Спектри та властивості нормальних електропружних хвиль в п'єзокерамічних циліндричних хвилеводах з перерізами ускладненої геометрії

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

01.02.04. - механіка деформівного твердого тіла

УДК 539.3:534.1

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

СПЕКТРИ ТА ВЛАСТИВОСТІ НОРМАЛЬНИХ ЕЛЕКТРОПРУЖНИХ ХВИЛЬ В П'ЄЗОКЕРАМІЧНИХ ЦИЛІНДРИЧНИХ ХВИЛЕВОДАХ З ПЕРЕРІЗАМИ УСКЛАДНЕНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

Пузирьов Володимир Володимирович

Донецьк 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Донецькому національному університеті, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор, СТОРОЖЕВ Валерій Іванович, Донецький національний університет, декан математичного факультету, завідувач кафедри теорії пружності і обчислювальної математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України ШУЛЬГА Микола Олександрович, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (м. Киів), завідувач відділу електропружності;

кандидат фізико-математичних наук, доцент МОІСЕЄНКО Віктор Олексійович, Донбаська національна академія будівництва і архітектури (м.Макіївка), доцент кафедри вищої і прикладної математики та інформатики.

Захист відбудеться “26” грудня 2008 р. о 14.30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.051.05 в Донецькому національному університеті за адресою: 83001, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, головний корпус, математичний факультет, ауд. 603.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Донецького національного університету (83001, м. Донецьк, вул. Університетська, 24).

Автореферат розісланий “25” листопада 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Ю.В. Мисовський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

трансформація хвиля спектр

Актуальність теми. П'єзоактивні деформівні циліндричні тіла є важливими доволі розповсюдженими конструкційними елементами в акустоелектронних пристроях, вимірювальних приладах, пристроях для ультраакустичної дефектоскопії, вібраційних машинах. Їх застосування у якості хвилеводів і резонаторів, визначення відповідних принципів функціонування, розрахунки конструкційних робочих параметрів мають спиратися на розгалужену базу знань щодо процесів розповсюдження хвиль електромеханічних деформацій у п'єзоактивних, найчастіше п'єзокерамічних циліндрах. Засобами одержання необхідних хвилеводних властивостей п'єзоелектричних циліндрів для різноманітних практичних застосувань є варіація їх фізико-механічних та геометричних параметрів. Актуальними є також фундаментальні теоретичні дослідження властивостей п'єзоактивних циліндричних хвилеводів з позицій внутрішньої логіки розвитку хвилевої механіки суміжних полів. Загалом це визначає важливість теоретичних досліджень щодо закономірностей хвилевих процесів у п'єзокерамічних циліндрах з різноманітними формами перерізів. Але на сучасному етапі розвитку хвилевої механіки електропружних середовищ переважна більшість робіт у цій царині стосується хвилеводів кругового і концентричного кільцевого перерізу з осьовою або радіальною поляризацією. Відсутність розгалужених досліджень щодо закономірностей розповсюдження нормальних електропружних хвиль у п'єзокерамічних циліндричних хвилеводах неканонічних поперечних перерізів пов'язана зі складністю відповідних крайових задач електропружності та необхідністю подальшої розробки методів їх розв'язання. Таким чином, виходячи з потреб фундаментальної і прикладної науки, в даній дисертаційній роботі розв'язуються актуальні задачі побудови й аналізу дисперсійних співвідношень, що описують спектри нормальних електропружних хвиль у поздовжньо-поляризованих п'єзокерамічних циліндричних хвилеводах з перерізами ускладненої геометрії, з'ясовуються кінематичні, енергетичні та асимптотичні властивості досліджуваних нормальних електропружних хвиль.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження пов'язані з фундаментальними науково-дослідними проектами, фінансованими Міністерством освіти і науки України: «Хвильові процеси у низькосиметричних п'єзокристалічних і п'єзомагнітних тілах просторової геометрії» (2004-2006 рр., номер держреєстрації 0104U0021148); «Нормальні та поверхневі хвилі деформацій у тривимірних анізотропних хвилеводах ускладненої геометричної будови» (2007-2009 рр., номер держреєстрації 0107U001464). Провідні результати роботи включено до звітів за вказаними науково-дослідними проектами.

Метою роботи є розробка і застосування методик побудови та дослідження дисперсійних співвідношень, що описують спектри зв'язаних електропружних нормальних хвиль у поздовжньо-поляризованих п'єзокерамічних циліндричних хвилеводах просторової геометрії з неканонічними перерізами, а також аналіз закономірностей у трансформаціях дисперсійних спектрів, кінематичних і енергетичних характеристик нормальних хвиль обумовлених варіацією сукупності фізико-механічних і геометричних параметрів хвилеводів.

Для досягнення поставленої мети розв'язуються такі наукові завдання:

· формулювання досліджуваних класів крайових задач про дисперсію нормальних пружних хвиль у п'єзокерамічних циліндричних хвилеводах неканонічних поперечних перерізів;

· розробка методик побудови дисперсійних рівнянь, що описують спектри вільних нормальних електропружних хвиль у поздовжньо-поляризованих п'єзокерамічних циліндричних тілах з розглядуваними типами геометрії перерізів і крайових умов на поверхнях хвилеводів;

· одержання аналітичних представлень дисперсійних функцій у вигляді функціональних визначників скінченого або нескінченого порядку;

· побудова рівнянь для критичних частот нормальних хвиль;

· розробка програмних засобів для чисельної комп'ютерної реалізації побудованих методик і візуалізації результатів дослідження спектрів та властивостей нормальних хвиль;

· асимптотичний і чисельний аналіз дисперсійних та частотних рівнянь;

· з'ясування типів високочастотної короткохвилевої локалізації мод нормальних біжучих хвиль у досліджуваних дисперсійних спектрах;

· визначення та узагальнення основних якісних та кількісних перетворень у структурі спектрів, а також кінематичних і енергетичних властивостях нормальних хвиль в залежності від сукупності варійованих параметрів хвилеводів.

