Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут фізики конденсованих систем

УДК 530.145.61

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Суперсиметрія електрона в магнітному полі

01.04.02 -- теоретична фізика

Вакарчук Святослав Іванович

Львів 2009

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Рух електрона в магнітному полі завжди був предметом наукового інтересу. Вперше задачу про рух електрона в однорідному постійному магнітному полі розв'язав ще Ландау на початках становлення квантової механіки, знайшовши точні вирази для власних значень та власних функцій. Пізніше було знайдено багато електромагнітних полів, для яких задача знаходження власних значень та власних функцій розв'язується точно. Але й зараз залишається багато нерозв'язаних задач. Наприклад, навіть для однієї з найпростіших конфігурацій магнітного поля, а саме поля прямого дроту зі струмом, неможливо одержати точні розв'язки відповідної задачі про власні значення. Енергетичний спектр та хвильові функції цієї задачі були досліджені чисельним методом.

У 70-х роках минулого століття Віттен запропонував суперсиметричну квантову механіку як інструмент для вивчення основних властивостей квантових моделей. Пізніше виявилося, що суперсиметрична квантова механіка є цікавою сама по собі. Одним із прикладів, де суперсиметрія реалізується як фізична симетрія системи, є рух електрона в магнітному полі.

Було показано, що в довільному двовимірному полі та у парному і непарному тривимірних полях реалізується N = 2-суперсиметрія. Зауважимо, що суперсиметрія в магнітному полі існує тільки тоді, коли g-фактор рівний 2. Наявність суперсиметрії з двома суперзарядами призводить до двократного виродження всіх енергетичних рівнів, крім основного у вказаних неоднорідних полях, що узагальнює результат Ландау в однорідному полі. Суперсиметрія була знайдена як для рівняння Паулі, так і для релятивістського рівняння Дірака. Зауважимо, що клас полів, у яких реалізуються суперсиметрії, був досить вузький. Пошук нових суперсиметричних квантових систем залишається актуальною задачею до цього часу. З цієї точки зору важливим є рівняння Паулі з масою, залежною від координат, в якому присутня суперсиметрія. Такі задачі виникають, наприклад, при розрахунку фізичних характеристик наногетероструктур.

У рамках суперсиметричних систем актуальною є задача про основний стан. Розв'язок цієї задачі дає можливість відповісти на питання про те, точною чи порушеною є суперсиметрія. Ще однією важливою задачею є знаходження магнітних полів, для яких рівняння Паулі квазі-точно розв'язуване.

Зв'язок суперсиметрії зі сплутаністю квантових станів є маловивченою областю квантової інформатики, яка зараз активно розвивається, і такі дослідження є актуальними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка згідно держбюджетної теми Фф-38Б “Квантова теорія конденсованих систем з різними типами невпорядкованості” (номер держреєстрації № 0100U001446).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є дослідження суперсиметрії в магнітних полях у рамках гамільтоніану Паулі та Дірака і застосування властивостей суперсиметрії для знаходження енергетичних рівнів електрона в цих полях. Важливе місце займає дослідження основного стану електрона в магнітних полях. Однією з задач було вивчення рівняння Паулі з масою, залежною від координат, в рамках суперсиметричного підходу, а також знаходження основного стану електрона в магнітних полях різних конфігурацій. Було приділено увагу знаходженню магнітних полів, для яких двовимірне рівняння Паулі стає квазі-точно розв'язуваним. Зв'язок суперсиметрії зі сплутаністю квантових станів був також метою досліджень роботи.

Об'єктом досліджень є електрон у магнітних полях. Предметом досліджень є суперсиметрія гамільтоніану Паулі та Дірака. Методом дослідження виступає факторизація від повідних диференціальних рівнянь, що дає можливість понизити їхній порядок.

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі вперше знайдено приклади нових тривимірних магнітних полів, в яких рух електрона, що описується рівнянням Паулі, володіє N = 2,3,4-суперсиметрією. Вперше поширено ці результати на релятивістський випадок, що описується рівнянням Дірака. Побудовано розширену алгебру суперсиметрії, що реалізується при русі електрона у знайдених нами магнітних полях.

