Двовимірні крайові задачі про взаємодію плоских нестаціонарних пружних хвиль з тонкими включеннями

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені І.І.МЕЧНИКОВА

УДК 539.3

01.02.04 - механіка деформованого твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико - математичних наук

ДВОВИМІРНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ПРО ВЗАЄМОДІЮ ПЛОСКИХ НЕСТАЦІОНАРНИХ ПРУЖНИХ ХВИЛЬ З ТОНКИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ

Мойсєєнок Олексій Павлович

Одеса - 2008



Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Одеському національному університеті імені І.І. Мечникова

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор ПОПОВ Всеволод Геннадійович, Одеська національна морська академія, завідувач кафедри вищої математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ГРИГОРЕНКО Олександр Ярославович, Інститут механіки імені С.П. Тимошенка НАН України, завідувач відділу обчислювальних методів; доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник МИХАСЬКІВ Віктор Володимирович, Інститут прикладних проблем механіки і математики імені Я.С. Підстригача НАН України, провідний науковий співробітник.

Захист відбудеться « 13 » червня 2008 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 41.051.05 в Одеському національному університеті імені І.І.Мечникова за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Дворянська 2, аудиторія 73.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Одеського національного університету імені І.І. Мечникова (65026, м. Одеса, вул. Преображенська 24).

Автореферат розісланий « 12 » травня 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, кандидат фізико-математичних наук Кореновський А.О.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Досвід інженерної практики засвідчує, що міцність і довговічність конструкцій суттєво залежать від структури їх матеріалу, який може містити різноманітні неоднорідності. Зокрема, на міцність конструкцій значно впливає наявність у них технологічних дефектів у вигляді тонких включень, які є джерелом концентрації напружень, що може стати чинником руйнування. Причому при динамічному навантаженні, особливо нестаціонарному, концентрація напружень навколо включень може значно перевищувати ту, що відповідає стану рівноваги. Але тонкі неоднорідності є не тільки концентраторами напружень, вони ще широко використовуються як армуючі елементи в композитах. Дослідження напруженого стану в околі таких елементів необхідні для оцінки міцності композитів і створення матеріалів з заданими властивостями. Вивчення вищеназваних явищ неможливо без розв'язання крайових задач нестаціонарної теорії пружності для тіл з тонкими включеннями.

Розв'язання поставлених в роботі проблем базувалось на використанні методів механіки суцільного середовища, зокрема, методів динамічної теорії пружності. Розвиток цих методів відображений у великій кількості монографій, які з'явились останніми десятиріччями. Так, зокрема, значний внесок у розвиток загальних підходів до розв'язання задач динамічної теорії пружності внесли О.Є Андрейків, А. Е. Бабаєв, В.А. Бабешко, Й.І. Ворович, В.Т. Грінченко, О.Я. Григоренко, Я. М. Григоренко, О.М. Гузь, Є.В. Глушков, Г.С. Кіт, О.С. Космодаміанський, В. Д. Кубенко, В.В. Мелешко, З.Т. Назарчук, В.З. Партон, Я.С. Підстригач, Ю. М. Подільчук, Г.Я. Попов, В.Б. Поручиков, М.П. Саврук, В.М. Сеймов, І.Т. Селєзов, А.Ф Улітко, І.Г. Філіпов, J.D. Achenbach, K.F. Graff, Ch. Zhang, D. Cross, L. Fryba, Y.H. Pao, C. C. Mow, H. McMaken. Проблема визначення напружено-деформівного стану тіл з тонким включеннями вимагає розвитку і специфічних математичних методів. Це пов'язано зі змішаними граничними умовами в області контакту. Математичні моделі взаємодії включення з матрицею та методи розв'язання відповідних змішаних задач теорії пружності викладені в працях В.М. Александрова, О.Є. Андрейківа, Л.Т. Бережницького, Н.Д. Вайсфельд, Д.В. Грилицького, В. Ф . Ємеця, Г.С. Кіта, Я.І. Кунця, Р.М. Кушніра, В.В. Михаськіва, О.Б. Мовчана, С.М. Мхітаряна, С.О. Назарова, З.Т. Назарчука, В.В. Панасюка, Я.С. Підстригача, В.Г. Попова, Г.Я. Попова, М.М. Стадника, В.П. Силованюка, М.Г. Стащука, Г. Т. Сулима, Л.А. Фільштинського, М.В. Хая, C. Atkinson, D.D. Ang, L. Knopoff, D. Cailleria, J. Helsing, G. Peters, D.A. Simons, P.V. Van der Berg, T. H. Tan, S.A Thau, A.K. Mal, S.K. Datta та інші.

Дисертаційна робота присвячена аналітико-числовому дослідженню напруженого стану у необмежених тілах, що мають неоднорідності у вигляді тонких смугових включень, в умовах дії нестаціонарного навантаження. Включення можуть бути як абсолютно жорсткими, так і пружними, повністю зчепленими з матрицею або відшарованими.

Робота виконана у тісному зв'язку з науковими програмами, планами, темами. Наукові результати, що складають основу дисертації, отримані здобувачем в процесі виконання досліджень за бюджетною науковою темою Одеської національної морської академії „Математичне моделювання механічних та фізичних процесів в інженерних конструкціях і енергетичних установках” (2002-2008 рр., держреєстраційний № 0103U006409) і за бюджетною науковою темою Одеського національного університету імені І.І. Мечникова „Дослідження крайових задач математичної фізики з мішаними граничними умовами за наявності дефектів усередині області” (2002-2005 рр., держреєстраційний № 0101U008297).

