур за умови використання моделей, які зводяться до розв'язку систем лінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами та параметром при старшій похідній, задач, що характеризуються геометричними недосконалостями або впливом зовнішнього демпферу, та задач про коливання систем з включеннями із матеріалів з пам'яттю форми.

8. Зауважимо, що запропонований підхід, результати дослідження, загальні висновки та рекомендації були впроваджені в навчальний процес Державного вищого навчального закладу «Запорізький національний університет» Міністерства освіти і науки України при викладанні дисциплін: «Рівняння математичної фізики» та «Чисельні методи математичної фізики», та будуть використані при моделюванні та у подальшій експериментальній роботі з платівчастими конструкціями із включеннями із матеріалу з пам'яттю форми [7]. Запропонований підхід, з одного боку, дозволяє одержати ефективні аналітичні розв'язки задач про коливання конструкцій з деякими недосконалостями геометрії чи змінним у часі коефіцієнтом демпфування, а з іншого, дає змогу дати оцінку існуючим розв'язкам, які базуються на чисельних методах. Використання отриманого наближеного аналітичного розв'язку при проектуванні конструкцій з п'єзоелектричних та матеріалів з пам'яттю форми може суттєво зменшити обчислювальні затрати. 

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Ganilova O. A. Application of a Hybrid WKB-Galerkin Method in Control of the Dynamic Instability of a Piezolaminated Imperfect Column / V. Z. Gristchak, O. A. Ganilova // Technische Mechanik. - 2006. - Vol. 26, № 2. - Р. 106-116.

2. Здобувач реалізувала алгоритм наближеного аналітичного підходу для розв'язку задачі про динамічне навантаження п'єзоелектричного багатошарового стрижня, на основі гібридного ВКБ-Гальоркін методу, та врахувала характер впливу змінного у часі коефіцієнта демпфування.

3. Ганилова О. А. К решению проблемы динамического деформирования пьезоэлектрических многослойных пластин на основе гибридного ВКБ-Галеркин метода / В. З. Грищак, О. А. Ганилова // Доповіді Національної Академії наук України. - 2008. - № 5. - С. 13-20.

4. Здобувач застосувала розроблений асимптотико-чисельний підхід, на базі гібридного ВКБ-Гальоркін методу, до задачі про динамічне навантаження тришарової п'єзоелектричної пластини, враховуючи коефіцієнт демпфування, а також провела зіставлення отриманих результатів із розв'язком за прямим чисельним методом.

5. Ganilova O. A. A Hybrid WKB-Galerkin Method Applied to a Piezoelectric Sandwich Plate Vibration Problem Considering Shear Force Effects / V. Z. Gristchak, O. A. Ganilova // Journal of Sound and Vibration. - 2008. - Vol. 317, № 1-2. - P. 366-377.

6. Здобувач провела дослідження різних моделей врахування зсувних зусиль для багатошарових пружних та п'єзоелектричних пластин та проаналізувала вплив цього ефекту на поведінку тришарової п'єзоелектричної пластини, застосовуючи розроблений асимптотико-чисельний підхід, на базі гібридного ВКБ-Гальоркін методу, враховуючи вплив змінного у часі коефіцієнта згасання.

7. Ганілова О. А. Дослідження поведінки тришарової пластинки під дією динамічного навантаження, враховуючи змінний за часом коефіцієнт затухання / О. Ганілова // Теоретичні основи будівництва. - 2008. - № 16. - С. 139-146.

8. Здобувач застосувала запропонований у інших роботах асимптотико-чисельний підхід, на базі гібридного ВКБ-Гальоркін методу, до задачі про динамічне навантаження тришарової пластинки, враховуючи вплив змінного у часі коефіцієнта демпфування, за класичної та ітераційною теоріями багатошарових пластин та провела зіставлення результатів.

9. Ganilova O. A. The Control of Dynamic Stability of Piezolaminated Column / V. Z. Gristchak, O. A. Ganilova // Proceedings of «Stability of Structures XIth Symposium» (11-15 Wrzesnia 2006, Zakopane). - Lodz : Politechnika Lodzka, 2006. - C. 111-118.

10. Здобувач розробила алгоритм розв'язку задачі про динамічне періодичне навантаження п'єзоелектричного багатошарового стрижня, на основі аналітичних методів, та дослідила характер впливу змінного у часі коефіцієнта згасання.

11. Application of a Hybrid WKB-Galerkin Method to a Nonlinear Plate Dynamic Problem with Time Dependent Damping Coefficient : (Proceedings of VI Nonlinear Dynamics Conference ENOC2008) [Електронний ресурс] / V. Z. Gristchak, O. A. Ganilova - 80 Min / 700 MB. - Saint Petersburg : Institute for Problems of Mechanical Engineering, 2008. - 1 електрон. опт. диск (СD-ROM) ; 12 см. - Систем. вимоги: Pentium ; 32 Mb RAM ; Windows 95, 98, 2000, XP. - Назва з контейнера.