Об'єктом дослідження є поляризовані в осьовому напрямку п'єзокерамічні циліндричні хвилеводи кругових та кільцевих перерізів з секторними або сегментними вирізами.

Предметом дослідження є залежності дисперсійних, кінематичних та енергетичних характеристик нормальних електропружних хвиль від фізико-механічних і геометричних параметрів п'єзокерамічних циліндричних хвилеводів з перерізами неканонічної геометрії.

Методами дослідження є апробовані чисельно-аналітичні методи математичної фізики, апарат теорії спеціальних циліндричних функцій з дробовими індексами, методи асимптотичного аналізу коренів квазіполіномів, методи чисельного комп'ютерного аналізу коренів трансцендентних рівнянь, методи комп'ютерної алгебри в середовищі спеціалізованих пакетів, а також методи комп'ютерної візуалізації досліджуваних хвилевих полів.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

· вперше побудовано чисельно-аналітичні розв'язки задач про розповсюдження нормальних електропружних хвиль уздовж осьового напрямку аксіально-поляризованих п'єзокерамічних хвилеводів з круговими або концентричними кільцевими перерізами, які мають секторні вирізи з нерозтяжними гнучкими покриттями границь, а також вільні або закріплені циліндричні ділянки граничної поверхні;

· вперше побудовано чисельно-аналітичні розв'язки задач про розповсюдження нормальних електропружних хвиль уздовж аксіально-поляризованих п'єзокерамічних циліндричних хвилеводів з круговим перерізом, який має сегментний виріз довільних розмірів;

· в аналітичній формі одержано рівняння для критичних частот нормальних біжучих хвиль в аксіально-поляризованих п'єзокерамічних циліндричних хвилеводах кругового перерізу з секторним вирізом довільної кутової міри;

· одержано асимптотичні формули для великих за модулем комплексних коренів дисперсійних рівнянь для п'єзокерамічних циліндричних хвилеводів кругового перерізу з секторним вирізом;

· здійснено розрахунки мод біжучих та крайових стоячих нормальних електропружних хвиль у парціальних дисперсійних спектрах для хвилеводів з досліджуваними типами геометричних і фізико-механічних характеристик та крайових умов на бічних поверхнях;

· описано закономірності якісних і кількісних змін у структурі дисперсійних спектрів, кінематичних і енергетичних властивостях нормальних електропружних хвиль в залежності від сукупності варійованих параметрів хвилеводів.

Вірогідність результатів і висновків роботи забезпечується застосуванням апробованих математичних методів до коректно поставлених задач динамічного електропружного деформування п'єзокерамічних матеріалів. Вірогідність результатів чисельної реалізації запропонованих методик за умов використання точних аналітичних розв'язків рівнянь стаціонарної динаміки електропружних середовищ обґрунтовується контролем ступеня виконання граничних умов на поверхнях хвилеводів та стійкістю результатів розрахунків до похибок обчислень. У окремих випадках аналізується збіг та узгодженість результатів, одержаних в дисертації на підставі запропонованих методик, з відомими опублікованими результатами інших дослідників.

Практичне значення одержаних результатів полягає у можливостях застосування побудованих теоретичних методик, програмних засобів для їх чисельної реалізації, встановлених та узагальнених фізико-механічних закономірностей в прикладних розробках, пов'язаних з проектуванням та визначенням робочих параметрів п'єзокерамічних конструкційних елементів акустоелектронної техніки, апаратури для ультразвукової дефектоскопії, вимірювальних приладів, вібраційної техніки.

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень, викладені у дисертаційній роботі, було представлено і обговорено: на науковій конференції студентів математичного факультету Донецького національного університету (м. Донецьк, 2004), IX Міжнародній конференції “Стійкість, управління і динаміка твердого тіла” (м. Донецьк, 2005), Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми математики, механіки, інформатики” (м. Тула, 2005), IV Міжнародній науковій конференції “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (м. Донецьк, 2006), IX Всеросійському з'їзді з теоретичної та прикладної механіки (м. Нижній Новгород, 2006), науковій конференції молодих учених і студентів з диференціальних рівнянь, присвяченій 100-річному ювілею Я. Б. Лопатинського (м. Донецьк, 2006), Міжнародній конференції “Класичні задачі динаміки твердого тіла” (м. Донецьк, 2007), Міжнародному акустичному симпозіумі “Консонанс-2007” (м. Київ, 2007), Міжнародній науковій школі-конференції “Тараповські читання” (м. Харків, 2008).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалась на об'єднаних наукових семінарах кафедр теорії пружності і обчислювальної математики, прикладної механіки і комп'ютерних технологій Донецького національного університету та відділу аналітичних методів механіки гірничих порід Інституту прикладної математики і механіки НАН України (м. Донецьк, 2006-2008), науковому семінарі відділу електропружності Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (м. Київ, 2008).

Публікації та особистий внесок здобувача. За результатами досліджень, представлених в дисертаційній роботі, опубліковано 13 наукових робіт, серед яких 4 статті у визнаних ВАК фахових виданнях [1-4], 9 публікацій в збірниках матеріалів і тез наукових конференцій [5-13].

Основні результати дисертаційної роботи отримано автором самостійно. У роботі [13] співавторові науковому керівнику В.І. Сторожеву належить участь у постановці задач та обговоренні одержаних результатів і висновків, а здобувачеві - всі аналітичні перетворення, числові розрахунки та узагальнення одержаних результатів. У роботі [1] співавторові І.О. Моісеєнку належать рекомендації з напрямку проведення досліджень та участь в обговоренні конкретних результатів і висновків, а здобувачем одержано аналітичні розв'язки, проведено числові розрахунки, аналіз та узагальнення досліджуваних ефектів. Співавторові Р.Р. Троян у роботах [6, 9] належать результати, що стосуються проблеми дослідження дисперсійних властивостей неп'єзоактивних циліндричних хвилеводів секторного перерізу, а здобувачеві - результати з проблеми розповсюдження нормальних електропружних хвиль у п'єзоактивних циліндричних хвилеводах зазначеної геометрії.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних літературних джерел із 163 найменувань. Загальний обсяг дисертації становить 162 сторінки, з яких 144 сторінки основного тексту, 155 рисунків, 2 таблиці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи, обґрунтовано актуальність теми дослідження, вказано на її зв'язок з науковими проектами; сформульовано мету та завдання дослідження; визначено об'єкт, предмет та методи дослідження; охарактеризовано наукову новизну, обґрунтованість та достовірність наукових положень, висновків та результатів роботи, її наукове та практичне значення; наведено дані про апробацію результатів та публікацію матеріалів дослідження, а також особистий внесок автора в публікації за темою дисертації, які виконані у співавторстві; викладено коротку анотацію змісту роботи.

