Проверка закона Ома для последовательной цепи переменного тока

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проверка закона Ома для последовательной цепи переменного тока



ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Рассмотрим электрические колебания, возникающие во внешней электрической цепи генератора переменного тока, электродвижущая сила которого изменяется по синусоидальному закону. Внешнюю цепь генератора составим из последовательно соединённых резистора Ra / активное сопротивление/, сосредоточенной ёмкости /конденсатор/ C, сосредоточенной индуктивности L /катушка индуктивности, дроссель или обмотка трансформатора/, как показано на рис. I

Рис.I

В этой цепи будет протекать переменный ток, сила которого меняется по закону

, / I /

где I₀ - амплитуда тока, w - круговая частота.

Переменный ток, протекающий в цепи, будем считать квазистационарным, если за время t, в течение которого ток передаётся от одного конца цепи к другому, величина тока изменяется незначительно, а для этого необходимо, чтобы время t=l/c, где l -- длина цепи, c - скорость света, было много меньше периода колебаний T, т.е. t << T.

В этом случае к мгновенным значениям электрических величин можно применять законы постоянного тока, и, в частности закон Ома.

Наконец, будем считать, что колебания в цепи являются установившимися. Это значит, что с момента начала колебаний прошло достаточно большое время, так что амплитуды тока и напряжения уже достигли постоянного значения, соответствующего величине внешней э.д.с

Опыт и теория показывают, что сила переменного тока в проводе существенно зависит от формы, которая придана этому проводу. Сила тока будет наибольшей в случае прямого провода. Если же провод свёрнут в виде катушки с большим числом витков, то сила тока в нём значительно уменьшается /особенно при введении в эту катушку ферромагнитного сердечника/. Это значит, что для переменного тока проводник помимо омического сопротивления имеет ещё дополнительное сопротивление, зависящее от индуктивности проводника.

Найдём, по какому закону изменяется напряжение на участках внешней цепи 1-2, 2-3, 3-4 и во всей цепи 1-4, когда в ней течёт ток, изменяющийся по синусоидальному закону / I / .



I. активное сопротивление в цепи переменного тока

На участке цепи I-2 имеется резистор /активное сопротивление/ R_a, по которому течёт переменный ток

По закону Ома напряжение на этом участке будет

/ 2 /

Таким образом, напряжение на участке I-2 изменяется также по закону синуса. Напряжение и ток одновременно достигают максимальных значений и одновременно обращаются в нуль, поэтому разность фаз между колебаниями тока и напряжения равна нулю, что видно из рис. 2. Максимальное значение напряжения

/ 3 /

Рисунок 2

есть амплитуда активной составляющей напряжения, а w - круговая частота. Из формулы 3 следует, что амплитуда тока I₀ прямо пропорциональна амплитуде напряжения U_0a и обратно пропорциональная сопротивлению участка цепи R_a. Но нужно помнить, что формула 3 относится только к амплитудным , но не к мгновенным значениям U и I.

Гармонически изменяющиеся величины напряжения и тока можно изображать при помощи векторных диаграмм, которые строятся следующим образом: чертится горизонтальная линия, которая называется «ось токов», относительно оси токов откладывается вектор, длина которого пропорциональна амплитуде напряжения, угол между вектором напряжения и осью токов есть угол сдвига фаз между током и напряжением.

На активном сопротивлении угол сдвига фаз между током и напряжением, как отмечалось выше, равен нулю, что видно также из векторной диаграммы, представленной на рис.3.

U_0a I₀

ось токов

Рис. 3

2. индуктивность в цепи переменного тока

На участке 2-3 имеется катушка индуктивности, по которой протекает переменный ток, изменяющийся по закону / I /. При наличии переменного тока в катушке индуктивности возникает э.д.с. самоиндукции

е = - L dI/dt

Если пренебречь активным сопротивлением проводов катушки / r=0 /, то можно считать, что приложенное к катушке напряжение уравновешивает э.д.с. самоиндукции и поэтому равно э.д.с. самоиндукции с обратным знаком

. / 4 /

Сравнивая формулы I и 4, видим, что колебания напряжения на индуктивности опережают по фазе колебания тока на р/2, что изображено на рис. 4. Когда сила тока, возрастая, проходит через нуль, напряжение уже достигает максимума, после чего начинает уменьшаться, когда сила тока становится максимальной, напряжение проходит через нуль, и т.д.

