Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут фізики конденсованих систем НАН України

УДК 532.783; 548-14

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Представлення густини пружного заряду в теорії колоїдної взаємодії в нематичному рідинному кристалі

01.04.02 - теоретична фізика

Узунова Віра Олександрівна

Львів -- 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті фізики НАН України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник Пергаменщик Віктор Михайлович, Інститут фізики НАН України

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Трохимчук Андрій Дмитрович, Інститут фізики конденсованих систем НАН України

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Бурилов Сергій Володимирович, Інститут транспортних систем і технологій НАН України

Захист відбудеться “8” липня 2009 року о 15 год. 30 хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.35.156.01 при Інституті фізики конденсованих систем НАН України за адресою:

79011, Львів, вул. Свєнціцького, 1.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту фізики конденсованих систем НАН України за адресою:

79026 м. Львів, вул. Козельницька, 4.

Автореферат розіслано “4” червня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Т. Є. Крохмальський

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Частинки, внесені в нематичний рідинний кристал, взаємодіють через поле директора, яке передає збурення, створені їх поверхнями. Такі анізотропні колоїди фундаментально відрізняються від звичайних колоїдних систем на основі ізотропних рідин. Взаємодія через поле директора є далекосяжною, а відтак нематичні колоїди є значно ближчими до електростатичних систем, ніж до звичайних ізотропних колоїдів.

Протягом останніх 15 років дослідження колоїдної взаємодії в рідинних кристалах перетворилося на нову область фізики, яка отримала назву фізики нематичних колоїдів. Залежно від розміру та природи колоїдних частинок ці системи можуть бути дуже різними. Бум останніх років у цій області був зумовлений різноманітністю впорядкованих структур в мікроемульсіях, що їх спостерігали [1,2] або навіть створювали з колоїдів мікронних розмірів [3,4].

На відміну від розчинів на основі ізотропних рідин, у нематичних наноемульсіях з колоїдними частинками молекулярного та надмолекулярного розміру навіть невелика кількість домішок може суттєво змінити властивості речовини. Яскравим прикладом є нематик з домішками кіральних молекул, які навіть у малій кількості спричиняють макроскопічне холестеричне впорядкування рідинного кристалу.

Іншим прикладом нематичної наноемульсії є нематик з домішковими молекулами барвника: під дією світла спостерігається орієнтаційний ефект Яноши, можливий лише в анізотропній рідині. Нещодавно показано, що цей ефект є наслідком взаємодії надмолекулярниx агрегатів, які спонтанно утворюються в нематику з молекул барвника [5]. Ще один клас систем - це нематичні ферроемульсії, в яких колоїдні частинки мають власний магнітний момент [6]. Таким чином, нематичні колоїди представляють принципово новий клас багаточастинкових систем. Наразі актуальною проблемою є визначення взаємодії колоїдів через поле директора, тобто побудова колоїдної нематостатики.

Швидкий розвиток фізики нематичних емульсій багато в чому завдячує ідеї про те, що їх фізика подібна до електростатики. Взаємодія через поле директора є далекосяжною та має багато інших властивостей взаємодії між електричними диполями та квадруполями. З математичної точки зору аналогія виникає через те, що обидві теорії є безмасовими і їх грінові функції є кулонівськими.

Під впливом електростатичної аналогії виникли ідеї "пружного диполя" та "пружного квадруполя" [7-14]. Доцільність цих ідей спочатку було показано феноменологічно [11,12], а існування диполь-дипольної та квадруполь-квадрупольної парної взаємодії було продемонстровано експериментально. Нарешті в роботах Лева, Томчука, Чернишука, і Йокоями [13,14] взаємодію колоїдів в нематику було виведено з рівнянь нематостатики. Аналогічно до електростатичної взаємодії, було отримано члени взаємодії, які залежать від відстані між частинками як , , тощо. Особливо важливим результатом стала наявність кулонівського члена в цьому розкладі та ідея пружного заряду [14]. Однак природа пружного заряду не була до кінця зрозумілою. Якщо є заряд, то що є його густиною? Таким чином, бракувало аналогії між електростатикою і нематостатикою на фундаментальному рівні густини заряду, яка є джерелом поля і всіх мультиполів. Також не було досліджено межі застосовності парного наближення до опису нескінченномірної системи поля директора.

Глибока аналогія між двома далекими областями фізики не лише дає зручний теоретичний інструмент для вивчення анізотропних колоїдних систем, а й має загальнофізичне значення. Тому природно постала проблема побудови теорії колоїдної взаємодії через поле директора, в якій аналогію з електростатикою розвинуто на рівні густини заряду.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Матеріали, узагальнені в дисертації, були отримані при виконанні планових завдань науково-дослідних тем відділу теоретичної фізики Інституту фізики НАН України 1.4.1. В/108 «Явища переносу і структуроутворення в низькорозмірних системах», номер держреєстрації 0104U003217 (2004-2006) і 1.4.1. В/133 «Оптичні та транспортні властивості нелінійних і просторово обмежених систем», номер держреєстрації 0107U002349 (2007-2011); проект УНТЦ №3091 ”Ліотропні хромонічні рідкі кристали: від молекули до кристалу” (2004-2006); проектів CRDF № UK-P1-2598-KV-04 «З'ясування фізичних явищ, що лежать в основі поверхневого закріплення, індукованого абсорбцією» (2004-2006) і № UKP1-2617-KV-04 «Ліотропні хромонічні рідкі кристали: нові матеріали сучасної біосенсорики та оптичного використання» (2004-2006).