Метою роботи є аналітико-числове визначення напруженого стану в тілах, що знаходяться в умовах антиплоскої або плоскої деформації, з тонкими смуговими включеннями під дією нестаціонарного навантаження. Згідно з основною метою розв'язуються такі актуальні наукові завдання: побудова інтегральних подань у просторі зображень за Лапласом для переміщень та напружень в тілі з тонким смуговим включенням, які ґрунтуються на розривних розв'язках рівнянь теорії пружності; формулювання динамічних задач теорії пружності взаємодії з тонким смуговим включенням нестаціонарних хвиль у вигляді інтегральних рівнянь або їх систем; розробка ефективних числових методик розв'язання отриманих інтегральних рівнянь; систематизація і комп'ютерна реалізація методів числового обернення перетворення Лапласа, які використовуються для відновлення оригіналів невідомих функцій, зображення яких визначаються з інтегральних рівнянь; комп'ютерний аналіз почасової залежності коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН) в околі смугових тонких включень від відношення пружних сталих включення і матриці та виду падаючої хвилі; з'ясування можливості розгляду включень великої жорсткості як абсолютно жорстких при розрахунках на міцність в умовах нестаціонарного навантаження.

Об'єктом досліджень є необмежені пружні тіла з смуговими тонкими включеннями, які взаємодіють з плоскими пружними нестаціонарними хвилями за умов плоскої та антиплоскої деформації.

Предметом досліджень є напружено-деформівний стан в таких тілах в околі тонких включень, спричинений нестаціонарними навантаженнями. Також досліджується вплив на цей стан пружних властивостей включення і умов взаємодії включення та матриці.

Методика досліджень базується на використанні розривних розв'язків рівнянь динамічної теорії пружності для випадку плоскої і антиплоскої деформації у просторі зображень Лапласа. Це дозволяє привести вихідну крайову задачу до інтегральних рівнянь відносно зображень невідомих стрибків напружень та переміщень на включенні. Отримані інтегральні рівняння розв'язуються числово коллокаційним методом (механічних квадратур), який передбачає використання для сингулярних інтегралів спеціальних квадратурних формул. Перехід до оригіналів здійснюється числово методами, які ґрунтуються на заміні інтеграла Меліна рядом Фур'є.

Наукова новизна та значимість результатів дослідження полягає у:

поширенні методу розривних розв'язків на нестаціонарні задачі динамічної теорії пружності для необмежених тіл з тонкими смуговими абсолютно жорсткими або пружними включеннями;

побудові наближеного розв'язку задач про дію нестаціонарної хвилі поздовжнього зсуву на тонке смугове пружне включення в умовах антиплоскої деформації за повного зчеплення з матрицею;

побудові наближеного розв'язку задачі про дифракцію нестаціонарної хвилі поздовжнього зсуву на смуговому односторонньо відшарованому абсолютно жорсткому та пружному включеннях в умовах антиплоскої деформації; напружений антиплоский лаплас деформація

побудові наближеного розв'язку задач про взаємодію плоских нестаціонарних хвиль з абсолютно жорсткими та пружними смуговими включеннями у випадку їх повного зчеплення і гладкого контакту з матрицею, яка знаходиться у стані плоскої деформації;

встановленні нових закономірностей почасової зміни КІН в околі тонких смугових включень при реалізації в матриці умов плоскої та антиплоскої деформації;

визначенні впливу пружних властивостей смугових включень на значення КІН навколо них і дослідженні можливості розгляду включень великої жорсткості як абсолютно жорстких.

Достовірність отриманих результатів забезпечується математичною коректністю як на етапі постановки задач, так і при їх розв'язанні, використанням математично обґрунтованих методів числового розв'язання інтегральних рівнянь, практичною перевіркою стабілізації числових результатів при збільшенні кількості точок коллокації; використанням методів числового обернення перетворення зображення Лапласа, достовірність яких підтверджена збігом з результатами, отриманими методом скінчених різниць за часом. Достовірність підтверджується також практичним співпадінням отриманих результатів для пружного включення великої жорсткості і абсолютно жорсткого включення.

Теоретична та практична цінність результатів роботи. У роботі розв'язані важливі для практики задачі для необмежених пружних тіл, що містять тонкі смугові абсолютно жорсткі або пружні включення при наявності нестаціонарних хвильових полів. Отримані в дисертації формули дозволяють широко використовувати можливості сучасної обчислювальної техніки для розрахунку числових значень і аналізу величин КІН, які входять в критерії міцності. Таким чином, створені алгоритми, які можуть бути застосованими для розрахунку міцності елементів конструкцій. Результати роботи також мають безпосереднє відношення до проблеми створення нових композитних матеріалів із заданою динамічною міцністю.

Публікації і особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи викладені у 18-ти працях [1-18], з яких вісім статей [1-8] опубліковані у наукових фахових виданнях із переліку ВАК України для здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла.

Результати роботи отримані автором самостійно. В публікаціях, виконаних в співавторстві з науковим керівником, професору В.Г. Попову належать постановки задач, вибір числових методів розв'язання інтегральних рівнянь, обговорення результатів числового аналізу поведінки КІН. Автору дисертації належать виведення зображень переміщень та напружень в матриці і включенні через зображення стрибків на поверхні включення, виведення інтегральних рівнянь відносно зображень стрибків напружень та переміщень на поверхні включення, числове розв'язання отриманих інтегральних рівнянь, виведення формул наближеного обчислення КІН, проведення числового аналізу поведінки КІН при різних видах навантаження та різних відношеннях пружних сталих матриці і включення.

Апробація роботи. Основні результати роботи доповідались і обговорювались на: 6-ій і 7-ій Міжнародних наукових конференціях „Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (м. Львів, 2003 р., 2006 р.); 5-ій Міжнародній науковій школі-семінарі „Импульсные процессы в механике сплошных сред” (м. Миколаїв, 2003 р.); 3-ій Міжнародній конференції „Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій” (м. Львів, 2004 р.); Міжнародній конференції „Интегральные уравнения и их применения” (м. Одеса, 2005 р.); 7-му міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (м. Львів, 2005р.); 2-ій конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (м. Львів, 2005р.); 3-ій міжнародній науково-практичній конференції „Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела” (м. Донецьк, 2005р.); міжнародній конференції „Modern analysis and applications” (м. Одеса, 2007 р.).

