Основы электромагнетизма

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение задач по электромагнетизму

Задача 1.

К источнику с э.д.с. =100 В подключили последовательно два воздушных конденсатора, каждый ёмкости =40 пф. Затем один из конденсаторов заполнили однородным диэлектриком с проницаемостью = 9.0. Во сколько раз уменьшилась напряжённость электрического поля в этом конденсаторе? Какой заряд пройдёт через источник?

Решение:

По условию задачи конденсаторы подключены к э.д.с. последовательно. Это означает, что заряды на этих конденсаторах одинаковые, и суммарное напряжение на конденсаторах равно величине ЭДС.

Пусть напряжение на каждом из конденсаторов до заполнения диэлектриком , а заряд . Понятно, что такое же напряжение будет на таком же втором конденсаторе. После заполнения одного из конденсаторов диэлектриком заряд на них изменится и станет . Напряжение на конденсаторах станет и соответственно.

Учитывая, что величина ёмкостей конденсаторов одинаковая, для схемы а) запишем

и найдём напряжение на каждом конденсаторе

Для схемы б) аналогичное уравнение примет вид:

и, учитывая, что заряды на конденсаторах, соединённых последовательно, равны

.

Здесь учтено, что ёмкость конденсатора, заполненного диэлектриком, увеличилась в раз.

Решая совместно два последних уравнения, получим

.

Напряжённость электрического поля в конденсаторе и напряжение на конденсаторе связаны соотношением

,

где - расстояние между пластинами конденсатора, т.к. поле в плоском конденсаторе однородно.

Тогда ответом на первый вопрос задачи будет

.

После подстановки численных значений

напряжённость поля в конденсаторе после заполнения диэлектриком уменьшилась в два раза.

Найдём теперь величины зарядов на конденсаторе до и после заполнения диэлектриком.

Величина заряда на конденсаторе до заполнения диэлектриком

.

После заполнения диэлектриком

;

(источник тока после заполнения конденсатора диэлектриком направит к нему дополнительный заряд )

.

Ответ:

;

Задача 2.

Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен изотропным диэлектриком, проницаемость которого изменяется в перпендикулярном к обкладкам направлении по линейному закону от до , причём . Площадь каждой обкладки , расстояние между ними .

Найти:

а) ёмкость конденсатора;

б) объёмную плотность связанных зарядов как функцию .

Решение:

Выберем ось по направлению возрастания диэлектрической проницаемости . Величина диэлектрической проницаемости на расстоянии от нижней пластины определяется из соотношения

,

где , а .

Найдём теперь ёмкость плоского конденсатора. Для этого конденсатор представим как систему из последовательно включённых плоских конденсаторов, расстояние между пластинами которых . Ёмкость одного такого конденсатора электрический заряд конденсатор

.

Величина, обратная ёмкости плоского конденсатора равна сумме величин обратных ёмкостям конденсаторов, на которые мы разбили плоский конденсатор.

;

.

Теперь найдём величину связанных зарядов

, где - вектор поляризованности диэлектриков

и модуль его равен

.

Найдём зависимость напряжённости электрического поля между пластинами конденсатора, как функцию расстояния от одной из пластин.

Для этого рассчитаем зависимость напряжения , полагая, что потенциал одной из пластин равен 0.

,

где - разность потенциалов между пластинами конденсатора ёмкостью , при расстоянии между пластинами

.

.

Теперь

Ответ: ;

Задача 3.

Два длинных прямых провода с одинаковым радиусом сечения расположены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между их осями равно . Найти взаимную ёмкость проводов на единицу их длины при условии .

Решение:

Мысленно зарядим провода положительным и отрицательным зарядами с линейной плотностью .

Взаимная ёмкость проводов на единицу их длины

,

где - разность потенциалов между проводами.

Теперь задача сводится к определению величины .

Для этого найдём напряжённость электрического поля в пространстве между заряженными проводами.

На расстоянии от оси положительно заряженного провода напряжённость электрического поля есть сумма напряжённостей полей, создаваемых положительно и отрицательно заряженными проводами (оба поля сонаправлены)

.

Тогда разность потенциалов между проводами

Ответ:

Задача 4.

Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 с толщинами и и с проницаемостями и . Площадь каждой обкладки равна . Найти:

а) ёмкость конденсатора;

б) плотность связанных зарядов на границе раздела диэлектрических слоёв, если напряжение на конденсаторе равно и электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2.

Решение:

а) Плоский конденсатор с двумя слоями и различных диэлектриков можно представить как два последовательных конденсатора с расстояниями между пластинами и , заполненными диэлектриками с проницаемостями и соответственно.

.

б) Поверхностная плотность связанных зарядов определяется разностью нормальных составляющих поляризованности в 1-ом и 2-ом диэлектриках.

.

Напряжённости полей на границе двух диэлектриков перпендикулярны границе раздела в силу того, что поля создаются двумя параллельными заряженными пластинами. Рассчитаем теперь напряжённости полей и в первом и втором диэлектриках. Для этого запишем систему уравнений

,

где первое уравнение представляет собой математическую запись величины напряжения между обкладками конденсатора, а второе - условие на границе двух диэлектриков для нормальной составляющей вектора .

Решая эту систему, получим

; .

Тогда

Ответ: ; .

Задача 5.

Найти ёмкость цилиндрического конденсатора длиной , радиусы обкладок которого и , причём <, если пространство между обкладками заполнено:

а) однородным диэлектриком с проницаемостью ;

б) диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния до оси конденсатора как , - постоянная.

Решение:

Согласно определению ёмкости задача сводится к нахождению разности потенциалов при известном заряде .

а)

, где -

линейная плотность заряда на пластинах конденсатора, - расстояние от оси цилиндра до некоторой точки между обкладками конденсатора

, теперь .

б)

Воспользовавшись теоремой Гаусса для потока найдём зависимость между обкладками цилиндрического конденсатора

;

;

.

Ответ: а) ; б)

Задача 6.

Найти ёмкость сферического конденсатора, радиусы внутренней и внешней обкладок которого равны и , если пространство между обкладками заполнено наполовину, как показано на рис., однородным диэлектриком с проницаемостью .

РЕШЕНИЕ:

Мысленно зарядим внутреннюю и внешнюю сферы конденсатора одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами . Тогда по определению искомая ёмкость

,

где - разность потенциалов между сферами.

Теперь задача сводится к нахождению разности потенциалов u при заданном значении заряда

Симметрия системы позволяет определить величину напряженности с помощью теоремы Гаусса для вектора . Воспользоваться аналогичной теоремой для вектора здесь не представляется возможным, т.к. не известен связанный заряд в диэлектрике.

Теорема Гаусса для диэлектриков справедлива при любом расположении диэлектриков и граничных поверхностей: часть или весь объём, ограниченный поверхностью Гаусса, может быть заполнен различными диэлектриками, поверхность может проходить как в вакууме, так и пересекать диэлектрик.

При записи теоремы Гаусса надо учесть два обстоятельства:

электрическое поле в конденсаторе направлено вдоль границы раздела диэлектриков по радиусу сфер. Можно утверждать, что для границы раздела диэлектриков значение вектора определяется его тангенциальной для границы составляющей;

если выбрать в качестве гауссовой поверхности сферу, находящуюся между сферическими поверхностями конденсатора, то тангенциальная составляющая вектора перпендикулярна этой поверхности.

Из условий на границе двух диэлектриков имеем

;

Применяя теорему Гаусса, получим

Теперь

Размещено на Allbest.ru