Усереднені моделі структурованих рідин

Размещено на http://allbest.ru

Національна академія наук України

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна

УДК 517.944

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

УСЕРЕДНЕНІ МОДЕЛІ СТРУКТУРОВАНИХ РІДИН

01.01.03- математична фізика

Бережний Максим Анатолійович

Харків-2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України

Хруслов Євген Якович, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України (м. Харків), заступник директора

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Копачевський Микола Дмитрович, Таврійський національний університет ім. В.І. Вернадського (м. Сімферополь), завідувач кафедри математичного аналізу

кандидат фізико-математичних наук, доцент Намлеєва Юлія Валеріївна, Інститут прикладної математики та механіки НАН України (м. Донецьк), науковий співробітник відділу нелінійного аналізу

Захист відбудеться «3» червня 2009 р. о 15-00 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна за адресою: 61103, м. Харків, просп. Леніна, 47.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, м. Харків, просп. Леніна, 47.

Автореферат розісланий «30» квітня 2009 р.

Вчений секретар

Спеціалізованої вченої ради Горькавий В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Останнім часом в літературі з механіки рідин спостерігається зростаюча кількість робіт, присвячених вивченню складних рідин. Прикладами таких рідин (речовин), що мають природне походження, є кров, мед, павутина, тощо.

Але зараз все більшого вжитку набувають складні рідини штучного походження- колоїдні суспензії, магнітні рідини, каучук, полімерні рідини. Останні притягають до себе все більшу увагу дослідників через свої дивовижні властивості, відмінні від властивостей ньютонівських рідин.

Як правило, такі рідини мають певну мікроструктуру. Характерною особливістю цієї мікроструктури є наявність основної рідини (дисперсійного середовища), у якій розміщено атоми, молекули або дрібні (розміром до кількох ангстремів) частки іншої речовини (дисперсної фази).

Ці включення взаємодіють між собою завдяки силам різного походження (ван-дер-Вальсовим, електростатичним, тощо), утворюючи при цьому гнучкі пружні ланцюжки, кластери, сітки, тощо.

Загалом, такі суміші проявляють неньютонівську поведінку.

Дослідження їхніх властивостей у рамках відповідних мікроскопічних моделей є практично нерозв'язуваною задачею через те, що доводиться враховувати взаємодію дуже великої кількості дрібних часток. Тому на перший план виходить задача побудови макроскопічних (усереднених) моделей, які б адекватно описували властивості таких речовин.

Так, у роботі Л.В. Берлянда та Є.Я. Хруслова “Homogenized non-Newtonian viscoelastic rheology of a suspension of interacting particles in a viscous Newtonian fluid” було побудовано математичну модель полімерних сумішей, щільно заповнених великою кількістю дрібних часток, які не злипаються та взаємодіють між собою завдяки поверхневим силам, що показує, як взаємодія впливає на усереднене середовище.

Припускалося, що відстані між найближчими частками та розміри часток мають однаковий порядок , тобто концентрація дисперсної фази є порівнянною з концентрацією дисперсійного середовища.

Але на практиці, зазвичай, дисперсна фаза структурованих рідин має дуже малу концентрацію. полімерний дисперсний структурований

Тому природно, що є актуальною побудова усереднених моделей для сумішей з іншим співвідношенням між розмірами часток і відстанями між найближчими частками, що утворюють дисперсну фазу. Саме цим питанням і присвячено дисертаційну роботу.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, які склали зміст дисертації, проведені у відповідності до тематичного плану ФТІНТ ім. Б.І. Вєркіна НАН України з відомчої тематики за темою "Побудова усереднених моделей фізичних процесів у мікронеоднорідних середовищах", державний реєстраційний номер 0106U002559.

Мета та задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова усереднених (макроскопічних) моделей структурованих рідин.

Для досягнення цієї мети необхідно дослідити задачі про асимптотичну поведінку розв'язків відповідних мікроскопічних моделей, що описують малі нестаціонарні коливання в'язкої нестисливої рідини зі змуленими в ній дрібними твердими взаємодіючими частками.

Об'єкт дослідження. Система рівнянь, що моделює динаміку структурованих рідин, утворених в'язкою нестисливою рідиною (дисперсійне середовище) та великою кількістю змулених у ній дрібних твердих часток (дисперсна фаза).

Предмет дослідження. Асимптотична поведінка розв'язків початково-крайових задач, що описують малі нестаціонарні коливання структурованих рідин, і характер збіжності до розв'язків усереднених систем рівнянь.