У повному обсязі робота доповідалась: на науковому семінарі „Математичні проблеми механіки” кафедри методів математичної фізики Одеського національного університету імені І.І. Мечникова під керівництвом д.ф. -м.н., професора Г.Я. Попова (м. Одеса), на загальноінститутському науковому семінарі „Математичні проблеми механіки руйнування і поверхневих явищ” в Інституті прикладних проблем механіки і математики імені Я. С. Підстригача НАН України під керівництвом член-кор. НАН України, д.ф. -м.н. Г.С. Кіта (м. Львів).

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, загальних висновків, списку використаної літератури із 207 джерел, який займає 18 сторінок. Робота викладена на 131 сторінках, містить 40 ілюстрацій.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність проблематики, розкрито її сутність і стан, сформульовано мету дисертаційного дослідження, аргументовано її новизну, наукове та практичне значення, наведено дані про апробацію отриманих результатів і про публікації, які відображають основний зміст роботи.

У першому розділі зроблено огляд наукових праць, що стосуються проблеми визначення напружено-деформівного стану тіл з тонкими включеннями. Коротко проаналізовано такі дослідження та місце робіт автора у науковій проблемі, якій присвячена робота.

У другому розділі наведені основні співвідношення для розривних розв'язків рівнянь Гельмгольца і рівнянь Ламе у просторі зображень Лапласа в умовах антиплоскої і плоскої деформацій. Припускалось, що стрибки переміщень і напружень в площині зосереджені на відрізку . Далі ці розривні розв'язки використано для побудови інтегральних подань розв'язків нестаціонарних задач для тіл з тонкими смуговими включеннями.

Нехай в необмеженому пружному тілі (матриці), що знаходиться в стані антиплоскої деформації, міститься включення у вигляді пластини товщини . В площині це включення займає область . В матриці поширюються плоскі нестаціонарні хвилі поздовжнього зсуву, які в нульовий момент часу взаємодіють з включенням. Зображення за Лапласом переміщень та напружень в матриці можуть бути подані у вигляді:

, , ,

де , , - зображення переміщень та напружень, які викликані падаючою хвилею, а , , - зображення переміщень та напружень в полі хвиль, відбитих від включення. Переміщення задовольняють рівнянню Гельмгольца

. (1)



Тут - параметр перетворення Лапласа, - швидкість поширення хвиль зсуву. Граничні умови з боку матриці на включенні, з огляду на його малу товщину, записуються відносно його серединної площини і визначаються характером взаємодії включення і матриці. Якщо одна з сторін включення зчеплена з матрицею, а друга - відшарована і з матрицею не взаємодіє, то на серединній площині мають розриви як напруження, так і переміщення, стрибки яких позначені:

,

. (2)

При цьому . Також на зчепленій і відшарованій поверхнях мають місце рівності:

, . (3)

За умов повного зчеплення на обох поверхнях включення і з (2) та (3) маємо:

, . (4)

В граничні умови (3), (4) входить - зсув серединної площини включення. Якщо включення є абсолютно жорстким, то , і визначається з рівняння руху включення як жорсткого тіла. Коли включення пружне, то зсув серединної площини знаходиться з крайової задачі:



, , (5)

де - модуль зсуву включення. Зміст граничної умови в (5) полягає в нехтуванні взаємодією з матрицею на бічній поверхні включення. Розв'язок (5) представляється формулою:

, (6)

де - функція Гріна одновимірної крайової задачі (5).

Переміщення і напруження, що викликані відбитими від відшарованого включення хвилями, подаються у вигляді розривного розв'язку рівнянь Гельмгольца

,

. (7)

Для повністю зчепленого з матрицею включення в (7) слід покласти .

Нехай тепер матриця знаходиться в умовах плоскої деформації, паралельної до площини , і містить аналогічне включення. В ній поширюються нестаціонарні плоскі поздовжні хвилі або хвилі поперечного зсуву, які викликають в матриці переміщення і напруження . Тоді зображення переміщень та напружень в ній можуть бути подані у вигляді:

, , , , ,

де - переміщення та напруження в полі хвиль, відбитих від включення. Переміщення задовольняють рівняння Ламе, які у просторі зображень за Лапласом мають вигляд

, , (8)

де - сталі Ламе матриці, - її густина.

Граничні умови з боку матриці на включенні формулюються відносно її серединної площини і визначаються характером взаємодії включення та матриці. На серединній поверхні включення, повністю зчепленого з матрицею, мають розриви тільки напруження, стрибки яких позначені:

, , . (9)

Крім того, з умов повного зчеплення випливають рівності:

, , . (10)

Тут , - амплітуди згинальних та зсувних переміщень серединної площини включення. Якщо знехтувати згинальною жорсткістю включення, то і виконуються умови:

, . (11)

Нехай включення з одного боку частково відшаровано: одна сторона повністю зчеплена з матрицею, а друга сторона відшарувалась і на ній здійснені умови гладкого контакту. За таких припущень на поверхні включення мають розриви нормальні і дотичні напруження, а також переміщення вздовж вісі , які у просторі зображень мають вигляд:

, , , . (12)

Також на відшарованій і зчепленій сторонах виконуються рівності:

, ,

, . (13)

Якщо ж включення частково відшарувалось з двох сторін і на них здійснені умови гладкого контакту, то , а граничні умови мають вигляд

, , . (14)

Рівняння (8) співпадають з відповідними рівняннями для гармонічних коливань, якщо в останніх покласти частоту . Цей факт дає можливість скористатись розривним розв'язком рівнянь Ламе для гармонічних коливань у стані плоскої деформації. Для частково відшарованого з одного боку включення відповідні подання переміщень мають вигляд:

,

. (15)

При виконанні умов повного зчеплення в (15) слід покласти . Якщо нехтується згинальна жорсткість включення, то відмінним від нуля буде тільки стрибок дотичних напружень . При здійсненні умов гладкого контакту на обох сторонах включення в (15) необхідно вважати, що .