Мета роботи: побудувати послідовне наближення парної взаємодії частинок через поле нематичного директора - колоїдну нематостатику - і з'ясувати умови його застосовності, розвинути аналогію з електростатикою до рівня заряду та його густини, розробити адекватний математичний апарат такої колоїдної нематостатики і продемонструвати застосування загальної теорії.

Відповідно до поставленої мети були сформульовані такі завдання:

1. Сформулювати загальну проблему однозначного знаходження директора в системі довільних частинкоподібних джерел деформації. Знайти розподіл директора в області, де деформації можна вважати слабкими і застосовне лінійне наближення.

2. З'ясувати, наскільки аналогія зі скалярною електростатикою є фундаментальною та конструктивною для векторної нематостатики. Для цього визначити величину, яка б відігравала роль густини заряду в нематостатиці, тобто була б джерелом деформації директора і визначала б мультипольні моменти.

3. Визначити аналог заряду в колоїдній нематостатиці та знайти відповідний закон збереження (аналог теореми Гауса). Вивести формулу взаємодії пружних зарядів у векторній нематостатиці і з'ясувати її зв'язок з кулонівською взаємодією в скалярній електростатиці.

4. В межах розвинутого представлення отримати вирази для пружних мультиполів через густину пружного заряду та знайти енергію взаємодії мультиполів на великих відстанях. З'ясувати геометричну структуру та фізичну природу величин, що відіграють роль пружного диполя і пружного квадруполя.

5. Визначити межі застосування парного наближення в системі багатьох однакових неточкових колоїдних частинок, які взаємодіють через поле директора, і наслідки, які з цього випливають. Знайти малий параметр теорії, визначити, в якому порядку за цим параметром парне наближення порушується, і з'ясувати фізичний механізм цього порушення.

6. Розглянути приклади взаємодії колоїдів з конкретними конфігураціями директора і порівняти з відомими теоретичними та чисельними результатами. Вивести енергію взаємодії двох частинок з мультиполями різного порядку: заряд-диполь, диполь-квадруполь, заряд-квадруполь.

7. Розв'язати задачу взаємодії колоїду зі стінкою і розробити метод дзеркального відображення в колоїдній нематостатиці (аналог методу відображень електростатики).

Об'єктом дослідження є рідинно-кристалічні колоїди та нематичні емульсії, а предметом дослідженя - пружна взаємодія колоїдних частинок через поле директора в нематичних рідинних кристалах.

Методи дослідження. Для знаходження потенціалу пружної взаємодії між колоїдними частинками використано метод функцій Гріна в реальному просторі. Розроблено метод послідовних наближень для знаходження функцій Гріна двох і трьох неточкових частинок у формі розкладу за малим параметром. Для розв'язання задачі взаємодії колоїду зі стінкою застосовано відомий з електростатики метод дзеркальних відображень, який був модифікований для розв'язання задач нематостатики.

Наукова новизна одержаних результатів. Вперше проблему взаємодії колоїдів в нематику сформульовано таким чином, який забезпечує повне й однозначне визначення поля директора і його енергії в системі довільних неточкових частинок. Вперше розроблено представлення парної взаємодії частинок в нематику, в якому природно виникають пружний заряд і пружні мультипольні моменти, а також їх джерело - густина пружного заряду. На відміну від електростатики з її постульованим зарядом і законом Кулона, пружний заряд виведено із закону збереження кутового моменту. Показано, що компоненти вектора зовнішнього моменту сил, що діють на частинку, повністю визначають її вектор пружного заряду, і, відповідно, кулоноподібна взаємодія є взаємодією двох векторів зовнішніх моментів. Вперше отримано закінчений аналог електростатики - колоїдну нематостатику в представленні густини пружного заряду, який через векторний характер поля директора має низку особливостей: пружні мультиполі мають більш складну тензорну структуру, ніж в електростатиці; пружні заряди одного знаку притягаються, а різного - відштовхуються. Визначено, в якому наближенні взаємодія через поле директора є парною. Розвинуто метод дзеркальних відображень у нематостатиці та знайдено взаємодію колоїдів з поверхнею нематика.