У першому розділі дисертаційної роботи міститься аналітичний огляд основних методів та результатів досліджень, пов'язаних з її темою. Зазначено, що підґрунтям для дисертаційного дослідження, яке має комплексний характер, є роботи з фундаментальних проблем хвилевої механіки пружних середовищ і теорії пружних хвилеводів В.А. Бабешка, О.В. Білоконя, О.О. Ватульяна, І.І. Воровича, І.П. Гетмана, Є.В. Глушкова, О.Я. Григоренка, В.Т. Гринченка, Н.С. Городецької, О.М. Гузя, Г.Л. Коміссарової, О.С. Космодаміанського, В.Д. Кубенка, В.В. Мелешка, Л.О. Молоткова, А.Н. Наседкіна, Г.І. Петрашеня, В.І. Пожуєва, І.Т. Селезова, І.К. Сенченкова, В.І. Сторожева, А.Ф. Улітка, Ю.А. Устинова, М.О. Шульги, J.D. Achenbach, B.A. Auld, C. Chree, D.S. Datta, P.C.Y. Lee, J. Miklowitz, R.D. Mindlin, I. Mirsky, L. Pochhammer, M. Redwood, R.J. Talbot, J. Zemanek, а також роботи з динамічних проблем механіки зв'язаних полів, насамперед проблем динаміки п'єзоактивних середовищ, Д.І. Бардзокаса, О.Ю. Жарія, Н.Ф. Івіної, В.Г. Карнаухова, У. Кеди, Б.О. Кудрявцева, Ф.Г. Махорта, У. Мезона, В.З. Партона, М.О. Сеника, А.С. Соловйова, А.Ф. Улітка, Л.А. Фильштинського, М.О. Шульги. Частково дослідженій проблемі хвилеводних властивостей неп'єзоактивних та п'єзоелектричних циліндрів неканонічної геометрії присвячено роботи Г.Г. Влайкова, О.Я. Григоренка, О.М. Гузя, K. Nagaya, H.S. Paul, R.L. Weaver. На підставі аналізу стану проблеми визначено сучасні актуальні наукові задачі теорії п'єзоактивних хвилеводів з ускладненою геометрією перерізів, які попри важливість у фундаментальному і прикладному сенсі за провідними аспектами залишаються відкритими. Надалі розділ містить математичну і фізичну постановку досліджуваних задач та характеристику обраної для їх розв'язання методології. Розглядаються хвилеводи, переріз яких має кругову форму з секторним вирізом і відповідно займає область ; концентричну кільцеву форму з секторним вирізом ; кругову форму з сегментним вирізом .

Загальний підхід, обраний для розв'язання поставлених задач, ґрунтується на використанні точних аналітичних розв'язків системи рівнянь розповсюдження гармонічних хвиль уздовж осі симетрії механічних властивостей у п'єзокерамічному середовищі класу

, ,(1)

,

, ,

,

, ,

, ,

, ,

з яких визначаються амплітудні функції у представленнях компонент вектору пружних переміщень та потенціалу квазістатичного електричного поля , в гармонічних електропружних хвилях.

Досліджувані граничні задачі для системи (1) в областях мають наступні типи крайових умов на циліндричній ділянці зовнішньої бічної поверхні , циліндричній ділянці внутрішньої бічної поверхні , поверхнях секторного вирізу , поверхні сегментного вирізу :

· поверхні мають гнучкі нерозтяжні електропровідні покриття, а поверхня є закріпленою та електродованою

, ;(2)

· поверхні мають гнучкі нерозтяжні електропровідні покриття, а поверхня є електродованою та вільною від механічних напружень

, ;(3)

· поверхні мають гнучкі нерозтяжні електропровідні покриття, а поверхні та є закріпленими та електродованими

, ;(4)

· поверхні мають гнучкі нерозтяжні електропровідні покриття, а поверхні та є електродованими та вільними від механічних напружень

, ;(5)

· поверхні та є закріпленими та електродованими

, ;(6)

· поверхня є закріпленою та електродованою, а поверхня має гнучке нерозтяжне електропровідне покриття

, .(7)

Інтегрування системи (1) здійснюється із застосуванням введених М.О. Шульгою узагальнених хвилевих потенціалів

, , , ,(8)

які мають представлення

, .(9)

через метагармонічні функції .

Дисперсійні рівняння у кожному з конкретних випадків досліджуваних граничних задач випливають із крайових умов (2) - (7) на підставі обрання метагармонічних функцій у певній необхідній формі.

До другого розділу дисертаційної роботи включено дослідження дисперсійних, кінематичних та енергетичних властивостей нормальних хвиль у циліндричних хвилеводах з перерізами типу на підставі аналізу спектральних граничних задач з крайовими умовами (2), (3). При дослідженнях окремо виділяються незалежні підмножини симетричних та антисиметричних хвиль, які відповідно характеризуються протилежною симетрією функцій характеристик за координатами у перерізі, а саме для S-хвиль , , , ; для A-хвиль , , , .

При дослідженні спектрів хвиль S- та A-типів, які визначаються спектральною крайовою задачею (1), (2), відповідно вводяться представлення через циліндричні бесселеві функції першого роду з дробовими індексами:

, , (10)

, , (11)

; .