Переміщення серединної площини включення, що увійшли в умови (10), (11), (13), (14) визначаються з рівнянь:

, , , , (16)

, , , , (17)

де , , - модуль Юнга, коефіцієнт Пуассона та густина включення відповідно. Граничні умови для рівнянь (16), (17) на торцях включення при сформулюємо виходячи з того, що на них з боку матриці діють нормальні і поперечні сили , і згинаючий момент , які визначаються формулами:

, , (18)

, , ,

, . (19)

Тому на торцях

, , . (20)

Після переходу до зображень за Лапласом розв'язки крайових задач (16), (17), (20) мають вигляд:

, , ,

, (21)

де , - функції Гріна відповідних крайових задач з нульовими граничними умовами.

У випадку, коли включення є абсолютно жорстким, невідомі амплітуди поступальних вздовж вісі та переміщень включення і амплітуда кута обертання навколо вісі визначаються з рівнянь руху включення як жорсткого тіла.

У третьому розділі досліджується концентрація напружень біля тонких жорстких і пружних включень за умов антиплоскої деформації. Для цього використовуються інтегральні подання (7) і представлення для переміщення серединної площини включення (6) у випадку пружного включення і рівняння руху у випадку абсолютно жорсткого включення.

Нехай включення повністю зчеплене з матрицею. Тоді внаслідок реалізації граничних умов (4) отримаємо інтегральне рівняння з додатковою умовою. Це рівняння після введення позначень:

, , , , (22)

має вигляд

,

. (23)

Наявність додаткової умови (23) викликана тим, що друга рівність (4) продиференційована, і ця умова є умовою еквівалентності продиференційованої і вихідної рівностей. Щоб з (23) отримати інтегральні рівняння для жорсткого включення необхідно спрямувати до нуля.

Для побудови наближеного розв'язку (23) невідомі функції подаються у вигляді:

, , , (24)

де - многочлен Чебишева 2-го роду, - корені цього многочлену. Для визначення значень невідомої функції у вузлах інтерполяції з (23) шляхом наближення інтегралів квадратурними формулами отримана система лінійних рівнянь.

Щоб дослідити напружений стан в матриці поблизу включення використовуються відомі асимптотичні розклади для напружень:

, , ,

де , - полярний радіус та кут у полярній системі координат з центром в точках . З цієї формули видно, що напружений стан середовища поблизу включення визначається коефіцієнтами . Ці коефіцієнти далі називатимуться коефіцієнтами інтенсивності напружень (КІН) для включення. Їх безрозмірні значення дорівнюють:

, . (25)

Безрозмірні зображення Лапласа цих коефіцієнтів можна виразити через розв'язок системи лінійних рівнянь за допомогою формули (24)

,

,

, . (26)

Для того, щоб відновити оригінали невідомих функцій, тут і далі використано методи числового обернення перетворення Лапласа. Найбільш стійкі результати отримані методами, які ґрунтуються на заміні інтеграла Меліна рядом Фур'є. На Рис.1 наведені розрахунки КІН при дії на пружне включення ударною хвилею. Вважалось, що включення сталеве, а

криві 1-3 відповідають наступним матеріалам матриці:

1) бетон (, ),

2) свинець ( ),

3) гума (, ).

Пунктирні криві показують значення КІН, які отримані за припущенням, що включення абсолютно жорстке, суцільні - при врахуванні пружності включення. В усіх випадках спостерігається різкий максимум КІН на початку дії хвилі, а потім його значення спадають до нуля. Аналіз графіків показує, що навіть для включень великої жорсткості при поздовжньому зсуві нехтування пружністю призводить до збільшення значень КІН і практичне співпадіння спостерігається тільки для матриці з гуми. Взагалі, розрахунки показують, що спостерігається монотонне зростання максимальних значень КІН при збільшенні жорсткості включення (відношення модулів зсуву ), причому при відносна різниця між значеннями, що відповідають абсолютно жорсткому включенню, складає 0.1%.

Далі розглянуто аналогічні задачі для тіла, що містить абсолютно жорстке або пружне відшароване включення. Після підстановки подання (7) в умови (3) отримаємо систему інтегральних рівнянь відносно невідомих стрибків з двома додатковими умовами. Ця система у випадку пружного включення, введенням позначень (22) і

, ,

перетворюється до вигляду 

(27)

До системи (27) необхідно додати ще дві додаткові умови. Перша додаткова умова пов'язана з диференціюванням першої рівності (3), друга випливає з умови замкнутості відшарування. Щоб отримати систему інтегральних рівнянь, яка відповідає абсолютно жорсткому включенню, необхідно у (27) спрямувати до нуля. Для побудови наближеного розв'язку (27) невідомі функції подаються у вигляді:

, , . (28)

Відносно функцій , припускається, що вони задовольняють умову Гельдера при . Відносно значень невідомих функцій в вузлах інтерполяції з (27) методом механічних квадратур отримаємо систему лінійних рівнянь.

Величиною, яка характеризує концентрацію пружних напружень поблизу включення, будемо вважати коефіцієнти при особливості стрибка напружень

. (29)

Надалі будемо їх називати коефіцієнтами інтенсивності напружень (КІН) для відшарованого включення. Формулі (29) відповідають наступні формули для безрозмірних зображень за Лапласом

, . (30)

Щоб встановити вплив на значення КІН саме жорсткості включення, на Рис.2, Рис.3 побудовані криві залежності КІН від часу при дії на включення ударної та гармонічної хвиль відповідно.

При цих розрахунках вважалось, що матриця і включення мають однакові густини, тобто . Криві 1,2,3,4 відповідають значенням , які дорівнюють ; ; ; . Відзначимо, що при (криві 1), відносна різниця між значеннями, що відповідають абсолютно жорсткому включенню складає, 0.1%. При дії ударною хвилею значення КІН зростають із збільшенням жорсткості включення і виходять із часом на стаціонарний режим. Час виходу тим більше, чим жорсткіше включення. За гармонічного навантаження, як і у випадку повного зчеплення, під час перехідного процесу () спостерігаються значення КІН, які перевищують значення КІН у стаціонарному режимі.