Практичне значення одержаних результатів. Сучасні технології потребують нових і нових матеріалів на основі м'якої матерії. Зокрема, подальший прогрес на мультимільярдному ринку рідинно-кристалічних дисплеїв пов'язується з новими гетерогенними матеріалами на основі рідинних кристалів. Фізика нематичних колоїдів виникла саме як реакція на таку вимогу сучасної промисловості. Прикладним аспектом нематичних колоїдів є можливість створення анізотропних полярних рідин, в яких полярним є упорядкування не рідинно-кристалічної матриці, а самих колоїдів. Створення таких систем і усвідомлення пов'язаних з цим перспектив неможливе без уявлення про взаємодію колоїдних частинок і побудови статистичної теорії нематичних колоїдів. Отже, результати дисертації є практично важливими для розуміння та пояснення процесів утворення впорядкованих структур колоїдних частинок в анізотропному середовищі, а також дозволяють зробити певну класифікацію можливих колоїдних частинок. Розвинута аналогія між електростатикою та нематостатикою може бути використана в інших областях теоретичної фізики.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертації опубліковано в статтях [1*, 2*, 3*,4*] і в тезах міжнародної конференції [5*].

В роботах [1* - 4*] дисертанту належить обговорення постановки задачі та вибору методів її розв'язання, а також аналітичні розрахунки, виведення основних формул і результатів, їх обговорення та інтерпретація.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися та обговорювалися на таких наукових конференціях: The 22nd Іnternatіonal Lіquіd Crystal Conference, 2008, Jeju, Korea; Наукова рада з проблеми ”Фізика м'якої речовини”, Львів, 2008, а також на Підсумковій науковій конференції Інституту фізики НАН України 2007 року.

Публікації. Основні результати дисертації викладені в 5 роботах, з них 4 статті у фахових виданнях та теза конференції.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету роботи та визначено її наукову новизну.

Перший розділ дисертаційної роботи є вступом до проблеми колоїдів у анізотропній рідині - нематичному рідинному кристалі. Описано нематичні колоїди - від мікроемульсій, в яких колоїди мають мікронні розміри, до наноемульсій, де роль колоїдів відіграють домішкові молекули. Підкреслено, що фундаментальною особливістю нематичних колоїдів є далекосяжність взаємодії через поле директора, завдяки чому ці системи є значно ближчими до електростатичних систем, ніж до звичайних колоїдів на основі ізотропних рідин. Обговорено роль електростатичної аналогії для розвитку теорії взаємодії колоїдних частинок в рідинному кристалі через пружне поле нематичного директора. Проаналізовано основні існуючі підходи до теоретичного опису такої взаємодії i сучасний стан проблеми. Мотивовано проблеми, які треба розв'язати в дисертації. Основну проблему сформульовано як проблему встановлення пружних аналогів заряду і його густини. колоїдний нематостатика адекватний

У другому розділі аналогію між електростатикою та колоїдною взаємодією в нематичному рідинному кристалі розроблено до рівня густини заряду. Введено густину пружного заряду, заряд та мультипольнi моменти. Енергію системи виведено у формі, яка формально описує парну взаємодію.

Ми розглядаємо систему N частинкоподібних джерел деформації, які збурюють однорідний розподіл нематичного рідинного кристалу, a відтак взаємодіють через поле директора. З одного боку, інформація про колоїдну частинку здебільшого обмежена розподілом директора в її близькому околі, а з іншого - саме цей розподіл і визначає поле директора на великих відстанях. Тому можна очікувати, що поле в околі джерела відіграє роль того, що є аналогом густини заряду.

У тривимірному просторі розподіл поля навколо колоїда описується сильно нелінійними рівняннями і неможливо лінійно пов'язати джерело i деформації, які воно створює. Проте достатньо далеко від джерела, рис. 1, збурення директора стають малими i задовільняють лінійному рівнянню Лапласа. Розв'язок цього рівняння, спадний на нескінченності, однозначно визначається розподілом поля на довільних поверхнях, які охоплюють джерела-частинки. Тому деформаційне джерело можна задати полем директора, зокрема, на поверхні сфери S радіуса a, що охоплює частинку: ця інформація про джерело є мінімально достатньою.

Нехай поле далеко від N частинок є однорідним і збігається з незбуреним директором , паралельним до осі z. Малі збурення є поперечними відносно i мають вигляд . Джерело деформації задано розподілом директора на поверхні , де - поверхня сфери, що охоплює i-ту частинку. В одноконстантному наближенні функціонал вільної енергії деформації в зовнішній області V_out (поза всіма N сферами) має вигляд:

, (1)

де t = x, y (сума за німими індексами). Мале збурення n_t задовольняє рівнянню Лапласа . Його розв'язок, спадний на нескінченності, має вигляд поверхневого інтегралу

, (2)

де - функція Гріна рівняння Лапласа з межовою умовою ; - оператор градієнта за s, - одинична нормаль до . Для однієї частинки , , одночастинкова функція Гріна , яка дорівнює нулеві на S, є відомою, а формула (2) зводиться до інтегралу Пуассона [15]. Якщо ввести величину

, (3)

то його розклад за відстанню r від центра сфери S можна подати у вигляді ряду

(4)

де коефіцієнти мають таку форму:

. (5)