Зазначені представлення забезпечують тотожне виконання граничних умов для на поверхнях секторного вирізу, а граничні умови на жорстко закріпленій циліндричній ділянці граничної поверхні трансформуються в однорідну систему чотирьох функціональних рівнянь. Ці рівняння містять довільні сталі , а їх ліві частини представлені розкладами в ортогональні тригонометричні ряди. Зазначена властивість спрощує алгебраїзацію функціональних рівнянь на підставі методу Гальоркіна і дозволяє отримати при кожному окремому значенні однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь для коефіцієнтів . Шукані парціальні дисперсійні співвідношення випливають з умов існування нетривіальних розв'язків зазначених систем і у підсумку мають форму рівностей нулеві відповідних функціональних визначників зі структурою

, (12)

де, зокрема, у випадку S-хвиль

, …, .

Для кожної сукупності , що задовольняє рівнянню (12), представлення (10) містить визначені з точністю до постійного масштабного множника значення коефіцієнтів і характеризує базисну нормальну хвилю з відповідного парціального спектру. За аналогічною схемою у підрозділі 2.1 одержано також парціальні дисперсійні співвідношення, що визначають спектри S- та A-хвиль з крайової спектральної задачи (1), (3) для хвилеводів з вільною від механічних напружень ділянкою циліндричної поверхні.

Далі у підрозділі 2.2 роботи розглянуто питання про можливість існування і типізацію особливостей у формально визначених амплітудних функціях напружено-деформованого стану і квазістатичного електричного поля в електропружних хвилях в околі вершини секторного вирізу. Зокрема встановлено, що незалежно від типу крайових умов на циліндричній ділянці поверхні для базисних S-хвиль у формальних представленнях функцій хвилевих переміщень , особливості степеневого типу з порядком наявні у випадках хвилеводів кутової міри для хвиль зі значенням окружного показника змінюваності . Визначено також можливості існування особливостей у функціях динамічних напружень для базисних нормальних хвиль з досліджуваних парціальних спектрів.

У підрозділі 2.3 за допомогою методів аналізу коренів квазіполіномів побудовано асимптотичні представлення типу

(13)

для великих за модулем комплексних коренів дисперсійних рівнянь, що визначають парціальні спектри.

Підрозділ 2.4 присвячено дослідженню множин критичних частот нормальних електропружних хвиль. Показано, що нормальні хвилі при виникненні на критичній частоті поділяються на суто зсувні хвилі без електромеханічного зв'язку з поляризацією у площині перерізу хвилеводу та зв'язані електропружні хвилі зі зміщеннями в осьовому напрямку хвилеводу. Відповідні частоти визначаються з окремо побудованих трансцендентних рівнянь. На підставі здійснених чисельних досліджень проаналізовано розподіли залежностей приведених безрозмірних значень критичних частот від параметру кутового розміру хвилеводу для електропружних хвиль S-типу з окружними показниками змінюваності у жорстко закріплених на хвилеводах з п'єзокераміки і . Символами на наведених графіках розподілів критичних частот (рис 1, 2) позначено частоти хвиль з номером із парціального спектру з показником змінюваності , що на критичній частоті є суто пружними зсувними, а символами - критичні частоти нормальних хвиль, які на критичній частоті є зв'язаними електропружними зі зміщеннями у осьовому напрямку. Встановлено, що шляхом варіювання параметру можна отримувати різні порядки черговості та щільності взаємного розташування критичних частот нормальних хвиль, проте для хвилеводів з кераміки і з закріпленою поверхнею незалежно від значень параметру трьома нижчими критичними частотами з незмінним порядком черговості є частоти , , .

У підрозділі 2.5 містяться результати розрахунків дійсних, уявних та комплексних гілок парціальних дисперсійних спектрів нормальних електропружних хвиль для хвилеводів з п'єзокераміки та . Обчислення здійснено за допомогою методу бісекції інтервалів зміни знаків реальної та уявної частин дисперсійної функції. Комплексні корені розраховувалися за допомогою ітераційного чисельного методу Вегстейна з використанням даних про точки трансформації комплексних гілок в дійсні або уявні, а також побудованих асимптотичних формул для комплексних коренів.

На підставі аналізу побудованих парціальних спектрів охарактеризовано основні якісні та кількісні зміни в їх структурі, пов'язані з варіюванням кутових розмірів хвилеводів, параметрів п'єзокераміки, типів граничних умов. До виявлених провідних ознак у структурі спектрів відносяться відсутність мод біжучих хвиль з нульовою критичною частотою при будь-яких геометричних параметрах перерізу у парціальних спектрах для хвилеводів з закріпленою поверхнею ; існування в уявній частині спектру ділянок дисперсійних кривих, які візуально об'єднуються в "майже вертикальні" розривні лінії, що є характерним для спектрів зв'язаних електропружних хвиль, визначених раніше для п'єзоактивних хвилеводів типу шару та суцільного циліндру. З'ясовано, що збільшення кутових розмірів перерізу призводить до зниження критичних частот мод біжучих хвиль з однаковими номерами у відповідних парціальних спектрах зі сталими показниками при збереженні у більшості випадків якісної картини розташування дисперсійних кривих; також зменшуються значення , що відповідають розташуванню "майже вертикальних" розривних ліній спектру. Нижчі моди у спектрах S-хвиль з для закріплених хвилеводів з п'єзокераміки (рис. 3, 4) при варіації кутових розмірів зберігають ділянку, що відповідає зворотним хвилям.

Трансформація парціальних спектрів S-хвиль з у хвилеводах з вільною від напружень поверхнею при збільшенні (рис. 5, 6) внаслідок зменшення критичної частоти нижчої моди обумовлює появу дійсної гілки спектру з нульовою критичною частотою при . Критичні частоти мод з однаковими номерами з парціальних спектрів хвиль S- та A-типів зі сталими показниками є нижчими для хвилеводів з вільною поверхнею у порівнянні з випадком її закріплення.

