Статичні граничні задачі для пружного зрізаного клина

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 539.3

СТАТИЧНІ ГРАНИЧНІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ПРУЖНОГО

ЗРІЗАНОГО КЛИНА

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЛЯХ В'ЯЧЕСЛАВ ВІКТОРОВИЧ

Київ - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

МЕЛЕШКО В'ячеслав Володимирович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка МОН України,

завідувач кафедри теоретичної і прикладної механіки.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

СУЛИМ Георгій Теодорович,

Львівський національний університет

імені Івана Франка МОН України,

завідувач кафедри механіки;

доктор фізико-математичних наук, доцент

ОСТРИК Володимир Іванович,

Інститут прикладної фізики НАН України, м. Суми

провідний науковий співробітник.

Захист відбудеться „24” вересня 2008 року о 14:30 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради К26.001.21 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, вул. Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет, ауд. 41.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01601 МСП, м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий „14” серпня 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат фізико-математичних наук, доцентА.В. Ловейкін

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Конструктивні елементи у вигляді тонких пружних пластин прямокутної і клиновидної форми широко застосовуються у техніці і машинобудуванні. Побудова точних аналітичних розв'язків задач теорії пружності для відповідних двовимірних областей з кутовими точками є актуальною і важливою проблемою механіки деформівного твердого тіла. Однією з найпоширеніших таких областей є прямокутник та його аналог - криволінійний прямокутник. У певній мірі, розвиток підходів до розв'язання плоских задач теорії пружності для областей обмежених ортогональними координатними лініями характеризує рівень розвитку методів теорії пружності, її математичної строгості. На таких задачах пе-ревіряються гіпотези, покладені в основу технічної теорії пружності, опору матеріалів, будівельної механіки, теорій міцності, а також різні чисельні методики розв'язання бігармонічної проблеми.

Задачі для клиновидних областей досліджували В.М. Абрамов, Г.І. Баренблатт, Х.С. Головін, Г.А. Грінберг, А.І Лур'є, Н.Ф. Морозов, П.Ф. Папкович, І.Є. Сахаров, А.Ф. Улітко, Я.С. Уфлянд, Ріб'єр, Прандтль, Грасґоф, S.D. Carothers, J.P. Dempsey, G. Horvay, C.E. Inglis, H. Neuber, G.B. Sinclair, E. Sternberg, С.J. Tranter, S. Woinowsky-Krieger. Існує математична аналогія між плоскими задачами теорії пружності при силовому навантаженні на контурі, задачами згину пружних плит та задачами для повільних течій в'язкої нестисливої рідини. Такі проблеми вивчали W.R. Dean, D.D. Joseph, J.N. Goodier, H.К. Moffatt.

На сьогодні розвинуто широке коло аналітичних та наближених методів побудови розв'язку плоскої задачі теорії пружності для таких областей. Серед них можна згадати наближені математико-інженерні підходи, що увійшли до підручників теорії пружності С. П. Тимошенка, М. М. Філоненка-Бородича, Г. Хана. Сучасні проблеми розробки конструктивних елементів для нової вимірювальної апаратури, точного приладобудування та робототехніки висувають нові вимоги до точності розв'язків, точності встановлення характеристик пружних полів, особливо при дослідженні локальних ефектів, наприклад в околі кутових точок границі. Побудові ефективних методів аналітичного розв'язку у задачах теорії пружності, зокрема для прямокутних областей, присвячені роботи Б.Л. Абрамяна, І.І. Воровича, О.М. Гомілка, В.Т. Грінченка, О.С. Космодаміанського, А.І. Лур'є, В.В. Мелешка, В.К. Прокопова, В.Л. Рвачева, А.Ф. Улітка, Л.А. Фільштинського, D.A. Spence та ін. Серед аналітичних підходів успішно застосовуються і, в деякій мірі, конкурують два фундаментальні підходи: суперпозиції та однорідних розв'язків. Вони ретельно вивчені і висвітлені у застосуванні до задач теорії пружності для прямокутника. Проте для клиновидних областей деякі важливі теоретичні питання лишаються відкритими. Серед них принциповим є питання про взаємозв'язок цих методів розв'язку граничних задач для клиновидних тіл скінчених розмірів. Також остаточно не з'ясовані такі фундаментальні проблеми математичної теорії пружності для нескінченного клина як парадокс Карозерса і порушення принципу Сен-Венана. Таким чином, побудова точних розв'язків у задачах рівноваги криволінійного брусу, нескінченного зрізаного клина, сектора і з'ясування зазначених проблематичних місць являють актуальну задачу механіки твердого деформівного тіла та складають предмет даної дисертаційної роботи.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у рамках бюджетних науково-дослідних тем Київського національного університету імені Тараса Шевченка “Механіка рухомих деформівних середовищ та експериментальні методи механіки і низькочастотного електромагнітного зв'язку телесистем для похилого і горизонтального буріння нафтогазових свердловин” (2001-2005 рр., № державної реєстрації 0101U002484), “Мікромеханіка тонких плівок на комбінованій та шаруватій основі - експериментальні методи індентування надтонких плівок та теоретичні обрахунки” (2006-2010 рр., № державної реєстрації 0106U005865).

