Размещено на http://www.allbest.ru/

1. ВОЛНОВЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

1.1 Постановка задачи

Волны являются делокализованной формой материи. Волновое поле суть вид материи или объект, который занимает все пространство (в отсутствии отражающих стенок). Волны могут существовать совершенно независимо от частиц и наравне с ними! Подчеркнем в этой связи следующие:

эксперимент показывает, что несмотря на нелокальность волн существуют квазилокальные, составленные из них образования - волновые пакеты. Поэтому, как кажется, корректно поставить задачу о конструировании ее из волновых пакетов фундаментальных частиц.

в электромагнитной волне материя проявляет себя через поля. Электромагнитное поле полностью задается напряженностями , , которые связаны с электромагнитной волной локально в каждой точке пространства в любой момент времени. Волны, в принципе, не могут быть статическими образованиями, за исключением тривиального случая . Если в электромагнитную волну поместить пробный электрический заряд, он реагирует на напряженность поля волны, и ее существование приводит к наблюдаемым физическим последствиям. Свободные электромагнитные волны ярко демонстрируют тезис о том, что поле есть характеристика пространства и времени.

Для изучения законов внутренней динамики электромагнитной волны необходимо привлечь уравнения Максвелла, которые в вакууме (в отсутствии токов и зарядов) принимают вид:



Возьмем rot от второго уравнения (1.1)

(1.2)

Применим к левой части (1.2) тождество и используя последнее четвертое уравнение (1.1)

(1.3)

Подставляя в (1.3) первое уравнение (1.1), получим волновое уравнение для

(1.4)

С помощью аналогичных преобразований из второй пары уравнений (1.1) получается волновое уравнение для

(1.5)

Очевидно, что форма (1.4), (1.5) не зависит от выбора системы отсчета! Однако появляется иллюзия разделения полей и , хотя на самом деле, они связаны уравнениями Максвелла. Это является недостатком данного способа получения волновых уравнений для напряженностей полей , .

1.2 Экспресс-анализ свободных уравнений Максвелла

В пункте 1.1. было показано, что уравнения Максвелла для свободных полей тождественными преобразованиями приводятся к волновым уравнениям (1.4), (1.5). Их решение можно искать в виде суперпозиции плоских волн

Дальнейшей целью этого анализа является:

построение дисперсионного соотношения

,

нахождение связи между векторами , и закона их относительного пространственного расположения в электромагнитной волне.

Подстановка (1.6) в уравнение (1.4), (1.5) позволяет свести дифференциальные уравнения к алгебраическим с помощью равенств

(1.7)

После этой замены уравнения Максвелла для электромагнитных волн в форме (1.1) принимают вид:

,

,

Из алгебраических уравнений (1.8) следуют выводы:

Электромагнитные волны поперечны, то есть , . (волновой вектор , по определению ориентирован вдоль направления распространения волны)

Векторы и взаимно перпендикулярны , как видно непосредственно из уравнений для векторных произведений и .

То есть имеет место следующая пространственная картина расположения волновых векторов в виде ортогональной тройки векторов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1 Взаимное расположение векторов , , в электромагнитной волне

Для получения дисперсионного соотношения выразим через одно из векторных произведений (1.8)

и подставим во второе

(1.9)

Раскрывая двойное векторное произведение в (1.9), получаем уравнение

откуда с учетом (1.8) следует, что

(1.10)

Из тех же уравнений для векторных произведений в (1.8) следует, что при

, , где и следовательно, .

Вычислим поток энергии в электромагнитной волне

(1.11)

где

ассоциируется, таким образом, с направлением потока энергии в электромагнитной волне.

1.3 Поляризация электромагнитной волны

Для получения картины расположения векторов поля электромагнитной волны в пространстве необходимо ответить на последний вопрос, как ориентированы векторы , в плоскости, ортогональной направлению распространения волны ? Эта ориентация векторов создается прибором-приготовителем электромагнитной волны, или стоящим на пути ее распространения прибором-поляризатором.

Рассмотрим напряженность электрического поля , создаваемую электромагнитной волной

(1.12)

где - полю комплексных чисел.

Обозначим переменную фазу волны, как

Тогда из (1.2) следует, что

(1.13)

На самом деле, выражение (1.13) и является общим решением волнового уравнения (1.14) (запись с помощью экспоненты (1.6) просто более компактна и удобна).

Выделим в компонентном числе амплитудный множитель, согласно формуле

(1.14)

В (1.14) введен вспомогательный вектор , имеющий вещественный квадрат

(1.15)

,

Квадрат же вектора является комплексной величиной.

