Дослідження потенціалів взаємодії надстійких та сильно надстійких статистичних систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.5:517.9:519.24:536.715

01.01.03 - математична фізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ДОСЛІДЖЕННЯ ПОТЕНЦІАЛІВ ВЗАЄМОДІЇ НАДСТІЙКИХ ТА СИЛЬНО НАДСТІЙКИХ СТАТИСТИЧНИХ СИСТЕМ

Тертичний Максим Володимирович

Київ -- 2009



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор Ребенко Олексій Лукич, Інститут математики НАН України, завідувач відділу математичної фізики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України Чуєшов Ігор Дмитрович, Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна,

завідувач кафедри математичної фізики і обчислювальної математики; кандидат фізико-математичних наук Фінкельштейн Дмитро Леонідович, Інститут математики НАН України, науковий співробітник відділу фрактального аналізу.

Захист відбудеться “9” червня 2009 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “5” травня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради А.C. РОМАНЮК



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В основі математичного опису нескінченних систем взаємодіючих частинок лежить поняття стану, яке асоціюється з побудовою ймовірнісної міри на фазовому просторі нескінченної системи. У випадку рівноважної скінченної системи такою мірою є міра Гіббса, яка була введена на початку XX століття американським фізиком-теоретиком Джозайя Віллардом Гіббсом. Необхідною умовою існування рівноважних станів систем нескінченного числа взаємодіючих частинок є умова стійкості. Математично вона виражається умовою обмеженості знизу повної енергії системи, що припадає на одну частинку. Дослідження критеріїв стійкості було запропоновано в роботах РюеляRuelle D. Classical statistical mechanics of a system of particles / D. Ruelle // Helv. Phys. Acta. -- 1963. -- V. 36, № 2. -- P. 183--197., Фішера, Добрушина Добрушин Р. Л. Гиббсовские случайные поля для частиц без твердой сердцевины / Р. Л. Добрушин // Теоретическая и математическая физика. -- 1970. -- Т.4, № 1. -- С. 101--118., Повзнера. Для потенціалів, що є інтегровними на нескінченності, умова стійкості забезпечує існування рівноважних станів системи для малих значень параметрів z (хімічної активності) і ? (оберненої температури). Для побудови рівноважних станів при довільних значеннях z,? треба накласти більш сильну умову на поведінку енергії взаємодії. Такою умовою є умова надстійкостіRuelle D. Superstable interactions in classical statistical mechanics / D. Ruelle // Commun. Math. Phys. -- 1970. -- V. 18, № 2. -- P. 127--159.. Для систем, що є надстійкими було отримано рівномірні оцінки на сім'ю кореляційних функцій і встановлено існування гіббсової міри для довільних значень параметрів z,?. Пізніше в роботі Парка Park Y. M. Bounds on Exponentials of Local Number Operators in Quantum Statistical Mechanics / Y. M. Park // Commun. Math. Phys. -- 1984. -- V. 94. -- P. 1--33. було введене поняття посилено надстійкої взаємодії, яке дозволило просунутись у вивченні не тільки класичних, а й квантових систем.

У звязку з цим виникає ряд математичних проблем, пов'язаних з описом потенціалів, які задовольняють умови стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості, та дозволяють розглядати деякі апроксимовані системи, які спрощують вивчення неперервних систем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацію виконано на кафедрі математичного аналізу механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка в рамках теми № 06БФ038-03 “Аналітичні та стохастичні методи дослідження динамічних систем” (номер держреєстрації 0106U005864) і у відділі математичної фізики Інституту математики НАН України в рамках тем “Методи математичної фізики моделей з сингулярними взаємодіями” (номер держреєстрації 0106U000111) та “Ймовірнісно-функціональні методи в статистичній механіці та їх застосування” (номер держреєстрації 0106U000503). надстійкість двочастинковий гратчастий апроксимований

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є знаходження достатніх критеріїв стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості класичних гратчастих і неперервних систем нескінченного числа частинок; знаходження обмежень на двочастинковий потенціал взаємодії між частинками, при яких апроксимовані величини такі, як тиск, кореляційні функції у скінченному об'ємі та кореляційні функції нескінченних систем, з будь-яким ступенем точності наближають відповідні класичні термодинамічні потенціали у неперервному випадку.