Формули (3) - (5) показують що, за аналогією з електростатикою, (3) можна інтерпретувати як дві компоненти поверхневої густини пружного заряду в точці s сфери S, a величини , , природно пов'язати з компонентами пружних заряду, диполя і квадруполя. Ці пружні мультипольні моменти природним чином виражаються через поверхневу густину заряду як інтеграли по поверхні сфери, що охоплює частинку. Через векторний характер поля директора пружні мультиполі мають більш складну структуру, ніж у скалярній електростатиці: є дві компоненти заряду, два вектори - діада дипольного моменту, два тензори - діада квадрупольного моменту тощо. Електричний заряд є феноменологічною фізичною величиною, яку постулюють в електромагнітній теорії. Натомість, як було показано, нематостатика поля директора n дозволяє ввести двокомпонентний вектор пружного заряду. Цей заряд генерується зовнішнім моментом сил, прикладеним до частинки, а роль теореми Гауса відіграє інтегральна форма закону збереження моменту сил. Пружний аналог заряду (5) знайдено за допомогою ідеї де Жена про зв'язок кулонівського члену в розкладі (4) з моментом сил. Поле директора переносить зовнішній момент Г, прикладений до частинки, крізь поверхню S, що її охоплює. Цей момент виражається поверхневим інтегралом від певної густини по такій поверхні і не залежить від її форми. Отже, зовнішній момент Г, що діє на частинку, є інтегральним інваріантом, який має вигляд [16]:

(6)

де K - пружна константа, е_бtс - абсолютно антисиметричний тензор, всі індекси, крім t, пробігають значення x, y, z. Права частина рівності не залежить від вибору поверхні інтегрування S, а сама рівність нагадує теорему Гауса з компонентами моменту замість електричного заряду. Цей зв'язок підтверджує і те, що інтеграл по віддаленій поверхні S зникає для всіх членів розкладу (4) крім першого. Підставляючи n_t = q_t/r в (6) та інтегруючи по сфері, отримуємо Г_y = 4рKq_x, Г_x = ?4рKq_y або

(7)

(Повздовжня компонента Г_z = 0, оскільки ненульовий момент Г_z не може бути врівноважений). Таким чином, роль теореми Гауса і заряду відіграють відповідно закон збереження моменту та поперечні компоненти зовнішнього моменту сил, прикладеного до частинки. Ця ідея повністю підтверджується виразом для взаємодії кулонівського типу в представленні густини пружного заряду.

Виведено загальну формулу для рівноважного значення вільної енергії (1) системи N частинок:

(8)

. (9)

Формули (8), (9) описують взаємодію двох елементів i поверхні S_N із зарядами і з потенціалом . Але ця взаємодія є парною лише формально: залежить від координат всіх частинок через межову умову на . Таким чином, в загальному випадку описує багаточастинкову взаємодію, що відображає той факт, що польова система є нескінченномірною, і зводиться до скінченого числа джерел з парною взаємодією лише в певному наближенні.

У третьому розділі розглянута задача двох частинок та визначена енергія парної взаємодії двох однакових i двох різних мультипольних моментiв.

Енергія взаємодії F_int двох частинок дається формулами (8), (9) з двочастинковою гріновою функцією , яка задовольняє межову умову на поверхнях двох сфер: . F_int подано як суму:

, (10)

де - пряма енергія парної взаємодії, - поправки до неї через те, що „власна” енергія частинки 1 визначається G₂, яка залежить від координат частинки 2, і навпаки; - поправка через вплив самоузгодженого поля на мультипольний момент окремої частинки, - поправка нелінійності точних рівнянь нематостатики - ангармонізму.

Енергія парної взаємодії двох частинок має вигляд

(11)

, (12)

де i - радіуси сфер.

Tочного виразу для не існує і для її розрахунку використано малий параметр - відношення розміру a частинок до відстані R між ними. Основні члени розкладу за параметром a/R знайдено в реальному просторі за допомогою послідовних наближень, для чого використано метод дзеркальних відображень у сферичних поверхнях i . Формули (11) i (12) з отриманою двочастинковою гріновою функцією дають такі результати.

Взаємодія двох частинок, «заряджених» під дією зовнішніх моментів і , є подібною до кулонівської:

. (13)

Залежно від взаємної орієнтації моментів, ця взаємодія може бути притяганням або відштовхуванням: паралельні моменти притягуються, а антипаралельні моменти відштовхуються. Пружна кулонівська взаємодія явно не залежить від форми частинок та поверхневого зчеплення.

Коли зовнішній момент не діє, частинка може бути пружним диполем або квадруполем. Взаємодія двох пружних диполів i двох квадруполів має такий вигляд:

 (14)

(15)

де - одиничний вектор в напрямку вектора R, що з'єднує частинки. Формули (14), (15) пружної диполь-дипольної та квадруполь-квадрупольної взаємодії подібні до аналогічних формул електростатики. Разом із потенціалом (13) кулонівського типу це підтверджує ідею густини пружного заряду. Показано, що для системи однакових мультиполів , що має одну з форм (13) - (15), є єдиним членом основного порядку, a всі поправки до у сумі (10) є більшої степені за малим параметром a/R.