Внесок здобувача як виконавця цих науково-дослідних тем полягає у розробці аналітичних підходів та розв'язанні задач рівноваги клиновидного пружного індентора.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова точних розв'язків задач теорії пружності для зрізаних клиновидних областей, зокрема бігармонічних задач, використовуючи метод суперпозиції, і встановлення зв'язку з методом однорідних розв'язків; уточнення відомих результатів і з'ясування проблематичних питань для областей вказаної геометрії.

Досягнення поставленої мети здійснюється шляхом:

- побудови загального розв'язку поставлених задач на основі методу суперпозиції у вигляді суми двох розв'язків вихідних рівнянь теорії пружності, які є належними періодичними розв'язками відповідних задач для кільця і клина та мають необхідну функціональну свободу для задоволення граничних умов на суміжних ортогональних границях;

- отримання функціональних рівнянь і їх зведення до нескінченної системи парних лінійних (інтегро-) алгебраїчних рівнянь;

- асимптотичного аналізу невідомих коефіцієнтів цих систем, отримання головних членів їх асимптотик і переходу до поліпшених систем рівнянь;

- обрахунку механічних величин, чисельного і порівняльного аналізу отриманих результатів.

Об'єктом дослідження є однорідні пружні клиновидні тіла: криволінійний брус, зрізаний нескінченний клин, сектор, під дією силових чи кінематичних навантажень на границі.

Предмет дослідження. Розподіли напружень у клиновидних тілах, спричинені силовими та кінематичними навантаженнями, зокрема поведінка напружень у ближньому полі поблизу границі і в околі її кутових точок, а також їх асимптотична поведінка у дальньому полі у необмежених тілах.

Методи досліджень. Для досягнення поставленої мети використані методи суперпозиції і однорідних розв'язків. Зв'язок і еквівалентність між ними встановлюється на основі теорії лишків. Для порівняльного і чисельного аналізу також вжито метод найменших квадратів.

Достовірність результатів забезпечується строгістю та коректністю постановок граничних задач, використанням строго обґрунтованих математичних методів при їх розв'язанні, практичною збіжністю чисельних результатів, співставленням результатів, отриманих різними способами, а також підтверджується співпаданням у частинних випадках з результатами інших авторів.

Наукова новизна отриманих результатів:

- метод суперпозиції набув подальшого розвитку у задачах теорії пружності для клиновидних тіл у полярних координатах;

- вперше отримані точні аналітичні розв'язки задач про чистий згин і згин силами криволінійного бруса; загальна задача рівноваги криволінійного бруса під дією довільного силового навантаження досліджена з тією ж повнотою, як і задача рівноваги пружного прямокутника, значно удосконалена схема розв'язання подібних задач; збудовано розв'язок, який дійсний в усій області бруса, включно з границею, для довільних граничних умов; встановлені асимптотичні закони для коефіцієнтів відповідних рядів Фур'є, їх зв'язок з вихідними умовами задачі;

- збудовано точний розв'язок бігармонічної задачі для кругового сектора, справедливий в усій області сектора включно з границею і кутовими точками;

- у задачах для клиновидних областей виконаний еквівалентний перехід від розв'язку за методом суперпозиції до розв'язку за методом однорідних розв'язків;

- розв'язана перша гранична задача для зрізаного нескінченого клина при довільному асиметричному навантаженні на круговій границі, зокрема задача кручення під дією навантаження, статично еквівалентного зосередженому моменту.