Методи дослідження. Варіаційні методи теорії усереднення, методи функціонального аналізу і теорії функцій комплексного змінного, методи спектральної теорії операторних жмутків (оператор-функцій, що залежать від спектрального параметра).

Наукова новизна результатів. У дисертації розглянуто систему рівнянь, що описують рух в'язкої нестисливої рідини з великою кількістю дрібних твердих взаємодіючих часток.

Припускається, що система часток залежить від малого параметра так, що відстані між найближчими частками мають порядок , коефіцієнти жорсткості сил взаємодії - порядок е², а розміри часток - порядок е^1+б (0<б?2).

Вивчено асимптотичну поведінку мікроскопічної моделі при е>0 та виведено усереднені рівняння для головного члена асимптотик. Показано, що в залежності від розміру часток головний член асимптотик описується якісно різними моделями. У дисертації вперше:

1. Досліджено допоміжну задачу про коливання дискретної сітки, утвореної великою кількістю концентрованих мас (часток), зв'язаних між собою пружинами.

2. Надано достатні умови на розташування часток, при якому дискретна сітка допускає перехід до неперервної границі. Для встановлення компактності сім'ї розв'язків дискретної задачі доведено дискретний аналог нерівності Корна.

3. Показано, що усереднення системи звичайних диференціальних рівнянь, що описують рухи взаємодіючих часток, приводить до рівнянь теорії пружності.

4. Показано, що при розмірах часток порядку е^1+б (0<б<2) усереднення ньютонівської рідини з частками приводить до однорідного середовища, що є анiзотропною неньютонівською в'язко-пружною рiдиною з пам'яттю, яка описується релаксацiйним членом.

5. У випадку критично малого розміру часток е³ отримано усереднену двокомпонентну модель, яка описує рух двох рідин (стисливої та нестисливої), що проникають одна в одну та взаємодiють мiж собою.

6. Для цього критичного випадку досліджено також задачу про коливання суміші у припущенні дуже великої густини речовини часток.

Для періодичного розташування часток усі усереднені моделі знайдено у явному вигляді.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в роботі, мають теоретичний характер і можуть бути використані при вивченні фізичних і механічних процесів, що мають місце у структурованих рідинах.

Особистий внесок здобувача. Роботи [1] і [5] виконані у співавторстві. У роботі [1] Л.В. Берлянду належить постановка задачі, а дисертанту- доведення основних результатів.

У роботі [5] Є.Я. Хруслову належить постановка задачі, Л.В. Берлянду - зведення її до варіаційної постановки, а дисертанту- доведення основних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації були представлені на семінарах відділу “Математичного моделювання фізичних процесів” Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України (керівник- академік НАН України, професор Є.Я. Хруслов), семінарах кафедри диференціальних рівнянь технічного університету м. Дармштадт (керівник- професор Х.-Д. Альбер) і на міжнародних конференціях "Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки та математики ім. акад. Я.С. Підстригача" (Львів, 2005 р.), "Одинадцята міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука" (Київ, 2006 р.), "Конференція молодих учених- фізика низьких температур" (Харків, 2007 р.), "Lyapunov memorial conference" (Харків, 2007 р.), “Міжнародна школа-конференція “Тараповські читання” (Харків, 2008 р.), “CIMPA Summer School “Nonlinear analysis and geometric PDE” (Цахкадзор, Вірменія, 2008 р.), "Ювілейна підсумкова наукова конференція ФТІНТ, присвячена 90-річчю НАН України" (Харків, 2008 р.), "First Winter School on PDEs and inequalities" (Мадрид, Іспанія, 2009 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 5 статтях у наукових фахових виданнях і 4 тезах доповідей на міжнародних конференціях.

Структура та об'єм роботи Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел зі 105 найменувань на 12 сторінках. Загальний обсяг дисертації складає 159 сторінок машинописного тескту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, розглянуто сучасний стан проблеми, визначено мету та задачі дослідження, вказано на наукову новизну та практичне значення роботи.

У першому розділі зроблено огляд результатів, що стосуються теми роботи.

У другому розділі розглянуто базову задачу про коливання дискретної системи концентрованих мас, що допомагає встановити пружну поведінку дисперсної фази структурованих рідин.

Має місце така теорема.

Теорема 1. Нехай виконуються умови I-III та існують границі (12). Тоді послідовність сплайнів (13), побудованих за розв'язком дискретної задачі (5)-(7), при збігається слабко в (для будь-якого T>0) до вектор-функції , що є розв'язком задачі лінійної теорії пружності

(14)

де - тензор деформацій, а - ортонормований базис у . Для загальних неперіодичних розташувань часток коефіцієнти пружності визначаються через мезохарактеристику за допомогою формули (12). Для періодичного розташування часток ці коефіцієнти є константами й обчислюються в термінах пружних сталих (3).

