Момент инерции
Момент силы и уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Плоское движение твердого тела. Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки. Закон сохранения момента импульса. Аналогии поступательного и вращательного движений.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 13.09.2015 |
| Размер файла | 189,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
1. Определение момента инерции
Момент инерции тела относительно неподвижной оси - физическая величина, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси и являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении
.(1)
Рисунок 1 - Разбиение тела на элементарные массы
Суммирование производится по всем элементарным массам , на которые можно разбить тело.
Момент инерции - величина аддитивная: момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.
Момент инерции тела в случае непрерывного распределения масс
, (2)
где с - плотность тела в данной точке; dm=сdV - масса малого элемента тела объемом dV, отстоящего относительно оси вращения на расстоянии r.
Интегралы берутся по всему объему тела, причем величины с и r являются функциями точки (например, декартовых координат х, у и z).
Момент инерции сплошного цилиндра.
Рисунок 2 - К расчету момента инерции сплошного цилиндра
Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра
, (),
объем элементарного цилиндра
2рrh dr,
его масса
dm = 2рrhс dr и
dI=2рhсr3 dr (с - плотность материала).
Момент инерции сплошного цилиндра
.
Поскольку - объем цилиндра, его масса , а
. (3)
Теорема Штейнера.
Момент инерции тела I относительно любой оси вращения равен моменту его инерции Ic относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями.
.(4)
Таблица 1. Моменты инерции однородных тел
|
Тело |
Положение оси вращения |
Момент инерции |
|
|
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R |
Ось симметрии |
||
|
Сплошной цилиндр или диск радиуса R |
Ось симметрии |
||
|
Прямой тонкий стержень длиной l |
Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину |
||
|
Шар радиуса R |
Ось проходит через центр шара |
Прямоугольная тонкая пластинка со сторонами а и b |
Размещено на http://www.allbest.ru/
Кинетическая энергия вращающегося твердого тела.
Тело вращается вокруг неподвижной оси . Мысленно разбиваем это тело на элементарные массы находящиеся на расстоянии . При вращении твердого тела элементарные объемы массами опишут окружности радиусов .
Рисунок 3 - Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Кинетическая энергия -й элементарной массы
.(5)
Линейная скорость элементарной массы равна
(угловая скорость вращения всех элементарных объемов одинакова).
Кинетическая энергия вращающегося твердого тела.
(6)
Учли, что
,
- момент инерции тела относительно оси
.(7)
Из сравнения формул
и
следует, что момент инерции - мера инертности тела при вращательном движении.
Плоское движение твердого тела.
Плоским называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Произвольное плоское движение можно представить как совокупность поступательного движения и вращения. Разбиение движения на поступательное и вращательное можно осуществить множеством способов, отличающихся значениями скорости поступательного движения, но соответствующих одной и той же угловой скорости . Поэтому можно говорить об угловой скорости вращения твердого тела, не указывая через какую точку проходит ось вращения. Тогда формула для скорости точек относительно неподвижной системы отчета будет иметь вид:
,
где - скорость центра масс тела, - угловая скорость тела. Кинетическая энергия тела при плоском движении - складывается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.
, (8)
где - масса тела; - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс.
2. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела
Момент силы.
Момент силы относительно неподвижной точки - физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки в точку приложения силы, на силу .
- осевой вектор (псевдовектор), его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .
Модуль вектора момента силы
,(9)
где - угол между и , - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой - плечо силы.
Рисунок 4 - Момент силы относительно неподвижной очки О
Рисунок 5 - Момент силы относительно неподвижной оси
Момент силы относительно неподвижной оси - скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки данной оси .
Значение момента не зависит от выбора положения точки на оси .Если ось совпадает с направлением вектора , то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:
.
Уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
Сила приложена к точке , находящейся от оси на расстоянии , - угол между направлением силы и радиусом-вектором (смотри рисунок 6). Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела.
При повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения силы проходит путь и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:
.
Учитывая, что
,
получаем
(10)
Рисунок 6 - К вычислению работы при вращении тела
Уравнение динамики вращательного движения твердого тела:
.(11)
Момент сил твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловое ускорение.
Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии:
,
,
Тогда
,
или
.
Так как угловая скорость
,
то
.
Момент импульса.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки - физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора материальной точки, проведенного из точки , на импульс
этой материальной точки
(12)
Модуль вектора момента импульса
,(13)
где б - угол между векторами и ; - плечо импульса. Перпендикуляр опущен из точки на прямую, вдоль которой направлен импульс частицы.
Рисунок 7 - Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки О
- осевой вектор (псевдовектор), его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси z - скалярная величина Liz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки данной оси z.