Практичне значення отриманих результатів полягає у тому, що побудовані розв'язки дозволяють просто і ефективно дослідити напружено-деформований стан клиновидних тіл, що перебувають в умовах плоского напруженого стану або плоскої деформації, і отримати надійні числові дані для механічних величин в усій області тіла; а також розв'язати математично подібну задачу для течії Стокса у секторі. Результати досліджень використовуються у спеціальному курсі лекцій “Бігармонічні проблеми механіки”, який викладається на механіко-математично-му факультеті Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Апробація результатів дисертації. Основні етапи і результати досліджень по темі дисертації доповідались та обговорювались на таких конференціях:

- Міжнародна наукова конференція “Сучасні проблеми механіки” (Київ, вересень 2003);

- 21-й Міжнародний Конгрес з теоретичної та прикладної механіки, ICTAM 04 (Варшава, серпень 2004);

- Європейська конференція з обчислювальної механіки, ECCM 2006 (Лісабон, червень 2006);

- 6-а Європейська конференція з механіки рідини, EFMC6 (Стокгольм, червень 2006);

- 6-а Європейська конференція з механіки твердого тіла, ESMC 2006 (Будапешт, серпень 2006).

У повному обсязі робота доповідалась на:

- семінарі кафедри теоретичної і прикладної механіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка;

- семінарі “Сучасні проблеми механіки” Київського національного університету ім. Тараса Шевченка під керівництвом член.-кор. НАН України А.Ф. Улітка та проф. В.В. Мелешка (м.Київ, травень 2008);

- семінарі кафедри механіки Львівського національного університету ім. Івана Франка під керівництвом проф. Г.Т. Сулима (м. Львів, травень 2008).

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 8 наукових праць, у тому числі - 4 у наукових журналах, які відносяться ВАК України до фахових.

Всі результати роботи отримані автором самостійно. У роботах виконаних у співавторстві [1,3,6], А.Ф. Улітку і В.В. Мелешку належить участь у постановках і обговоренні результатів; здобувач виконав усі аналітичні і числові розрахунки, провів аналіз і порівняння отриманих результатів з відомими результатами. У роботі [4] А.Ф. Улітко прийняв участь у загальному обговорення проблеми і висновків задачі.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі змісту, вступу, 4 розділів, загальних висновків, списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи становить 124 сторінки, із них 108 сторінок основного тексту, 18 рисунків, 4 таблиці, 165 найменування бібліографічного списку.

пружність теорія рівняння парний

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи: обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету та задачі досліджень; висвітлено наукову новизну та практичне значення отриманих результатів; подано відомості про апробацію роботи та її зв'язок з науково-дослідними темами установи, де вона виконана; зазначено кількість публікацій, у яких висвітлено основні результати дослідження, і окреслено особистий внесок здобувача у публікаціях, підготовлених за участю співавторів; тезисно викладено зміст роботи в цілому.

У першому розділі за літературними джерелами проаналізовані результати і методи досліджень у задачах теорії пружності для клина. Зазначаються невирішені проблеми, на аналізі яких ґрунтується вибір теми дисертації та методів розв'я-зання поставлених задач.

У другому розділі викладені основні рівняння і постановки задач теорії пружності для клиновидних областей. Розв'язок першої основної задачі зручно шукати з використанням бігармонічної функції напружень без залучення функцій переміщень. Тоді задача силового навантаження зводиться до відшукання скалярної функції , яка б задовольняла бігармонічне рівняння, а відповідні їй напруження задовольняли граничним умовам:

- для плоского криволінійного бруса arb, , який перебуває під дією довільної симетричної відносно лінії системи нормальних і дотичних зусиль;

-для нескінченного зрізаного клина при довільному асиметричному відносно лінії завантаженні.