На відміну від випадку однакових мультиполів, поправки , див. (10), дають внесок в основний порядок взаємодії різних мультиполів. Цей внесок виникає лише за скінченного розміру частинок i описує взаємодію мультиполя однієї частинки з мультиполем, який він наводить на іншій частинці. Нехай індекс 1 позначає частинку з мультиполем нижчого порядку. Введемо коефіцієнт пружної індукції частинки 2, який визначено наступним чином. Нехай є поле першої частинки в місці знаходження частинки 2, яке дається формулою (4). Воно індукує на частинці 2 заряд . показує наскільки пружність і зчеплення з реальною поверхнею частинки дозволяють зміну поля в її околі і є аналогом ємності в електростатиці. Тоді взаємодія різних мультиполів набуває такого вигляду.

Якщо частинка 1 має заряд, індукований зовнішнім моментом, а частинка 2 є дипольною, тоді:

(16)

Перший член презентує пряму взаємодію диполь-заряд. Другий член - це взаємодія між пружним зарядом частинки 1 і зарядом, який його поле індукує на частинці 2.

В енергії взаємодії між диполем і квадруполем також виникає додатковий член, що відповідає взаємодії диполя першої частинки з зарядом, який він індукує на другій частинці. Окремим випадком є диполь-квадрупольна взаємодія аксіально-симетричних (, , ) диполя і квадруполя:

(17)

Ця формула відрізняється від формули прямої диполь-квадрупольної взаємодії додатковим членом, пропорційним до , де - це кут між однорідним директором і вектором R. Пряма взаємодія пружного заряду і квадруполя ~R^-3 і є на порядок за параметром a/R менша, ніж індукована:

(18)

Таким чином, взаємодія між зарядом і квадруполем в основному порядку за a/R визначається зовнішнім механічним моментом, що діє на частинку 1, і пружним опором частинки 2.

У четвертому розділі досліджено межі застосування парного наближення до опису системи N колоїдних частинок скінченного розміру в нематику, a також оцінено поправку до прямої енергії взаємодії від самоузгодженого поля та ангармонізму, див. (10).

Нематичний рідинний кристал є польовою системою з нескінченним числом степенів вільності, якa в загальному випадку не зводиться до системи скінченого числа джерел з парною взаємодією. Як наслідок, потенціал (9) описує багаточастинкову взаємодію. Розроблений метод послідовних наближень до обчислення функції Гріна в реальному просторі дозволив отримати регулярний розклад потенціалу взаємодії за степенями малого параметру a/R. Результат для трьохчастинкової функції показує, що у випадку однакових мультиполів незвідні трьохчастинкові члени взаємодії виникають в наступному після основного порядку за малим параметром a/R, а у випадку різних мультиполів - в основному порядку. Результати розділу такі:

- Парне наближення до колоїдної взаємодії в системі однакових мультиполів застосовне лише в основному порядку, який повністю описується формулами (13) - (15). В системі N>2 різних мультиполів парне наближення незастосовне.

- Оцінка поправки ангармонізму дає умову малості поперечних компонент директора на поверхні допоміжної сфери, на якій обчислюються мультипольні моменти. Для того, щоб не давало внеску в основний порядок, необхідно виконання умови .

Поправка самоузгодженого поля , що враховує вплив частинки 1 на розподіл поля в ближній зоні навколо частинки 2, в системі N однакових мультиполів не попадає в основний порядок взаємодії. Важливим наслідком цього є те, що мультиполі, які входять у парну взаємодію, є мультиполями окремих незбурених колоїдів.

П'ятий розділ присвячений застосуванню колоїдної нематостатики до конкретних задач. Розглянуті окремі випадки дипольних частинок різної симетрії та окремі приклади взаємодії в системі однакових диполів і квадруполів. Також розв'язана задача взаємодії колоїдної частинки зі стінкою, на якій задано довільну орієнтацію директора. Для цього модифіковано відомий метод дзеркальних відображень. Показано, що частинка-відображення 2 має мультипольний момент того ж порядку, що і реальна частинка 1, і розташована з протилежного боку від стінки у дзеркальній точці на відстані R =2h від реальної частинки, рис. 2. На відміну від електростатики, кожній з двох компонент директора відповідає своє відображення. Знайдено, що стінка відштовхує пружний диполь із силою , яка залежить від нахилу директора до стінки, a також повертає його довгою віссю паралельно до стінки. Пружний заряд на колоїді можна індукувати зовнішнім моментом, що призведе до сили відштовхування Запропоновано метод експериментального вимірювання взаємодії в нематичних колоїдах, основаній не на парі колоїдів, а на одному колоїді поблизу стінки.

Основні результати та висновки

1. Проблема взаємодії частинок через поле директора зведена до зовнішньої межової проблеми для рівняння Лапласа, в якій кожна частинка як джерело деформацій представлена розподілом директора на сфері, що охоплює цю частинку. Ця проблема має однозначний розв'язок, а інформація про частинку є мінімально достатньою для довільного джерела деформацій. Розв'язок проблеми отримано через грінові функції рівняння Лапласа.

