Проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Южный Федеральный Университет

Кафедра общей физики

Методические указания к лабораторной работе

Проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела

Евсеева Р.Я., Мясникова Т.И.

Ростов-на-Дону

2010



1. Краткая теория

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид

. (1)

Это уравнение напоминает уравнений Ньютона для движения материальной точки:

Роль массы m в уравнении (1) играет момент инерции J, роль скорости угловая скорость w, роль силы F- момент силы M.

Если момент инерции J при вращении остается постоянным, уравнение (1) переходит в

, (2)

т.е. произведение момента инерции J твердого тела относительно неподвижной оси вращения на угловое ускорение равно сумме моментов внешних сил относительно той же оси.

Напомним: движение инерция ньютон маятник

1. Угловое ускорение (изменение угловой скорости со временем).



2. Угловая скорость (изменение угла поворота радиуса вектора со временем).

где T- период, n- число оборотов в единицу времени.

где V- линейная скорость.

a- линейное ускорение, R-радиус

3. Моментом инерции твердого тела относительно оси называется величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси т. е.

,

где - плотность тела, r- расстояние от элемента массы dm до оси вращения, dV- объем элемента массы dm. J зависит от формы и размеров тела. К примеру, для стержня относительно оси, проходящей через его конец. (m- масса стержня, l- его длина).

Для диска (цилиндра) относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости диска: J= , R- радиус диска.

Для шара относительно оси проходящей через центр масс:

J=.

4. Момент силы- это векторное произведение

M=[rF], M=rFsin=d*F

где r - радиус-вектор из точки О ( оси вращения) до точки приложения силы F, d- плечо силы, кратчайшее расстояние от оси вращения до направления действия силы F, - угол между r и F.

2. Описание прибора. Вывод расчетных формул

Прибор- маятник Обербека - схематически изображен на рисунке. Он состоит из четырех стержней и двух шкивов (А) различного радиуса (R₁ и R₂), укрепленных на одной горизонтальной оси. На стержни надеваются одинаковые грузы массой , которые могут быть закреплены на разных расстояниях (l) от оси вращения. На шкив (А) наматывается нить, которая потом перебрасывается через вспомогательный легкий блок (В). К свободному концу нити прикрепляется груз массой m, под действием которого маятник приходит в равноускоренное вращательное движение. Путь груза h за фиксированное время t отмечается по шкале с делениями. Трением пренебрегаем.

Для поступательного движения груза m на нити можно записать 2^ой закон Ньютона:



ma= mg-T. (3)

Для вращательного движения маятника:

JTR, (4)

Моменты сил P и N равны 0 нулю, так как силы P и N проходят через ось вращения и их плечи равны нулю.

Угловое ускорение маятника и линейное ускорение груза a связаны с соотношением

а=R, (5)

В следствии нерастяжимости нити ускорение всех точек нити одинаково и равно ускорению любой точки поверхности шкива.

Решая совместно уравнения (3), (4), (5), можно найти постоянное во времени значения ускорения

(6)

С другой стороны, из формулы для равноускоренного движения груза m:

h=, можно найти (7)

Приравнивая (6) и (7), получим:

(8)

Используя уравнение (8), можно получить два варианта проверки основного уравнения динамики вращательного движения (2).

1 вариант.

При постоянном моменте инерции маятника J₁=J₂= const; изменяем момент внешних сил, меняя массу груза m на нити. Проверяем соотношение:

(9)

2 вариант.

Изменяется момент инерции при постоянных массе груза m и радиусе шкива R. Момент инерции маятника складывается из момента инерции его (J₀) без грузов и из четырех одинаковых моментов инерции (для грузов ):

J=J₀+4J . (10)

Применяя для грузов теорему Штейнера, можно записать для одного груза

J^l=J^l₀+l^{2 .} (11)

Тогда

J=J₀+4J^l₀+4 l² . (12)

Подставив это выражение в (8), получим для случая, когда грузы на крестовине находятся на расстояние l₁

J₀+4J^l₀+ l₁² = .