Четвертий розділ присвячено дослідженню включень, які повністю зчеплені з матрицею, що знаходиться в стані плоскої деформації. Тоді переміщення і напруження в матриці задаються зображеннями (15). Згинальні та зсувні переміщення серединної площини включення визначаються за формулами (21). Для знаходження невідомих стрибків напружень, що ввійшли у ці формули, після задовільнення умов (10) отримаємо систему інтегральних рівнянь, яка після виділення сингулярних складових з ядер і переходу до безрозмірних величин має вигляд:

, (31)

.

Щоб отримати систему для абсолютно жорсткого включення, необхідно у (31) спрямувати до нуля. Наближений розв'язок (31) шукається так, як і у випадку антиплоскої задачі.

Напружений стан в матриці поблизу включення може бути досліджений за допомогою наступних асимптотичних формул для напружень поблизу кінців включення

. (32)

У формулі (32) та - полярний радіус та кут у полярній системі координат з центром у точках , , . З (32) видно, що напружений стан в матриці поблизу включення визначається коефіцієнтами та . Ці коефіцієнти далі будемо називати коефіцієнтами інтенсивності напружень (КІН) для включення. Вони визначаються формулами

, . (33)

Наближені значення зображень КІН подаються через розв'язки системи (31), а оригінали знаходяться числово, як і в попередньому випадку. Нижче наведено розрахунки КІН для реальних матеріалів перелічених у розділі 3. Так на Рис.4, Рис.5 криві з номером 1 відповідають випадку, коли включення вважається абсолютно жорстким, з номером 2 - пружному включенню, для якого не враховується дія матриці, криві з номером 3 відповідають пружному включенню, при врахуванні дії матриці. На цих рисунках також містяться криві, які позначають і побудовані за умови, що сили і момент на торцях включення враховані. Вважалось, що з включенням взаємодіють поздовжні ударні хвилі з фронтом паралельним включенню. Матеріал включення - сталь, матеріал матриці на Рис.5 - бетон, а на Рис.6 - свинець. В обох випадках значення КІН на початку дії хвилі зростають, а потім швидко прямують до нуля. З наведених рисунків можна зробити висновок про те, що врахування пружності включення навіть для достатньо жорстких включень призводить до суттєвого зниження екстремальних значень КІН. Якщо ж враховується вплив з боку матриці на торці, то отримані значення КІН ще менші. Практичне співпадіння результатів усіх трьох випадків досягається тільки при розгляді сталевого включення у гумовій матриці ( у цьому випадку дорівнює нулю). Коефіцієнти навіть при достатньо малих порівняні з величиною і вони теж впливатимуть на напружений стан навколо включення.

Якщо включення таке, що можна знехтувати його згинальною жорсткістю, то задача зводиться до одного інтегрального рівняння, яке отримується з (31) при . Побудова наближеного розв'язку базується на представленні невідомої функції у вигляді (24). Напружений стан в матриці поблизу включення досліджено за допомогою асимптотичних формул (32), в яких слід покласти .

П'ятий розділ присвячено дослідженню напруженого стану матриці, яка знаходиться в умовах плоскої деформації, навколо відшарованих включень. Для розв'язання цієї задачі скористаємось умовами (13), далі продиференцюємо перші дві рівності і додамо умови еквівалентності

, ,

, . (34)

В результаті підстановки в отримані рівності представлень для переміщень (15) отримаємо систему інтегральних рівнянь відносно зображень невідомих стрибків (12). Після виділення і розділення сингулярних складових ядер матрично-операторний запис цієї системи має наступний вигляд

, (35)

де - діагональна матриця, діагональні елементи якої дорівнюють:

, , , , , ,

- матриця, елементами якої є обмежені при функції. Компоненти вектора - функції, які пов'язані з зображеннями стрибків (12). До системи (35) необхідно додати ще умови еквівалентності продиференційованих рівностей вихідним і умову змикання відшарування. Розв'язок системи (35) будується у вигляді

, , , (36)

і знаходяться аналогічно тому, як і при розв'язанні системи (27).

Після розв'язання системи (35), аналогічно тому, як і у розділі 3, отримано формули для КІН



, , , . (37)

З останніх формул видно, що напружений стан у пружному середовищі поблизу кінців включення визначається величинами . Оригінали відновлювались числово, як і в попередніх підрозділах, і далі позначені як

На Рис.6 наведено графіки залежностей значень від часу за різної відносної маси включення внаслідок дії поздовжньої гармонічної хвилі коли , тобто фронт хвилі перпендикулярний включенню. Якщо поздовжня хвиля падає під кутом (на зчеплену сторону) або (на відшаровану сторону) значення близькі до нуля. Криві з номерами 1, 2, 3, 4, 5 відповідають таким відношенням густин матриці і включення : 0.25, 0.5, 1, 2, 4 відповідно. В усіх випадках спостерігається вихід на стаціонарний режим, але час виходу тим більший, чим більша відносна маса включення. Під час виходу на режим гармонічних коливань значень КІН, які б перевищували відповідні стаціонарному режиму, не спостерігається. Останнє дозволяє при вивченні напруженого стану поблизу такого включення розв'язувати тільки стаціонарну задачу.

На Рис.7 наведено аналогічні графіки значень при дії поперечної хвилі, коли (тобто хвиля набігає на зчеплену сторону), фронт хвилі паралельний до включення. За ударного навантаження можна зробити висновки про те, що зі збільшенням відносної маси включення екстремальні значення у перехідному процесі () зростають. Перехідний процес тим довше, чим більша відносна маса включення.

В умовах плоскої деформації при частковому відшаруванні включення з обох сторін (гладкий контакт) переміщення і напруження, викликані відбитими хвилями, визначаються формулами (15). Для визначення невідомих стрибків використовуються умови (14), з яких після диференціювання другої рівності отримано систему двох інтегральних рівнянь. У випадку пружного включення маємо:

, (38)

,

, .