Рисунок 8 - Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси z
Значение момента импульса Liz не зависит от положения точки О на оси z.
Момент импульса отдельной точки вращающегося абсолютно твердого тела
.(14)
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса с некоторой скоростью . Скорость и импульс перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус - плечо вектора . Тогда момент импульса отдельной частицы и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.
Момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси z - сумма моментов импульса отдельных его частиц относительно той же оси.
,(15)
равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость
.(16)
Учтем, что
,
где - момент инерции тела относительно оси z, - угловая скорость.
сила динамика вращательный импульс
Таблица 2. Аналогия в описании поступательного и вращательного движений
|
Поступательное движение |
Вращательное движение |
|||
|
Масса |
m |
Момент инерции |
||
|
Скорость |
Угловая скорость |
|||
|
Ускорение |
Угловое ускорение |
|||
|
Сила |
Момент силы |
|||
|
Основное уравнение динамики |
Основное уравнение динамики |
|
||
|
Работа |
Работа |
|||
|
Кинетическая энергия |
Кинетическая энергия |
Закон сохранения момента импульса.
Еще одна форма записи уравнения динамики вращательного движения твердого тела - производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту силы относительно той же оси
.(17)
Продифференцировав
по времени, получим записанное выражение:
.(18)
Производная вектора момента импульса твердого тела равна моменту (сумме моментов) внешних сил
.(19)
Закон сохранения момента импульса:
.(20)
Момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.
В замкнутой системе момент внешних сил
и
,
откуда
.
Закон сохранения момента импульса - фундаментальный закон природы.
Закон сохранения момента импульса - следствие изотропности пространства.
Изотропность пространства - инвариантность физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).
Некоторые демонстрации закона сохранения момента импульса.
Человек, сидящий на скамье Жуковского (она с малым трением вращается вокруг вертикальной оси) и держащий в вытянутых руках гантели, приведен во вращение с угловой скоростью . Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы уменьшится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется
и угловая скорость вращения возрастает. Человек, стоящий на скамье Жуковского (она с малым трением вращается вокруг вертикальной оси), держит в руках колесо, вращающееся вокруг горизонтальной оси. Начальный момент импульса . Если поднять вращающееся колесо (рисунок 9б), то остается равным нулю (поворот колеса осуществляется за счет внутренних сил) и скамья начнет вращаться в направлении, противоположном направлению вращения колеса с угловой скоростью , удовлетворяющей равенству
где - момент инерции колеса; - угловая скорость колеса; - момент инерции системы «человек + скамья»).
а)
б)
Рисунок 9 - Демонстрации закона сохранения момента импульса
Гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.
Рекомендуемая литература
1. Н.И. Гольдфарб. Физика. Задачник. 9-11 классы. М.: Дрофа, 2006.
2. И.Е. Иродов. Механика. Основные законы. М.-С-Пб.: БИНОМ- Лаборатория знаний, 2005.
3. И.В. Савельев. Курс общей физики. Кн. 1. Механика. C-Пб.-М.-Краснодар: ЛАНЬ, 2007.
4. Т.И. Трофимова. Физика в таблицах и формулах. М.: Дрофа, 2002.
5. Т.И. Трофимова. Курс физики: учебное пособие для вузов. М.: Издательский центр «Академия», 2006.
6. Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова. Сборник задач по курсу физики с решениями: учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2001.
7. В.С. Волькенштейн. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 2000.
8. И.В. Савельев. Сборник вопросов и задач по общей физике. М.: АСТ Астрель, 2005.
9. Е.И. Бабаджан и др. Сборник качественных вопросов и задач по общей физике. М.: Физматлит, 2005.
10. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. C-Пб.-М.-Краснодар: ЛАНЬ, 2006.
11. Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Сборник задач по физике с решениями для втузов. М.: ОНИКС 21 век, Мир и Образование, 2005.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Момент инерции тела относительно неподвижной оси в случае непрерывного распределения масс однородных тел. Теорема Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Плоское движение твердого тела. Уравнение динамики вращательного движения.
презентация [163,8 K], добавлен 28.07.2015Вывод формулы для нормального и тангенциального ускорения при движении материальной точки и твердого тела. Кинематические и динамические характеристики вращательного движения. Закон сохранения импульса и момента импульса. Движение в центральном поле.
реферат [716,3 K], добавлен 30.10.2014Динамика вращательного движения твердого тела относительно точки, оси. Расчет моментов инерции некоторых простых тел. Кинетическая энергия вращающегося тела. Закон сохранения момента импульса. Сходство и различие линейных и угловых характеристик движения.
