Размещено на http://www.allbest.ru/

Макроскопическая магнитостатика

План

• 1. Задача макроскопической магнитостатики
• 2. Магнитостатика постоянных токов, текущих по тонким проводникам
• 3. Магнитный момент тонкого провода с током в веществе
• 4. Макроскопические измерения магнитных полей

1. Задача макроскопической магнитостатики

Что нас может интересовать в магнитостатике? Попытаемся также четко сформулировать предмет исследования, как это имело место в случае электростатики проводников и диэлектриков.

Во-первых, этот раздел физики является теоретической и экспериментальной основой для прикладной электротехники. Именно в нем описывается постоянный ток, текущий по контурам. Этот ток

1) создает магнитные поля;

2) приводит к силовым воздействиям, которые в свою очередь могут привести к деформациям материалов.

Поэтому, надо знать, как рассчитывать магнитные поля токов и как анализировать силовое взаимодействие между контурами с током. Решение этих задач требует чисто формального применения математики к уравнениям магнитостатики. Однако, могут возникнуть некоторые тонкости физического характера (аналогично задаче о расчете емкостных коэффициентов в электростатике). Тонкость состоит в том, что добавление нового элемента к системе контуров с током меняет расчет с самого начала. Другая тонкость состоит в том, что решаемые задачи есть задачи с самосогласованными граничными условиями (которые ставятся не для электрического, а для магнитного поля). Все выше сказанное есть прямое следствие макроскопических уравнений Максвелла.

Однако, существует и другой тип задач, возникающих в магнитостатики. Это задачи о природе магнитных свойств вещества. Напомним, что в классической физике явление магнитного упорядочения отсутствует в принципе. Динамика момента количества движения во внешнем поле носит характер прецессии. Магнитное поле не совершает работы, в отличие от электрического, а поэтому, не может изменить исходной конфигурации. Таким образом, классическая микроскопическая электродинамика порождает проблему магнитного упорядочения, которое в ней отсутствует.

Для того, чтобы разобраться в этой проблеме, придется заглянуть достаточно глубоко в структуру материи. Необходимо будет учесть квантовый характер закономерностей, связанных с природой магнитных свойств вещества. Отличие от электростатического упорядочения состоит в том, что для понимания магнитного упорядочения недостаточно будет учесть какие-либо поправки к уже написанным уравнениям теории магнетизма. В теории магнетизма классическая физика с самого начала беспомощна и ее придется формулировать и решать на языке квантовой теории. Основное внимание далее будет уделено не техническим применениям задач магнитостатики, а принципиально важной задаче о возникновении магнитных свойств вещества.

2. Магнитостатика постоянных токов, текущих по тонким проводникам

магнитостатика проводник деформация

Рассмотрим систему тонких контуров с током, таких что

(1)

где - диаметр поперечного сечения; - характерный размер контура (Рис. 1).

Рис. 1. Тонкий контур с током плотности . - характерный размер, - диаметр контура с током.

Начнем анализировать физическую ситуацию в этих контурах, для чего выпишем уравнения макроскопической магнитостатики.

(2)

где - плотность свободных токов; - вектор намагничивания (магнитный дипольный момент единицы объема вещества).

Задача магнитостатики приобретает окончательную математическую форму только при наличии связи и (либо надо предложить методику расчета - магнитного момента единицы объема вещества).

Упростим задачу еще более. Рассмотрим материалы с линейной связью

(3)

(это возможно только лишь тогда, когда ).

Напомним в этой связи, что магнитная напряженность не имеет прямого физического смысла, однако часто вводят магнитную восприимчивость по отношению к полю по формуле

(4)

Продолжим упрощение поставленной задачи. Пусть (имеется в виду, что тонкий контур помещен в некоторую среду и - ее магнитная проницаемость. Тривиальным примером является электрическая проводка в стене комнаты). Отметим, что предположение (5) вводится для простоты. В общем случае надо рассматривать неоднородный контур с током. Причина такой неоднородности легко может быть указана для мощных силовых кабелей, которые своим полем деформируют окружающую среду. Кроме этого изначально возможно неоднородность среды при рассмотрении узких прикладных задач, в том числе - ее кусочная неоднородность.

В рассматриваемом случае уравнения (2) еще более упрощаются.

(6)

Система (6) есть система уравнений магнитостатики вещества в простейшем случае. Следует еще раз обратить внимание на ограничения, в которых получена эта система уравнений отнюдь не общего вида. С учетом этих ограничений строится и алгоритм ее решения. В случае микроскопической магнитостатики, как было показано ранее, термин "магнитостатика" весьма условен ввиду того, что для ее построения привлекается довольно сложная классическая модель. В макроскопической же электродинамике с самого начала приходится работать с усредненными полями. Поэтому сам термин "статика" используется при построении соответствующего приближения без условностей и оговорок.