Ясно, что приведенная цепочка равенств справедлива для комплексного числа с произвольной фазой.

Проделаем описанную выше процедуру явно, положив

Найдем квадрат

И потребуем его действительности

Тогда

Выбираем базис

Тогда

и ввиду (1.15) необходимо потребовать

 (1.16)

что и является конкретным выбором фазы . Смысл этих конкретных действий состоит в том, что вектор принадлежит плоскости, ортогональной , . То есть, может быть разложен по ортогональному базису в этой плоскости, а и суть компоненты разложения. Ведем базис для поля явно. Пусть

(1.16)

Последнее выражение есть сумма двух ортогональных компонент, сдвинутых по фазе на , так как в плоскости, ортогональной . Очевидно, что константы , характеризуют волну в любой момент времени при ее распространении в пространстве.

Выберем для описания следующую систему координат

(1.1)

,

и для напряженностей электромагнитного поля , справедливо уравнение эллипса

(1.2)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2 Электрическое поле электромагнитной волны в плоскости, ортогональной направлению ее расположения

Если зафиксировать конкретную точку пространства , поле в ней со временем меняется периодически согласно (1.12). То есть электромагнитная волна может быть исследована локально в этой точке. Можно поступить и иначе - провести мысленный эксперимент, сделав мгновенную фотографию пространства. Тогда профиль волны будет периодической функцией координат. Таким образом, получается представление об электромагнитной волне, как о поле. Эти периодические в пространстве и времени поля еще раскладываются на две взаимно перпендикулярные компоненты , .

Изображенная на рис. 1.2 картина имеет место в любой момент времени t в некоторой точке P пространства. При любом измерении поля волны конец вектора принадлежит эллипсу (1.2), а его полуоси суть константы , из общего решения волнового уравнения для монохроматической волны. Две независимые компоненты вектора , называются поляризациями плоской волны. Электромагнитные волны могут быть различным образом поляризованы:

Если в результате измерения оказывается, что =, то такая волна называется поляризованной по кругу.

Если реализуется частное решение =0, то волна называется линейно поляризованной.

Волна, поляризованная по кругу, может быть представлена в виде суперпозиции двух линейно поляризованных волн. Локальные измерения в 2 последовательные моменты времени t могут показать следующие изменения ориентации вектора .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3 Возможные ориентации векторов электромагнитной волны в два последовательных момента времени

Если поворот вектора к по кратчайшему направлению осуществляется по часовой стрелке - волна - правополяризована. В противном случае она - левополяризована.

Получим аналогичные соотношения для вектора . Действительно, из свойств электромагнитных волн 1)-3) (Так как , в поляризационном эллипсе для) следует представление для

(1.19)



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4 Взаимное расположение поляризационных эллипсов для векторов электрического и магнитного полей электромагнитной волны

Тогда в системе координат (1.1) справедливо уравнение для компонент магнитного поля

(1.20)

Это означает, что при любом изменении поля конец вектора принадлежит эллипсу (1.20). Взаимное положение поляризованных эллипсов для полей , показано на рис.

1.4 Поток энергии в электромагнитной волне

Вычислим явно поток энергии в электромагнитной волне с учетом выражения для (1.11) и разложение векторов , по поляризационному базису (1.16), (1.19). Получим выражение

(1.21)

2. ВОЛНОВЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ПОТЕНЦИАЛОВ

2.1 Унитарная калибровка

Как уже отмечалось ранее (1.7) электромагнитное поле может распространяться в вакууме вне создающих его токов и зарядов в виде электромагнитных волн с фазовой скоростью С, не зависящей от системы отсчета, либо (как будет показано ниже) в виде волновых пакетов. В связи с необходимостью исследования таких волн возникает необходимость в построении максимально удобного математического аппарата для электромагнитных волн, распространяющихся в вакууме. Начнем построение этого аппарата с анализа уравнений Максвелла для потенциалов (§3.3) в пустом пространстве , .

В самом общем (неоткалиброванном) виде эти уравнения есть:

(2.1)

(2.2)

Проверим их экспресс-анализ

(2.3)

откуда следует

(2.4)

(2.5)

Представим вектор-потенциал в виде суперпозиции продольной и поперечной частей

(2.6)

Пусть

- единичный вектор вдоль направления распространения волны. Тогда - плоскости, ортогональной , то есть . Перепишем (2.4), (2.5) через разложение (2.6)

(2.7)

(2.8)

Перегруппировывая члены и приводя подобные в (2.8), получим

 (2.9)

Второй член в (2.9) равен нулю в силу полученного в п. 1 дисперсионного соотношения , после чего (2.9) совпадает с (2.7), в силу чего тождественно обращается в нуль.