Слід зазначити, що базова задача другого розділу використовується при доведенні основних теорем третього, четвертого та п'ятого розділів.

У третьому розділі розглядається система рівнянь, що описують малі нестаціонарні коливання в'язкої нестисливої рідини з великою кількістю твердих взаємодіючих часток критично малого розміру.

Головним результатом цього розділу є така теорема.

Теорема 2. Припустімо, що мають місце умови I, II, (12), (24), а початкові дані задачі (16)--(21) збігаються при у такому сенсі:

(26)

Тоді вектор-функція збігається слабко у (для будь-якого ) до вектор-функції , такої що пара вектор-функцій є розв'язком крайової задачі

(27)

(28)

(29)

(30)

де ; тензор і функція визначаються формулами (12) і (24) відповідно.

У четвертому розділі задачу третього розділу розглянуто у припущенні, що густина речовини часток залежить від (має порядок ).

Основним результатом цього розділу є така теорема.

Теорема 3 Припустімо, що мають місце умови I, II, (12), (24), функція при слабко в збігається до неперервної функції :

(31)

а початкові дані задачі (16)--(21) задовольняють таким умовам:

a) послідовність вектор-функцій (див. (13)) обмежена рівномірно за в , а при збігається в до ліпшицевої вектор-функції ;

b) послідовність вектор-функцій (див. (25)) при збігається в до вектор-функції ;

c) , де - початкові кутові швидкості часток (див. (20)).

Тоді вектор-функція збігається слабко у (для будь-якого ) до вектор-функції , такої що пара вектор-функцій є розв'язком крайової задачі

(32)

(33)

(34) (35)

де ; тензор і функція визначаються формулами (12) і (24) відповідно.

Задача (32)-(35) має єдиний розв'язок.

П'ятий розділ присвячено дослідженню задачі про малі коливання структурованих рідин з більшим розміром часток (порядку е^1+б , 0<б<2).

Основний результат цього розділу має такий вигляд.

Теорема 4. Нехай виконуються умови (22) і 5.1)-5.3). Тоді вектор-функція , визначена в (25), збігається слабко в (для будь-якого ) до вектор-функції , що є розв'язком такої задачі:

(43)

(44)

(45)

(46)

Задача (42)-(46) має єдиний розв'язок.

Для періодичного розташування однакових часток усереднена модель знаходиться в явному вигляді.

ВИСНОВКИ

Таким чином, у дисертаційній роботі розглянуто систему рівнянь, що описує малі рухи в'язкої нестисливої рідини з великою кількістю змулених у ній дрібних твердих часток, які взаємодіють між собою (лінеаризована система Нав'є-Стокса разом із системою рівнянь руху твердих тіл). Припускається, що діаметри кулястих часток, відстані між ними, величина взаємодії між найближчими частками, а подекуди й густина речовини часток залежать від малого параметра. Вивчено асимптотичну поведінку розв'язку, коли цей параметр прямує до нуля, при різних співвідношеннях між зазначеними величинами. З'ясовано, що в залежності від розміру часток головний член асимптотик описується якісно різними моделями.

1. При розмірах часток порядку усереднення ньютонівської рідини з частками приводить до однорідного середовища, що є анізотропною неньютонівською в'язко-пружною рідиною з пам'яттю, яка описується релаксаційним членом. При цьому, в'язкість основної рідини залишається незмінною через недостатньо великий розмір часток.

2. У випадку критично малого розміру часток отримано усереднену двокомпонентну модель, яка описує рух двох рідин (стисливої та нестисливої), що проникають одна в одну та взаємодіють між собою. Для цього критичного випадку досліджено також задачу про коливання суміші у припущенні дуже великої густини речовини часток.

3. Для опису поведінки пружного каркасу у випадку часток критично малого розміру розглянуто задачу про малі коливання дискретної пружної системи, утвореної великою кількістю концентрованих мас (часток), зв'язаних між собою пружинами. Показано, що усереднення системи звичайних диференціальних рівнянь, що описують рухи взаємодіючих часток, приводить до рівнянь теорії пружності.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. M.A. Berezhnyi and L.V. Berlyand. Continuum limit for three-dimensional mass-spring networks and discrete Korn's inequality. // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 2006. - Volume 54. - Issue 3. - p. 635-669.