Досліджено основний стан електрона у дво- і тривимірних полях. Вперше отримано енергію та хвильову функцію основного стану електрона в магнітному полі прямих струмів та показано, що в цьому випадку суперсиметрія є порушеною. Знайдено асимптотичну поведінку енергії основного стану електрона в магнітному полі прямого струму при малих значеннях повного орбітального моменту. Розглянуто рівняння Паулі з масою, залежною від координат, та вперше узагальнено на цей випадок теорему Ааронова-Кашера про зв'язок кількості зв'язаних станів з величиною магнітного потоку.

Вперше застосовано метод суперсиметрії для побудови квазі-точно розв'язуваних задач із двома відомими енергетичними рівнями до рівняння Паулі. Знайдено квазі-точно розв'язувані аксіально-симетричні магнітні поля, при русі електрона в яких є точно відомі два енергетичні рівні та відповідні хвильові функції.

Вперше показано, що із суперсиметрією гамільтоніана Паулі пов'язана сплутаність спінових та координатних станів. Квадрат міри сплутаності (узгодженості) дорівнює сумі квадратів середніх значень суперзарядів, розділеній на енергію електрона. Власні стани суперзарядів є максимально сплутаними.

Виявлена суперсиметрія при русі електрона в магнітному полі може бути корисна при дослідженні виродження енергетичних рівнів електрона. Результати, отримані при дослідженні рівняння Паулі з масою, залежною від координат, можуть бути використані при експериментальному та теоретичному вивченні руху електрона в наногетероструктурах. Зв'язок суперсиметрії зі сплутаністю спінових та координатних станів електрона в магнітному полі може бути корисним при генеруванні цих станів у відповідних експериментах.

Практичне значення отриманих результатів. Проведені в дисертації дослідження властивостей суперсиметрії в магнітних полях сприяють як отриманню нових результатів, так і глибшому розумінню вже отриманих раніше результатів іншими методами. Зокрема, існування N = 2, 3, 4 суперсиметрії приводить до відповідного виродження ненульових енергетичних рівнів. Цей факт має важливе значення для експериментальних та теоретичних досліджень руху електрона в магнітному полі.

Існування порушеної суперсиметрії, про яке йде мова у розділі IV, зв'язане зі стабільністю одноелектронного атома з високим ядерним зарядом в такому магнітному полі.

Отримане рівняння на власні значення електрона в полі прямого струму дозволяє точно дослідити поведінку енергетичних рівнів електрона при малих значеннях повного моменту.

Результати, отримані при дослідженні рівняння Паулі з масою, залежною від координат, можуть бути використані при експериментальному та теоретичному вивченні руху електрона в наногетероструктурах.

Зв'язок суперсиметрії зі сплутаністю спінових та координатних станів електрона в магнітному полі може бути корисним при генеруванні цих станів у відповідних експериментах.

Особистий внесок здобувача. Постановку задач дослідження здійснив науковий керівник професор В. М. Ткачук. Всі викладені в дисертації оригінальні результати отримано автором самостійно або при його безпосередній участі. У роботах, виконаних із науковим керівником, здобувачу належить:

— знаходження прикладів нових тривимірних магнітних полів, у яких рух електрона володіє суперсиметрією;

— розрахунок індексів Віттена для суперсиметричних систем;

— розрахунок енергії основного стану електрона в магнітному полі прямого струму;

— узагальнення теореми Ааронова-Кашера при русі електрона з ефективною масою, залежною від координат, в магнітному полі;

— розрахунок міри сплутаності (узгодженості) спінових та координатних змінних електрона в однорідному магнітному полі та її зв'язок із суперсиметрією задачі.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, включені до дисертації, були представлені на таких конференціях і семінарах:

-- Науковий семінар зі статистичної теорії конденсованих систем (Львів, 1997 р.);

-- Міжнародна конференція студентів-фізиків (Відень, 1997 р.);

-- ІНТАС-Україна: робоча нарада з фізики конденсованої речовини (Львів, 1998 р.);

-- Математична фізика 2000: наукова конференція (Лондон, 2000 р.);

-- Робоча нарада із сучасних проблем теорії рідин (Львів, 2000 р.);

-- IV Міжнародна наукова конференція “Фізика невпорядкованих систем” (Львів, 2008 р.).