До системи (38) необхідно додати ще умови еквівалентності і умову змикання відшарування. Щоб отримати систему для абсолютно жорсткого включення необхідно у (38) спрямувати до нуля.

Для побудови наближеного розв'язку (38) невідомі функції подамо у вигляді (24) і використаємо техніку з попередніх розділів. В результаті з (38) отримана система лінійних алгебраїчних рівнянь. Значення КІН виражаються через розв'язок цієї системи за формулами:

, . (39)

За допомогою формул (39) проведено дослідження залежності КІН при різних співвідношеннях між пружними сталими матриці та включення. Криві на Рис.8, Рис.9 показують графік зміни при дії на включення гармонічної поздовжньої хвилі з паралельним включенню фронтом.

Так, на Рис.8 вважалось, що виконані умови вільного краю, а на Рис.9, що на включення діють сили з боку матриці. Криві з номерами 1-4 відповідають наступним відношенням модулів пружності матриці і включення . При (крива 1) відносна різниця між значеннями, що відповідають абсолютно жорсткому включенню, складає 1%. Під час перехідного процесу значень КІН, які б перевищували значення КІН у стаціонарному, не спостерігається. Час виходу на режим стаціонарних коливань тим менше, чим жорсткіше включення.

Врахування дії матриці призводить до зменшення значень КІН. Важливим є те, що існують відношення пружних сталих, при яких значення КІН можуть перевищувати відповідні абсолютно жорсткому включенню значення КІН. Урахування граничних умов при розрахунках на міцність суттєво впливає на значення КІН, але, як наслідок, значно ускладнюється розв'язання задач.

У висновках коротко проаналізовано результати та наведено основні підсумки роботи.



ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена аналітико-числовому дослідженню КІН у тілах, що мають неоднорідності у вигляді тонких смугових включень в умовах дії нестаціонарних хвильових полів. Включення можуть бути як абсолютно жорсткими, так і пружними, повністю зчепленими з матрицею або відшарованими. Автором отримано такі основні наукові результати:

метод розривних розв'язків поширено на новий клас нестаціонарних задач динамічної теорії пружності;

виведено інтегральні подання у просторі зображень Лапласа для компонент переміщень і напружень в тілі, що містить тонке пружне включення, з подальшим зведенням відповідних крайових задач до інтегральних рівнянь або їх систем;

для тіл, що знаходяться у стані антиплоскої деформації і містять тонке смугове включення, побудовано наближені розв'язки задач про дію нестаціонарної хвилі на таке включення (включення може бути як повністю зчепленим з матрицею, так і частково відшарованим; як пружне, так і абсолютно жорстке);

побудовано наближений розв'язок задачі про взаємодію плоских нестаціонарних хвиль з абсолютно жорстким включенням, у якого одна або дві сторони відшаровані і знаходяться в умовах гладкого контакту з матрицею;

побудовано наближений розв'язок задачі про взаємодію плоских нестаціонарних хвиль з пружним включенням, повністю зчепленим з матрицею, або таким, що обидві сторони його знаходяться в умовах гладкого контакту з матрицею;

встановлено нові закономірності зміни за часом КІН для включень, що знаходяться під дією нестаціонарних хвильових полів;

виявлено вплив пружних властивостей включення на концентрацію напружень поблизу нього і досліджена можливість розгляду включень великої жорсткості як абсолютно жорстких.

Аналіз результатів дозволяє зробити наступні висновки про нові якісні і кількісні закономірності.

1. У випадку антиплоскої деформації було встановлено наступне. Якщо включення абсолютно жорстке, то збільшення його відносної маси за ударного навантаження призводить до зростання екстремальних значень КІН. Якщо включення є пружним, то при прямуванні відношень модулів зсуву до нуля (включення за властивостями наближається до абсолютно жорсткого) екстремальні значення КІН як при ударному, так і гармонічному навантаженнях збільшуються, і для практично співпадають із значенням для абсолютно жорсткого включення. При дії на включення гармонічної хвилі час переходу до стаціонарного режиму коливань збільшується при зростанні . Під час перехідного процесу як для відшарованих, так і для зчеплених включень спостерігаються значення КІН, що перевищують максимальні при стаціонарному режимі. За умови поздовжнього зсуву значення КІН, які розраховані з урахуванням пружності включення у випадку включень великої жорсткості, несуттєво відрізняються від значень, отриманих за припущення, що включення є абсолютно жорстким. В цілому, врахування пружності включення призводить до зменшення значень КІН.

2. При здійснені умов повного зчеплення з матрицею і за умов плоскої деформації, якщо включення абсолютно жорстке, то збільшення його відносної маси при ударному або раптово прикладеному гармонічному навантаженні призводить до зростання екстремальних значень КІН. При збільшенні відносної жорсткості включення при ударному або раптово прикладеному гармонічному навантаженні значення КІН для пружного включення монотонно зростають і прямують до відповідних значень для абсолютно жорсткого включення, але практичне співпадіння спостерігається при відношенні модулів пружності порядку , що не може бути реалізовано для більшості реальних матеріалів. Результати числових розрахунків, які були проведені для реальних матеріалів, показують, що урахування пружності включення призводить до зменшення значення КІН майже у два рази. Якщо ж враховується ще дія на торці сил та моменту з боку матриці, отримані значення КІН будуть ще менші.