Согласно основной теореме векторного анализа, величина (как это следует из (6)) может быть представлена в виде

(7)

Выберем такое же калибровочное условие для вектора , какое использовалось в микроскопической магнитостатике

(8)

Подставляя (7), (8) в первое из уравнений (6) получаем с использованием стандартной формулы векторного анализа уравнение для

(9)

Уравнение (8) есть уравнение Пуассона и его решение имеет вид:

(10)

где и - точка наблюдения поля.

Область интегрирования есть область локализации токов свободных зарядов (контуров с током) и интегрирование в (10) идет по области пространства, занятой этими контурами. Зная выражения для можно найти

(11)

Формула (11) есть закон Био-Савара-Лапласса в макроскопической магнитостатике. Формула (11) еще не предполагает, что проводники с током являются тонкими. Упростим ее, рассматривая тонкие проводники (см. условие 1).

Пренебрегая отношением , можно считать, что совпадает по направлению с элементом контура (Рис. 2).

Рис. 2. Тонкий контур с током плотности . Величина касательная к контуру во всех его точках. Вектор есть единичный вектор касательной к контуру, - координата точки контура.

Пусть , а - единичный вектор касательной к контуру. Тогда справедливо

(12)

откуда следует, что

(13)

где - площадь контура; - полный ток через поперечное сечение проводника в единицу времени.

Ток постоянен во времени, так как поле - статистическое. Тогда в силу закона сохранения заряда ток постоянен и вдоль контура.

Вынося ток за знак интеграла в (11) и переходя от интегрирования по пространству к интегрированию по замкнутому контуру с током, получим закон Био-Савара-Лапласса для замкнутого конура с током

(14)

Рассмотрим вопрос, в каких случаях можно использовать закон Био-Савара-Лапласса в виде (14), а в каких - выписывать его из других соображений. Выделим высокосимметричные ситуации из всех возможных ситуаций. Они важны не только потому, что поддаются простому анализу, а еще и потому, что

1) используются для постановки метрологических экспериментов;

2) высокосимметричные ситуации как раз являются теми ситуациями, когда величине можно придать смысл характеристики источников и рассматривать ее как некое физическое поле (аналогичная ситуация имеет место в электростатике изотропных сред).

К числу высокосимметричных ситуаций можно заведомо отнести

1) очень тонкий и очень длинный прямолинейный провод;

2) магнитное поле прямолинейного провода с током в проводнике конечной толщины с геометрией цилиндра. Радиус цилиндра конечен. Такая геометрия позволяет соотнести расчет поля с полем очень тонкого провода и потребовать совпадения результатов при бесконечно малой толщине цилиндра.

3) поле соленоида с током.

Приведем решение последней задачи 3. Рис. 3: - число витков на единицу длины соленоида. Стрелочками показан замкнутый контур интегрирования . Точка в кружке - ток течет на наблюдателя. Крестик в кружке - ток течет от наблюдателя. Стрелочкой с буквой изображено постоянное магнитное поле соленоида.



Рис. 3. Поперечный разрез соленоида с током, создающего магнитное поле .

Соленоид представляет собой катушку с ферритовым сердечником (сердечник состоит из материала, обладающего магнитными свойствами с магнитной проницаемостью ). Будем считать катушку бесконечно длинной и обладающей большим числом витков, приходящихся на единицу его длинны. Запишем уравнение Максвелла (6.235) при и сразу в интегральной форме

(15)

Интегрирование в (15) ведется по плоскости , одетой на контур внутри соленоида (см. Рис. 3).

Применим к (15) теорему Стокса и получим

(16)

где - полный ток, протекающий через контур .

Пользуясь симметрией задачи, возьмем интегралы в (16). Получим

где .

- полный ток, протекающий через контур ; где - ток в обмотке соленоида; - полное число витков, проходящих через контур длинны (Рис. 3).

Очевидно, что силовые линии магнитного поля замыкаются на бесконечности (так что надо привлекать для анализа поле и уравнение . Фактически поле строится по двум уравнениям. Так что для этой ситуации, несмотря на то, что поле прямолинейной части соленоида постоянно ).

Итого получаем

(17)

В формуле (17) слева стоит величина , о которой ранее говорилось, что она не имеет прямого физического смысла. Число витков на единицу длинны создается и контролируется экспериментатором. Получим, что для соленоида имеется жесткая связь между физическими величинами и .

Поэтому поле характеризует в этой задаче систему свободных токов и ему придается статус характеристики свободных источников поля - токов. Величина характеризует подсистему свободных токов или внешний источник поля. Меняя ток будем менять величину . Меняя , на самом деле, меняем состояние магнитного сердечника соленоида. Итого всю задачу можно представлять себе как задачу о восприимчивости по отношению к полю .

На самом деле, для этой конфигурации токов оба равенства

 и

характеризуют реакцию материала на изменение силы тока и демонстрируют возможность постановки задачи для соленоида, как задачи о нахождении восприимчивости по отношению к полю .

Рассчитаем магнитный момент контура с током для тонкого провода, помещенного в вещество.