Результати роботи також неодноразово обговорювалися на семінарах кафедри теоретичної фізики у Львівському національному університеті імені Івана Франка.

Публікації. Результати дисертаційної роботи опубліковано у вісьмох журнальних статтях [1-8] та п'яти тезах доповідей на конференціях [9-13].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел. Обсяг дисертації становить 143 сторінки, включно зі списком використаних джерел, що містить 136 найменувань. Результати роботи проілюстровано одним рисунком.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність досліджень дисертаційної роботи, висвітлено новизну одержаних результатів, подано зв'язок досліджень із науковою держбюджетною темою, у виконанні якої брав участь автор, сформульовано мету роботи.

У першому розділі викладено історію виникнення суперсиметрії у квантовій механіці, зроблено огляд літератури за цією проблемою та висвітлено сучасний стан досліджень у галузі суперсиметричної квантової механіки.

У другому розділі розглянуто суперсиметричну квантову механіку з N суперзарядами, які задовольняють таку супералгебру:

.

Для пошуку суперсиметрії в реальних фізичних системах зручно представити гамільтоніан і суперзаряди так

,

де оператори парності Віттена задовольняють умовам

.

Розглянуто нерелятивістський рух електрона в тривимірному магнітному полі, який описується гамільтоніаном Паулі, де -- утворений з матриць Паулі, -- векторний потенціал, магнітне поле = rot . При g = 2 гамільтоніан Паулі володіє суперсиметрією і записаний у вигляді квадрата суперзаряду

,

.

Показано, що при русі електрона в полі з векторним потенціалом, який має таку симетрію стосовно інверсії осі z існує оператор Віттена , де -- оператор інверсії. Таким чином, реалізовується суперсиметрія з двома суперзарядами. Знайдено приклад такого поля. Це є поле соленоїда, розміщеного вздовж осі z і симетричного відносно інверсії цієї осі. Суперсиметрія з трьома суперзарядами реалізується в полі прямого струму, напрямленого вздовж осі x. У цьому випадку існують два оператора Віттена

.

Суперсиметрія з чотирма суперзарядами має місце в магнітному полі квадруполя (рис. 1). Тоді:

.

Рисунок 1. Магнітне поле, в якому реалізовується суперсиметрія з чотирма суперзарядами

Поле створено магнітними моментами, як зображено на рисунку.

Отримана також розширена алгебра суперсиметрії, а саме показано, що оператори Віттена можуть бути включені в неї

Показано, що суперсиметрію двовимірного гамільтоніану Паулі (рух електрона у площині xy в однорідному магнітному полі) можна пов'язати із сплутаністю спінових та координатних станів електрона. Внаслідок суперсиметрії ненульові енергетичні рівні електрона в магнітному полі є двократно виродженими. Для додатного значення спіну розв'язок координатної частини 1(x,y), а для від'ємного -- 2(x,y). Найбільш загальний стан, який можна утворити, використовуючи координатні функції 1, 2 та спінові |, |, такий:

.

Цей стан не обов'язково є власним станом електрона в магнітному полі. За аналогією із мірою сплутаності (узгодженості) між двома спінами ми вводимо міру сплутаності між спіновими та координатними станами електрона

,

яка змінюється від нуля (несплутаний стан) до одиниці (максимально сплутаний стан). Несплутаним станом ми називаємо стан, який можна записати як добуток координатної та спінової функцій

.