Из формулы 4 видно, что амплитуда напряжения равна U_0l=I₀wL и, следовательно, величина wL

Рис.4

играет ту же роль, что и сопротивление участка цепи. Поэтому X_L=wL называют индуктивным сопротивлением. Если индуктивность L выражена в Генри, а w в c^-1, то X_L будет выражено в Омах.

Физический смысл индуктивного сопротивления состоит в следующем. Под влиянием изменений силы тока в проводнике, обладающем индуктивностью, возникает, как уже говорилось ранее, э.д.с. самоиндукции, препятствующая этим изменениям, т.е. уменьшающая амплитуду силы тока. Уменьшение силы тока в проводнике равносильно увеличению сопротивления проводника, т.е. равносильно появление дополнительного /индуктивного/ сопротивления.

Векторная диаграмма напряжения на индуктивности показана на рис. 5. При построении векторной диаграммы за положительное направление вращения вектора напряжения относительно оси токов принято левое вращение /против часовой стрелки/. Вектор напряжения, длина которого равна амплитуде напряжения I₀wL, повёрнут относительно оси токов в положительном направлении на угол р/2. У реальных катушек сопротивление проводов r?0, поэтому приложенное к катушке напряжение уравновешивает падение напряжения на активном и индуктивном сопротивлениях катушки.

Результирующее напряжение катушки и угол, образованный результирующим вектором напряжения с осью токов,

Pис.5

найдём, пользуясь векторной диаграммой напряжений, представленной на рисунке 6. Вектор активной составляющей напряжения, имеющий длину I₀r, откладываем на оси токов, вектор реактивной составляющей напряжения, имеющий длину U_0L=I₀wL, откладываем перпендикулярно к оси токов в положительном направлении. Из рис.6 следует, что длина результирующего вектора напряжения будет равна амплитуде действующего на катушке напряжения.

. / 5 /

Рис.6

Из формулы 5 следует, что полное сопротивление катушки слагается из активной r и реактивной wL



R_L = [ r² + (wL)² ]^1/2

составляющих, и формула 5 выражает закон Ома для участка цепи, содержащей индуктивность и сопротивление r.

Колебания напряжения U_Lr опережают колебания тока по фазе на угол ц_L=y_L, который определяется, как следует из рисунка 6 следующим образом

; . / 6 /

Из формулы 5 следует, что, измерив амплитуду тока I₀ и напряжения U_Lr, можно определить индуктивность катушки, зная частоту w и активное сопротивление катушки r:

, / 7 /

где U_Lr - в Вольтах, I₀ -- в Амперах, r -- в Омах, w - в с^-1, L - в Генри.

3. ЁМКОСТЬ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

На участке 3-4 включён конденсатор ёмкости C, при этом сопротивлением и индуктивностью участка пренебрегаем.

Выясним, по какому закону меняется напряжение на конденсаторе, если ток меняется по закону I=I₀sin wt.

Напряжение на конденсаторе определяется через заряд q и ёмкость C: U=q/C,



Постоянную интегрирования можно положить равной нулю A=0. Тогда

. / 8 /

Сравнивая формулы 1 и 8, видим, что при синусоидальном колебании тока в цепи напряжение на конденсаторе изменяется также по закону синуса, однако колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе от колебаний тока на р/2, что изображено на рис.7. Физический смысл этого важного явления можно пояснить следующим образом. В начальный момент времени конденсатор ещё не заряжен

/ U_C=0 /. Поэтому даже очень малое напряжение е легко перемещает заряды к пластинам конденсатора, создавая ток.

Рис.7

По мере зарядки конденсатора напряжение U_C на его обкладках растёт, что препятствует дальнейшему притоку зарядов. В связи с этим сила тока в цепи уменьшается, несмотря на увеличение внешнего напряжения. Следовательно,в начальный момент времени сила тока имеет максимальное значение. Через четверть периода U_C достигает максимума, конденсатор полностью зарядится и ток прекратится.

Формула 8 показывает, что амплитуда напряжения на конденсаторе равна U_0C=I₀/wC.