Таким образом предположение (2.6) о структуре вектор-потенциала поля подтвердилось. Кроме того, получено уравнение связи между и (2.7). Найдем выражение для напряженностей полей через , , для чего используем стандартные формулы п. 3.

которые после экспресс-анализа принимают вид

(2.10)

(2.11)

Подставляя (2.7) в (2.10) и устраняя в (2.11) равные нулю члены приведем эти уравнения к простой форме

(2.12)

(2.13)

Из (2.12), (2.13) видим, что продольная компонента векторного потенциала и скалярный потенциал не входят в выражение для напряженностей полей , , частоты волн , а следовательно создаваемой волной силы Лоренца действующей на пробные заряды и токи. Поэтому для электромагнитных волн величины , не входящие в уравнение волнового поля (2.12), (2.13), являются не наблюдаемыми математическими фантомами!

Докажем существование калибровки, в которой величины , полагаются равными нулю. Эта калибровка называется унитарной, и соответствующим образом откалиброванные поля приобретают индекс .

Ранее в п. 3 было доказано существование лоренцевой калибровки (математическим величинам в этой калибровке сопоставим индекс L). В калибровке Лоренца (3.22)

справедливы следующие (волновые) уравнения для потенциалов свободного поля

(2.14)

Перейдем от калибровки Лоренца к унитарной, используя общее правило преобразования потенциалов от одной калибровки к другой (3.26)

 (2.15)

(2.16)

Унитарную калибровку определим тремя ковариантными требованиями

, (2.1)

Заметим, что последнее требование при экспресс-анализе дает или . Покажем, что функция , осуществляющая переход от Лоренцевой калибровки к унитарной в (2.15), (2.16) существует и отлична от нуля. Действительно, из (2.15), (2.1) следует, что

,

откуда для получается выражение

(2.2)

где - произвольная функция координат.

Возьмем div от (2.16) с учетом определения (2.1)

(2.19)

действуя оператором на (2.2) и подставляя (2.19) для , получим

(2.20)

Подставляя в (2.20) первое из уравнений (2.14), интегрируя по времени t

,

получим уравнение

(2.21)

где член в круглых скобках равен нулю, по определению калибровки Лоренца.

Требованию

всегда можно удовлетворить, находя решение уравнения Пуассона, исчезающее вместе с источником. Поэтому можно удовлетворить и эквивалентному ему уравнению (откуда следует совместимость условий унитарной калибровки с условиями калибровки Лоренца (3.22)). То есть унитарная калибровка существует при тех же условиях, что и калибровка Лоренца.

Однако необходимо сделать следующие замечания - обычно калибровка уравнений Максвелла - это одно дополнительное условие, которое накладывается на четыре функции , . Унитарная калибровка - это два дополнительных условия на те же четыре функции. Эта калибровка существует, если однозначно выражается через , то есть если уравнения (2.14) для потенциалов однородны и не содержат источников. После наложения унитарной калибровки от четырех функций остается две независимых, соответствующим двум остающимся степеням свободы поля, то есть описываемые двумя независимыми функциями. Обращаясь к исходным уравнениям для электромагнитных потенциалов (2.1), (2.2) и накладывая на них унитарную калибровку (2.16) получаем уравнения для потенциала

и соответствующие им выражения для напряженностей поля

Уравнения (2.22), (2.23) есть уравнения для электромагнитных волн в унитарной калибровке и, очевидно самое простое из возможных их описаний.

2.2 Алгоритм решения волнового уравнения

максвелл электромагнитный волна

Будем исходить из уравнений Максвелла (2.22). алгоритм их решения состоит в следующем:

Используется преобразование Фурье для вектор-потенциала

(2.24)

Разложение (2.24) подставляется в волновое уравнение (2.22)

откуда последует дисперсионное соотношение вида

.

Выполняется операция проектирования наб-функцию

Используя определение -функции

получаем соотношение

что после интегрирования дает

(2.25)

Учитывается унитарная калибровка для электромагнитных волн

Решение осцилляционного уравнения (2.25) в калибровке (2.26) есть

(2.27)

Для Фурье-индекса “k” в (2.27) в зависимости от удобства будем использовать одно из двух обозначений

Подчеркнем, что формально, Фурье-образ - полю комплексных чисел, хотя решение волнового уравнения - полю действительных.