При кінематичному навантаженні нескінченного пружного зрізаного клина , визначальними будуть статичні рівняння Ламе, і ставляться мішані граничні умови: у напруженнях на бічних гранях і переміщеннях на круговій границі. Приймається, що переміщення на нескінченності відсутні, тобто дорівнюють нулю. Ця задача є природною з технічного боку, в ній силову умову на круговій границі замінено на кінематичну. Вона виникає при розгляді жорсткого валу радіуса , жорстко з'єднаного з пружним клином вздовж зони контакту r=, . На вал діє момент кручення М0, під дією якого він повертається на деякий кут 0. При цьому переміщення у зоні контакту дорівнюють , , Така постановка узгоджується з підходом Нейбера (1963). Аналогічно розглядається зрізаний клин. Роль так званої поверхні передачі сили також відіграє круговий циліндр радіуса . Про саму передачу сил у цьому випадку треба говорити з певними зауваженнями. На відміну від Нейбера, граничні умови на поверхні r= ставляться у переміщеннях, які визначаються через кут повороту вала 0 . Тоді розв'язок задачі залежать від 0 і явним чином не пов'язаний з моментом М0. Але між кутом повороту 0 і прикладеним до вала моментом кручення М0 існує однозначна відповідність, яка встановлюється з умови рівноваги вала:

. 1)

Для секторної області 0?r?a, б??б ставиться класична бігармонічна задача знаходження функції, яка в області і на границі задовольняє бігармонічне рівняння, а на границі області задані її значення і значення її нормальної похідної:

2)

Враховуючи відому подібність між задачами плоскої теорії пружності і течією Стокса у тій же геометричній області, дана задача має важливу гідродинамічну аналогію - двовимірна повільна течія в'язкої нестисливої рідини всередині секторної порожнини довільного кута розхилу (рис. 1). Функція струму r визначає компоненти вектора швидкості Течію спричиняє задана на круговій границі r=a дотична швидкість , тоді як бічні стінки =±б лишаються нерухомими. Парна функція V вважається неперервною. Крім математичної задачі знаходження розв'язку рівнянь (2), ставляться і

фізичні задачі дослідження картин струму поблизу границь області, зокрема у кутових точках, та встановлення полів завихрення і тиску у рідині.

Третій розділ присвячений складанню загальних розв'язків поставлених задач. У п.3.1 на основі методу суперпозиції збудовано загальний розв'язок задачі силового навантаження криволінійного брусу. Подібно задачам рівноваги для прямокутних областей задача розділена на дві окремі: навантаження тільки заданими нормальними зусиллями і тільки дотичними зусиллями. Загальний розв'язок першої задачі має вигляд

де , r - полярні координати, , - невідомі коефіцієнти, громіздкі вирази наведено у тексті дисертації та у роботі [4].

Аналогічним чином будується розв'язок задачі про навантаження дотичними зусиллями. Тоді при виконанні граничних умов отримаємо чотири нескінченні системи алгебраїчних рівнянь. Розв'язання цих систем ґрунтується на законі асимптотичних рівностей типу

Для визначення невідомих сталих E, F у дисертації встановлені додаткові рівняння, які мають чіткий механічний зміст: є стрибками заданих граничних напружень у кутових точках. З урахуванням асимптотик (4) і додаткових рівнянь розв'язан-ня нескінченних систем зводиться до відшукання лише кількох перших невідомих , а отриманий розв'язок (3) швидко збігається до заданих граничних значень. При конкретних обрахунках приймалося .

У п.3.2 для задачі силового навантаження зрізаного клина загальний розв'я-зок, який є суперпозицією розв'язків для круга і нескінченного клина, збудовано у вигляді

де . Невідомі коефіцієнти і щільності , визначаються із нескінченних систем з урахуванням закону асимптотичних рівностей типу

Важливо відзначити, що значення сталої E встановлюється в явному вигляді з умов стрибка дотичних напружень у кутовій точці

За допомогою теореми про лишки встановлено перехід до розвинення за однорідними розв'язками

де - корені рівняння з , - однорідні роз-в'язки задачі, які задовольняють однорідним умовам , . Формули зв'язку коефіцієнтів (9) показують, що формально відмінні вирази (5) і (8) є еквівалентними.

На основі розкладу (8) проведено асимптотичний аналіз напружень у дальньому полі.