Величина / 9 / играет роль сопротивления участка цепи и получила название ёмкостного сопротивления / кажущееся сопротивление ёмкости/ , имеет размерность Ом, если С выражено в Фарадах, а w -- с^-1.

Векторная диаграмма напряжения на конденсаторе приведена на рис. 8. Вектор напряжения U_0C, длина которого равна амплитуде напряжения на конденсаторе , повёрнут относительно оси токов на р/2 по часовой стрелке.

Из закона Ома для участка цепи, содержащей ёмкость U_0C=I₀/wC, можно определить величину ёмкости конденсатора

Рис. 8

/ 10 /

4. ЗАКОН ОМА ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Зная, как меняется напряжение на участках цепи, найдём соотношение между колебаниями тока и напряжения при последовательном соединении сопротивления, индуктивности и ёмкости, если ток меняется по закону I=I₀ sin wt, и вычислим напряжение между концами цепи 1-4.

Для сложения трёх гармонических колебаний U₀, U_L, U_C воспользуемся векторной диаграммой напряжений.

Отложим на оси токов вектор напряжений Ua, действующего на активном сопротивлении считая, что активное сопротивление всей цепи есть сумма сопротивлений резистора и проводов катушки индуктивности



R_{a об} = R_a+r; U_a=I₀(R_a+r).

Напряжение на индуктивности U_0L и ёмкости U_0C представим векторами, перпендикулярными к оси токов, как на рисунках 5 и 8, и сложим три вектора, как показано на рисунке 9.

Вычислим сначала реактивную составляющую напряжений в цепи. Так как напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе противофазны, то длина вектора U_RL будет

. / 11 /

Полное напряжение между концами 1-4 можно рассматривать теперь как сумму двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний: активной составляющей U_a и реактивной составляющей U_Rе напряжений. Эти колебания, складываясь, дают также гармоническое колебание, амплитуда которого U₀ определяется из векторной диаграммы напряжений:

/ 12 /

Рис.9

Угол, образованный результирующим вектором напряжений U₀ с осью токов I₀, т.е. фазовый сдвиг между током и напряжением в цепи, определяется по формуле, следующей из векторной диаграммы:

. / 13 /

Напряжение между концами 1-4 изменяется также по закону синуса U=U₀sin(wt+y), а разность фаз ц= y между колебаниями тока и напряжения определяется по формуле 13.

Формула 12 справедлива только для амплитудных значений тока и напряжения, но не для мгновенных значений U и I. Отношение амплитуды напряжения U₀ к амплитуде тока I₀ называют полным сопротивлением цепи переменного тока

. / 14 /

Соотношение 14 называют также законом Ома для переменного тока. При этом надо помнить, что формула полного сопротивления ,

/ 15 /

справедлива только для последовательного соединения R, L, C.

В общем случае Z можно записать

, / 16 /

где R_a -- активное сопротивление цепи, которое включает в себя омическое сопротивление проводов, резисторов, а также потери в конденсаторе и катушке индуктивности. Омическое сопротивление -- это сопротивление постоянному току, т.е.



R_ом = U_пост / I_пост ,

R_Rе - реактивное сопротивление цепи, состоящее из индуктивного wL и ёмкостного 1/wС сопротивлений.

Различие в поведении активного и реактивного сопротивлений в цепи переменного тока:

1. На активном сопротивлении выделяется тепло /поглощается энергия/, на реактивном тепло не выделяется /энергия не поглощается/.

2. Активное сопротивление не вносит сдвига фаз между током и напряжением, а реактивное вносит.

Метод нахождения полного сопротивления цепи переменного тока с помощью метода комплексных чисел дан в приложении.

Векторная диаграмма, представленная на рис.9, построена для случая, когда можно разделить напряжение на катушке индуктивности U_0L на активную и реактивную составляющие. Практически вольтметр измеряет полное напряжение U_0L, которое относительно оси токов сдвинуто по фазе на угол ц_L= y_L=wL/r. С учётом этого векторная диаграмма напряжений для последовательной цепи переменного тока должна иметь вид, представленный на рисунке 10.