Власна функція електрона в магнітному полі, внаслідок двократного виродження, є лінійною комбінацією двох власних станів.

Знайдено, що міра сплутаності (узгодженість С) для цього стану пов'язана із середніми значеннями суперзарядів

,

.

Показано, що власні стани суперзарядів є максимально сплутаними станами

,

де при ei = 1 маємо два власні стани суперзаряду Q0, а при ei = i -- два власні стани суперзаряду Q1. Міра сплутаності координатних та спінових станів (узгодженість C) у цьому випадку є максимальною та рівна одиниці.

У третьому розділі розглянута суперсиметрія гамільтоніана Дірака.

Суперзаряд, який комутує з цим гамільтоніаном, є таким:

,

.

суперсиметрія електрон магнітний поле

Гамільтоніан Дірака із суперзарядом пов'язані рівнянням

.

Показано, що суперсиметрія релятивістського електрона з двома, трьома і чотирма суперзарядами реалізується у тих самих тривимірних магнітних полях, що і нерелятивістського. Відповідні оператори Віттена в цьому випадку є такими:

.

У релятивістському випадку також знайдено розширену алгебру суперсиметрії, яка включає в себе оператори парності Віттена.

У чертвертому розділі досліджено основний стан електрона для двох випадків: двовимірний рух електрона в магнітному полі з масою, залежною від координат, та в полі прямого струму.

Розглянуто масу, залежну від координат

,

де f(r) -- функція деформації. При цьому виникає добре відома проблема впорядкування маси та імпульсу в кінетичній енергії. Запропоновано один із способів впорядкування, який зберігає суперсиметрію гамільтоніану Паулі, тобто гамільтоніан можна записати як квадрат ермітового оператора

,

.

Оскільки оператор інверсії комутує з f(r), то у цьому випадку для відповідних магнітних полів також реалізовується суперсиметрія з двома, трьома і чотирма суперзарядами. Отримано гамільтоніан Паулі для цього випадку. Досліджено нульові моди електрона при русі у площині x-y з аксіально симетричним магнітним полем

.

Узагальнено теорему Ааронова-Кашера про кількість станів з нульовою енергією електрона в магнітному полі, коли функція деформації при великих має асимптотику,

,

де < 1. При > 1

Зауважимо, що частковий випадок = 0 відповідає теоремі Ааронова-Кашера про кількість станів з нульовою енергією електрона з постійною масою у магнітному полі.

У цьому розділі також проведено розрахунок індексів Віттена при русі електрона у магнітному полі.

У п'ятому розділі розглянуто квазі-точно розв'язуване двовимірне рівняння Паулі. Задача називається квазі-точно розв'язуваною, якщо для неї вдається знайти в явному вигляді кілька енергетичних рівнів та відповідних хвильових функцій. У цьому розділі ми поширили розвинутий раніше метод для побудови квазі-точно розв'язуваних потенціалів з двома відомими станами на випадок двовимірного рівняння Паулі з аксіально симетричним векторним потенціалом.

,

де . Гамільтоніан Паулі у цьому випадку можна записати так:

,

де -- суперсиметричні партнери і мають факторизований вигляд. Власне, цей факт є надалі важливий для побудови квазі-точно розв'язуваних магнітних полів. Розв'язок рівняння на власні значення шукаємо у вигляді

.

Для радіальної частини хвильової функції маємо рівняння

,

де радіальна частина гамільтоніану Паулі знову має факторизований вигляд

,

а оператори породження і знищення мають такий самий вигляд, як в одновимірній суперсиметричній квантовій механіці

з суперпотенціалом

.