Об'єктом дослідження є класичні неперервні статистичні системи нескінченного числа частинок, взаємодія між якими описується як за допомогою двочастинкового, так і багаточастинкового потенціалів.

Предметом дослідження є встановлення достатніх критеріїв стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості класичних неперервних систем нескінченного числа частинок; введення квазігратчастої апроксимації неперервних систем за допомогою розбиття неперервного евклідового простору на гіперкуби, що не перетинаються, та визначення відповідних термодинамічних величин; доведення збіжності апроксимованих величин до відповідних величин, що визначають неперервну систему.

Методи дослідження. При доведенні достатніх критеріїв стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості взаємодії використовуються класична та сучасна теорія потенціалу. Теореми, що пов'язані з квазігратчастою апроксимацією, доводяться за допомогою методів нескінченновимірного аналізу (властивостей мір Лебега-Пуассона та Пуассона) та техніки рівнянь Кірквуда-Зальцбурга у відповідних функціональних просторах.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, такі:

1. Встановлено тісний зв'язок між дослідженнями достатніх критеріїв стійкості взаємодії нескінченних систем і класичною теорією мінімізуючих мір в теорії потенціалу.

2.* Отримано нові достатні критерії стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості для взаємодії, що визначається двочастинковим потенціалом. Встановлено точні значення констант та їх залежності від параметрів, що характеризують потенціал взаємодії.

3. Отримано достатній критерій стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості у випадку багаточастинкової взаємодії. Проаналізовано приклад сім'ї багаточастинкових потенціалів, що визначає надстійку взаємодію і який має безпосереднє застосування у молекулярній фізиці.

4. Введено принципово нове поняття квазігратчастої апроксимації неперервних систем для тиску та кореляційних функцій. Доведено, що, за умови посиленої надстійкості взаємодії, ці нові введені функції з будь-яким ступенем точності наближають класичні тиск та кореляційні функції неперервних систем (останній результат лише для достатньо малих значень хімічної активності z).

Практичне значення одержаних результатів. Більшість результатів мають теоретичний характер. Результати роботи можуть бути використані для побудови міри Гіббса у класичному випадку. Введене поняття квазігратчастої апроксимації та пов'язані з ним теореми про тиск, кореляційні функції у обмеженому об'ємі та кореляційні функції нескінченних систем дозволяють узагальнити велику кількість результатів, отриманих для гратчастих систем, на неперервний випадок.

Особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано три роботи. Дві з них [1, 2] у співавторстві. Робота [3] написана здобувачем самостійно. В роботах [1, 2] співавторові, О. Л. Ребенко, належить постановка задач. Доведення всіх результатів дисертації, винесених на захист, проведено дисертантом самостійно.

Апробацiя результатів дисертації. Результати дисертацiйної роботи доповідалися і обговорювалися на київському міському семінарі з функціонального аналізу (2009, керівники семінару -- професори Ю. М. Березанський, М. Л. Горбачук, Ю. С. Самойленко), семінарах відділу математичної фізики Інституту математики НАН України (2007-2008, керівники семінару -- професори О. Л. Ребенко та В. Д. Кошманенко), на математичних семінарах Національного педагогічного університету імені Михайла Драгоманова (2008, керівники семінару -- професори М. В. Працьовитий та Ю. Г. Кондрат'єв), на міжнародній математичній конференції ім. В. Я. Скоробагатька (Дрогобич, 24-28 вересня 2007) та на 1 Всеукраїнській конференції молодих вчених (Харків, 20-23 травня 2008).