2. Пружний аналог густини заряду в колоїдній нематостатиці є двокомпонентним вектором, який визначається розподілом двох поперечних компонент директора на сфері, що охоплює частинку. Пружний заряд і мультиполі природнім чином виражаються через цю величину за допомогою формул, аналогічних до відповідних формул електростатики. Кількість мультипольних моментів кожного порядку подвоюється: пружний заряд є двокомпонентним вектором, пружний диполь складається з двох векторів, а пружний квадруполь - з двох тензорів.

3. Пружний заряд генерується механічним моментом. Його компоненти повністю визначаються поперечними компонентами зовнішнього моменту сил, прикладеного до частинки. Роль теореми Гауса відіграє інтегральна форма закону збереження механічного моменту. Потенціал взаємодії двох пружних зарядів є подібним до кулонівського, в якому на місці добутку зарядів стоїть мінус скалярний добуток двох моментів, що діють на частинки.

4. За допомогою розвинутого методу послідовних наближень отримано двочастинкову грінову функцію, а також необхідні для нашої проблеми члени тричастинкової грінової функції рівняння Лапласа у вигляді ряду за малим параметром а/R = (розмір частинки)/(відстань між частинками).

5. Отримано формули пружної диполь-дипольної та квадруполь-квадрупольної взаємодії, а також взаємодії заряд-диполь, заряд-квадруполь і диполь-квадруполь. Енергія взаємодії двох частинок скінченного розміру з різними мультипольними моментами визначається двома факторами: прямою взаємодією між мультиполями обох частинок та індукованою взаємодією.

6. Наближення парної взаємодії N однакових мультиполів за N>2 застосовно лише в основному порядку за малим параметром а/R, оскільки в наступному порядку з'являються незвідні багаточастинкові члени. В цьому наближенні мультипольні моменти, які входять у парну взаємодію однакових мультиполів, визначаються індивідуальним полем окремих колоїдів, незбуреним іншими частинками.

7. Як застосування колоїдної нематостатики розв'язано проблему взаємодії колоїду зі стінкою за довільного нахилу директора на її поверхні. Для цього розроблено метод дзеркальних відображень у нематостатиці. Пружний заряд та пружний диполь відштовхуються від поверхні нематичного зразку з силою, пропорційною до та , відповідно. Сила відштовхування залежить від орієнтації директора на поверхні стінки.

Результати та основний зміст дисертації опубліковано в таких роботах

1*. V. M. Pergamenshchіk, V. A. Uzunova. Elastіc charge densіty representatіon of the іnteractіon vіa the nematіc dіrector ?eld // Eur. Phys. J. E - 2007. -Vol. 23. - P. 161-174.

2*. V. M. Pergamenshchіk, V. A. Uzunova. Coulomb-lіke іnteractіon іn nematіc emulsіons іnduced by external torques exerted on the colloіds //Phys. Rev. E - 2007. -Vol. 76. - P. 011707.

3*. V. M. Pergamenshchіk and V. O. Uzunova. Colloіd-Wall Іnteractіon іn a Nematіc Lіquіd Crystal: the Mіrror Іmage Method of Colloіdal Nematostatіcs // Phys. Rev. E - 2009. - Vol. 79. - № 2. - P. 021704.

4*. V. M. Pergamenshchіk and V. O. Uzunova. Іnteractіon of the Torque-Іnduced Elastіc Charge and Elastіc Dіpole wіth a Wall іn a Nematіc Lіquіd Crystal // http://arXiv.org/abs/0902.3543 (прийнято до друку в Mol. Cryst. Liq. Cryst.).

5*. V. M. Pergamenshchіk and V. O. Uzunova. Elastіc Charge and Coulomb Іnteractіon of Partіcles vіa the Nematіc Dіrector Fіeld Generated by the Elastіc Torque Transfer // The 22nd Іnternatіonal Lіquіd Crystal Conference, June 20-July 4, 2008, Jeju, Korea, Book of abstracts, P. 596 .

Цитована література:

1. P. Poulin, H. Stark, T.C. Lubensky, and D. A. Weitz. Novel colloidal interactions in anisotropic fluids // Science. -1997. - Vol. 275. - P. 1770-1776.

2. A. B. Nych, U. M. Ognista, V. M. Pergamenshchik, B. I. Lev, V. G. Nazarenko, I. Muљevich, M. Љkarabot, and O. D. Lavrentovich. “Coexistence of two colloidal crystals at the nematic liquid crystal-air interface”// Phys. Rev. Lett. - 2007. - Vol. 89. - P. 057801.

3. U. Ognysta, A. Nych, and V. Nazarenko. 2D Interactions and Binary Crystals of Dipolar and Quadrupolar Nematic Colloids // Phys. Rev. Lett. - 2008.- Vol. 100. - P. 217803.

4. M. Љkarabot, M. Ravnik, S. Ћumer U. Tkalec, I. Poberaj, D. Babiи, N. Osterman, and I. Muљeviи. Two-dimensional dipolar nematic colloidal crystals / // Phys. Rev. E. - 2007. - Vol. 76, №5. - P. 051406.