Когда грузы находятся на расстоянии l₂

J₀+4J^l₀+ = ,

вычтем из одного уравнения другое, найдем

4(l²₁-l²₂)=, (13)

что соответствует фактически проверке соотношения

. (14)

3. Упражнения

Упражнение 1

При постоянном моменте инерции системы проверяется соотношение (9), т. е. что , что равносильно соотношению

. (15)

Изменение момента силы M, а вместе с тем и изменение углового ускорения , достигается либо изменением радиуса шкива R, на который наматывается нить, либо изменением массы груза m, висящего на нити ( при этом изменяется сила натяжение нити T), По указанию преподавателя нужно изменять либо R, либо m, либо то и другое.

Расположите цилиндры на кресте вдали от оси на одинаковом расстоянии , которое надо измерить. Фактически это расстояние от середины цилиндра до оси.

Навесив на нить груз массой m, определите время , в течение которого этот груз проходит путь h, повторив опыт 3-5 раз.

Навесив на нить груз массой , определите время , в течение которого этот груз проходит тот же путь.

4. Данные измерений занести в таблицу, заполнив строки 1 и 2. Строка 3 заполняется при выполнении упражнения 2.

№ опыта	m, кг	l,м	R,м	h,м	t,с	Среднее значение
1	m1=				t1
2	m2=				t2
3	m3				t3

5. Использовав данные 1 и 2 строк таблицы, произвести вычисления J₁ и J₂ , помним, что

m₂>m₁, J₁=, J₂=.

В расчетах значений и берутся средние значения времен и . Радиусы шкивов могут меняться или не меняться по заданию преподавателя.

6. Относительную ошибку можно вычислить (пренебрегая единицей в формуле (8), т. к. >>1) следующим образом

,

где или из среднего.

7.Абсолютная ошибка метода может быть найдена по формуле . Таким образом, вычисляются ошибки для .

8.Окончательный результат представляется в виде

Упражнение 2.

2-ой вариант проверки основного закона динамики вращательного движения твердого тела заключается в проверке соотношения

,

при постоянном радиусе шкива R= const и массе груза m=const, что выливается в проверку уравнения (13). Изменение момента инерции маятника Обербека достигается при изменении положения цилиндров на кресте. Грузы на кресте перемещают ближе к оси маятника и определяют их положение l₁(от середины до оси маятника).

На нить прикрепляют груз массой m₁(меньшей массы) и определяют время его падения t₃ с высоты h. Результаты измерений заносят в ту же таблицу в третью строку.

Для проверки формулы (13) надо рассчитывать отдельно левую и правую часть формулы. Левую часть обозначим буквой А

A=.

Учитываем , что масса груза При расчете надо ее выразить в кг, а - в метрах.

Правую часть формулы (13) обозначим буквой B



.

Относительную ошибку для левой части формулы (13) можно вычислить по формуле:

,

для правой части

в предположении что

Дh=1 см

Для нахождения абсолютных ошибок надо вычислить ; .

Окончательный ответ представить в виде

.

Упражнение 3

Определение величины момента сил трения в оси маятника. К концу нити, намотанной на тот или иной шкив, прикрепляют груз минимальной массы, постепенно увеличивая его до тех пор, пока маятник не начнет вращаться. Не менее трех раз находим наименьшее значение веса груза. Потом находят среднее арифметическое из полученных величин. Величина момента сил трения в оси маятника будет равна: M=, где R-радиус соответствующего шкива. Величина момента силы

M=.

Относительная ошибка, допускаемая при пренебрежении силой трения, может быть определена по формуле:

Упражнение 3 выполняется по заданию преподавателя.



Контрольные вопросы

1.Запишите формулу и сформулируйте основной закон динамики вращательного движения твердого тела.

2.Что такое момент инерции, момент силы?

3.Что такое угловая скорость? Как она связана с линейной скоростью?

4.Что такое угловое ускорение? Как оно связано с линейным ускорением?

5.Сформулируйте и запишите теорему Штейнера.

6.Запишите 2-ой закон Ньютона для груза на нити.

7.Запишите закон движения крестовины.

8.В чем заключается проверка основного закона вращательного движения твердого тела в данной работе?

Размещено на Allbest.ru

...