Публiкацiї. Основні результати дисертації опубліковано в 3 статтях [1-3] у наукових фахових виданнях, що входять до переліку ВАК України та додатково висвітлено в 1 препринті [4]. З них одна робота [3] опублікована без співавторів.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі змісту, вступу, 3-ох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 109 найменувань. Повний обсяг дисертації становить 122 сторінки, з них список використаних джерел займає 13 сторінок. Результати, що виносяться на захист, формулюються і доводяться у розділах 2,3.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, вказано наукову новизну, теоретичне і практичне значення отриманих результатів. Зазначено особистий внесок здобувача, апробацію роботи та публікації автора, а також наведено структуру дисертаційної роботи і зміст її основних розділів. Основна частина роботи складається з 3 розділів.

Перший розділ присвячено огляду основних результатів стосовно достатніх критеріїв стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості взаємодії, отриманих у другій половині XX століття. Вводяться базові поняття (класи потенціалів, термодинамічні функції, елементи нескінченновимірного аналізу, гратчаcті системи), що використовуються у подальших розділах.

Умова стійкості є необхідною для коректного термодинамічного опису статистичних систем з нескінченною кількістю частинок, існування кореляційних функцій нескінченних систем. Така умова може бути сформульована за допомогою системи нескінченного числа нерівностей, кожна з яких відповідає певній скінченній підсистемі, що складається з n частинок, які розташовані у точках простору наступним чином.

Означення 1 Взаємодія називається стійкою, якщо для будь-якої підсистеми з кількістю частинок n2 та набором координат існує константа B0 така, що

(1)

Однією з найважливіших умов, що накладаються на потенціал взаємодії між частинками є умова інтегровності на нескінченності. Це означає, що для будь-яких R>0



(2)

Для кожного можна ввести розбиття простору на d-вимірні куби з ребром a та центром у :

(3)

Умови (1), (2) є достатніми для побудови міри Гіббса системи нескінченного числа частинок в області малих значень параметрів та z, де T -- температура системи, z -- хімічна активність, яка безпосередньо пов'язана з густиною системи частинок, -- константа Больцмана, що забезпечує перехід від температурної до енергетичної шкали. Але для того, щоб побудувати міру Гіббса (або іншими словами гіббсовий стан) у випадку системи нескінченного числа частинок для будь-яких додатних значень параметрів та z необхідно накласти додаткові обмеження на взаємодію між частинками. Такою умовою виявилась умова надстійкості.

Означення 2 Взаємодія називається надстійкою, якщо для будь-якого розбиття на куби та будь-якої конфігурації

існують такі константи A>0, B0, що виконується умова:

(4)

де -- простір скінченних конфігурацій частинок у просторі : 

(5)

Дещо інше означення надстійкості було дане ЖинібромGinibre J. On the Asymptotic Exactness of the Bogoliubov Approximation for Many Boson Systems / J. Ginibre // Commun. Math. Phys. -- 1968. -- V. 8. -- P. 26--51..

Означення 3 Взаємодія називається надстійкою, якщо існують дві такі константи B0 та що для будь-якого наступне твердження є вірним:

(6)

Існує більш жорстка умова на взаємодію ніж (4).

Означення 4 Взаємодія називається посилено надстійкою, якщо існують такі константи A>0, B0, p2 та , що виконується така умова:

(7)

для будь-яких .

У зв'язку з умовами (1), (4), (6), (7) постає проблема знаходження умов на потенціал взаємодії, що забезпечують стійкість, надстійкість чи посилену надстійкість статистичних систем.

У другому розділі знайдено достатні критерії надстійкості у випадку двочастинкового потенціалу. Формулюється і доводиться також критерій стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості у випадку багаточастинкової взаємодії. Проаналізовано приклад сім'ї багаточастинкових потенціалів типу Ленарда-Джонса.

