Движение в пространстве. Движение материальной точки по окружности

Размещено на http://www.allbest.ru//

Движение в пространстве. Способы задания положения тел в пространстве (векторный способ, координатный способ, «естественный» способ)

Материальная точка это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Например, в одних задачах Землю можно считать материальной точкой, а в других - нельзя.

Механическое движение - изменение положения тел в пространстве относительно других тел. Рассмотрим для начала способы задания положения тел в пространстве (идет речь о материальных точках).

Обратимся к рис.1(а,б).

Рис. 1

На рис.1 (а) показаны декартовы координаты х, у точки А на плоскости. Здесь же приведен радиус-вектор этой точки А. Видно, что координаты радиус-вектора точки А совпадают с ее декартовыми координатами.

На рис. 1 (б) приведены проекции на оси координат произвольного вектора (проведенного не из начала координат).

Радиус - вектор удобно разлагать по осям координат с помощью единичных векторов- ортов. Рассмотрим рис.3.

Рис. 3

Здесь - единичные векторы (орты) декартовой системы координат в пространстве. Тогда разложение радиус-вектора по ортам выглядит следующим образом:

.

Рассмотрим теперь способы задания положения точки в пространстве.

1. Векторный способ.

В этом способе следует задать начало отсчета - точку О. Тогда положение некоторой точки А относительно этого начала отсчета можно задать с помощью радиус-вектора, как показано на рис.4. Таким образом, задается зависимость .

Рис. 4

Геометрическое место точек концов радиус-вектора называется траекторией. Введем вектор перемещения, как . Назовем средней скоростью движения величину:

.

Видно, что направление средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения.

Если уменьшать интервал времени , то в пределе получим мгновенную скорость следующим образом:

.

Мгновенная скорость представляет собой производную по времени от радиус-вектора.

Существует и обратная задача - зная ускорение в виде зависимости , найти скорость и перемещение тела. Для решения этой задачи воспользуемся интегральным исчислением. По определению и правую часть этого выражения можно рассматривать, как производную скорости по времени, с другой стороны, ее можно рассматривать как отношение двух бесконечно малых величин - дифференциала (бесконечно малого приращения) скорости dV и дифференциала (бесконечно малого приращения) времени dt. Тогда следует очевидное: .

Отсюда можно записать при V0 =0:

.

Найдем теперь перемещение тела, используя определение мгновенной скорости:

.

Тогда можем записать , или окончательно . Поскольку для модуля мгновенной скорости можем записать

,

где S - путь, пройденный телом вдоль траектории, то величину этого пути можно найти с помощью следующего выражения:

.

2. Координатный способ.

Задавим начало отсчета точку О, и свяжем с ней декартову систему координат в пространстве (рис. 5).

Рис. 5

Тогда, зная зависимости координат частицы от времени, можно рассчитать ее скорость и ускорение в любой другой момент времени следующим образом:

и

и .

Также это дает возможность рассчитать направление векторов скорости и ускорения по формулам:

, , .

3. «Естественный» способ.

Это способ задания положения точки в пространстве с помощью параметров траектории. Рассмотрим рис.6.

Рис. 6

Точка О задает начало отсчета для движения вдоль траектории точки А. Измеряя длину траектории l от начала О до положения точки в данный момент времени, можно задавать положение точки в любой момент времени.

Введем единичный вектор касательной к траектории в данной точке . При движении вдоль траектории произвольной формы меняется направление этого вектора , следовательно, он изменяется во времени.

Поскольку, по определению, мгновенная скорость является производной перемещения по времени, а вектор перемещения совпадает с хордой, соединяющей два последовательных положения тела А и В, то направление вектора скорости в данной точке совпадает с предельным положение хорды, т.е. с касательной (см. рис. 7).

Рис. 7

Можем теперь написать . Здесь V- модуль вектора скорости. Более точной является запись .

Найдем мгновенное ускорение точки по формуле:

.

Чисто формально ( с точки зрения математики) ускорение разделилось на две составляющие его части. Попытаемся найти физический смысл каждой составляющей. Первое слагаемое назовем тангенциальным, поскольку его направление совпадает с направлением касательной к траектории движения точки. Выясним более подробно смысл величины , являющейся производной единичного вектора касательной по времени.

Поскольку существует связь модуля угловой и линейной скорости (), то можем записать:

.

Теперь для полного ускорения можем записать следующую формулу:

.

Здесь - тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траектории в данной точке. Оно определяет изменение модуля скорости.

Другая составляющая полного ускорения

,

где - единичный вектор нормали к касательной в данной точке траектории (см. рис. 8).

Рис. 8

Полное ускорение теперь записывается в виде:

= + .