Зіставлення розрахованих діаграм дисперсійних кривих для хвилеводів із п'єзокерамік та дозволяє зробити висновок, що якісна структура парціальних спектрів у цілому зберігається; відмінності в основному мають кількісний характер і найбільш істотною якісною відмінністю є в окремих випадках зміна порядку розташування мод петлевидного та непетлевидного типу.

При аналізі властивостей парціальних дисперсійних спектрів визначено характер ефектів високочастотної короткохвилевої локалізації мод нормальних хвиль. З'ясовано, що характер локалізації хвиль не залежить від кутових розмірів перерізу хвилеводу і пов'язаний з типом граничних умов на його циліндричній поверхні. У випадку закріплення нормовані фазові швидкості біжучих хвиль з усіх досліджених мод парціальних спектрів асимптотично прямують зверху до значення нормованої фазової швидкості об'ємних суто пружних хвиль зсуву вздовж осі симетрії механічних властивостей матеріалу хвилеводу, що на прикладі парціального спектру S-хвиль з ілюструє рис. 7,а. У випадку вільної від напружень поверхні фазові швидкості біжучих нормальних хвиль нижчої моди з усіх розглянутих парціальних спектрів асимптотично прямують до значення нормованої фазової швидкості електропружних поверхневих хвиль релеївського типу вздовж зазначеного напрямку (рис. 7,б). Збільшення кутового розміру перерізу хвилеводу істотно пришвидшує темпи охарактеризованого асимптотичного наближення.

Дослідження амплітудних форм хвилевих рухів та розподілів потоків потужності нормальних електропружних хвиль в областях перерізу хвилеводів здійснено у підрозділі 2.6. Попри теоретичний інтерес воно є важливим для визначення оптимізованих режимів збудження і прийому хвиль даного типу. Розраховані розподіли подано у формі тонованих зображень, на яких збільшенню інтенсивності величини відповідає перехід від світлих відтінків до темних. На підставі аналізу візуалізованих розподілів досліджуваних характеристик визначено розміщення зон їх підвищеної інтенсивності в області перерізу, виявлено тенденції в трансформаціях розподілів для різночастотних хвиль з низки фіксованих мод парціальних спектрів S- та A-хвиль, в трансформаціях, пов'язаних з варіюваннями параметрів та . Побудовані розподіли також дають додаткову інформацію про характер високочастотної локалізації біжучих нормальних електропружних хвиль у різних варіантах асимптотичної поведінки фазових швидкостей (рис. 8).

Третій розділ дисертаційної роботи містить дослідження властивостей нормальних електропружних хвиль у п'єзокерамічних хвилеводах з перерізами геометрії у формі концентричного кільця з секторним вирізом.

При аналізі спектральних крайових задач (1), (4) та (1), (5) з урахуванням геометрії перерізу представлення для метагармонічних функцій у випадку S-хвиль обираються у формі

, (14)

, ,

а у випадку A-хвиль - у формі

, (15)

, .

Дисперсійні рівняння для зазначених спектральних задач за аналогічною до описаної у розділі 2 методикою побудовано у формі рівностей нулеві функціональних визначників восьмого порядку з елементами, вираженими через циліндричні функції першого та другого роду з дробовими індексами.

Розрахунковий аналіз дійсних і уявних гілок в парціальних дисперсійних спектрах S- та A-хвиль для хвилеводів з п'єзокераміки , дослідження трансформації спектрів при варіюванні геометричних характеристик перерізів хвилеводів здійснено у підрозділі 3.2. Для побудованих спектрів виявлено залежність щільності розташування розривних "вертикальних" фрагментів спектру в його уявній частині від співвідношення радіусів зовнішньої та внутрішньої циліндричної поверхні (рис. 9, 13); більш виражені ефекти "розштовхування" вертикальних фрагментів порівняно з випадком хвилеводів суцільного перерізу ; зниження критичних частот мод біжучих електропружних хвиль з однаковими номерами у відповідних парціальних спектрах зі сталими показниками при збільшенні кутових розмірів перерізу (рис. 9, 10 та рис. 11, 12); наявність у спектрах ділянок, що відповідають зворотним хвилям; появу моди з нульовою критичною частотою у спектрі при для хвилеводу кутової міри з вільними від напружень циліндричними поверхнями (рис. 13).

Зі специфіки крайових умов на радіальних ділянках границі з гнучкими нерозтяжними електропровідними покриттями у п'єзокерамічному хвилеводі півкільцевого перерізу () випливає, що парціальний дисперсійний спектр симетричних хвиль при у такому хвилеводі є тотожнім до парціального спектру нормальних хвиль у хвилеводі кільцевого перерізу без вирізів з показником змінюваності у кутовому напрямку . Результати співставлення зазначених парціальних спектрів для хвилеводів зі співвідношенням радіусів з п'єзокераміки , що засвідчують їх тотожність, наведено на рис. 14. Суцільними лініями тут зображено дійсні гілки спектру для кільцевого хвилеводу, наведені у роботі М.О. Шульги, а кільцевими маркерами - результати розрахунків точок на дисперсійному спектрі для півкільцевого хвилеводу на підставі методик та обчислювальних алгоритмів даної роботи.

При аналізі характеру високочастотної короткохвилевої локалізації нормальних електропружних хвиль у хвилеводах даної геометрії з вільними циліндричними ділянками бічної поверхні з'ясовано, що хвилі 1-ої та 2-ої мод парціальних спектрів локалізуються саме в їх околі, а фазові швидкості цих хвиль асимптотично прямують до нормованого значення фазової швидкості електропружних поверхневих хвиль релеївського типу вздовж осі пружної симетрії матеріалу хвилеводу. Асимптотикою фазових швидкостей хвиль, що належать модам з подальшими номерами, є фазова швидкість об'ємних пружних хвиль зсуву вздовж зазначеного напрямку.