5. V. M. Pergamenshchik, V. Ya. Gayvoronsky, S. V. Yakunin, R. M. Vasjuta, V. G. Nazarenko, and O. D. Lavrentovich. Hypothesis of Dye Aggregation in a Nematic Liquid Crystal: From Experiment to a Model of the Enhanced Light-Director Interaction // Mol. Cryst. Liq. Cryst. -2006. - Vol.454, 145.

6. F. Li, O. Buchnev, C. I. Cheon, A. Glushchenko, V. Reshetnyak, Y. Reznikov, T. J. Sluckin, and J. L. West. Orientational Coupling Amplification in Ferroelectric Nematic Colloids // Phys. Rev. Lett. - 2006. - Vol. 97. - P. 147801.

7. E. Terentjev. Disclination loops, standing alone and around solid particles, in nematic liquid crystals // Phys. Rev. E -1995.- Vol. 51. - P. 1330.

8. S. V. Burylov and Y. L. Raikher. On the orientation of an anisometric particle suspended in a bulk uniform nematic // Phys. Lett. A - 1990. - Vol. 149.- P. 279.

9. S. V. Burylov and Y. L. Raikher. Orientation of a solid particle in a monodomain nematic liquid crystal // Phys. Rev. E - 1994. - Vol. 50. - P. 358.

10. O. Kuksenok, R. W. Ruhwandl, S. Shiyanovskii, and E. M. Terentjev. Director structure around a colloid particle suspended in a nematic liquid crystal // Phys. Rev. E. - 1996. - Vol. 54, № 5. - P. 5198-5203.

11. S. Ramaswamy, R. Nityananda, V. A. Gaghunathan, and J. Prost. Ramaswamy S. Power-law forces between particles in a nematic // Mol. Cryst. Liq. Cryst. - 1996. - Vol. 288, № 1. - P. 175-180.

12. Topologіcal defects and іnteractіons іn nematіc emulsіons / T.C. Lubensky, D. Pettey, N. Currіer and H. Stark // Phys. Rev. E. - 1998. - Vol. 57, № 1. - P. 610-625.

13. B. І. Lev and P. M. Tomchuk. Lev B.І. Іnteractіon of foreіgn macrodroplets іn a nematіc lіquіd crystal and іnduced supermolecular structures // Phys. Rev. E. 1999. -Vol. 59, № 1. -P. 591-602.

14. B.І. Lev, S.B. Chernyshuk, P.M. Tomchuk and H. Yokoyama. Symmetry breakіng and іnteractіon of colloіdal partіcles іn nematіc lіquіd crystals // Phys.Rev E. 2002. - Vol. 65, № 2. - P. 021709

15. A.N. Tikhonov and A. A. Samarskii, Equations of Mathematical Physics,

Pergamon Press, Oxford, 1972.

16. P. de Gennes and J. Prost. The physics of liquid crystal - Clarendon, Oxford, 1993.

Анотація

В. О. Узунова. “Представлення густини пружного заряду в теорії колоїдної взаємодії в нематичному рідинному кристалі”. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика. Інститут фізики Національної Академії Наук України, Київ, 2009.

Робота присвячена теорії взаємодії в нематичних колоїдах або нематичних емульсіях. Взаємодія колоїдів через поле нематичного директора є далекосяжною і певною мірою подібною до електростатичної. Розроблено представлення парної взаємодії частинок у нематичному рідинному кристалі, в якому природно виникають пружний заряд і пружні мультипольні моменти, а також їх джерело - густина пружного заряду. Через векторний характер поля директора побудована колоїдна нематостатика суттєво відрізняється від скалярної електростатики: пружний заряд є вектором, пружні мультиполі мають складну тензорну структуру; пружні заряди одного знаку притягаються, а різного - відштовхуються.

Пружний заряд виведено з закону збереження моменту. Компоненти вектора зовнішнього моменту сил, що діють на частинку, повністю визначають вектор її пружного заряду, і, відповідно, кулоноподібна взаємодія є взаємодією двох векторів зовнішніх моментів.

Визначено, в якому наближенні взаємодія через поле директора є парною. Виведено формули пружної диполь-дипольної і квадруполь-квадрупольної взаємодії, а також взаємодії заряд-диполь, заряд-квадруполь і диполь-квадруполь. Розглянуті окремі випадки такої взаємодії.

Розв'язано проблему взаємодії колоїду зі стінкою за довільного нахилу директора на її поверхні, для чого розроблено метод дзеркальних відображень у нематостатиці.

Ключові слова: нематичнi колоїди, взаємодія через поле директора, грінова функція, пружний заряд.

Аннотация

В. А. Узунова. “Представление плотности упругого заряда в теории коллоидного взаимодействия в нематическом жидком кристалле.” - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. Институт физики Национальной Академии Наук Украины, Киев, 2009.