У п.3.3 для граничної задачі кінематичного навантаження клина на круговій границі збудовано розв'язок

де - полярні компоненти вектора зміщень , невідомі коефіцієнти і щільність , вирази , , наведено у тексті дисертації та у роботі [2]. Враховуючи відому особливість напружень у кутовій точці чверть-площини для мішаної задачі, асимптотичну поведінку невідомих покладаємо

Тоді нескінченна система рівнянь цієї задачі призводить до системи однорідних асимптотичних рівностей. З умови існування нетривіального розв'язку цієї однорідної системи для визначення параметра сингулярності за фізичними властивостями матеріалу клина випливає рівняння

де - коефіцієнт Пуассона.

У п.3.4 для бігармонічної задачі (2) для сектора розв'язок, збудований за методом суперпозиції, має вигляд

Тут головна його частина виділена у замкненому вигляді відповідно до асимптотичної поведінки коефіцієнтів:

На основі представлення (13) отримано простий замкнений розв'язок для півкруглої області

Розкладаючи функцію (13) у ряд Тейлора, для випадку гідродинамічної задачі встановлюється локальна поведінка функції струму в околі кутової точки

де , - локальна система координат з центром у кутовій точці (рис. 1). Отримано рівняння для знаходження точок розділення нульової лінії струму Wrw і кутів нахилу сепаратрис

У четвертому розділі на основі збудованих загальних розв'язків наведені результати досліджень напружено-деформованого стану клиновидних тіл для конкретних умов навантаження.

У п.4.1 досліджено напружений стан у криволінійному брусі в умовах чистого згину та згину силами на торцях. Граничні умови задавались суттєво відмінними від тих, які випливають з наближених розв'язків теорії пружності для цих задач. Проведено співставлення з наближеними розв'язками.

На рис. 2 представлені розподіли колових напружень у поперечних перерізах чвертькільця товщини і в умовах чистого згину. Графіки показують, що у значній області товстих брусів величини напружень, обраховані за елементарним підходом різняться від точного розв'язку, особливо біля навантажених бічних граней. Співпадання результатів спостерігається лише у брусі товщини у незначній області поблизу вісі симетрії брусу . При товщині бруса напруження різняться і на осі на 15%. У таблиці 1 представлені ці відмінності в окремих перерізах брусів.

На рис. 3 наводяться розподіли колових і дотичних на-пружень у півкільці товщини при згині силами на торцях. Тут спостерігається співпадання результатів точного і наближеного розв'язків майже в усій області за винятком незначних прошарків поблизу збурених торців.

У літературі (Inglis, 1925) відомий наближений розв'язок задачі чистого згину і згину силами на торцях для півкільця товщини . Порівняння радіальних напружень вказує (рис. 4), що вони різняться в усій області клину, а біля збуреної границі стають співвимірними з коловими напруженнями. При згині силами - колові напруження, пораховані за двома методами різняться значно більше, ніж для півкільця товщини , що зумовлюється товщиною бруса.

У дисертації зроблено загальний висновок: який би не був криволінійний брус, що перебуває в умовах чистого згину або згину силами на торцях, область придатності наближених розв'язків теорії пружності для цих задач завжди обмежена навколо осі симетрії бруса більшою або меншою мірою в залежності від того, наскільки різняться задані точні граничні напруження від наближених.

При фіксованому куті розхилу клина можна знайти товщину, при якій і всіх більших товщинах та певному виборі навантажень наближені розв'язки теорії пружності будуть непридатні взагалі. І навпаки, при фіксованій товщині бруса можна знайти такий кут розхилу, коли це також матиме місце.

У п. 4.2 для задачі силового навантаження зрізаного клина на основі розкладу (8) проведено асимптотичний аналіз напружень у дальньому полі. При моментному навантаженні на круговій границі розв'язок задачі має вигляд

. 16)

Поведінка розв'язку прямо пов'язана з власними значеннями характеристичного рівняння цієї задачі. Існують три випадки:

i) 2<2 (- критичний кут): всі власні значення є комплексними і мають дійсні частини строго більші за одиницю, Ren>1; тому на нескінченності домінуватиме розв'язок типу Карозерса (1912):

; 17)

іі) 2=2 (критичний випадок): корінь n=1 є нулем другого порядку характеристичного рівняння:

; 18)

ііі) 2>2: з'являється другий дійсний корінь 1, що змінюється від 1 при = до 0.5 при , і тому у дальньому полі переважатиме самоврівноважене навантаження

, 19)

яке залежить не тільки від інтегральної характеристики X0 навантаження на круговій границі r=a, а й від характеру прикладання, який визначається величинами Xm, m. Ці результати повністю підтверджують відомі висновки Штернберга, Койтера (1958) щодо асимптотичної поведінки напружень у дальньому полі нескінченного клина, навантаженого системою сил, статично еквівалентною зосередженому моменту.