Окремий підрозділ розділу 3 містить розгалужені дослідження амплітудних розподілів кінематичних та енергетичних властивостей нормальних електропружних хвиль у хвилеводах даного типу і висновки щодо провідних ефектів у їх залежностях від сукупності параметрів хвилеводів.

Четвертий розділ дисертаційної роботи присвячено проблемі аналізу нормальних електропружних хвиль в аксіально-поляризованих п'єзоактивних циліндричних хвилеводах, круговий поперечний переріз яких має сегментний виріз. При дослідженні спектральних крайових задач (1), (6), та (1), (7) представлення метагармонічних функцій у частинному випадку S-хвиль обираються у формі

; (16)

,

де спосіб завдання значень параметрів залежить від того, належить чи не належить області поперечного перерізу хвилеводу центр координатної системи . Окремо розглянуто можливість використання представлень , що зводяться лише до других сум у представленнях (16). Нескінчені однорідні системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтів побудовано у даному випадку з крайових умов на ділянках та граничної поверхні хвилеводу на підставі методу Гальоркіна. Дисперсійне рівняння для визначення повного спектру досліджуваних нормальних електропружних хвиль має форму рівності нулеві визначника зазначеної системи, яка згідно альтернативним варіантам представлень є системою рівнянь другого або першого роду. Чисельний аналіз побудованих дисперсійних рівнянь здійснено за алгоритмом, який передбачає редукцію матриць зазначених систем і застосування певних чисельних методів для визначення сталих до порядку редукції значень коренів.

На підставі розрахунків з контрольованою точністю побудовано дійсні та уявні гілки дисперсійних спектрів для хвилеводів з варійованим розміром сегментного вирізу; частинний випадок структури спектру у діапазоні , , для хвилеводу з п'єзокераміки із закріпленими ділянками границі у випадку наведено на рис. 15.

При дослідженні спектральної задачі (1), (7) для хвилеводу з перерізом у формі півкола виявлено тотожність розрахованого спектру з сукупністю парціальних спектрів нормальних електропружних хвиль, визначених для хвилеводу з частинним розміром секторного вирізу при умовах закріплення електродованої поверхні і наявності гнучких нерозтяжних електропровідних покриттів на .

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

Основні конкретні результати роботи полягають у наступному:

1. Побудовано трансцендентні дисперсійні рівняння для визначення парціальних спектрів нормальних електропружних хвиль у п'єзокерамічних циліндричних хвилеводах, переріз яких є круговою або концентричною кільцевою областю з секторним вирізом довільної кутової міри, у випадках, коли електродовані циліндричні ділянки граничної поверхні закріплені або вільні від механічних напружень, а граничні поверхні секторного вирізу мають гнучкі нерозтяжні електропровідні покриття. Одержано аналітичні представлення дисперсійних функцій у вигляді функціональних визначників четвертого або восьмого порядку з елементами, вираженими через циліндричні функції першого та другого роду з дробовими індексами.

2. Одержано та досліджено представлення функцій хвилевих переміщень, динамічних напружень і потенціалу квазістатичного електричного поля у базисних хвилях з досліджуваних дисперсійних спектрів нормальних електропружних хвиль. Проаналізовано питання про існування особливостей у формальних представленнях вищезгаданих функцій для п'єзокерамічних хвилеводів суцільного кругового перерізу з секторним вирізом.

3. Методами аналізу коренів квазіполіномів побудовано асимптотичні формули для великих за модулем комплексних хвилевих чисел крайових стоячих електропружних хвиль у п'єзокерамічних хвилеводах кругового перерізу з секторним вирізом.

4. Побудовано і досліджено рівняння для визначення значень критичних частот мод нормальних біжучих електропружних хвиль в аналізованих дисперсійних спектрах. Встановлено, що шляхом варіювання кутового розміру хвилеводу можна отримувати різні порядки черговості та щільності взаємного розташування критичних частот нормальних хвиль.

5. На підставі створених спеціалізованих комп'ютерних програмних засобів за різних типів крайових умов на ділянках поверхні хвилеводів розраховано дійсні, уявні та комплексні гілки парціальних спектрів нормальних електропружних хвиль для низки варійованих параметрів змінюваності хвиль за окружною координатою, типу симетрії хвиль, кутових розмірів перерізу, співвідношення радіусів циліндричних граничних поверхонь, п'єзоактивного матеріалу хвилеводу. Визначено та узагальнено основні якісні та кількісні перетворення у структурі спектрів для хвилеводів з п'єзокераміки та , а також у кінематичних та енергетичних характеристиках досліджуваних нормальних електропружних хвиль у залежності від зазначених варійованих параметрів.

6. Для п'єзокерамічних хвилеводів суцільного секторного перерізу здійснено аналіз асимптотичних залежностей у розподілах фазових швидкостей біжучих нормальних електропружних хвиль у короткохвилевому високочастотному діапазоні. З'ясовано, що характер локалізації хвиль не залежить від кутових розмірів перерізу хвилеводу і пов'язаний з типом крайових умов на циліндричній ділянці його граничної поверхні. Виявлено, що у випадку закріплення циліндричної ділянки границі фазові швидкості нормальних біжучих хвиль з нижчих мод парціальних спектрів асимптотично наближаються зверху до значення фазової швидкості об'ємних пружних хвиль зсуву вздовж осі пружної симетрії матеріалу хвилеводу. У випадку вільної від механічних напружень циліндричної поверхні фазові швидкості біжучих нормальних електропружних хвиль нижчої моди з усіх розглянутих парціальних спектрів асимптотично наближаються до значення фазової швидкості електропружних поверхневих хвиль релеївського типу вздовж зазначеного напрямку.

7. Для п'єзокерамічних хвилеводів кільцевого секторного перерізу з вільними циліндричними ділянками бічної поверхні з'ясовано, що хвилі 1-ої та 2-ої мод парціальних спектрів локалізуються в їх околі і фазові швидкості цих хвиль асимптотично наближаються до фазової швидкості електропружних поверхневих хвиль релеївського типу вздовж осі пружної симетрії матеріалу хвилеводу. Асимптотикою фазових швидкостей хвиль з вищих мод є фазова швидкість об'ємних пружних хвиль зсуву вздовж зазначеного напрямку.