2. М.А. Бережной. Малые колебания вязкой несжимаемой жидкости с мелкими твёрдыми взаимодействующими частицами большой плотности. // Доповіді НАН України. - 2005. - № 7. - с. 17-21.

3. М.А. Бережной. Малые колебания вязкой несжимаемой жидкости с мелкими твёрдыми взаимодействующими частицами большой плотности. // Математическая физика, анализ, геометрия. - 2005. - т. 12. - № 2. - с. 131-147.

4. M.A. Berezhnyi. The asymptotic behavior of viscous incompressible fluid small oscillations with solid interacting particles. // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - 2007. - V. 3. - №. 2. - p. 135-156.

5. M. Berezhnyi, L. Berlyand and E. Khruslov. The homogen. model of small oscillations of complex fluids. // NHM,. - 2008. - V. 3. - № . 4 - p. 831-862.

6. М.А. Бережний. Малі коливання в'язкої нестисливої рідини з дрібними тверд. частками великої густини, що взаємодіють між собою. // Тези доповід. конф. молодих учених із сучасних проблем механіки та математики ім. акад. Я.С. Підстригача. - Львів. - 24-27 травня. - 2005. - с. 124-125.

7. М.А. Бережний. Реологія в'язкої нестисливої рідини з дрібними твердими частками, що взаємодіють між собою. // Тези доповідей одинадцятої між нар. наук. Конф. ім. акад. М. Кравчука. - Київ. - 18-20 травня. - 2006. - с. 27.

8. М.А. Бережной. Усреднённые модели сложных жидкостей. // Тез. докл. конф. молод. учёных "Фізика низьк. темпер". - Харк. - 5-7 черв. - 2007. -с. 50.

9. M. Berezhnyi, L. Berlyand. Continuum limit for three-dimensional mass-spring networks. // Lyapunov Memor. Conf.. Book of abstracts. - Kharkiv. - June 24-30. - 2007. - p. 16-17.

АНОТАЦІЯ

Бережний М.А. Усереднені моделі структурованих рідин. - Рукопис. - Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 - математична фізика .

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН Україні, Харків, 2009.

У дисертаційній роботі вивчаються моделі складних рідин, в яких дисперсна фаза складається з великої кількості дрібних абсолютно твердих взаємодіючих часток, і загальна в'язко-пружна поведінка є наслідком взаємодії між частками, а також в'язкості рідкої фази.

За допомогою варіаційних методів проводиться асимптотичний аналіз за малим параметром е, що характеризує мікроструктуру (задає порядок відстаней між найближчими частками), при різних співвідношеннях між розмірами часток і відстанями між найближчими з них.

У залежності від розміру часток головний член асимптотик описується якісно різними моделями.

При розмірах часток порядку усереднення ньютонівської рідини з частками приводить до однорідного середовища, що є анізотропною неньютонівською в'язко-пружною рідиною з пам'яттю, що описується релаксаційним членом.

При цьому, в'язкість основної рідини залишається незмінною через недостатньо великий розмір часток.

У випадку критично малого розміру часток отримано усереднену двокомпонентну модель, що описує рух двох рідин (стисливої та нестисливої), що проникають одна в одну та взаємодіють між собою.

Для цього критичного випадку також досліджено задачу про коливання суміші у припущенні дуже великої густини речовини часток.

Також було розглянуто задачу про асимптотичну поведінку малих коливань пружної дискретної системи та виведено рівняння теорії пружності як результат математичної процедури усереднення.

Для періодичного випадку усі усереднені моделі знайдено в явному вигляді.

Ключові слова: складні рідини, варіаційні методи, асимптотична поведінка, усереднені моделі.

АННОТАЦИЯ

Бережной М.А. Усреднённые модели структурированных жидкостей. - Рукопись. - Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. - Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков, 2009.

В последнее время в литературе по механике жидкостей наблюдается повышенный интерес к изучению сложных жидкостей. Последние обращают на себя всё большее внимание исследователей из-за своих удивительных свойств, отличных от свойств ньютоновских жидкостей. Как правило, такие жидкости имеют определённую микроструктуру, характерной особенностью которой является наличие основной жидкости (дисперсионной среды), в которой размещены атомы, молекулы или мелкие частицы другого вещества (дисперсной фазы). Эти включения взаимодействуют между собой благодаря силам различного происхождения (ван-дер-Вальсовым, электростатическим и др.), образовывая при этом гибкие упругие цепочки, кластеры, сетки и т.п. Обычно такие смеси проявляют неньютоновское поведение.