3. При умовах плоскої деформації в матриці навколо відшарованих включень для абсолютно жорсткого частково відшарованого з одного боку включення встановлено, що за ударного навантаження із ростом відносної маси включення зростають значення КІН у екстремальних точках та час виходу на стаціонарний режим. При гармонічному навантаженні спостерігається монотонне збільшення значень КІН разом із відносною масою включення. Значення КІН мало залежить від того, на яку з сторін включення падає хвиля, - на зчеплену чи відшаровану. При дослідженні концентрації напружень в околі абсолютно жорстких включень при здійснені на обох сторонах умов гладкого контакту в області відшарування встановлено, що при збільшенні відносної маси включення за ударного та гармонічного навантажень значення КІН у екстремальних точках зростають. При ударному навантаженні значення КІН для пружних включень прямують до значень для абсолютно жорстких включень, але практичне співпадіння спостерігається при відношенні модулів пружності порядку , що не може бути здійснено для більшості реальних матеріалів. При гармонічному навантаженні при фіксованій частоті існують відношення модулів пружності, при яких значення КІН перевищують відповідні значення для абсолютно жорсткого включення. Урахування граничних умов при розрахунках на міцність суттєво впливає на значення КІН, але, як наслідок, значно ускладнюється розв'язання задач.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Мойсеенок А.П., Попов В.Г. Нестационарная задача о концентрации упругих напряжений вблизи тонкого жесткого отслоившегося включения при деформации продольного сдвига // Проблемы машиностроения. - 2005. - Т.8, №3. - С. 30-37.

2. Мойсєєнок О.П., Попов В.Г. Концентрація напружень поблизу тонкого пружного включення під дією нестаціонарної хвилі поздовжнього зсуву// Мат. методи та фізико-механічні поля. - 2005.-Т.48, №4. - С. 172-177.

3. Мойсєєнок О.П Взаємодія нестаціонарної хвилі з тонким включенням нульової згинної жорсткості // Прикл. проблеми мех. і мат. - 2005. - Вип.3. - С. 130-134.

4. Попов В.Г., Мойсеєнок О.П. Розв'язання динамічної антиплоскої задачі для тіла з включенням методом скінчених різниць за часом // Фізико-хімічна механіка матеріалів. - 2005.- Т.41, №4.- С. 19-25.

5. Попов В., Мойсеєнок О. Розв'язання антиплоскої динамічної задачі для тіла з тонким пружним включенням методом скінчених різниць за часом// Машинознавство. - 2005. - №7. - С. 19-23.

6. Попов В.Г., Мойсеенок А.П. Концентрация напряжений вблизи отслоившегося тонкого упругого включения при воздействии нестационарной волны продольного сдвига // Теоретическая и прикладная механика. - 2005. - Вып.41. - С. 184-192.

7. Попов В.Г., Мойсеенок А.П. Нестационарная задача об изгибе тонкого упругого включения в неограниченном теле при взаимодействии с волнами// Вісник Дніпропетровського університету. - 2005. Механіка. - Вип.9, Т.2., №10/2.- С. 145-150.

8. Мойсеенок А.П., Попов В.Г. Взаимодействие нестационарной волны продольного сдвига с тонким жестким отслоившимся включением // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2006. - №2. - С. 27-35.

9. Мойсєєнок О., Попов В. Дослідження напруженого стану в околі смугового включення за умов нестаціонарного навантаження// Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій /Під заг. ред. В.В.Панасюка - Львів: Фізико-механічний інститут імені Г.В. Карпенка НАН України, 2004. - С. 143-148.

10. Мойсеенок А.П. Исследование напряженного состояния вблизи тонкого жесткого включения при взаимодействии с волнами при полном сцеплении// Теорія і практика процесів подрібнення, розділення, змішування і ущільнення: зб. наук. пр.- Вип. 12. - Одеса: ОНМА. - 2006. - С. 88-95.

11. Мойсеенок А.П., Попов В.Г. Исследование напряженного состояния вблизи тонкого жесткого включения при условиях гладкого контакта при нестационарном нагружении// Теорія і практика процесів подрібнення, розділення, змішування і ущільнення: зб. наук. пр. - Вип. 12. - Одеса: ОНМА. - 2006. - С. 96-105.

12. Мойсеенок А., Попов В. Концентрация напряжений вблизи тонкого отслоившегося включения при воздействии нестационарной волны продольного сдвига// Збірник доповідей VI міжнародної наукової конференції „Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”, Львів. - 2003. - С. 288-290.

13. Мойсеенок А.П., Попов В.Г. Концентрация напряжений вблизи тонкого упругого включения при воздействии нестационарной волны продольного сдвига// Материалы V международной научной школы-семинара „Импульсные процессы в механике сплошных сред”, Николаев: Атолл, 2003. - С. 51-53.

14. Мойсєєнок О. Розв'язання антиплоскої динамічної задачі для тіла з тонким пружним включенням методом скінченних різниць за часом// Тези доповідей VII міжнародного симпозіуму українських інженерів - механіків, Львів. - 2005.- С. 41-42.

15. Попов В.Г., Мойсеенок А.П. Нестационарная задача об изгибе тонкого упругого включения в неограниченном теле при взаимодействии с волнами // Тезисы докладов международной конференции «Интегральные уравнения и их применения», Одесса - 2005. - С. 117.

16. Мойсєєнок О. Взаємодія нестаціонарної хвилі з тонким включенням нульової згинної жорсткості // Збірник доповідей „Конференція молодих вчених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача”, Львів, 2005.- С. 131-132.

17. Мойсєєнок О. Взаємодія плоских нестаціонарних хвиль з тонким пружним включенням за умов гладкого контакту// Збірник доповідей VII міжнародній конференції „Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”, в 2-х т. - Львів, 2006. - Т.2 - С. 81-83.

18. V. Popov, O. Litvin, A. Moysyeyenok. The dynamic problems about the definition of the stress state near thin elastic inclusions in the conditions of ideal coupling// Book of abstracts of International conference „Modern analysis and applications”, Odessa, Ukraine, 2007. - P. 117.



АНОТАЦІЯ

Мойсєєнок О.П. Двовимірні крайові задачі про взаємодію плоских нестаціонарних пружних хвиль з тонкими включеннями. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Одеський національний університет імені І.І. Мечникова, Одеса, 2008.