8. Досліджено і узагальнено закономірності в розподілах амплітудних форм кінематичних та енергетичних характеристик нормальних електропружних хвиль (амплітуд хвилевих переміщень і потенціалу квазістатичного електричного поля, амплітуд механічних напружень та середнього за період потоку потужності) для декількох нижчих мод парціальних дисперсійних спектрів п'єзокерамічних хвилеводів з секторними перерізами.

9. Побудовано чисельно-аналітичні розв'язки задачі про розповсюдження нормальних електропружних хвиль у п'єзокерамічних хвилеводах з круговим перерізом, що має сегментний виріз довільних розмірів. Запропоновано методику побудови дисперсійних функцій та одержано їх аналітичний опис у вигляді функціональних визначників нескінченного порядку; розроблено ефективну методику чисельного дослідження дисперсійних співвідношень. Розраховано дійсні та уявні гілки дисперсійних спектрів для циліндричних хвилеводів з п'єзокераміки з декількома розмірами сегментного вирізу у перерізі.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Моисеенко И. А. Моды распространяющихся нормальных волн в трансверсально-изотропном цилиндре секторного сечения / И. А. Моисеенко, В. В. Пузырев // Теорет. и прикл. механика. - 2003. - Вып. 38. - С. 182-187.

2. Пузырев В. В. Дисперсионные спектры электроупругих волн в продольно-поляризованных пьезокерамических цилиндрах с секторным вырезом в круговом поперечном сечении / В. В. Пузырев // Вісн. Донецького університету, Сер. А: Природничі науки. - 2006. - Вип. 1. - С. 176-183.

3. Пузырев В. В. Спектры и свойства нормальных электроупругих волн в закрепленных пьезокерамических цилиндрах кольцевого сечения с секторным вырезом / В. В. Пузырев // Механика твердого тела. - 2006. - Вып. 36. - С. 134-143.

4. Пузырев В. В. Спектр нормальных волн в пьезоактивном волноводе с секторным вырезом в круговом сечении: случай свободной электродированной цилиндрической границы / В. В. Пузырев // Вісн. Донецького університету, Сер. А: Природничі науки. - 2007. - Вип. 1. - С. 93-100.

5. Пузырев В. В. Нормальные электроупругие волны в пьезоактивных цилиндрических волноводах кругового сечения с секторным вырезом / В. В. Пузырев // Тези доповiдей науковоi конференцii студентiв математичного факультету (27-28 квiтня 2004 р.): Зб. наук. та наук.-метод. праць / Донецьк: ДонНУ, 2004. - С. 7-8.

6. Пузырев В. В. Нормальные волны в пьезоактивных и непьезоактивных анизотропных цилиндрах с секторным сечением / В. В. Пузырев, Р. Р. Троян // Современные проблемы математики, механики, информатики. - 2005. - С. 249.

7. Пузырев В. В. Построение дисперсионного уравнения для нормальных волн в пьезоактивном круговом цилиндре с сегментным вырезом / В. В. Пузырев // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела: Материалы IV Международной научной конференции, посвященной памяти академика НАН Украины А.С. Космодамианского. - Донецк: Юго-Восток, 2006. - С. 298-300.

8. Пузырев В. В. Краевые задачи динамической электроупругости для пьезоактивных цилиндрических волноводов с усложненной геометрией сечения / В. В. Пузырев // Научная конференция молодых ученых и студентов по дифференциальным уравнениям и их приложениям, посвященной 100-летнему юбилею Я. Б. Лопатинского. - Донецк, ДонНУ, 2006. - С. 108-109.

9. Пузырев В. В. Упругие и электроупругие волны в цилиндрических волноводах секторного сечения из материалов гексагональной системы / В. В. Пузырев, Р. Р. Троян // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. - 2006. - C. 179.

10. Пузырев В. В. Нормальные волны в пьезокерамических цилиндрических волноводах неканонического сечения / В. В. Пузырев // “Консонанс-2007” Акустичний симпозиум (25-27 вересня, 2007 р.) Тези доповiдей. - Київ. - 2007. - С. 36-37.

11. Пузырев В. В. Действительные и мнимые ветви дисперсионного спектра нормальных электроупругих волн для пьезокерамического цилиндра с сегментным вырезом в сечении / В. В. Пузырев // Классические задачи динамики твердого тела // Тезисы докладов Международной конференции (9-13 июня 2007 года). - Донецк: Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, 2007. - С. 66-67.

12. Пузырев В. В. Потоки мощности электроупругих волн в цилиндрическом пьезокерамическом волноводе секторного сечения // Тараповские чтения: Сборник материалов международной научной школы-конференции / В. В. Пузырев / Под. ред. проф. Г. Н. Жолткевича. - Харьков: ХНУ, 2008. - С. 128-129.

13. Сторожев В. И. Дисперсия бегущих нормальных волн в пьезокерамическом цилиндре секторного сечения / В. И. Сторожев, В. В. Пузырев // Устойчивость, управление и динамика твердого тела / Донецк, 2005. - С. 114.

АНОТАЦІЯ

Пузирьов В.В. Спектри та властивості нормальних електропружних хвиль в п'єзокерамічних циліндричних хвилеводах з перерізами ускладненої геометрії. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04. - механіка деформівного твердого тіла. - Донецький національний університет, Донецьк, 2008.