В диссертационной работе изучаются модели сложных жидкостей, в которых дисперсная фаза состоит из большого количества мелких абсолютно твёрдых взаимодействующих частиц, и общее вязко-упругое поведение является следствием взаимодействия между частицами, а также вязкости жидкой фазы.

Численное моделирование и изучение свойств жидкости в рамках такой модели является практически неразрешимой задачей из-за того, что следует учитывать взаимодействие очень большого количества частиц. Это приводит к развитию макроскопического описания такой смеси.

В работе проводится асимптотический анализ по малому параметру е, характеризующему микроструктуру (задающему порядок расстояний между ближайшими частицами), при разных соотношениях между размерами частиц и расстояниями между ближайшими из них.

Для решения этой задачи использовались вариационные методы, впервые предложенные Е.Я. Хрусловым. При этом, были решены такие вспомогательные задачи. Сначала при помощи преобразования Лапласа были получены стационарные аналоги рассматриваемых задач. Асимптотическое поведение решений последних задач было исследовано вариационными методами усреднения. Затем были изучены аналитические свойства решений предельных задач по спектральному параметру, после чего при помощи обратного преобразования Лапласа была получена усреднённая нестационарная задача.

Заметим, что в зависимости от размера частиц главный член асимптотик описывается качественно разными моделями. При размерах частиц порядка усреднение ньютоновской жидкости с частицами приводит к однородной среде, которая является анизотропной неньютоновской вязко-упругой жидкостью с памятью, описываемой релаксационным членом. При этом, вязкость основной жидкости остаётся неизменной из-за недостаточно большого размера частиц.

В случае критически малого размера частиц получена усреднённая двухкомпонентная модель, которая описывает движение двух жидкостей (сжимаемой и несжимаемой), проникающих друг в друга и взаимодействующих между собой. Для этого критического случая исследована также задача о колебаниях смеси в предположении очень большой плотности вещества частиц.

Для периодического расположения частиц все усреднённые модели найдены в явном виде.

Также во втором разделе была рассмотрена задача о малых колебаниях упругой дискретной системы, и были выведены уравнения теории упругости как результат математической процедуры усреднения. Для установления компактности семейства решений дискретной задачи доказан дискретный аналог неравенства Корна. Для его доказательства были сделаны некоторые предположения на регулярность расположения частиц и сил взаимодействия между ними.

Стоит заметить, что большинство методов усреднения существенно используют факт периодичности структуры, в то время как в диссертационной работе изучаются малые движения вязкой несжимаемой жидкости с непериодически взвешенными в ней твёрдыми взаимодействующими частицами и формулируются достаточные условия на расположение частиц и силы взаимодействия между ними, выполнение которых обеспечивает возможность построения усреднённых моделей.

Таким образом, диссертационная работа содержит математическое обоснование качественных наблюдений, сделанных ранее в физической литературе по механике сложных жидкостей и теории упругости, и формулы для величин, характеризующих эффективные свойства, которые могут быть использованы как инструмент для количественной оценки этих свойств.

Ключевые слова: сложные жидкости, вариационные методы, асимптотическое поведение, усреднённые модели.

ABSTRACT

Berezhnyi M.A. The homogenized models of structured fluids. - Manuscript. - Thesis for degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.03 - mathematical physics.

B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2009.

The thesis deals with the models of complex fluids whose dispersive phase consists of a large number of small solid interacting particles, and the overall viscoelastic behavior is due to the interaction between particles and viscosity of the fluid phase.

With the aid of variational methods we use asymptotic analysis in small parameter е which characterizes the microstructure (defines the order of distances between the nearest particles) under different relations between the sizes of the particles and distances between the nearest of them.

Depending on the size of particles the asymptotic models are qualitatively different ones.

When the sizes of particles are of order , the homogenization of newtonian fluid with particles leads to a single medium which is anisotropic non-newtonian viscoelastic fluid with memory described by a relaxation term.

The viscosity of the fluid remains unchanged because the size of the particles is not sufficiently large.

In the case of critically small size the homogenized two-component model is obtained.

This model describes the motion of two inter-penetrating and interacting fluids (compressible and incompressible). For this critical case the problem on the mixture oscillations is also studied under assumption of very large density of the particles substance.

The problem on asymptotic behavior of small oscillations of discrete elastic system was also studied and equations of elasticity theory were derived as a result of mathematical homogenization procedure.

For periodic array of particles all the homogenized models were found in explicit form.

Key words: complex fluids, variational methods, asymptotic behavior, homogenized models.

Размещено на Allbest.ru

...