У дисертаційній роботі створена методика дослідження концентрації напружень у пружних необмежених тілах біля тонких смугових включень внаслідок дії нестаціонарних хвиль. Розглянуто різні типи взаємодії включення і матриці: повне зчеплення, часткове відшарування з однієї сторони, часткове відшарування з обох сторін. З огляду на малу товщину включення граничні умови сформульовані відносно її серединної площини. У випадку пружних включень згинальні та зсувні переміщення цієї площини визначаються з рівнянь теорії пружних пластин. За допомогою розривних розв'язків отримані інтегральні представлення для зображень переміщень і напружень через невідомі зображення стрибків переміщень і напружень на включенні. Для визначення останніх, шляхом задовільнення граничних умов, отримані інтегральні рівняння або їх системи, які розв'язуються числово коллокаційним методом. Перехід від зображень за Лапласом до оригіналів здійснюється числово за допомогою методів, які ґрунтуються на заміні інтеграла Меліна рядом Фур'є. Проведено детальний аналіз залежності КІН від маси і відносної жорсткості включення та умов взаємодії включення і матриці.

Ключові слова: пружне включення, жорстке включення, нестаціонарні пружні хвилі, сингулярні інтегральні рівняння, коефіцієнт інтенсивності напружень, числове обернення перетворення Лапласа.



АННОТАЦИЯ

Мойсеенок А.П. Двумерные краевые задачи о взаимодействии плоских нестационарных упругих волн с тонкими включениями. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Одесский национальный университет имени И.И. Мечникова, Одесса, 2008. В диссертационной работе создана методика исследования концентрации напряжений в упругих неограниченных телах около тонких ленточных включений следствие действия нестационарных волн. Включения могут быть как абсолютно жесткими, так и упругими. Рассмотрены разные типы взаимодействия включения с матрицей: полное сцепление, частичное отслоение с одной стороны, частичное отслоение с двух сторон. Ввиду малой толщины включения граничные условия сформулированы относительно его срединной плоскости. В случае упругих включений изгибные и сдвиговые перемещения этой плоскости определяются из уравнений теории упругих пластин. Если включение абсолютно жесткое, то для определения его перемещений используются уравнения движения твердого тела. Методика решения сформулированных краевых задач базируется на использовании разрывных решений уравнений Гельмгольца и уравнений Ламе в пространстве изображений Лапласа. При помощи разрывных решений получены интегральные представления для изображений перемещений и напряжений через неизвестные изображения скачков перемещений и напряжений на срединной плоскости включении. Чтобы найти последние, путем удовлетворения граничных условий получены интегральные уравнения или их системы, которые решаются численно коллокационным методом. Эти решения являются основой для получения формул при расчетах коэффициентов интенсивности напряжений в матрице около включения. Переход от изображений по Лапласу к оригиналам осуществляется численными методами, основанными на замене интеграла Меллина рядом Фурье. Проведен детальный анализ зависимости КИН от относительной массы и относительной жесткости включения, видов падающих волн, а также от условий взаимодействия включения и матрицы. Исследованы вопросы возможности рассмотрения включений большой жесткости как абсолютно жестких. Основные результаты и выводы, полученные в работе, состоят в следующем. Метод разрывных решений распространен на новый класс нестационарных задач динамической теории упругости. Получены интегральные представления в пространстве изображений Лапласа для компонент перемещений и напряжений в теле, которое содержит тонкое упругое включение, с дальнейшим сведением соответствующих краевых задач к интегральным уравнениям или их системам. Для тел, которые находятся в состоянии антиплоской деформации и содержат тонкое полосовое включение, построены приближенные решения задач о действии нестационарной волны продольного сдвига на такое включение. Включение может быть как полностью сцепленное с матрицей, так и частично отслоившееся; как упругое, так и жесткое. Решены задачи о действии плоских нестационарных волн на включение, которое находится в неограниченном упругом теле при условиях плоской деформации. Включение может быть как полностью сцепленное с матрицей, так и частично отслоившееся с одной стороны или частично отслоившееся с обеих сторон, как упругое, так и жесткое. Установлены новые закономерности изменения КИН с течением времени для включений, которые находятся под действием нестационарных волн. Исследовано влияние упругих свойств включения на концентрацию напряжений вблизи него и возможность рассмотрения включений большой жесткости как абсолютно жестких. Результаты диссертации являются актуальными для механики разрушения и механики композитов. Ключевые слова: упругое включение, жесткое включение, нестационарные упругие волны, сингулярные интегральные уравнения, коэффициент интенсивности напряжений, численное обращение преобразование Лапласа.

ABSTRACT

Moysyeyenok A.P. 2D boundary problems about the interaction of plane non-stationary elastic waves with thin inclusions. - Manuscript.

Thesis for a Ph. D. degree in physical and mathematical sciences by speciality 01.02.04 - mechanics of solids.- Odessa I.I. Mechnikov National University, Odessa, 2008.

The method of the research of the stress concentration in elastic bodies near strip inclusions as a result of the non-stationary elastic waves is constructed in the thesis. Different types of interaction between a matrix and an inclusion are considered: full coupling, partial exfoliating on one side, and partial exfoliating on both sides. Taking into consideration small thickness of the inclusion the boundary conditions are formulated concerning its middle plane. In the case of the elastic inclusion the bent and shift displacements of this plane are defined from the equations of the theory of thin plates. The method of the solution of the formulated boundary problems is based on the use of the discontinuous solutions of the Helmholts and Lame equations in the space of the Laplace images. To define the unknown images of jumps the integral equations or their systems which are numerically solved by the collocation method are obtained through the satisfaction of the boundary conditions. For the conversion of the Laplace transformation used the numerical methods founded on the replacement of the Mellin integral by the Fourier series. The analysis of the dependence of the SIF on linear mass and relative rigidity of inclusion and conditions of interaction of the inclusion and the matrix is carried out.

Key words: elastic inclusion, rigid inclusion, non-stationary elastic waves, singular integral equation, discontinuous solution, stress intensity factor, numerical inversion of the Laplace transformation.

Размещено на Allbest.ru

...