Для надкритичних кутів розхилу збудовано формальний розв'язок, при якому перший доданок розкладу (21) зникає, і асимптотика полів у дальньому полі стає cен-венановою:

20)

При цьому, розв'язок (22) задовольняє граничні умови, що різняться від початкових умов на відповідний самоврівноважений розподіл зусиль:

, 21)

де , - вихідне граничне навантаження.

Тоді задаючи зовнішнє навантаження у вигляді (23), маємо формальний розв'язок (22) задачі навантаження розгорнутого клина зосередженим моментом у вершині, який на нескінченності співпадає з розв'язком Карозерса (1912), отже узгоджується з принципом Сен-Венана.

На рис.5 представлені пружні розподіли у клині під дією моментного навантаження на круговій границі, причому задавались граничні умови з порушенням парності дотичних напружень у кутовій точці. Графіки свідчать, що нормальні напруження також мають розрив у кутовій точці. Його наявність і величина цілком узгоджується з аналогічними результатами для півполоси і чверті площини. Слід відзначити, що при критичному куті розхилу клина та у його околі розподіли напружень не проявляють жодних особливостей і будуть цілком аналогічні представленим тут.

У п. 4.3 для задачі кінематичного навантаження клина встановлено асимптотичну поведінку напружень при наближенні до кутових точок:

. 22)

На рис.6 представлені розподіли граничних напружень, причому поведінка дотичних напружень цілком узгоджується з принципами передачі сил Нейбера (1963). На рис. 7 крутильна жорсткість , порахована за точним методом, порівнюється з результатами Будянського і Керієра (1973). Вона не є лінійною функцією кута розхилу клина, зокрема при кутах розхилу клина 100 і 120 результати точного обрахунку менші за оцінки Будянського, Керієра на 30 і 25%.

У п. 4.4 на основі представлення (13) досліджено механічні поля в усій області сектора. Встановлено переваги розв'язку за методом суперпозиції при задоволенні граничних умов на збурюючій круговій границі і при дослідженні локальних ефектів в околах кутових точок. При незначному відході від області збурення у бік вершини сектора, відмінності у фізичних показниках, обрахованих за двома методами, стають нехтівними, і доцільно застосувати розвинення за власними функціями, причому скористатися лише першим (головним) членом. На рис. 8, 9 представлені лінії рівного завихрення і рівного тиску для сектора 60. З урахуванням аналогії Релея(1911) - Гудьєра(1934), лінії завихрення відповідають лініям сталого 1-го інваріанту напружень у випадку пружної задачі. На рис.10 представлена картина течії для кута сектора 28,5. Вона повністю узгоджується з даними експерименту Танеди (1979), який візуалізував два перші вихори.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розв'язано нову важливу наукову задачу побудови точних аналітичних розв'язків плоских задач теорії пружності для клиновидних областей, типу криволінійний брус, сектор, зрізаний клин. При цьому отримано такі основні результати:

Збудовано розв'язки задач рівноваги для криволінійного бруса під дією довільного навантаження і для зрізаного клина, що перебуває під дією кінематичного або силового навантаження на круговій границі. Вони забезпечують можливість дослідити напружений стан в усій області, включно з границею і поблизу кутових точок. Встановлена асимптотична поведінка невідомих, її головні члени. У результаті, задача розв'язана з тією ж повнотою, як і для прямокутника.

Досліджено напружений стан криволінійного брусу в умовах чистого згину та згину силами на торцях. Проведене співставлення з відомими розв'язками показало: наближені розв'язки теорії пружності і опору матеріалів дають надійні оцінки напружень для тонких брусів; для товстих брусів треба перевіряти межі їх можливого застосування, особливо біля збуреної границі.

Проведено аналіз напружено-деформованого стану зрізаного клина під дією кінематичного і силового навантаження на круговій границі. Збудовані пружні розподіли обох задач є неперервними для всіх кутів розхилу і не виявляють ніяких особливостей при критичному куті розхилу.