Работа посвящена теории взаимодействия коллоидов в нематических жидких кристаллах. Взаимодействие коллоидов через поле нематического директора является дальнодействующим, благодаря чему исследуемые системы подобны не классическим коллоидам в изотропной жидкости, а электростатическим системам. Быстрое развитие физики нематических коллоидов происходило под значительным влиянием такой электростатической аналогии. Однако до сих пор не существовало аналогии между этими двумя областями на фундаментальном уровне плотности заряда как источника поля. В диссертации найдены аналоги электростатического заряда и его плотности - упругий заряд и его поверхностная плотность, благодаря чему теорию взаимодействия через поле директора - коллоидную нематостатику - удалось представить в виде, концептуально аналогичному электростатике.

В диссертации разработано представление коллоидного взаимодействия, в котором каждая частица, как источник деформации, задается распределением директора на вспомогательной сфере, охватывающей частицу. Сфера выбирается таким образом, чтобы область сильных нелинейных деформаций оказалась внутри, тогда как на поверхности сферы деформации линейны. Тогда задача нахождения поля директора сводится к краевой задаче уравнения Лапласа, которая имеет однозначное решение. Распределение директора на сфере является минимально достаточной информацией о частице. Решение задачи найдено через функции Грина уравнения Лапласа. В результате из решения краевой задачи естественным образом возникают упругий заряд и упругие мультипольные моменты, а также их источник - плотность упругого заряда.

Упругий аналог плотности заряда в коллоидной нематостатике является двухкомпонентным вектором, который определяется распределением двух поперечных компонент директора на сфере. Упругий заряд и мультиполи выражаются через эту величину с помощью формул, аналогичных формулам электростатики. Количество мультипольных моментов каждого порядка удваивается: упругий заряд является двохкомпонентным вектором, упругий диполь состоит из двух векторов, а упругий квадруполь из двух тензоров.

Упругий заряд найден с помощью идеи де Жена о связи кулоновского члена в поле деформации с моментом сил, приложенным к источнику деформации. В отличии от электростатики с ее постулированным зарядом, нематостатика поля директора позволяет ввести упругий заряд, который генерируется внешним моментом сил, приложенным к частице. При этом роль теоремы Гаусса играет интегральная форма закона сохранения момента сил, который является механическим инвариантом. Потенциал взаимодействия двух упругих зарядов имеет кулоновский вид, в котором на месте произведения зарядов стоит минус скалярное произведение моментов, действующих на частицы.

Показано, что для взаимодействия на больших расстояниях, отношения размеров коллоидов к расстоянию между ними является малым параметром. Двух- и трехчастичные функции Грина получены в виде ряда по этому параметру с помощью разработанного метода последовательных зеркальных отображений. Благодаря этому, выведены формулы упругого диполь-дипольного и квадруполь-квадрупольного взаимодействия, а также взаимодействия заряд-диполь, заряд-квадруполь, и диполь-квадруполь. Рассмотрены частные случаи такого взаимодействия. Определено, в каком приближении взаимодействие через поле директора является парным. Показано, что в системе N одинаковых мультиполей трехчастичные члены возникают в следующем порядке после основного, поэтому парное взаимодействие должно быть ограничено членами основного порядка. При этом парный потенциал определяется мультипольными моментами изолированных частиц.

Решена проблема взаимодействия коллоида со стенкой при произвольном наклоне директора на ее поверхности, для чего разработано метод зеркальных отображений в нематостатике.

Ключевые слова: нематические коллоиды, взаимодействие через поле директора, функция Грина, упругий заряд.

Summary

V. A. Uzunova. “Elastіc charge densіty representatіon іn the theory of the colloіdal іnteractіon іn nematіc lіquіd crystals”. - Manuscrіpt.

Candidate thesіs in Physіcs and Mathematіcs in specіalіty 01.04.02 - Theoretіcal Physіcs, Іnstіtute of Physіcs, Natіonal Academy of Scіences, Ukraіne, Kyіv, 2009.

The work is devoted to the theory of colloidal interaction in nematic colloidal systems or nematic emulsions. The interaction of colloidal particles via the director field is of a long range and in its mathematical nature similar to the electrostatic interaction. We have developed a representation of the pairwise interaction of particles in a nematic liquid crystal, in which there naturally appear an elastic charge, elastic multipoles, and their sorce - elastic charge density. Because of the difference between the scalar electrostatics and vector nematostatics, the number of elastic multipoles of each order is doubled compared to that in the electrostatics: there are two elastic charges, two vectors of dipole moments, two quadrupolar tensors.

The elastic charge is derived from the conservation of the mechanical torque transferred by the director field. The two component elastic charge is expressed via the vector of external mechanical torque applied on the particle. As a result, the elastic Coulomb-like coupling between two particles is found to be proportional to the scalar product of the two external torques and does not directly depend on the particles' form and anchoring; charges of the same sign attract whereas charges of opposite signs repel one another. Interaction potentials for different elastic multipoles are derived.

The range and conditions of the applicability of the pairwise approach to nematic collidal system are established. The problem of interaction between a colloid and a wall with arbitrary director alignment is solved by the mirror image method, which was modified for the colloidal nematostatics.

Keywords: nematіc colloids, interaction via director fіeld, Green function, elastic charge.

Размещено на Allbest.ru

...