12. Здобувач розглянула задачу про коливання пластини при динамічному навантаженні у більш загальній нелінійній постановці, враховуючи змінний у часі коефіцієнт демпфування, застосувала розроблений асимптотико-чисельний підхід, на базі гібридного ВКБ-Гальоркін методу, і провела зіставлення отриманих результатів з відомими результатами з інших наукових джерел, а також з розв'язком за прямим чисельним методом.

13. Ganilova O. A. Controlling Plate Vibrations by Means of Embedded Active Shape Memory Alloy Elements / M. P. Cartmell, O. A. Ganilova, V. Z. Gristchak // Proceedings of conference «Nonlinear Dynamics of Composite and Smart Structures Euromech 498 Colloquium» (21-24 May 2008, Kazimierz Dolny). - Lublin : Lublin University of Technology & Wydawnictwo IZT, 2008. - P. 112-118.

14. Здобувач розглянула подальше застосування запропонованого підходу, зокрема до розв'язку задачі про динамічну поведінку пластини з включеннями з матеріалів з пам'яттю форми.

15. Ганілова О. А. Задача контролю динамічної нестійкості п'єзобагатошарового непрямолінійного стрижня та метод її розв'язку / О. А. Ганілова, В. З. Грищак // Четверта регіональна наукова конференція молодих дослідників «Актуальні проблеми математики та інформатики» (27-28 квітня 2006 р., м. Запоріжжя) : збірка тез доповідей. - Запоріжжя : ЗНУ, 2006. - С. 44-45.

16. Здобувач сформулювала задачу динамічної нестійкості п'єзобагатошарового стрижня при довільному динамічному навантаженні та запропонувала метод розв'язку поставленої проблеми.

17. Ганілова О. А. Використання гібридних методів у задачі контролю динамічного деформування п'єзобагатошарового непрямолінійного стрижня / О. А. Ганілова, В. З. Грищак // Міжнародна конференція «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (23-26 жовтня 2006 р., м. Харків) : збірка тез доповідей. - Харків : ИПМаш им. А. Н. Подгорного НАН Украины, 2006. - С. 60.

18. Здобувач сформулювала задачу динамічної нестійкості п'єзобагатошарового стрижня при статичному навантаженні, враховуючи змінну за координатою характеристику жорсткості конструкції, та запропонувала алгоритм розв'язку поставленої проблеми на основі гібридного підходу.

19. Ганілова О. А. Дослідження поведінки тришарової ортотропної пластинки під дією динамічного навантаження / О. А. Ганілова, В. З. Грищак // П'ята регіональна наукова конференція молодих дослідників «Актуальні проблеми математики та інформатики» (26-27 квітня 2007 р., м. Запоріжжя) : збірка тез доповідей. - Запоріжжя : ЗНУ, 2007. - С. 37-38.

20. Здобувач, на основі дослідження різних підходів до вивчення поведінки тришарових пластин, а саме класичної та ітераційної теорій, запропонувала алгоритм розв'язку задачі про динамічне навантаження, враховуючи демпфування механічної системи.

21. Ганилова О. А. Исследование поведения трехслойной пластинки с использованием гибридного ВКБ-Галеркин метода / В. З. Грищак, О. А. Ганилова // Матеріали міжнародної конференції «Dynamical System Modeling and Stability Investigation» - DSMSI-2007 (22-25 травня 2007 р., м. Київ). - К.: КНУ ім. Т. Шевченка, 2007. - С. 282.

22. Здобувач, застосовуючи розроблений підхід на основі гібридного ВКБ-Гальоркін методу, дослідила характер впливу змінного у часі демпфування на поведінку тришарової пластини під дією динамічного навантаження.

23. Ganilova O. A. Behavior of a Symmetrical Orthotropic Sandwich Plate Subjected to The Dynamic Loading / V. Z. Gristchak, O. A. Ganilova // XXXV Summer School «Advanced Problems in Mechanics» - АРМ-2007 (20-28 June 2007, Saint-Petersburg) : Book of abstracts. - Saint-Petersburg : IPME RAS, 2007. - P. 45-46.

24. Здобувач запропонувала підхід, на основі гібридного ВКБ-Гальоркін методу, для розв'язку задачі про динамічне навантаження тришарової ортотропної пластини, враховуючи вплив змінного у часі коефіцієнта демпфування, у рамках класичної та ітераційної теорій шаруватих пластин.

25. Ganilova O. A. Application of A Hybrid WKB-Galerkin Method to The Investigation of Piezoelectric Sandwich Plate Subjected to the Dynamic Loading / V. Z. Gristchak, O. A. Ganilova // Матеріали міжнародної науково-технічної конференції «Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій» (17-19 жовтня 2007 р., м. Дніпропетровськ). - Дніпропетровськ : ДНУ, 2007. - С. 172-173.