У підрозділах 2.2, 2.3. розглядаємо лише такі двочастинкові потенціали ?, які є неперервні на , та для яких існують такі константи , що виконуються умови :

(8)

(9)

де -- додатна та від'ємна частини двочастинкового потенціалу взаємодії.

Відмітимо, що константа в умові посиленої надстійкості (7) не перевищує . У другому розділі розглядаються три принципово різні випадки:

у відповідності з якими формулюється основний результат розділу у вигляді трьох теорем.

Теорема 1 Нехай двочастинковий потенціал взаємодії задовольняє умови (8), (9). Тоді у випадку 0?s<d для будь-якої конфігурації та достатньо малих ?>0 існує така константа B=B(?,a), що має місце нерівність:

(10)

де (11)



-- інтеграл енергії Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала / Н. С. Ландкоф. -- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1966. -- 515 с., що має сенс лише при s<d, K -- компакт;

(12)

Отже, у випадку 0?s<d потенціал ? є надстійким (див. (4)), якщо виконується умова:

(13)

Теорема 2 Нехай двочастинковий потенціал взаємодії задовольняє умови (8), (9). Тоді при s=d для будь-якої конфігурації частинок та достатньо малих >0 існує така константа B=B(,a), що виконується умова:

(14)

де (15)

Теорема 3 Нехай двочастинковий потенціал взаємодії задовольняє умови (8), (9). Тоді при s>d для будь-якої конфігурації частинок існує така константа B=B(a), що виконується умова:

(16)

де (17)

У підрозділі 2.2 показано, що, коли потенціал взаємодії задовольняє умови (8), (9) і sd, в умові стійкості (1) константа B не залежить від параметру розбиття а.

Теорема 4 Для потенціалів взаємодії, що задовольняють умови (8), (9) та sd, нерівність (1) виконується з

(18)

де константа є близькою до для малих a>0.

У підрозділах 2.4-2.6 розглядається взаємодія, що визначається сім'єю багаточастинкових потенціалів .

Для сім'ї багаточастинкових потенціалів вводяться два додаткові обмеження (окрім симетрії відносно перестановок аргументів та трансляційної інваріантності):

Відштовхування на малих відстанях. Існує розбиття простору на куби таке, що для будь-яких виконується умова:

(19)

Інтегровність. 1kp1. (20)

.

У підрозділах 2.4-2.6 використовуються деякі нові позначення, які представлені нижче.

Означення 5 Нехай . Тоді:

(21)

(22)

Також вводиться поняття мінімуму енергії, що визначається лише p-частинковим потенціалом у кубі з ребром a

(23)

Тепер можемо сформулювати основний результат підрозділів 2.4-2.5 -- теорему про достатній критерій стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості взаємодії, що визначається сім'єю p-частинкових потенціалів .

Теорема 5 Нехай сім'я p-частинкових потенціалів задовольняє умови симетрії відносно перестановок своїх аргументів, трансляційної інваріантності, відштовхування на малих відстанях (19) та інтегровності (20). Нехай також частина взаємодії, що визначається двочастинковим потенціалом , є стійкою (надстійкою, посилено надстійкою). Якщо існує таке розбиття простору на куби , що виконуються такі умови:

(24)

(25)

то взаємодія, що визначається такою сім'єю потенціалів, є також стійкою (надстійкою, посилено надстійкою).

У підрозділі 2.6 аналізується приклад сім'ї багаточастинкових потенціалів типу Ленарда-Джонса:

(26)

Ставиться завдання записати умови на константи , що забезпечують надстійкість взаємодії.

Такими умовами є, наприклад,

(27)

У третьому розділі введено поняття квазігратчастої апроксимації статистичних систем, cформульовано і доведено теореми про наближення тиску, кореляційних функцій у обмеженому об'ємі та кореляційних функцій нескінченних систем (останній результат лише для достатньо малих значень хімічної активності z) у випадку неперервних систем за допомогою відповідних апроксимованих функцій.