Рисунок.10

На рис. 10а показаны векторы амплитуд напряжений на R, L, C, на рисунке 10б произведено сложение этих напряжений. Результирующий вектор напряжения U₀ сдвинут по фазе относительно

вектора тока на угол ц = y, причём U₀ отстаёт по фазе от I₀. Рисунок 9 построен для случая, когда U₀ опережает по фазе I₀. В реальных цепях переменного тока возможен и тот и другой случаи, в зависимости от параметров цепи.

5 . ТЕХНИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ

Установка собирается по схеме, приведённой на рисунке 11 .Источником переменного тока частоты f=50 Гц , w= 2рf=2*3,14*50=314 c-1, является автотрансформатор /ЛАТР/, включённый в сеть напряжением 220В. Исследуемая цепь состоит из последовательно соединённых реостата Ra, катушки индуктивности L и конденсатора С. Вольтметром, включающимся параллельно участку цепи, измеряется напряжение на R_a, L, C и на полном сопротивлении цепи между точками OO' с выхода ЛАТРа. При этом надо иметь в виду, что вольтметром и амперметром измеряется эффективные значения напряжения и тока, которые связаны с амплитудными значениями при синусоидальном законе изменения тока посредством формул

I₀ = I_эфф , U₀ = U_эфф .



6. ИЗМЕРЕНИЯ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

1.Преподаватель задаёт одно значение силы тока в цепи в пределах I_эфф=0,3-0,7А. Для заданного значения силы тока измеряются с помощью вольтметра напряжения на участках цепи: на C, L, Ra и с выхода ЛАТРа.

Результаты измерений и расчётные величины желательно занести в таблицу 1

2.По результатам измерений вычислить:

а) значение активного сопротивления реостата Ra, исходя из формулы (3): R_a=U_a/I.

Вычислить систематическую погрешность измерения R_a,

учитывая класс точности прибора по формуле

?R_a /R_a = ?U_a / U_a + ?I / I = г₁U_ном /U_a + г₂I_ном / I,

где г1 -- класс точности вольтметра в относительных единицах, г2 -- класс точности амперметра, Uном, Iном - номинальные или предельные значения шкалы приборов, Ua и I -- измеренные значения напряжения и тока.

Таблица 1

I, А

Ua, В

UC, В

UL, В

U0, В

Ra, Ом

RC, Ом

RL, Ом

C, Ф

L, Гн

Y=ц

значен. величин

абсол. погреш.

относит погреш.

б) Вычислить индуктивное сопротивление катушки, исходя из формулы 5:

,

где r - сопротивление проводов катушки, задано на установке.

Вычислить индуктивность катушки , где w=314 Гц

Вычислить ДL/L , ?L. Д в)Вычислить ёмкостное сопротивление

Вычислить ёмкость конденсатора

Вычислить систематическую (абсолютную и относительную) погрешность для С, исходя из формулы

г) вычислить полное сопротивление цепи

(17)

и её погрешность



д) Вычислить Z по формуле 15:и сравнить со значением Z, вычисленным по формуле 17.

е) Вычислить сдвиг фаз между током и напряжением

(18)

3. Построить векторную диаграмму напряжений для заданного значения силы тока (в масштабе). Длины слагаемых векторов напряжения должны быть, соответственно выбранному масштабу, равны измеренным значениям напряжений U_a, U_L, U_C. При этом надо учесть, что напряжение U_L сдвинуто по фазе относительно вектора тока на угол ц _L = Y_L, поэтому векторная диаграмма должна иметь вид, показанный на рисунке 10.

Величина результирующего вектора напряжения должна соответствовать измеренному значению U₀, а фазовый угол ц = y -- вычисленному по формуле 18 значению ц= y.

Несовпадение значений Z, вычисленных по формулам 15 и 17, значений измеренного U₀ и найденного из векторной диаграммы, происходит из-за того, что в активную часть сопротивления, кроме омического сопротивления проводов катушки индуктивности, вносят вклад потери на перемагничивание сердечника катушки L, которые трудно учесть.



7. ПРИЛОЖЕНИЕ

вынужденные электрические колебания. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

Для контура, состоящего из последовательно соединённых R, L, C, сумма падений напряжений на элементах цепи равна внешней э.д.с.: U_L+U_a+U_c=е₀ cos wt или

переменный ток сопротивление цепь

(19)

Для нахождения решения этого линейного дифференциального уравнения с правой частью воспользуемся методом комплексных амплитуд, который применим для установившегося режима колебаний. Метод основан на двух идеях: 1) переменные токи и напряжения могут быть представлены комплексными числами; 2) при заданной частоте любая ветвь или элемент контура характеризуются отношением напряжения к току.