Власне, цей факт дає можливість застосувати суперсиметричну одновимірну квантову механіку для побудови квазі-точно розв'язуваних двовимірних магнітних полів. Для радіальної частини хвильової функції основного стану знаходимо

,

а для функції першого збудженого рівня, відповідно

,

де суперпотенціали W, W1 виражаються через генеруючу функцію W+

Різним генеруючим функціям W+ відповідають різні магнітні поля, для яких рівняння Паулі є квазі-точно розв'язуваним з двома відомими рівнями. Енергію рівня знаходимо з умови несингулярності в усіх точках, крім = 0. У випадку, коли W+ має один нуль в точці a, знаходимо 2 = W +(a). Вибравши відповідним чином генеруючу функцію, можна забезпечити також несингулярність магнітного поля в нулі. Для генеруючої функції

маємо

при g = 2(m - 1) векторний потенціал є несингулярною функцією

.

Якщо f () = f (0) при 0, то магнітне поле буде також несингулярною функцією.

Як приклад розглянуто дві генеруючі функції. Перша з них

дає однорідне магнітне поле, і задача, таким чином, стає точно розв'язуваною. Для другої генеруючої функції

отримано в явному вигляді векторний потенціал, хвильові функції основного стану та першого збудженого для руху електрона в ньому. Зауважимо, що друга генеруюча функція узагальнює першу і зводиться до неї при = 0.

Дисертаційна робота завершується Висновками та Списком використаних джерел.

Основні результати та висновки дисертації можна викласти у вигляді таких тверджень:

1. Вперше знайдено нові тривимірні поля, для яких реалізується суперсиметрія гамільтоніанів Паулі та Дірака з двома, трьома та чотирма суперзарядами.

2. Підтверджено, що суперсиметрія електрона в полі прямого струму є порушеною, тобто не існує стану з нульовою енерґією.

3. Вперше знайдено вираз для енерґії основного стану та хвильової функції електрона в полі прямого струму з аксіально-симетричним розподілом густини в асимптотиці малого повного орбітального моменту електрона.

4. Вперше знайдено нові квазі-точно розв'язувані аксіально-симетричні магнітні поля з двома відомими енерґетичними рівнями електрона.

5. Розглянуто рівняння Паулі з масою, залежною від координат, та вперше узагальнено на цей випадок теорему Ааронова-Кашера про зв'язок кількості зв'язаних станів з величиною магнітного потоку.

6. Вперше показано, що із суперсиметрією гамільтоніана Паулі пов'язана сплутаність спінових та координатних станів. Квадрат міри сплутаності (узгодженості) дорівнює сумі квадратів середніх значень суперзарядів, розділеній на енергію електрона. Власні стани суперзарядів є максимально сплутаними.

Основні результати дисертації опубліковано в таких роботах

1. Tkachuk V. M. The N = 4 Supersymmetry of Electron in the Magnetic Field / Tkachuk V. M., Vakarchuk S. I. // J. Phys. Stud.-- 1996.-- V. 1, No. 1.-- P. 39-41.

2. Tkachuk V. M. Supersymmetry of the Electron in a Three-Dimensional Magnetic Field / Tkachuk V. M., Vakarchuk S. I. // Phys. Lett. A.-- 1997.-- V. 228, Issue 3.-- P. 141-145.

3. Вакарчук С. І. Iндекси Віттена для задачі пpо pух електpона в магнітному полі / Вакарчук С. І. // Вісн. Львів. ун-ту, сеp. фізична.-- 1998.-- Вип. 31: Фізика і хімія матеріалів електронної техніки.-- С. 17-19.

4. Tkachuk V. M. Broken supersymmetry for the electron in the magnetic field of straight current / Tkachuk V. M., Vakarchuk S. I. // J. Phys. Stud.-- 1999.-- V. 3, No. 3.-- P. 291-294.

5. Tkachuk V. M. Ground state of the electron in the magnetic field of a straight current / Tkachuk V. M., Vakarchuk S. I. // J. Phys. A.-- 2001.-- V. 34.-- P. 653-662.

6. Ткачук В. М. Квазіточно розв'язуване рівняння Паулі / Ткачук В. М., Вакарчук С. І. // Журн. фіз. дослідж.-- 2002.-- Т. 6, №2.-- С. 147-152.