Основна ідея квазігратчастої апроксимації полягає в такому: ми розбиваємо простір на неперетинні d-вимірні куби об'ємом та визначаємо апроксимовані велику статистичну суму, сім'ю кореляційних функцій у обмеженому об'ємі та кореляційні функції нескінченних систем у такий спосіб, що вони враховують тільки такі конфігурації частинок у просторі , коли у кожному кубику міститься не більше ніж одна частинка.

У підрозділі 3.2 вводяться такі апроксимовані величини: тиск, кореляційні функції у обмеженому об'ємі.

Сім'я апроксимованих кореляційних функцій у обмеженому об'ємі вводится в такий спосіб:

(28)

де -- міра Лебега-Пуассона, -- простір конфігурацій частинок з об'єму ?; а велика статистична сума для апроксимованої системи

(29)

де ми ввели -вимірну функцію зa допомогою такої формули:

(30)



-алгебра борелівських підмножин простору .

Апроксимований тиск вводиться таким чином:

(31)

У виразах для основних термодинамічних характеристик системи інтегрування здійснюємо не по всьому простору конфігурацій , а тільки по тих конфігураціях, які містять для заданого фіксованого розбиття не більше ніж одну частинку в кожному кубі . Цей факт може виглядати дещо несподіваним, оскільки для нескінченної системи частинок множина таких конфігурацій у просторі локально скінченних конфігурацій ? є множина міри нуль відносно міри Пуассона та міри Гіббса. Проте, як показано у підрозділах 3.4, 3.5, основні характеристики апроксимованої системи (навіть у термодинамічній границі ) можуть бути достатньо близькими до відповідних характеристик початкової системи.

У підрозділі 3.3 виводяться рівняння типу Кірквуда-Зальцбурга для апроксимованих кореляційних функцій у обмеженому об'ємі. У підрозділі 3.4 формулюються, а у підрозділі 3.5 доводяться основні результати третього розділу. Всі результати третього розділу отримано для випадку двочастинкової взаємодії. Введемо послідовність обмежених вимірних за Лебегом областей :

(32)

Ми будемо розглядати тільки такі об'єми , які є об'єднанням кубів з розбиття .

Теорема 6 Нехай двочастинковий потенціал взаємодії ?(|x|) задовольняє умови (8), (9). Тоді границі

(33)

(34)

є скінченні, та для будь-якого ?>0 існує таке значення параметру розбиття , що нерівність:

(35)

виконується для будь-яких z, і .

Аналогічний результат справедливий для сім'ї кореляційних функцій у фіксованому об'ємі:

Теорема 7 Нехай двочастинковий потенціал взаємодії (|x|) задовольняє умови (8), (9). Тоді для будь-якого >0, будь-якого фіксованого та будь-якої конфігурації існує таке значення параметру розбиття a=a(z,)>0, що виконується умова:

(36)

Для будь-якої конфігурації та будь-якої послідовності областей (32) таких, що , існує підпослідовність з послідовності така, що

(37)

для будь-яких додатних z,? рівномірно у і існує підпослідовність () послідовності () така, що можна ввести апроксимовані кореляційні функції нескінченних систем за правилом

(38)

У випадку достатньо малих значень хімічної активності z існує єдина границя (;z,), яка є єдиним розв'язком рівняння типу Кірквуда-Зальцбурга у просторі .Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты / Д. Рюэль. -- М.: Мир. -- 1971. -- 368 с. У підрозділі 3.5 показано, що існує єдиний розв'язок рівняння типу Кірквуда-Зальцбурга для сім'ї кореляційних функцій для достатньо малих значень z або , який і є границею (38).

Теорема 8 Нехай двочастинковий потенціал взаємодії (|x|) задовольняє умови (8), (9). Тоді для будь-якого >0, достатньо малих значень z та будь-якої конфігурації існує таке значення параметру розбиття , що нерівність

(39)

виконується для всіх .



