Теоретическое исследование влияния зоны проводимости на структуру энергетических уровней примесных ионов в кристаллах

Рисунок 4.2 - Фейнмановская диаграмма, описывающая обменное взаимодействие связанного 3d1-электрона с электроном зоны проводимости

Вычислим матричный элемент , для чего напишем разложение потенциала кулоновского взаимодействия электронов по сферическим функциям

, (4.15)

где , - меньшее и большее из двух величин и , - угол между векторами и , и -полином Лежандра степени n, который можно представить в виде разложения в ряд по сферическим функциям

. (4.16)

Для плоской волны используем разложение следующего вида

, (4.17)

где

, (4.18)

и -функция Бесселя полуцелого порядка, которая выражается через элементарные функции.

Учитывая также, что в сферических координатах , где , получаем следующее выражение для

(4.19)

Полагаем , и обозначаем интеграл по через

. (4.20)

Согласно [19]

(4.21)

далее,

, (4.22)

то, используя соотношение ортогональности для сферических функций

, (4.23)

получаем

(4.24)

полагая в последней формуле , , получаем

(4.25)

Используя приведенные выше формулы, находим

(4.26)

тогда

. (4.27)

на следующем этапе вычислений выполняем усреднение по направлению волнового вектора , для чего используем формулу

. (4.28)

Поскольку

, (4.29)

то в формуле (4.27) остается только слагаемое с , . Следовательно, , . Тогда

(4.30)

На следующем этапе вычислений усредним выражение для матричного элемента по величине вектора , считая его принадлежащим зоне Бриллюэна, т.е., пренебрегая процессами переброса. При усреднении предполагаем, что абсолютная температура полупроводника равна нулю, и зона Бриллюэна представляет собой шар с радиусом, равным волновому числу Ферми . Тогда

(4.31)

Используя явный вид сферической функции Бесселя

, (4.32)

получаем

(4.33)

Вычисляя последний интеграл

(4.34)

получаем, что среднее значение сферической функции Бесселя равно

(4.35)

Для дальнейшего вычисления используем явный вид радиальной части волновой функции 3d1- состояния

, (4.36)

где а - боровский радиус.

Обозначим радиальную часть матричного элемента через

, (4.37)

где через обозначена функция

Поскольку через обозначено большее из , , приведенный интеграл разбивается на два слагаемых

, (4.38)

где

(4.39)

(4.40)

Тогда

(4.41)

Используя таблицы значений коэффициентов Клебша-Гордана [19], находим

,

получаем

при или 2, и при

Обозначая величину через B.

Тогда матрица энергий 3d1-электрона, взаимодействующего с электроном зоны проводимости, имеет вид :

В общем случае, секулярное уравнение имеет пять несовпадающих корней. Следовательно, в тетраэдрической позиции пятикратно вырожденный вырожденный 3d1 - ион расщепляется на пять синглетов, в отличии от октаэдрической позиции, в которой расщепление идет на два дублета и синглет.

Согласно общим принципам, всякое расщепление первоначально вырожденных уровней энергии связано с понижением симметрии. В данном случае выражение для матричного элемента кулоновского взаимодействия усреднено по направлению волнового вектора , что означает изотропное распределение электронов зоны проводимости, рассеянных на примесном центре. Казалось бы, эта изотропия не понижает первоначальную тэтраэдрическую симметрию, поэтому расщепления быть не должно. Однако, это не так. Дело в том, что элементарный акт взаимодействия оптического электрона с электроном зоны проводимости описывается гамильтонианом, симметрия которого представляет собой наложение аксиальной симметрии плоской волны и тэтраэдрической симметрии лигандов.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 4.3 - Детальная картина расщепления энергетических уровней 3d1-электрона, обусловленная зоной проводимости

Рассчитаем и оценим значения величин, расщепленных уровней энергии, показанных на рисунке 4.3.

, ,(4.42)

, , (4.43)

где

(4.44)

(4.45)

(4.46)

(4.47)

где а- расстояние от центра тетраэдра до лигандов,

b- расстояние от примесного центра до плоскости основания тетраэдра.

z-эффективный заряд лигандов

e-заряд электрона

Найдем величину расщепления . Используя явный вид радиальной части волновой функции 3d1-электрона

, (4.48)

запишем величину

, (4.49)

где

, (4.50)

в виде

, (4.51)

или

(4.52)

Оценивая величину волнового числа Ферми qf как , где - концентрация электронов зоны проводимости, - полное число электронов, - объем полупроводника, можно заключить, что значение по порядку величины составляет , где - расстояние между атомами полупроводника. Следовательно, , поэтому в интеграле для можно положить

(4.53).