У мішаній задачі отримані розподіли дотичних напружень повністю відповідають принципам Нейбера передачі сили. Встановлені асимптотичні значення напружень в околі кутових точок. Визначена жорсткість клина в залежності від його кута розхилу.

У задачі силового навантаження клина встановлений еквівалентний перехід від розв'язку за методом суперпозиції до розвинення за однорідними розв'язками; при кутах розхилу клина більших за критичне значення асимптотика напружень на нескінченності визначається не сен-венановим членом.

Збудовано розв'язок бігармонічної задачі для сектора. Встановлено перехід до розвинення за власними функціями. Визначено всі його коефіцієнти. У випадку гідродинамічної аналогії результати, отримані для скінченного сектора, повністю підтверджують висновки Моффата щодо асимптотичної структури поля поблизу вершини клина.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Ulitko A. F. Torsional load transfer from a rigid shaft to an elastic plane with a slit / Ulitko A. F., Lyakh V. V. // J. Eng. Math. - 2003. - 46. - P. 395-408.

Лях В. В. Мішана задача плоскої теорії пружності для зрізаного клина / В. В. Лях // Вісник КНУ ім. Тараса Шевченка. Матем. Мех. - 2005. - Вип. 13. - С. 59-62.

Мелешко В. В. Течія Стокса у плоскому секторі / В. В. Мелешко, В. В. Лях // Прикл. гідромеханіка. - 2006. - 8, №1. - С. 39-50.

Улітко А. Ф. Чистий згин товстих криволінійних пружних брусів / А. Ф. Улітко, В. В. Лях // Вісник Дніпропетровського ун-ту. Сер. Механіка - 2006. - Вип. 10, №2. - С. 190-196.

Lyakh V. V. Truncated elastic wedge under torsional load // XXI International Congress on Theoretical and Applied Mechanics: “ICTAM 04 abstract book and CD-ROM Proceedings” / V. V. Lyakh. - Warsaw: IPPT PAN, 2004. - P. 246.

Lyakh V. V. Steady Stokes flow in a two-dimensional sector // 6th European Conference on Fluid Mechanics: “EFMC6 Abstracts”/ V. V. Lyakh, V. V. Meleshko. - Stockholm: KTH, 2006. - P. 275.

Lyakh V. V. Stress analysis of curved elastic bar under bending load; infinite systems and asymptotic // III European Conference on Computational Mechanics Solids, Structures and Coupled Problems in Engineering: Book of Abstracts / V. V. Lyakh, V. V. Meleshko. Lisbon, 2006. P. 463.

Lyakh V. V. Stress analysis of curved elastic bar and elastic wedge under bending load // 6th European Conference on Solid Mechanics: ESMC 2006 Proceedings / V.V. Lyakh. - Budapest, 2006. Режим доступу до журн.: http://esmc2006.mm.bme.hu/cdproc/S12/178_143.pdf

АНОТАЦІЇ

Лях В.В. Статичні граничні задачі для пружного зрізаного клина. - Рукопис.Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

На основі методу суперпозиції збудовані точні аналітичні розв'язки плоских задач теорії пружності для клиновидних областей, типу криволінійний брус, сектор, зрізаний клин.

Задача силового навантаження криволінійного бруса вивчена з тією ж повнотою, як і для прямокутника. Досліджено напружений стан криволінійного брусу в умовах чистого згину та згину силами на торцях. Дана оцінка точності відомих наближених розв'язків теорії пружності для цих задач.

Проаналізовано напружено-деформований стан зрізаного клина під дією кінематичного і силового навантаження на круговій границі. У мішаній задачі отримані розподіли дотичних напружень повністю відповідають принципам Нейбера передачі сили. Визначені асимптотичні значення напружень в околі кутових точок.

Для задачі силового навантаження клина і бігармонічної задачі у секторі встановлений еквівалентний зв'язок між розв'язками за методами суперпозиції і однорідних розв'язків. Досліджено поведінку напружень у дальньому полі. Якщо прикласти до кругової границі клина навантаження, еквівалентне зосередженому моменту, отримані висновки повністю підтверджують класичні результати Штернберга і Койтера. Результати, отримані для скінченного сектора, у випадку гідродинамічної задачі цілком збігаються з висновками Моффата щодо асимптотичної структури поля поблизу вершини клина.