ВИСНОВКИ

Основні результати дисертації можна підсумувати таким чином.

1.* Зроблено огляд основних понять рівноважної статистичної механіки, пов'язаних з побудовою міри Гіббса в обмеженому об'ємі та на просторі нескінченних конфігурацій. Проаналізовано умови існування принаймні одного стану Гіббса та зв'язок цього факту з поняттям стійкої, надстійкої та посилено надстійкої взаємодії. Зроблено стислий огляд відомих достатніх критеріїв стійкості та надстійкості для взаємодії, що визначається лише двочастинковим потенціалом. Встановлено тісний зв'язок між дослідженням достатніх критеріїв стійкості взаємодії нескінченних систем і класичною теорією мінімізуючих мір в теорії потенціалу.

2. Отримано нові достатні критерії стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості для взаємодії, що визначається двочастинковим потенціалом. Перевагою отриманих критеріїв у порівнянні з результатами попередників (Добрушина, Рюеля) є встановлення точних значень констант та їх залежності від параметрів, що характеризують потенціал взаємодії.

3.* Отримано достатній критерій стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості для взаємодії, що визначається сім'єю багаточастинкових потенціалів. Введено ряд допоміжних понять для формулювання цього результатату, які можуть бути застосовані і для доведення інших теорем, пов'язаних з багаточастинковою взаємодією. Проаналізовано приклад сім'ї багаточастинкових потенціалів, що визначає надстійку взаємодію і є певним узагальненням потенціалу Ленарда-Джонса для двочастинкової взаємодії, який досить часто застосовується у молекулярній фізиці.

4.* Введено принципово нове поняття квазігратчастої апроксимації неперервних систем для тиску і кореляційних функцій в обмеженому об'ємі та на просторі нескінченних конфігурацій. Розглянуто рівняння типу Кірквуда-Зальцбурга для кореляційних функцій апроксимованої системи по аналогії з аналогічними рівняннями для гратчастих систем. Доведено, що за умови посиленої надстійкості взаємодії апроксимовані тиск та кореляційні функції з будь-яким ступенем точності наближають відповідні класичні величини неперервних систем (результат стосовно кореляційних функцій на просторі нескінченних конфігурацій доведено лише для достатньо малих значень хімічної активності z).



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Rebenko A. L. Quasi-continuous approximation of statistical systems with strong superstable interactions /A. L. Rebenko, M. V. Tertychnyi // Збірник праць Інституту математики НАН України. -- 2007. -- Т. 4, № 3. -- C. 172--182.

2. Rebenko A. L. On stability, superstability and strong superstability of classical systems of Statistical Mechanics / A. L. Rebenko, M. V. Tertychnyi // Meth. Funct. Anal. and Topology. -- 2008. -- V. 14, № 3. -- P. 287--296.

3. Tertychnyi M. V. Sufficient conditions for superstability of many-body interactions / M. V. Tertychnyi // Meth. Funct. Anal. and Topology. -- 2008. -- V. 14, № 4. -- P. 386--396.

4. Rebenko A. L. Quasi-lattice approximation of statistical systems with strong superstable interactions. Correlation functions / A. L. Rebenko, M. V. Tertychnyi. -- Київ: Інститут математики НАН України, 2009. -- 36 c. -- (Препринт / НАН України, Інститут математики; 2009.1).

5. Ребенко О. Л. Про умови надстійкості та посиленої надстійкості парних потенціалів взаємодії / О. Л. Ребенко, М. В. Тертичний // Міжнародна математична конференція імені В. Я. Скоробагатька, 24-28 вересня 2007 р.: Тези доповідей. -- Дрогобич: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, 2007. -- С. 241.

6. Tertychnyi M. V. Quasilattice approximation of statistical systems with superstable or strong superstable pair interactions / M. V. Tertychnyi // 1-а Всеураїнська конференція молодих вчених, 20-23 травня 2008 р.: Тези доповідей. -- Харків: Фізико-технічний інститут низьких температур імені Б. І. Вєркіна НАН України, 2008. -- С. 165.