7. Ткачук В. М. Рівняння Паулі з масою, залежною від координат / Ткачук В. М., Вакарчук С. І. // Журн. фіз. дослідж.-- 2006.-- Т. 10, №2.-- С. 81-85.

8. Ткачук В. М. Суперсиметрія гамільтоніана Паулі та сплутаність квантових станів / Ткачук В. М., Вакарчук С. І. // Журн. фіз. дослідж.-- 2008.-- Т. 12, №4.-- 4004.-- 3 с.

9. Ткачук В. М. Точна і порушена суперсиметрія рівняння Паулі для тривимірного магнітного поля / Ткачук В. М., Вакарчук С. І. // Науковий семінар з статистичної теорії конденсованих систем: Програма і тези доп., Львів, 14-15 берез. 1997 р.-- Львів, 1997.-- С. 65.

10. Vakarchuk S. Supersymmetry of the Pauli Equation in a Three-Dimensional Magnetic Field / Vakarchuk S. // XII. International Conference for Physics Students ICPS-97, Vienna Univercity of Technology, August 10th -- August 17th 1997.-- P. 25.

11. Tkachuk V. M. Large supersymmetry breaking for the motion of the electron in a magnetic field / Tkachuk V. M., Vakarchuk S. I. // INTAS-Ukraine: Workshop on Condensed Matter Physics. Lviv, May 21-24, 1998.-- Lviv, 1998.-- P. 102.

12. Tkachuk V. M. Motion of the electron in the magnetic field of straight current and supersymmetry / Tkachuk V. M., Vakarchuk S. I. // Workshop on Modern Problems of Soft Matter Theory: Book of Abstr., Lviv, 27-31 Aug. 2000.-- Lviv, 2000.-- P. 101.

13. Tkachuk V. M. Supersymmetry of Pauli equation with position dependent mass / Tkachuk V. M., Vakarchuk S. I. // Proceedings of IV International Conference “Physics of Disordered Systems”, Lviv, Ukraine, 14-16 October, 2008 = Матеріали IV міжнародної наукової конференції “Фізика невпорядкованих систем”, Львів, Україна, 14-16 жовтня, 2008.-- P. 9.

Анотація

Вакарчук С. І. Суперсиметрія електрона в магнітному полі. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика, Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2009.

Дисертація присвячена дослідженню суперсиметрії електрона в магнітному полі. Розглянуто нерелятивістський випадок, який описується гамільтоніаном Паулі, та релятивістський, який описується гамільтоніаном Дірака. Знайдено приклади тривимірних магнітних полів, у яких реалізовується суперсиметрія з двома, трьома і чотирма суперзарядами та отримана розширена алгебра суперсиметрії, яка включає в себе оператори парності Віттена. Встановлено зв'язок суперсиметрії електрона в однорідному магнітному полі зі сплутаністю спінових та координатних станів електрона. Показано, що міра сплутаності (узгодженість) квантових станів рівна сумі квадратів середніх значень суперзарядів розділеної на енергію електрона. Власні стани суперзарядів є максимально сплутаними. Розглянуто рівняння Паулі з масою, залежною від координат, при якій зберігається суперсиметрія та узагальнено на цей випадок теорему Ааронова-Кашера про кількість станів з нульовою енергією електрона, який рухається у площині перпендикулярній до магнітного поля. Досліджено основний стан електрона в магнітному полі прямого струму, в якому реалізовується суперсиметрія з трьома суперзарядами. Показано, що основний стан має ненульову енергію і суперсиметрія є порушеною. Суперсиметричний метод побудови квазі-точно розв'язуваних потенціалів з двома відомими рівнями узагальнено для побудови квазі-точно розв'язуваних магнітних полів для двовимірного рівняння Паулі та приведені явні приклади таких полів.

Ключові слова: суперсиметрія в квантовій механіці, гамільтоніан Паулі, гамільтоніан Дірака, сплутаність квантових станів, квазі-точно розв'язувані задачі, індекси Віттена.

Аннотация

Вакарчук С. И. Суперсимметрия электрона в магнитном поле. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика, Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2009.