Ключові слова: напружено-деформований стан, пружний клин, криволінійний брус, плоска задача, бігамонічна задача, кутова точка, метод суперпозиції, нескінченна система, метод однорідних розв'язків.

Лях В.В. Статические граничные задачи для упругого усеченного клина. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-мате-матических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела, Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2008.

В диссертационной работе на основе метода суперпозиции построены точные аналитические решения плоских задач теории упругости для клиновидных областей в виде криволинейного бруса, сектора, усеченного бесконечного клина. Изучены соответствующие бесконечные системы алгебраических уравнений, и установлены асимптотические выражения для их неизвестных.

Задача силовой нагрузки криволинейного бруса изучена в той же мере, как для прямоугольника. Изучено напряженное состояние криволинейного бруса при чистом изгибе и изгибе силами на торцах. Дана оценка точности приближенных решений теории упругости для этих задач.

Исследовано напряженно-деформированное состояние усеченного клина под действием кинематической и силовой нагрузки на круговой границе. Построены распределения напряжений обеих задач, и вычислена жесткость клина в зависимости от его угла раскрытия. Они не проявляют никаких особенностей при критическом угле раскрыва. В смешанной задаче полученные распределения касательных напряжений соответствуют принципам передачи сил Нейбера. Установлены асимптотические значения напряжений в окрестности угловых точек.

В задаче силового нагружения клина установлен эквивалентный переход от решения по методу суперпозиции к разложению по однородным решениям. Проведен асимптотический анализ напряжений в дальнем поле. Если приложить к круговой границе клина заменяющую моментную нагрузку, выводы целиком подтверждают классические результаты Штернберга и Койтера. При углах раскрытия клина, больших критического, асимптотика напряжений не сен-венанова и определяется самоуравновешенным однородным решением. Коэффициент при нем существенно зависит от формы граничной нагрузки, а не только от её интегральной характеристики.

Для бигармонической задачи в секторе установлен переход к разложению по однородным решениям; найдены все его коэффициенты. Установлены преимущества решения по методу суперпозиции при выполнении граничных условий на возбужденной границе. Исследованы локальные эффекты в окрестности угловых точек. При незначительном удалении от области возбуждения целесообразно применять разложение по однородным решениям, причем достаточно первого члена. В случае гидродинамической аналогии это целиком подтверждает выводы Моффата про асимптотическую структуру поля вблизи вершины клина.

Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, упругий клин, криволинейный брус, плоская задача, бигармоническая задача, угловая точка, метод суперпозиции, бесконечная система, однородные решения.

Lyakh V.V. Statical boundary-value problems for truncated elastic wedge. - Manuscript.

Thesis for the Candidate's Degree in Physics and Mathematics by speciality: 01.02.04 - mechanics of deformable bodies, Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2008.

This thesis addresses constructing exact analytical solutions on problems of plane elasticity in wedge-shaped domains, like curvilinear bar, sector, and truncated wedge, on the basis of the method of superposition.

The problem on force loading of curvilinear bar is studied with the same completeness as for the rectangle. In a curvilinear bar under pure bending and bending by forces on its ends the state of stress is examined. Adequacy of approximate solutions of elasti-city is estimated.

The stress and strain are analyzed in truncated wedge under kinematic and force load on the circular boundary. The stress distributions as well as the stiffness of the wedge evaluated as function of its opening angle reveal no singularities at the critical angle. In the mixed problem shear stress distributions are in good agreement with the principles of force transfer by Neuber. Asymptotic values of stresses are obtained in the vicinity of corner points.

In a wedge under force loading and for the biharmonic problem in a sector equivalent conversions between the methods of superposition and homogeneous solutions are derived. Asymptotic analysis of stresses in far-field is accomplished. When the circular boundary is subjected to the moment-replacement loading the deductions completely confirm the classical results by Sternberg and Koiter. In the case of hydrodynamic ana-logy the deductions completely confirm the results by Moffatt as regards asymptotic structure of stream near the wedge apex.

Key words: elastic wedge, curvilinear bar, plane problem, biharmonic problem, corner point, superposition method, infinite system, homogeneous solutions.

Размещено на Allbest.ru

...