АНОТАЦІЇ

Тертичний М.В. Дослідження потенціалів взаємодії надстійких та сильно надстійких статистичних систем. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.03 -- математична фізика. -- Інcтитут математики НАН України, Київ, 2009.

Встановлено тісний зв'язок між дослідженням достатніх критеріїв стійкості взаємодії нескінченних систем і класичною теорією мінімізуючих мір в теорії потенціалу. Зроблено огляд основних результатів в сучасній теорії потенціалу.

Отримано нові достатні критерії стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості для взаємодії, що визначається двочастинковим потенціалом. Встановлено точні значення констант та їх залежності від параметрів, що характеризують потенціал взаємодії.

Отримано достатній критерій стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості у випадку багаточастинкової взаємодії. Проаналізовано приклад сім'ї багаточастинкових потенціалів, яка визначає надстійку взаємодію і який має безпосереднє застосування в молекулярній фізиці.

Введено принципово нове поняття квазігратчастої апроксимації неперервних систем для тиску, кореляційних функцій в обмеженому об'ємі та кореляційних функцій нескінченних систем. Доведено, що, за умови посиленої надстійкості взаємодії, ці нові введені функції з будь-яким ступенем точності наближають класичні тиск, кореляційні функції в обмеженому об'ємі та кореляційні функції нескінченних систем (останній результат -- лише для достатньо малих значень хімічної активності z).

Ключові слова: стійка взаємодія, надстійка взаємодія, посилено надстійка взаємодія, двочастинкова взаємодія, багаточастинкoва взаємодія, кореляційні функції в обмеженому об'ємі, кореляційні функції нескінченних систем, квазігратчаста апроксимація.

Тертычный М.В. Исследование потенциалов взаимодействия сверхустойчивых и усиленно сверхустойчивых статистических систем. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 -- математическая физика. -- Институт математики НАН Украины, Киев, 2009.

Установлена тесная связь между исследованиями достаточных критериев устойчивости взаимодействия бесконечных систем и классической теорией минимизирующих мер в теории потенциала. Сделан обзор основных достижений в современной теории потенциала.

Получены новые достаточные критерии устойчивости, сверхустойчивости и усиленной сверхустойчивости для взаимодействия, которое определяется двухчастичным потенциалом. Установлены точные значения констант и их зависимости от параметров, которые характеризуют потенциал взаимодействия.

Получен новый достаточный критерий устойчивости, сверхустойчивости и усиленной сверхустойчивости в случае многочастичного взаимодействия. Проанализирован пример семьи многочастичных потенциалов, которая определяет сверхустойчивое взаимодействие и имеет непосредственное применение в молекулярной физике.

Введено принципиально новое понятие квазирешетчатой аппроксимации непрерывных систем для давления, корреляционных функций в конечном объеме и корреляционных функций бесконечных систем. Доказано, что при выполнении условия усиленной сверхустойчивости взаимодействия эти новые введенные функции с любой степенью точности приближают классические давление, корреляционные функции в конечном объеме и корреляционные функции бесконечных систем (последний результат -- только при малых значениях химической активности z).

Ключевые слова: устойчивое взаимодействие, сверхустойчивое взаимодействие, усиленно сверхустойчивое взаимодействие, двухчастичное взаимодействие, многочастичное взаимодействие, корреляционные функции в ограниченном объеме, корреляционные функции бесконечных систем, квазирешетчатая аппроксимация.



Tertychnyi M.V. Research of interaction potentials of superstable and strong superstable statistical systems. -- Manuscript.

Thesis for the degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.03 -- Mathematical Physics. -- Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2009.