Кинематика движения материальной точки по окружности

движение пространство окружность

Рассмотрим движение материальной точки по окружности радиуса R. Если движение происходит с постоянной по модулю скоростью, то можно ввести понятие периода Т, как времени, за которое тело совершает один полный оборот. Число оборотов в единицу времени называют частотой . Далее можно ввести понятие угловой скорости вращения по окружности (см. рис. 9):

Рис. 9

Если угловая скорость изменяется, то вводится угловое ускорение . Можно найти связь между угловой и линейной скоростью движения по окружности. Модуль линейной скорости равен:

.

Найдем общую связь между векторами угловой и линейной скорости. Введем понятие вектора угловой скорости - следующим образом - это вектор, направленный по оси вращения по правилу правого винта, а его модуль равен производной угла поворота по времени. Рассмотрим рис. 10, где положение точки на окружности описывается с помощью радиус-вектора .

Рис. 10

Рассмотрим формально следующее векторное произведение:

.

Его модуль равен , а направлен он по оси вращения. Таким образом, это и есть общая связь векторов угловой и линейной скорости.

Прежде чем решать задачу на конкретный раздел, надо повторить теоретический материал в соответствии с приведенными выше основными физическими понятиями. Далее следует начинать анализ задачи с выяснения того, что является объектом изучения, какие тела или системы тел описывают исследуемый процесс, какие величины его определяют, каково направление процесса. Только после этого можно установить, каким физическим законам подчиняются описываемые явления. Такой анализ позволяет в конечном счете выбрать оптимальный метод решения поставленной задачи.

Следует помнить, что систему координат необходимо выбирать в зависимости от условия задачи, чтобы упростить математическое решение. Законы движения в координатной форме содержат не путь, пройденный движущимся телом, а его координаты. Если закон движения найден, то можно рассчитать и построить траекторию движения тела, предварительно найдя ее уравнение. С другой стороны, если известны скорость или ускорение в зависимости от времени, то можно решать и обратную задачу динамики - найти перемещение тела.

При использовании законов Ньютона особое внимание следует уделять анализу сил, действующих на тело. Этот анализ должен включать в себя: происхождение сил - в результате взаимодействия с каким телом возникла данная сила; природу сил - тяготение, упругость, трение; характер - от каких величин и как зависит данная сила.

Уравнения второго закона Ньютона следует записывать в векторной форме, а уже затем переходить с проекциям на соответствующие оси системы координат. Законы Ньютона справедливы только для инерциальных систем отсчета. Почти во всех задача, кроме специальных разделов - неинерциальных систем отсчета - Землю следует считать инерциальной системой отсчета. При описании движения тел, связанных между собой, второй закон Ньютона целесообразно применять к каждому телу отдельно, установив предварительно связь между координатами и кинематическими характеристиками тел.

Использовать законы сохранения энергии, импульса и момента импульса наиболее целесообразно в тех случаях, когда не известны силы взаимодействия тел. Во многих случаях методы решения задачи - использование законов Ньютона и законов сохранения - равноправны. Выбор метода и пути решения каждой конкретной задачи возможен только после детального качественного обсуждения условия задачи начиная с анализа сил, действующих на каждое тело. Такой анализ показывает, целесообразно ли рассматривать каждое тело в отдельности, либо систему тел.

Закон сохранения импульса можно применять, строго говоря, только к замкнутым системам, т.е. к таким системам, на которые не действуют внешние силы. Природа внутренних сил не является существенной. Закон сохранения момента импульса выполняется в тех случаях, когда сумма моментов внешних сил равна нулю. При движении в центральном поле момент импульса системы точек относительно центра масс остается постоянным.

Система тел, механическая энергия которой постоянна, называется консервативной. Условие консервативности - отсутствие перехода механической энергии в другие виды энергии и обмена энергией с телами, не принадлежавшими данной системе. Первое условие выполняется тогда, когда между телами системы действуют силы, модуль и направление которых зависят только от координат взаимодействующих тел, т.е. консервативные силы, либо когда внутренние консервативные силы не совершают работы. Второе условие выполняется тогда, когда алгебраическая сумма работ всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

В неконсервативных системах изменение полной механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех внешних сил и внутренних неконсервативных сил.

Если энергия системы включает потенциальную энергию тел во внешнем консервативном поле, то можно говорить о законе сохранения энергии одного тела, находящегося во внешнем консервативном поле, в частности, в поле тяжести Земли.

В задачах на динамику твердого тела рассматривается плоское движение тела - вращательное и поступательное. Решение задач этого раздела возможно как «силовым» методом, так и с помощью законов сохранения. Можно записывать второй закон Ньютона для центра масс твердого тела, и основное уравнение динамики вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Выбор метода и пути решения каждой конкретной задачи возможен только после детального обсуждения и анализа сил, действующих на тело, и точки приложения этих сил.

Размещено на Allbest.ru