Так как , то , . Условие действительности потенциала (2.27) (и следовательно, напряженностей поля , ) необходимо наложить на вектор дополнительно в форме

(2.28)

что накладывает на комплексные цилляторные коэффициенты дополнительное ограничение

(2.29)

с учетом (2.29) решение (2.27) принимает вид:

.

Формально, в формуле (2.30) фигурируют три комплексные функции , но условие поперечности (2.26) снижает их число до двух

т. е. независимыми являются две комплексные компоненты .

Подстановка (2.30) в общее решение (2.24) дает

(2.32)

Для окончательного нахождения решения волнового уравнения (2.22) остается учесть начальные условия для поля , . Однако с физической точки зрения учитывать их в такой форме бессмысленно, так как эксперимент в классической (макроскопической) электродинамики оперирует со значениями напряженностей полей , , что должно быть математически равносильно предыдущему набору начальных условий. Связь между этими наборами дается выражениями для напряженностей полей в унитарной калибровке

что и позволяет провести и соответствие с набором начальных условий для вектор-потенциала

Построим и по потенциалу из (2.32), не забывая о наличии дисперсионного соотношения

(2.34)

(2.35)

Зададим начальные условия в момент времени t=0 для напряженностей полей

 (2.36)

(2.37)

откуда Фурье-образы полей при есть

(2.38)

(2.39)

Если начальные условия задаются в момент времени , то их постановка сводится, как видно из (2.34) - (2.39) просто к переопределению осцилляторных коэффициентов

(2.40)

Таким образом, разрешая (2.38), (2.39) можно по заданным при Фурье-образам полей , найти осцилляторные коэффициенты таким образом решить проблему нахождения начальных условий для полей (2.34), (2.35), фиксируя решения исходного волнового уравнения (2.22). В силу поперечности поля , поперечны в любой момент времени t.

2.3 Одномерный волновой пакет

Из плоских волн можно построить группу (или пакет) волн, то есть совокупность волн, волновые числа k которых заключены в достаточно узком интервале. Математически эту группу волн можно представить в виде интеграла Фурье

(2.41)

Вектор-функция определяет характер “упаковки” волн в пакете в некоторый момент времени t, так что форма пакета меняется с течением времени. Размер волнового пакета в пространстве тем больше, чем в более узком интервале волновых чисел

амплитуда отлична от нуля. В (2.41) соответствует частному случаю движения пакета вдоль координаты “z”.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5 Движение волнового пакета, ограниченного в пространстве и во времени вдоль координаты z

В качестве одного из возможных наглядных образов волновому пакету можно сопоставить образ волн на море, ограниченных береговой линией. В этом случае длина волны должна быть мала по сравнению с линией прибоя. На рис. Сделано мгновенное фото - плоский волновой фронт и его срез.

В этом пункте введены обозначения , (отлично от !)

- пакет не зависит от координат x, y.

В унитарной калибровке

или (2.42)

откуда следует .

Поэтому потенциал можно представить в виде

, тогда и операторы есть

Тогда на основе формул (2.32), (2.34), (2.35) получаем для вектор-потенциала электрического и магнитного полей пакет следующее представление

(2.44)

(2.45)

(2.46)

При движении пакета в качестве начальных условий должны быть заданы , , а по ним необходимо построить их Фурье образы , . Найдем , с целью построить по ним полный интеграл для волнового пакета (2.45), (2.46).

Выпишем их выражения через осцилляторные коэффициенты , . При

При

условия (2.47), (2.48) можно рассматривать как совокупность четырех уравнений для четырех неизвестных. Выпишем эти уравнения явно, поместив их в таблицу. Пользуясь составленной таблицей явно выпишем и преобразуем к компактному выражение для поля волнового пакета

(Подставим вместо осцилляторных коэффициентов их выражения из таблицы Фурье-компоненты полей , совершая в первом интеграле замену переменной

, .)

Воспользуемся действительностью Фурье-компонент напряженностей полей

,

и перегруппировывая члены, получаем

Выражения осцилляторных коэффициентов через начальные условия , .

колонка ,	Колонка ,
Сумма уравнений есть Разность верхнего и нижнего уравнений есть	Разность верхнего и нижнего уравнений есть Сумма уравнений есть
Сумма уравнений есть Разность верхнего и нижнего уравнений есть	Сумма уравнений есть Разность верхнего и нижнего уравнений есть

Используя дискретное соотношение , получаем окончательный результат

(2.49)

Аналогические расчеты приводят к следующим выражениям для компонент напряженностей полей

(2.50)

(2.51)

(2.52)

Решения (2.49) - (2.52) представляют собой суперпозицию двух волновых пакетов, один из которых со временем распространяется влево по оси z, другой - вправо по оси z.