A short sketch of main notions of an equilibrium statistical mechanics, which are connected with the construction of Gibbs measure in the fixed volume and on the space of infinite configurations, is given. A short overview of works of predecessors concerning the criteria of stability, superstabilty and strong superstability is also proposed. Connection between the conditions of stability, superstabilty and strong superstability of pair interaction and the existence of at least one Gibbs state has been analyzed.

There has been established a close connection between the research of sufficient conditions of stability of interaction of infinite systems and a classical theory of minimizing measures on compact sets. It is shown in the following way: the partition of the space into non-intersecting hypercubes is introduced; then the energy of a fixed configuration of particles can be divided into two parts, one of them is the interaction between the particles inside each separate cube, and another one is the interaction between the particles from different cubes. The first sum can be estimated from below by a minimal energy of a fixed number of particles in the hypercube. A complete survey of the previous results concerning this subject in the classical and modern potential theory is given.

New sufficient conditions of stability, superstability and strong superstability of interaction, which is defined by pair potential, are obtained. The main advantage of these criteria in comparison with the previous results in Dobrushin's and Ruelle's works is that the new exact values of the constants and their dependencies on the parameters, which define the interaction potential, are proposed. It was shown, that if the pair potential is of Lenard-Jones type (on small distances this potential is of Riesz type and it satisfies the integrability condition) then the constant in the condition of stability does not depend on the value of parameter a of the partition of the space into hypercubes.

In the case of many-body interaction the sufficient condition of stability, superstability and strong superstability is also given. This criterion refers to the situation, when the pair interaction is supposed to be stable, superstable or strong superstable and the parts of the total energy contributed by p-body potentials (p>2) are positive and decreasing. It takes into account the traditional concept, that in some sense p-body potential plays less important part in the energy of interaction than p1-one. While proving this result the new lower bound for the part of the total energy, which is defined only by p-body potential, is proposed.

Several new notions are presented to formulate this criterion. They can be used either to prove other similar criteria or to estimate the coefficients in the conditions of superstability or strong superstability. There has been investigated an example of the family of many-body potentials, that ensures superstable interaction and has immediate application in molecular physics. It generalizes the well-known Lenard-Jones pair potential on many-body case. The one-dimensional case is considered separately. Some obtained estimates in this case are exacter than in many-body situation. The exact values of the coefficients in this example are proposed.

These sufficient criteria of stability, superstability and strong superstability can be used in the case of classical equilibrium continuous system to construct Gibbs measure either in finite volume or on the space of infinite configurations, when the interaction is defined both the pair potential or the family of many-body potentials.

The totally new concept of quasilattice approximation of continuous systems for a pressure, correlation functions in the fixed volume and correlation functions of infinite systems is introduced. The main point of this approximation consists in the idea, that in the expressions for the basic characteristics of the system integration is carried out not over all space of configurations, but only over those configurations, which contain for the given partition of the space into hypercubes not more than one particle in each cube. The equations of Kirkwood-Salzburg type for the family of approximated correlation functions are obtained and the question about the existence of its solutions in the form of convergent in one of the specially defined spaces series is analyzed. It is proved, that if the condition of strong superstability holds, then these recently defined functions approximate with any accuracy the classical pressure, correlation functions in the fixed volume and correlation functions of infinite systems (the last result is true only in the region of small values of a chemical activity z). The result for the correlation functions of infinite systems is proved using the method of mathematical induction, technique of Kirkwood-Salzburg equations and one technical lemma. In the theorems, which are connected with quasilattice approximation the interaction is defined only by pair potential.

Such an approximation helps to generalize some results in the case of lattice gas on the case of classical continuous systems. It contains also the transition parameter, that is the length a of an edge of an arbitrary cube from the partition of the space and ensures the connection between the lattice and continuous cases. It is especially important, because there are many results in the theory of lattice systems and very few for continuous ones.

Key words: stable interaction, superstable interaction, strong superstable interaction, pair interaction, many-body interaction, correlation functions in the fixed volume, correlation functions of infinite systems, quasilattice approximation.

Размещено на Allbest.ru

...