3. Магнитный момент тонкого провода с током в веществе

Пусть рассматривается тонкий контур с током. Для расчета первоначально будем исходить из формулы микроскопической магнитостатики, характеризующей плотность тока

(18)

Выражение для магнитного момента

(19)

Запишем (19) в интегральной форме с учетом выражения (18) для :

(20)

Произведем усреднение (20) по ансамблю частиц, движущихся в контуре с током

 (21)

Учтем, что для тонких проводников

(22)

Подставим (22) в (21), учитывая постоянство тока вдоль контура и получаем выражение для среднего магнитного момента, который в этом приближении обозначим просто

(23)

Очевидно, что - выражение для бесконечно-малой площадки, одетой на контур и направленный к нему радиус-вектор . При интегрировании по всему контуру получаем полную площадь контура , умноженную на . Итого

(24)

На этой формуле закончим обсуждение макроскопической магнитостатики.

4. Макроскопические измерения магнитных полей

Попробуем еще раз ответить на вопрос о том, какие же величины принципиально наблюдаемы в теории магнетизма? Еще раз перечислим их

- магнитная индукция электромагнитного поля;

- магнитная напряженность;

- магнитный момент единицы объема;

- магнитная проницаемость;

- восприимчивость по отношению к магнитной напряженности;

- коэффициент пропорциональности из соотношения

(25)

Внешние токи характеризуются величинами

- сила тока;

- вектор, параллельный контуру с током.

Как измерить эти величины?

Во-первых, существует выражение для силы Лоренца

(26)

Глядя на выражение (26), можно задаться вопросами, достаточно ли его для того, чтобы измерить силу, действующую на токи? Как запустить в магнетик пробный заряд ""?

Реально измерить с помощью пробных зарядов в макроскопической магнитостатике невозможно. Рассмотрим пример хорошо характеризующий возможный подход к проблеме измерения. Речь идет о так называемых косвенных измерениях при переходных процессах. Воплощение экспериментальной установки, которое мы выбираем - соленоид с обмоткой, включенной в цепь с гальванометром (Рис. 4).



Рис. 4. Гальванометр , измеряющий ток включен в цепь, состоящую из соленоида, источника питания и размыкающего цепь ключа. - контур с током. - индуцируемое магнитное поле.

Пока ток в цепи выключен, гальванометр установлен на нуль. После включения тока магнитное поле в цепи не возникает мгновенно. Возникновение постоянного, не изменяемого далее значения происходит после переходного процесса. Установление постоянного значения происходит, когда ток в цепи достигает значения фиксируемого Э.Д.С. источника (Рис. 5).

От момента включения и до момента установления поле соленоида переменно. То есть измерение постоянного поля возможно лишь только потому, что поле с самого начала не постоянно, а переменно (Установление поля происходит за времена - много большие времени переходного процесса в цепи).

Спустя время переходного процесса происходит переход системы в асимптотическое состояние с постоянным полем . Таким образом, как это ни парадоксально, утверждение о непостоянстве поля в цепи воплощается в жизнь. Переменное магнитное поле порождает переменное электрическое, которое описывается законом индукции Фарадея

(27)

Последнее уравнение легко переписывается в интегральной форме

(28)

где в левой части стоит циркуляция электрического поля вдоль цепи (контур интегрирования объемлет цепь на Рис. 4).

- индуцируемое в контуре магнитное поле;

- полный магнитный поток, пронизывающий контур .

Рис. 5. Схематические графики переходного процесса, при котором происходит установление магнитного поля и тока в цепи.

Пусть - сопротивление цепи;



- наведенная Э.Д.С. электрической индукции. Учитывая, что индуцированное магнитное поле ортогонально контуру с током, перепишем (28) в виде

(29)

Воспользуемся законом Ома

(30)

Тогда выражение (29) переходит в дифференциальное уравнение для заряда , протекающего по цепи

(31)

Таким образом, скорость появления заряда в гальванометре совпадает, согласно закону электромагнитной индукции со скоростью генерации магнитного поля .

После достижения асимптотического состояния , никаких изменений в цепи более не происходит. Гальванометр показывает полный текущий по цепи заряд

.

Интегрируя (31) с нулевыми начальными условиями, изображенными, изображенными на графике (см. Рис. 5), получаем

(32)

Итак, по показанию гальванометра , определяется индукция магнитного поля . Для соленоида имеет место формула, по которой считается магнитная напряженность

(33)

Зафиксировав постоянную катушку и силу тока в цепи после окончания переходного процесса (по показанию гальванометра ) рассчитываем и магнитную напряженность .

Итак

В описанной конструкции опыта косвенным путем по току и заряду рассчитываются и , и . Прямого же метода их измерения нет вообще. Обратим внимание на то, что весь метод измерения основан на знании законов электродинамики! Зная эти законы, удалось измерить и . После этого вспоминаем теоретическую формулу для магнитной проницаемости

(34)

и находим .

Теоретические формулы существуют для всех величин, характеризующих материалы , , , . Поэтому после нахождения и , они находятся из этих теоретических формул.

Размещено на Allbest.ru

...