Тогда поток энергии в пакете есть:

а компонента

(2.53)

Анализ решений (2.49) - (2.52) позволяет также обнаружить симметрию между пакетами и компонентами полей в них:

, , , (2.54)

2.4 Пример начальных условий для волнового пакета

Рассмотрим поле, которому соответствуют следующие начальные условия для напряженностей полей.

, (2.55)

Такому полю изображенному на рис. 2.2, соответствует, например, цуг электромагнитных волн над солнечными пятнами. Аналогичным образом распределяется электромагнитное поле при ядерном взрыве в атмосфере

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 6 Цуг электромагнитных волн (всплеск излучения) над солнечными пятнами.

Построим Фурье-образ поля (2.55). Знаменатель

расходится в двух точках комплексной плоскости . , . Поэтому содержащий полюсные особенности интеграл

(2.56)

необходимо вычислять по теории вычетов в комплексной плоскости переменной как интеграл

 (2.57)

Вычислим последний интеграл в двух разных случаях, пользуясь методами теории вычетов

Рассмотрим

(2.58)

Подынтегральная функция (2.57), (2.58) удовлетворяет всем условиям, необходимым для взятия интегралов по тому контуру в комплексной плоскости . При этом контур интегрирования строится из отрезка действительной оси и дуги окружности радиуса R в комплексной плоскости. Дополнение отрезка прямой до замкнутого контура с помощью дуги окружности берется в нижней полуплоскости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 7 Обход контура интегрирования в комплексной плоскости переменной в нижней полуплоскости . Указателями - стрелками зафиксирован обход контура в комплексной плоскости в отрицательном направлении - по часовой стрелке

Исходный интеграл (2.57) разбивается на сумму двух интегралов -

по отрезку действительной оси и по полуокружности. По лемме Жордана интеграл по полуокружности при . Поэтому остается взять интеграл по замкнутому контуру, содержащему внутри себя один полюс первого порядка при . Этот интеграл вычисляется с помощью вычета в полюсе функции комплексной переменной .

Итоговое значение интеграла есть:

(2.59)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8 Обход контура интегрирования в комплексной плоскости переменной в верхней полуплоскости . Указателями - стрелками зафиксирован обход контура в комплексной плоскости в положительном направлении - против часовой стрелки

Рассмотрим

.

Переходим к интегрированию в комплексной плоскости , замыкая контур интегрирования полуокружностью радиуса R в верхней полуплоскости (см. рис. 2.4)



Внутри выбранного контура интегрирования функция содержит лишь один полюс первого порядка при . Так как по лемме Жордана при , остается взять лишь интеграл (2.57), равный с помощью вычета в полюсе

Итоговое значение интеграла есть:

(2.60)

Объединяя , в один интеграл получаем его значение

(2.61)

С помощью (2.61) строим Фурье-образы полей исследуемого волнового пакета

(2.62)

(2.63)

Эти Фурье-образы действительны, что облегчает расчет интегралов. Подставляя их в выражение (2.49) для напряженности поля , получим

Так как во всех интегралах интегрирования берется по положительной области значения k,

(2.64)

Первый из интегралов (2.64) берем с помощью формулы

учитывая, что на верхнем пределе последнего выражения при интеграл экспоненциально затухает.

Проводя аналогичные расчеты в трех других случаях, получим



Итоговое выражение для напряженности поля пакета есть:

(2.65)

Из (2.65) при следует выражение для начального электрического поля пакета

совпадающее с исходным выражением (2.55), что свидетельствует о правильности проделанных вычислений.

Аналогичные вычисления для других компонент поля волнового пакета (2.49) - (2.55) приводят к выражениям

(2.66)

(2.67)

(2.68)

Физическая интерпретация полученных выраженний состоит в следующем. Первое слагаемое в выражении (2.65) представляет собой цуг волн, идущий направо, второй - налево

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 9 Начальный волновой пакет в момент времени в момент распался на два волновых пакета

Варьируя начальные условия (условия приготовления пакета прибором), можно управлять динамикой пакета. Например, положив можно избавится от одной из волн (условно прямой). Аналогично, можно избавиться от цуга волн собранных в обратный волновой пакет. Если в пределах применимости классической электродинамики два пакета идут на встречу друг другу, то в силу справедливости принципа суперпозиции, они пройдут друг через друга без взаимодействия (см. рис.10).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 10

Размещено на Allbest.ru

...