Дисертаційна робота присвячена теоретичному дослідженню закономірностей хвилевих процесів в аксіально-поляризованих п'єзокерамічних циліндрах кругового і кільцевого перерізів з вирізами секторної та сегментної форми. Запропоновані методики побудови та дослідження дисперсійних співвідношень, що описують парціальні та повні спектри зв'язаних нормальних електропружних хвиль у п'єзокерамічних циліндричних хвилеводах за умов наявності на граничних поверхнях секторних вирізів гнучких нерозтяжних електропровідних покриттів та завданні на циліндричній ділянці граничної поверхні крайових умов вільної або закріпленої електродованої поверхні. Застосовується підхід, що базується на точному аналітичному інтегруванні хвилевих рівнянь електропружного деформування і одержанні дисперсійних рівнянь з крайових умов граничних задач у формі рівностей нулеві скінчених або нескінчених функціональних визначників з елементами, вираженими через циліндричні функції дробових індексів. Одержано асимптотичні формули для великих за модулем комплексних коренів дисперсійних рівнянь; досліджено множини критичних частот нормальних електропружних хвиль; розраховано дійсні, уявні та комплексні гілки дисперсійних спектрів нормальних електропружних хвиль у досліджуваних хвилеводах за різних типів граничних умов; з'ясовано типи високочастотної короткохвилевої локалізації нормальних електропружних хвиль; побудовано і досліджено розподіли кінематичних та енергетичних характеристик нормальних хвиль в областях перерізів хвилеводів; проаналізовано закономірності трансформації дисперсійних спектрів та властивостей хвиль у залежності від сукупності варійованих физико-механічних і геометричних параметрів хвилеводів.

Ключові слова: п'єзокерамічні циліндричні кругові та кільцеві хвилеводи, секторні та сегментні вирізи у перерізах, нормальні електропружні хвилі, повні дисперсійні спектри, критичні частоти, асимптотики фазових швидкостей, кінематичні та енергетичні характеристики хвиль.

АННОТАЦИЯ

Пузырев В.В. Спектры и свойства нормальных электроупругих волн в пьезокерамических цилиндрических волноводах с сечениями усложненной геометрии. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04. - механика деформируемого твердого тела. - Донецкий национальный университет, Донецк, 2008.

Диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию закономерностей распространения нормальных электроупругих волн в продольно-поляризованных пьезокерамических цилиндрических волноводах с сечениями усложненной геометрии. Рассматриваются волноводы с круговым и кольцевым сечением, имеющим секторный вырез произвольной угловой меры, граничные поверхности которого имеют гибкие нерастяжимые электропроводные покрытия, а электродированные цилиндрические участки границ жестко закреплены либо свободны от механических напряжений; волноводы сегментного сечения при задании на всех участках электродированной граничной поверхности условий закрепления. Используется подход, основанный на точном аналитическом интегрировании волновых уравнений электроупругого деформирования волновода и получении дисперсионных уравнений из однородных краевых условий на границе волновода в форме равенств нулю функциональных определителей конечного или бесконечного порядка с элементами, выражаемыми через цилиндрические функции дробного индекса.

Получены уравнения для определения значений критических частот мод бегущих нормальных волн в парциальных дисперсионных спектрах. Построены асимптотические формулы для больших по модулю комплексных волновых чисел. Рассчитаны действительные, мнимые и комплексные ветви полных дисперсионных спектров нормальных электроупругих волн; охарактеризованы основные качественные и количественные изменения в структуре спектров, связанные с варьированием физико-механических и геометрических характеристик волноводов. Охарактеризованы эффекты появления в мнимой части спектра "почти вертикальных" разрывных ветвей и понижения критических частот нормальных электроупругих волн при увеличении угловых размеров секторного сечения. Проведен анализ асимптотических зависимостей в распределениях фазовых скоростей бегущих нормальных волн для волноводов секторного сечения; установлено, что характер их высокочастотной коротковолновой локализации зависит от типа граничных условий на цилиндрической поверхности волновода и не связан с угловыми размерами сечения; показано, что для волноводов со свободным цилиндрическим участком граничной поверхности фазовая скорость волн низшей моды в коротковолновом диапазоне асимптотически стремится к значению фазовой скорости поверхностной электроупругой волны рэлеевского типа вдоль оси упругой симметрии материала волновода; предельным значением фазовых скоростей волн последующих мод в волноводе со свободной цилиндрической поверхностью и всех мод в волноводе с закрепленной цилиндрической поверхностью является фазовая скорость объемных упругих волн сдвига в указанном направлении.

Построены, исследованы и обобщены некоторые ведущие зависимости распределений амплитудных форм волновых перемещений, динамических напряжений, квазистатического потенциала электрического поля и среднего за период потока мощности электроупругих волн в области поперечного сечения волноводов от совокупности их физико-механических и геометрических параметров.

Ключевые слова: пьезокерамические цилиндрические круговые и кольцевые волноводы, секторные и сегментные вырезы в сечениях, нормальные электроупругие волны, полные дисперсионные спектры, критические частоты, асимптотики фазовых скоростей, кинематические и энергетические характеристики волн.

THE SUMMARY

Puzyrev V.V. Spectrums and properties of normal electroelastic waves in piezoceramic cylindrical waveguides with complicated cross-sections. - Manuscript.

Thesis for a Candidate degree of physical and mathematical sciences on speciality 01.02.04. - Mechanics of deformable solids. - Donetsk National University, Donetsk, 2008.

Propagation of normal electroelastic waves in piezoceramic cylindrical waveguides of circular and ring cross-sections with sector cut and circular cross-section with segment cut is examined. Cylindrical boundary surfaces of circular and ring waveguides are considered as free from stresses or fixed while boundary surfaces of sector cut are covered by non-extensible membranes; cylindrical and rectilinear boundary surfaces of circular waveguides with segment cut are considered as fixed. Dispersion functions in an analytical form of finite and infinite functional determinants for each value of the generalized circle wave number are obtained. Numerical analysis of the real, imaginary and complex branches of full dispersion spectrum with various symmetry of wave movements is carried out, leading effects of spectrum transformation by sector or segment cut angular measure variation are enlightened, mode critical frequencies and wave asymptotic behavior is analyzed, kinematic and energetic wave characteristics are obtained and characterized.

Key words: piezoceramic cylindrical waveguides, sector and segment cut, full dispersion spectrum, critical frequencies, phase velocities, kinematic and energetic characteristics.

Размещено на Allbest.ru

...