26. Здобувач застосувала розроблений у попередніх роботах асимптотико-чисельний підхід, на основі гібридного ВКБ-Гальоркін методу, до задачі про динамічне навантаження тришарової п'єзоелектричної пластини, враховуючи вплив змінного у часі коефіцієнта демпфування, за класичної та ітераційною теоріями шаруватих пластин.



АНОТАЦІЯ

Ганілова О. А. Розв'язок задач про коливання п'єзоелектричних шаруватих стрижнів та пластин при динамічному навантаженні на основі асимптотичного підходу. - Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Державний вищий навчальний заклад «Запорізький національний університет» Міністерства освіти і науки України, Запоріжжя, 2009.

Дисертаційна робота присвячена моделюванню та розв'язанню науково-практичних задач механіки деформівного твердого тіла, на базі гібридного ВКБ-Гальоркін методу, в основі яких полягає розв'язок класу лінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами та параметром при старшій похідній. Запропонований асимптотико-чисельний підхід було застосовано до пошуку розв'язків задач про коливання п'єзоелектричного багатошарового стрижня, ортотропної тришарової пластини та п'єзоелектричної тришарової пластини, у більш загальній постановці і задачі про коливання пластини у нелінійній постановці, враховуючи вплив змінного у часі коефіцієнта демпфування. Отримані наближені аналітичні розв'язки надали можливість дослідити характер впливу коефіцієнта демпфування у випадку динамічного навантаження, навіть для структур зі змінним у часі демпфуванням, та одержати ефективні аналітико-чисельні розв'язки.

Ключові слова: п'єзоелектричний багатошаровий стрижень, тришарова ортотропна пластина, тришарова п'єзоелектрична пластина, гібридний ВКБ-Гальоркін метод, асимптотичний підхід.



АННОТАЦИЯ

Ганилова О. А. Решение задач о колебаниях пьезоэлектрических слоистых стержней и пластин под действием динамической нагрузки на основе асимптотического подхода. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформированного твердого тела. - Государственное высшее учебное заведение «Запорожский национальный университет» Министерства образования и науки Украины, Запорожье, 2009.

Диссертационная работа посвящена моделированию и решению научно-практических задач механики деформированного твердого тела, на базе гибридного ВКБ-Галеркин метода, в основе которых лежит решение линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и параметром при старшей производной. Предложенный подход был применен к решению задач о колебаниях пьезоэлектрического многослойного стержня, ортотропной трехслойной пластины и пьезоэлектрической трехслойной пластинки, которые описываются дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Исследование колебаний пластины, описанной в нелинейной постановке, позволило получить более общую модель, которая учитывает как динамичность нагрузки, так и переменный во времени характер коэффициента демпфирования.

Полученные приближенные аналитические решения позволили проследить характер влияния коэффициента демпфирования на поведение механической системы, которая находится под действием динамической нагрузки, даже для структур с переменным во времени коэффициентом демпфирования, что характерно для конструкций аэрокосмической техники.

В рамках исследования каждой из механических систем были проведены численные эксперименты, которые дали возможность проанализировать точность предложенного подхода и подтвердить его эффективность. Отметим, что предложенный подход, результаты исследований, основные выводы и рекомендации найдут дальнейшее применение при моделировании и в экспериментальной работе с пластинчатыми конструкциями с включениями из материала с памятью формы [7].

Предложенный алгоритм позволяет получить эффективные аналитические решения задач о колебаниях конструкций с некоторыми несовершенствами геометрии или переменным во времени демпфированием, даже для пьезоэлектрических систем.

Ключевые слова: пьезоэлектрический многослойный стержень, трехслойная ортотропная пластина, трехслойная пьезоэлектрическая пластина, гибридный ВКБ-Галеркин метод, асимптотический подход.



ANNOTATION

Ganilova O. A. Solution of the vibration problems for piezoelectric laminated beams and plates under dynamic loading applying an asymptotic approach. - Manuscript.

Thesis for a Сandidate of physico-mathematical sciences degree by the speciality 01.02.04 - Deformable Solid Mechanics. - State Higher Educational Institution “Zaporizhzhya National University” of Ministry of Education and Science of Ukraine, Zaporizhzhya, 2009.

Dissertation is devoted to the modelling and solution of a range of practical problems in deformable solid mechanics applying a hybrid WKB-Galerkin method to the group of fundamental linear differential equations with variable coefficients and a parameter multiplying the highest order derivative. Suggested asymptotico-numerical approach was used for solution of vibration problems for a piezoelectric multilayered beam, an orthotropic sandwich plate and a piezoelectric sandwich plate, described in a more general way, and a problem of the plate vibration in terms of nonlinear case, taking into account variable in time damping coefficient. Approximate analytical solutions obtained in this work give an opportunity to investigate the character of the influence of the damping coefficient in case of dynamic loading even for the systems with a variable damping coefficient and let us obtain effective analytic solutions.

Key words: piezoelectric laminated beam, orthotropic sandwich plate, piezoelectric sandwich plate, hybrid WKB-Galerkin method, asymptotic approach.

Размещено на Allbest.ru

...