У сильно нерівноважних відкритих системах флуктуації середовища (зовнішній шум) можуть відігравати конструктивну роль, утворюючи структури, неможливі при детермінованому впливі. Відповідну теорію першими запропонували В. Хорстхемке (W. Horsthemke) та Р. Лефевр (R. Lefever) [1*]. Вони знехтували внутрішніми флуктуаціями та використали такі припущення:

1) нульвимірна система (її стан залежить лише від часу);

2) одна динамічна змінна;

3) білий шум. Це дозволило отримати точні результати для класу макроскопічних систем та відкрити індуковані шумом нерівноважні переходи, які нагадують рівноважні та нерівноважні фазові переходи.

Актуальність теми. Системи мікро- і наномасштабу останнім часом інтенсивно досліджуються як теоретично, так і експериментально. Серед них можна виділити протяжні наномеханічні системи, наприклад, затиснуті з обох боків нанобалки. Відомо, що поперечні зміщення їх центрів мас добре описуються класичними осциляторами з однією динамічною змінною [2*]. При таких розмірах значні не лише зовнішні флуктуації, але й внутрішні (розмежування флуктуацій умовне і залежить від того, де проводиться межа між системою та середовищем), їх спільний вплив на центр мас врахуємо за допомогою двох зовнішніх, у загальному випадку взаємно корельованих, шумів з відомими статистичними характеристиками. Розробка відповідних теоретичних моделей, для яких можна отримати точні результати, вивчення за їх допомогою статистичних закономірностей в ансамблях названих систем є актуальними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася в рамках тематичного плану науково-дослідної роботи Міністерства освіти і науки України № 71.01.04.03-05 д/б "Статистичні характеристики динамічних систем з флуктуючими параметрами", № держ. реєстрації 0103U000766.

Мета і задачі дослідження. Метою є виявлення конструктивного впливу двох шумів на статистичну поведінку нульвимірних систем (частинок), що описуються однією динамічною змінною. Для досягнення поставленої мети вирішуються такі задачі:

· досліджується роль взаємної кореляції в явищі індукованих шумом нерівноважних переходів;

· описується еволюція системи в нестаціонарному середовищі, для якого ефективний коефіцієнт загасання залежить від часу за степеневим законом;

· розробляється метод отримання щільності імовірності для системи з гаусівськими шумами, які характеризуються довільними кореляційними функціями.

Об'єктом дослідження є процес еволюції систем до рівноважного стану під впливом двох зовнішніх шумів.

Предметом дослідження є нульвимірні системи, що описуються однією динамічною змінною.

Методи дослідження. Для спрощення отримання точних результатів розглядався випадок сильного загасання, який відповідав руху фізичних систем у достатньо в'язкому середовищі, що дозволило знехтувати масою. Для описання процесу часової еволюції систем з флуктуючими параметрами використовувалися методи нерівноважної статистичної фізики - рівняння Ланжевена та Фоккера-Планка. Для виявлення нерівноважних переходів, обумовлених взаємною кореляцією шумів, застосовувалися методи теорії індукованих шумом переходів. Для визначення дифузійних режимів знаходили статистичні моменти щільності імовірності.

Наукова новизна одержаних результатів. Для класу нелінійних систем у наближенні взаємно корельованих гаусівських білих шумів вперше встановлено, що взаємна кореляція може індукувати нерівноважні переходи, а саме: одномодальний-бімодальний перехід. При цьому в її відсутності жоден з шумів не викликає такі якісні зміни в поведінці систем. При вивченні еволюції лінійних систем зі степеневим у часі коефіцієнтом загасання розглянуто процес, викликаний флуктуаціями жорсткості, який характеризуються нескінченними статистичними моментами. У залежності від параметрів коефіцієнта загасання та ефективної інтенсивності гаусівського білого шуму класифіковані дифузійні режими. У спеціальному класі систем вперше виявлено нетипову для звичайних дифузійних процесів зміну характеру дифузії при зміні інтенсивності шуму. Досліджено часову еволюцію систем під впливом двох джерел гаусівського шуму, що характеризуються довільними кореляційними функціями. Розроблено метод визначення інтерполяційної формули для нестаціонарної щільності імовірності динамічної змінної, яка дає точні результати у випадку нехтовно малого одного з шумів.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в роботі, розширюють знання про властивості систем з флуктуючими параметрами. Спільний вплив зовнішніх та внутрішніх флуктуацій істотно позначається на поведінці мікро- та наносистем, які можуть не тільки спостерігатися в природі (полімери, біополімери тощо), але й конструюватися завдяки прогресу в розвитку технічних засобів (нанобалки тощо). Точні результати можуть бути використані для розроблення наближених методів аналізу таких систем.