презентация [913,5 K], добавлен 26.10.2016Различие силы тяжести и веса. Момент инерции относительно оси вращения. Уравнение моментов для материальной точки. Абсолютно твердое тело. Условия равновесия, инерция в природе. Механика поступательного и вращательно движения относительно неподвижной оси.
презентация [155,5 K], добавлен 29.09.2013Законы сохранения импульса и момента импульса. Геометрическая сумма внутренних сил механической системы. Законы Ньютона. Момент импульса материальной точки. Изотропность пространства. Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси.
презентация [337,7 K], добавлен 28.07.2015Кинетическая энергия вращения твердого тела и момент инерции тела относительно нецентральной оси. Основной закон динамики вращения твердого тела. Вычисление моментов инерции некоторых тел правильной формы. Главные оси и главные моменты инерции.
реферат [287,6 K], добавлен 18.07.2013Сущность механического, поступательного и вращательного движения твердого тела. Использование угловых величин для кинематического описания вращения. Определение моментов инерции и импульса, центра масс, кинематической энергии и динамики вращающегося тела.
лабораторная работа [491,8 K], добавлен 31.03.2014Основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Изучение методических рекомендаций по решению задач. Определение момента инерции системы, относительно оси, перпендикулярной стержню, проходящей через центр масс.
реферат [577,9 K], добавлен 24.12.2010Динамика вращательного движения твердого тела относительно точки и оси. Расчет моментов инерции простых тел. Кинетическая энергия вращающегося тела. Закон сохранения момента импульса. Сходство и различие линейных и угловых характеристик движения.
презентация [4,2 M], добавлен 13.02.2016Два основных вида вращательного движения твердого тела. Динамические характеристики поступательного движения. Момент силы как мера воздействия на вращающееся тело. Моменты инерции некоторых тел. Теорема Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося тела.
презентация [258,7 K], добавлен 05.12.2014Поиск эффективных методов преподавания теории вращательного движения в профильных классах с углубленным изучением физики. Изучение движения материальной точки по окружности. Понятие динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 04.05.2011Экспериментальное изучение динамики вращательного движения твердого тела и определение на этой основе его момента инерции. Расчет моментов инерции маятника и грузов на стержне маятника. Схема установки для определения момента инерции, ее параметры.
лабораторная работа [203,7 K], добавлен 24.10.2013Основы движения твердого тела. Сущность и законы, описывающие характер его поступательного перемещения. Описание вращения твердого тела вокруг неподвижной оси посредством формул. Особенности и базовые кинематические характеристики вращательного движения.
презентация [2,1 M], добавлен 24.10.2013Определение вязкости глицерина и касторового масла, знакомство с методом Стокса. Виды движения твердого тела. Определение экспериментально величины углового ускорения, момента сил при фиксированных значениях момента инерции вращающейся системы установки.
лабораторная работа [780,2 K], добавлен 30.01.2011Изучение кинематики и динамики поступательного движения на машине Атвуда. Изучение вращательного движения твердого тела. Определение момента инерции махового ко-леса и момента силы трения в опоре. Изучение физического маятника.
методичка [1,3 M], добавлен 10.03.2007Теоремы об изменении кинетической энергии для материальной точки и системы; закон сохранения механической энергии. Динамика поступательного и вращательного движения твердого тела. Уравнение Лагранжа; вариационный принцип Гамильтона-Остроградского.
презентация [1,5 M], добавлен 28.09.2013Основы динамики вращений: движение центра масс твердого тела, свойства моментов импульса и силы, условия равновесия. Изучение момента инерции тел, суть теоремы Штейнера. Расчет кинетической энергии вращающегося тела. Устройство и принцип работы гироскопа.
презентация [3,4 M], добавлен 23.10.2013Изучение основных задач динамики твердого тела: свободное движение и вращение вокруг оси и неподвижной точки. Уравнение Эйлера и порядок вычисления момента количества движения. Кинематика и условия совпадения динамических и статических реакций движения.
лекция [1,2 M], добавлен 30.07.2013Применение стандартной установки универсального маятника ФПМО-4 для экспериментальной проверки теоремы Штейнера и определения момента инерции твердого тела. Силы, влияющие на колебательное движение маятника. Основной закон динамики вращательного движения.
лабораторная работа [47,6 K], добавлен 08.04.2016Характеристика организации экспериментальной проверки уравнения динамики вращательного движения твердого тела. Особенности экспериментального и расчетного определения значения момента инерции. Условия проведения эксперимента, принимаемые допущения.
лабораторная работа [18,3 K], добавлен 28.03.2012