Тогда

, (4.54)

где - гамма-функция Эйлера, равная 720 при , и . Окончательно, . Для вычисления величины , равной

(4.55)

Заметим, что при больших r2 функция

(4.56)

приближенно равна , т.е., представляет собой убывающую осциллирующую функцию, поэтому вкладом в величину можно пренебречь. Следовательно

, (4.57)

Или, с учетом соотношения , получаем

, (4.58)

где через обозначена постоянная Ридберга , равная 13.6 эВ, и ? - боровский радиус. Тогда величина поправки к энергии оптического электрона составит величину порядка 10-4 эВ. Для регистрации такого расщепления требуются температуры порядка 1К.

Имеется основание считать, что вклад обменного взаимодействия мал по сравнению со вкладом кулоновского взаимодействия и не изменит качественно картину расщепления энергетических уровней 3d1-иона.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей выпускной квалификационной работе проделана следующая работа:

1 Проведен литературный обзор, в результате которого было установлено, что в настоящее время проблема рассчета спектроскопических свойств 3d1- ионов с учетом как одночастичных и коллективных эффектов далека от своего решения.

2 Учитывая, что проблема рассчета корреляционной энергии систем электронов в настоящее время не решена, в работе приведены по литературным данным эмперические формулы для рассчета корреляционной энергии.

3 Произведен рассчет положений уровней энергии 3d- электрона с учетом кристаллического поля и электронов зоны проводимости, найдена величина энергии и составлена матрица энергий для тетраэдрической позиции.

4 Оценена величина расщепления уровня энергии для модельного полупроводника с шириной запрещеной зоны 1эВ.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 L.A.Kikoin Transition Metal Impurities in Semiconductors (Electronic Structure and Physical Properties)/L.A.Kikoin, V.N.Fluerov, Singapore, World Scientific,1994,354ch.

2 Васильченко, А.А. Расчеты основного состояния квазидвумерной электронно-дырочной плазмы / А.А. Васильченко, Е.Н. Тумаев, Д.А. Ермохин

3 Малкин Б. З. Безызлучательные переходы в редкоземельных димерах в кристаллах CsCdBr3:RE3+ / Б. З. Малкин, Э. И. Байбеков // Физика и техника полупроводников. - 2001. - Т. 5. - № 6. - С. 1100-1112.

4 Ландау Л. Д. Теоретическая физика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -М :Физматлит, 2003. -Т.5. -531с.

5 Эллиот Д. Симметрия в физике / Д. Эллиот, П. Допер. -М: Мир, 2001. -Т. 2. -414с.

6 Альтшулер С. А. Электронный парамагнитный резонанс соединений элементов промежуточных групп / С. А. Альтшулер, Б. М. Козырев. -М: Наука, 2002. -670с.

7 Selina N.V., Avanesov A.G., Lebedev V.A., Stroganova E.V., Tumayev E.N., Brik M.G., Special features of the phonon spectrum and non-radiative transitions in the Cr3+-doped ionic-covalent crystals. // Solid State Communications 2008, 146, 298.

8 Грибов.Л.А.Электронно-колебательные спектры многоатомных молекул/ Грибов.Л.А., Баранов В.И., Зеленцов Д.Ю. М.: Наука, 2000. С.197-201.

9 Sugano S., Tanabe Y. Multiples of Transition-Metal Ions in Crystals. Academic Press, N.-Y. and London, 2003, 285 pp.

10 Сущинский М. М. Спектры комбанационного рассеяния света молекул и кристаллов. - М.: Наука, 2000.-576 с.

11 Жижин Г.Н. Оптические колебательные спектры кристаллов/ Жижин Г.Н., Маврин Б.Н., Шабанов В.Ф. - М.: Наука, 2004.- 232 с.

12 Китайродский А.И. Молекулярные кристаллы. - М.: Наука, 2001. - 424 с.

13 Применение спектров комбинационного рассеяния / Под редакцией А.Андерсона и К.И. Петрова. - М.: Мир, 2000. - 586 с.

14 Борн М. Динамическая теория кристаллических решеток. - М.: ИЛ, 2000. - 488 с.

15 Zhizhin G.N. Optical spectra and lattice dynamics of molecular crystals. Vibrational spectra and structure / Zhizhin G.N., Muktarov E.I., Eds. J.R. Durig. A series of advances, V. 21.- Amsterdam: ELSEVIER, 2003.- 490 p.

16 Авадов Д.И. Изучение оптических свойств примесных ионов переходных металлов в кристаллах.-Краснодар, 2008, 99с.

17 Шаскольская М.П. Кристаллография. - М.: Высшая школа. 2000.- 391с.

18 Horning D.F. // J.Chem.Phys. - 2000. - V.16, №11. - P. 1063-2076.

19 Варшалович Д. А. Квантовая теория углового момента / Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский. -М: Наука, 2000, 441с.

20 В.С. Бабиченко Кулоновские корреляции и электронно - дырочная жидкость в двойных квантовых ямах/В.С.Бабиченко, И.Я. Полищук,Письма в ЖЭТФ, том 97, вып.11, с.726-731.

Размещено на Allbest.ru