Особистий внесок здобувача. Роботи [1,2] підготовлені дисертантом у співавторстві, а роботи [3-7] - самостійно за підтримки наукового керівника. У роботах [1,2] автор дисертації брав участь у вивченні літературних джерел, в обговоренні отриманих результатів та роботі над публікаціями. У роботі [1] здобувач також брав участь у розробленні нового методу одержання рівняння Фоккера-Планка, запропонував приклад системи, в якій взаємна кореляція шумів може індукувати нерівноважні переходи. У роботі [2] у рамках теми дисертації сформулював задачу про частинку в нестаціонарному середовищі, одержав для загального випадку точні вирази щільності імовірності та її моментів. Також запропонував приклади систем, для яких були знайдені їх явні вирази, виявив нетипову для звичайних дифузійних процесів зміну характеру дифузії при зміні інтенсивності білого шуму.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на таких наукових конференціях: Науково-технічній конференції викладачів, співробітників і студентів механіко-математичного факультету СумДУ (Суми, 2001, 2002, 2004 рр.); VII Міжнародній науковій конференції "Физические явления в твердых телах" (Харків, 2005 р.);

I Міжнародній науково-практичній конференції "Наука и технологии: шаг в будущее - 2006" (Бєлгород, 2006 р.); Міжнародній конференції студентів і молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики "Еврика - 2006" (Львів, 2006 р.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи викладені в 4 статтях у наукових журналах, що входять до переліку ВАК України, і 6 збірниках тез конференцій.

Структура дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 147 найменувань. Повний обсяг дисертації складає 142 сторінки, містить 13 рисунків.

Основний зміст роботи

у вступі до дисертації обґрунтовано актуальність теми, сформульовано основну мету і задачі роботи, зазначено її зв'язок із науковими темами, розкрито наукову новизну та практичне значення одержаних результатів, визначено особистий внесок дисертанта, наведено відомості про апробацію роботи, основні публікації автора та структуру роботи.

шум нульвимірна система статистична фізика

У першому розділі "Індуковані шумом явища в стохастичних системах та методи їх описання" подано огляд літературних джерел за темою дисертації. Зазначено коло явищ, що мають відношення до проблеми конструктивної ролі шуму, особливу увагу приділено індукованим шумом переходам. Розглянуто найпростішу стохастичну систему - частинку, що здійснює броунівський рух. Названо фізичні системи, у яких явище дифузії має аномальний характер. Наведено основні методи описання стохастичних систем - рівняння Ланжевена та Фоккера-Планка. На підставі проведеного аналізу літератури окреслено коло задач, розв'язання яких і є метою дисертаційної роботи.

У другому розділі "Нерівноважні переходи, індуковані взаємною кореляцією білих шумів" розглядається випадок значних відхилень системи та вивчається вплив взаємної кореляції шумових джерел на її найбільш ймовірні рівноважні стани. Відповідне безрозмірне рівняння Ланжевена можна записати у такому вигляді:

, (1)

де x (t) - динамічна змінна (крапка - похідна за часом); f (x) - детермінована сила, f (x) =-U' (x) (штрих - похідна за змінною x); U (x) - детермінований потенціал; g_i (x) (i=1,2) - мультиплікативні функції (амплітуди флуктуацій), які характеризують вплив шумів залежно від динамічної змінної; о_i (t) - зовнішні гаусівські білі шуми з нульовими середніми значеннями та кореляційними функціями:

, (2)

де кутові дужки - усереднення за статистичним ансамблем; Д₁₁?Д₁ (?0), Д₂₂?Д₂ (?0) - інтенсивності шумів о₁ (t) і о₂ (t) відповідно; Д₁₂=Д₂₁?, r (|r|?1) - коефіцієнт кореляції між о₁ (t) і о₂ (t); д (t) - дельта-функція Дірака. Припущення про гаусівський шум виконується для багатьох джерел реального шуму, тому що його ефект часто обумовлений кумулятивною дією багатьох випадкових факторів. Наближення білого шуму застосовне, якщо час кореляції флуктуацій значно менший за час релаксації системи. Потрібно відзначити, що сила f (x) та амплітуди флуктуацій g_i (x) можуть також явно залежати від часу.