Первая идея основана на математическом тождестве

(20)

где j²=-1, б -- вещественное число.

На применении этой формулы основано следующее правило. Переменный ток I₀cos(wt+ ц) можно представить комплексным числом I₀e^jц, т.е. числом, действительная часть которого равна I₀ cos ц, а мнимая часть равна I₀ sin ц, и наоборот, если комплексное число Z=x+jy представляет ток I, то ток, как функция времени, выражается действительной частью произведения

(x+jy)e^jwt.

Исходя из сказанного, заменим уравнение 19 уравнением с комплексной частью

(21)

Правая часть этого уравнения является вещественной частью правой части уравнения 21.

Будем искать решение уравнения 21 в виде

(22)

где ?₀ - комплексная амплитуда тока.

Подставляя 22 в 21 и сокращая на e^jwt, найдём

(23)

Величина, стоящая в квадратных скобках, носит название импеданса цепи и обозначается обычно Ћ

(24)

Выражение для Ћ не зависит от начальных условий и определяется только свойствами элементов цепи, т.е. импеданс является характеристикой электрической цепи.

Подстановка 24 в 23 даёт (25)

Полученное выражение полностью эквивалентно закону Ома. Роль сопротивления играет в нём импеданс цепи.

Левая часть уравнения 25 не является комплексным только для случая , когда начальная фаза колебаний э.д.с. равна нулю.

В общем случае, если е=е₀cos(wt+б)

в правой части уравнения 21 будет Э₀e^jwt=е₀e^jб e^jwt=е₀e^j(б+wt)

В этом случае уравнение 25 перейдёт в уравнение

(26)

которое имеет общий характер.

Исследуем свойства импеданса Ћ. Выражение для Ћ содержит действительную часть, называемую обычно активным сопротивлением цепи, и мнимую часть, называемую реактивным сопротивлением или реактансом.

Импеданс индуктивности равен jwL, импеданс ёмкости импеданс омического сопротивления R.

Подставим Ћ в показательной форме:

где Z₀ -- модуль импеданса,

где ц = y-- сдвиг фаз между током и напряжением, определяется отношением мнимой к действительной частей импеданса.

Решения, полученные методом комплексных амплитуд, допускают простую геометрическую интерпретацию. Комплексное число Ћ=Z₀ e ^jy представляется в комплексной плоскости вектором, длина которого равна Z₀. Угол, составляемый вектором с вещественной осью, равен ц.

Таким образом, представляя индуктивное сопротивление как jwL, а ёмкостное как 1/jwC, можно рассчитывать сложные электрические цепи по тем же правилам последовательного и параллельного включения, что и для цепей из активных сопротивлений на постоянном токе, т.е. для комплексных сопротивлений без каких-либо изменений можно применять закон Ома и правила Кирхгофа.

В качестве иллюстрации найдём ток в цепи источника переменного тока в контуре, изображённом на рисунке 12.

Для параллельного сопротивления элементов цепи имеем

Рис.12

Разрешив последнее уравнение относительно Ћ, найдём его модуль

, ; .



КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Сформулируйте, запишите и выведите закон Ома для последовательной цепи переменного тока.

2.Что представляют собой активное и реактивное сопротивление, от чего они зависят?

3.Чем отличаются по своему поведению в цепи переменного тока активные и реактивные сопротивления?

4.Что представляет собой омическое сопротивление?

5.Что представляет собой полное сопротивление цепи переменного тока и как оно зависит от частоты?

6.В чём заключается метод векторных диаграмм?

7.В чём заключается метод комплексных амплитуд?

8.Как определить сдвиг фаз между током и напряжением?

9.Что такое импеданс?



ЛИТЕРАТУРА

1.Руководство к лабораторным занятиям по физике/ Под ред. Л.Л.Гольдина.-М.:Наука,1973.-573с.

2.С.Г. Калашников. Электричество.-М.: Наука,1964,-666с.

3.Э,Парселл. Электричество и магнетизм. т.2.-М.:Наука,1983,-258с.

Размещено на Allbest.ru

...