Диссертация посвящена исследованию суперсимметрии электрона в магнитном поле. Рассмотрен нерелятивистский случай, который описывается гамильтонианом Паули и релятивистский, котрый описывается гамильтонианом Дирака. Найдены примеры трехмерных магнитных полей, в которых реализуется суперсимметрия с двумя, тремя и четырьмя суперзарядами и получена розширенная алгебра суперсимметрии, которая включает в себя операторы четности Виттена. Установлена связь суперсимметрии электрона в однородном магнитном поле с запутанностью спиновых и координатных состояний электрона. Показано, что мера запутанности (согласование) квантовых состояний равна суме квадратов средних значений суперзарядов, разделенной на энергию электрона. Собственные состояния суперзарядов максимально запутанные. Рассмотрено уравнение Паули с массой, зависимой от координат, при которой сохраняется суперсимметрия, и в этом случае обобщена теорема Ааронова-Кашера от количества состояний с нулевой энергией электрона, который движется в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю. Исследовано основное состояние электрона в магнитном поле прямого тока, в котором реализуется суперсимметрия с тремя суперзарядами. Показано, что основное состояние имеет ненулевую энергию, и суперсимметрия нарушена. Суперсимметрический метод построения квази-точно решаемых потенциалов с двумя известными уравнениями обобщен для построения квази-точно решаемых магнитных полей для двухмерного уравнения Паули и представлены явные примеры таких полей.

Ключевые слова: суперсимметрия в квантовой механике, гамильтониан Паули, гамильтониан Дирака, запутанность квантовых состояний, квази-точно решаемые задачи, индексы Виттена.

Abstract

S. I. Vakarchuk. Supersymmetry of the electron in magnetic field.

A thesis for a Candidate of Sciences degree on the speciality 01.04.02 - theoretical physics, Ivan Franko National University of Lviv, 2009.

The thesis is devoted to investigation supersymmetry of the electron in the magnetic field. The non-relativistic case in the frame of the Pauli Hamiltonian and relativistic one in the frame of the Dirac Hamiltonian are considered. The examples of three dimensional magnetic fields for which supersymmetry with two, three and four supercharges exists are found. For instance, the supersymmetry with two supercharges is realized in magnetic field of magnetic moment, the supersymmetry with three supercharges -- in magnetic field of straight current, the supersymmetry with three supercharges -- in magnetic field of magnetic octuple. The superalgebra for these cases is extended using Witten parity operators.

We consider the motion of an electron in the plane perpendicular to the magnetic field which possesses supersymmetry with two supercharges. It is shown that stationary states as a consequence of supersymmetry can have entanglement between spin and coordinate variables of the electron. Squared concurrence for these states is equal to the sum of the squared mean value of supercharges divided by the energy of the electron. The eigenstates of supercharges are maximally entangled.

The motion of electron with position-dependent mass is studied. For three dimensional space with a spherically symmetric dependence of mass on coordinates there exists supersymmetry with two, three and four supercharges similarly to constant mass. In the two-dimensional case the supersymmetry with two supercharges exists for an arbitrary dependence of mass on position and an arbitrary magnetic field, which is perpendicular to the plane of electron motion. For the latter case and for an axially symmetric dependence of mass on coordinates exact wave functions for zero energy ground state are found. The number of zero modes for an electron with position dependent mass in magnetic field is found as well. This result is the generalization of the Aharonov-Casher theorem obtained for constant mass for the case of position-dependent mass.

The ground state of electron in the magnetic of straight current is studied. For this case the supersymmetry with three supercharges is realized. It is shown that ground state of the electron in the magnetic field of this configuration has non-zero energy and thus supersymmetry is broken. The supersymmetric method developed for construction quasi exactly solvable potentials with two known states in one dimensional case is generalized for the case of the two-dimensional Pauli equation. Explicit examples of quasi exactly solvable magnetic field are presented.

Размещено на Allbest.ru

...