Розглядаючи ансамбль систем, описуваних рівнянням Ланжевена (1), можна перейти до рівняння Фоккера-Планка для щільності імовірності станів P (x,t). У випадку мультиплікативних шумів (g_i (x) не являються константами), існує безліч рівнянь Фоккера-Планка, еквівалентних рівнянню (1). Щоб установити однозначну відповідність, припустимо, що кожний гаусівський білий шум о_i (t) характеризується своїм власним параметром г_i (0?г_i?1, значення г_i=0, г_i=1/2 та г_i=1 відповідають розумінню Іто, Стратоновича та Клімонтовича), що визначає моменти часу, в яких обчислюються значення мультиплікативної функції g_i (x (t)) у відповідній інтегральній сумі. Рівняння Фоккера-Планка можна подати у вигляді

, (3)

де індукований шумом коефіцієнт зносу h (x) і коефіцієнт дифузії 2d (x) визначаються виразами:

,

.

Беручи природні граничні умови (тобто потік імовірності на нескінченності дорівнює нулю) для рівняння (3), визначимо рівноважну щільність імовірності динамічної змінної

, (4)

де Z - константа нормування. Запишемо рівняння для локальних точок екстремуму P_st (x) (параметрів порядку)

f (x) + h (x) - d' (x) = 0. (5)

Використовуючи (5), дослідимо можливість існування нерівноважних переходів, індукованих взаємною кореляцією шумових джерел. Це означає, що при r=0 рівняння (5) має таке саме число коренів, як і рівняння f (x) =0, а при деякому критичному значенні r=r_cr це число змінюється.

Розглянемо просте детерміноване рівняння руху з повертальною силою, у розкладанні якої враховуються члени до першого нелінійного: , де a>0 і b>0. При такому підході з'являється фізично неіснуюча точка нестійкої рівноваги x=-a/b, тому зазначене рівняння застосовне в області x>-a/b, інакше необхідно враховувати в розкладанні сили члени більш високого порядку. Зробимо так: перейдемо до розгляду рівняння , яке адекватно описує фізичну систему в області |x|<<1. А вивчення поведінки саме в цій області являє інтерес, тому що виникнення індукованого шумом переходу пов'язане з точкою стійкої рівноваги x=0.

Припустимо a>>b та введемо флуктуації, обумовлені тепловим рухом атомів системи: b>b [1-о₁ (t)], де о₁ (t) - мультиплікативний шум (флуктуаціями параметра a нехтуємо). Враховуючи випадковий вплив середовища за допомогою адитивного шуму о₂ (t), стохастичне рівняння руху запишемо у вигляді

. (6)

Воно відповідає рівнянню (1) з f (x) =-ax, g₁ (x) =bx²/ (1+x²), g₂ (x) =1.

Рівняння (5) для точок екстремуму набере вигляду

, (7)

де z=1+x², з=4 (1-г₁) Д₁b²/a, . Аналізуючи (7), приходимо до висновку, що r_cr=-1/зн. При r>r_cr рівняння (7) має єдиний дійсний корінь x=0, рівноважна щільність імовірності (4) є одномодальною з глобальним максимумом в точці x=0 (рис.1а), найбільш ймовірний стан системи в стохастичній динаміці відповідає точці стійкої рівноваги в детермінованій динаміці. При r<r_cr (ця умова може бути виконана, якщо |r_cr|?1), рівняння (7) має три корені, один з яких відповідає локальному мінімуму P_st (x), а два інших - локальним максимумам однакової висоти, тобто P_st (x) - бімодальна щільність імовірності (рис.1б).

Найбільш ймовірні стани системи вже не відповідають точці стійкої рівноваги в детермінованій динаміці. Отже, при r=r_cr відбувається нерівноважний перехід, індукований взаємною кореляцією, а саме: одномодальний-бімодальний перехід.

Рис. 1. Рівноважна щільність імовірності при з=2, н=2, г₁=0,5 (r_cr=-0,25): а) r=0; б) r=-0,9

Роль шумів о₁ (t) і о₂ (t) у зазначеному явищі бачимо з фазової діаграми на рис.2. За наявності від'ємної взаємної кореляції (-1?r<0) одномодальний-бімодальний перехід можуть індукувати як мультиплікативний шум о₁ (t), так і адитивний о₂ (t). Формально, взявши параметр b повертальної сили меншим від нуля, розглянуті ефекти будуть спостерігатися для позитивної взаємної кореляції (0<r?1). У наступному прикладі при розкладанні повертальної сили врахуємо члени до третього порядку. Детерміноване рівняння руху набере вигляду , де a,b>0 (вводиться масштаб часу, в якому коефіцієнт при кубічному члені дорівнює одиниці). Припустимо, що a>>b і b<<1, і введемо флуктуації параметра b та швидкості (флуктуаціями параметра a нехтуємо). Рівняння Ланжевена (1) набере вигляду

. (8)

Таким чином, у цьому випадку f (x) =-ax-bx²-x³, g₁ (x) =bx², g₂ (x) =1. Рівняння (8) описує сильно загасаючий нелінійний осцилятор.

Рівняння (5) для точок екстремуму рівноважної щільності імовірності набере вигляду

, (9)

де . При r=0 воно має єдиний корінь x=0, найбільш ймовірний стан рівноважної системи в стохастичній динаміці відповідає точці стійкої рівноваги в детермінованій динаміці. Таким чином, некорельовані шуми не змінюють якісно її поведінку. У випадку r?0 критичне значення параметра кореляції таке саме, як у попередньому прикладі, r_cr=-1/зн, де з=с/a. При r>r_cr рівняння (9) має єдиний дійсний корінь x=0, і рівноважна щільність імовірності (4) є одномодальною, як на рис.1а. При r<r_cr (ця умова може бути виконана, якщо |r_cr|?1) рівняння (9) має три корені, і рівноважна щільність імовірності - бімодальна, як на рис.1б. Отже, при r=r_cr відбувається одномодальний-бімодальний перехід.

Рис. 2. Фазова діаграма в площині параметрів (Д₁, r) при г₁=0,5, a=1, b=0,1: 1) Д₂=0,1; Д₂=1; Д₂=10. Область над кривою відповідає одномодальній щільності імовірності, під кривою - бімодальній

У третьому розділі "Еволюція системи в нестаціонарному середовищі" досліджується випадок малих зміщень системи в нестаціонарному середовищі. Відповідне рівняння руху з урахуванням флуктуацій повертальної сили та швидкості можна записати у вигляді

[x (0) =x₀], (10)

де л (t) - позитивний коефіцієнт загасання, залежність від часу якого обумовлена нестаціонарністю середовища; к>0 - параметр повертальної сили (жорсткість). Це рівняння відповідає рівнянню Ланжевена (1) з f (x,t) =-кx/л (t), g₁ (x,t) =x/л (t), g₂ (x,t) ?g₂ (t) =1/л (t) і описує сильно загасаючий гармонічний осцилятор. Вважаючи, що час релаксації системи значно більший за час кореляції шумів, використаємо наближення гаусівського білого шуму, і рівняння (10) інтерпретується у розумінні Стратоновича. Припустимо також, що шуми некорельовані, їх статистичні характеристики визначаються виразом (2) з r=0.

Щоб отримати вираз для траєкторій, використаємо наближений підхід [3*]. Введемо характеристичну амплітуду і розділимо область значень динамічної змінної x на два інтервали |x|<s та |x|>s. В області |x|<s основний внесок робить адитивний шум о₂ (t), в області |x|>s - мультиплікативний о₁ (t). Відповідно нехтовно малий шум можна не враховувати в рівнянні (10). Його розв'язок для області |x|>s має вигляд

,

де ; . У наведеному виразі випадковий процес , викликаний флуктуаціями жорсткості, не залежить від параметра повертальної сили к та може характеризуватися нескінченною дисперсією, що характерно для дифузійної поведінки. Дослідимо її у загальному випадку двох взаємно корельованих (r?0) мультиплікативних шумів, рівняння Ланжевена (10) без детермінованої повертальної сили набере вигляду

[x (0) = x₀]. (11)

Воно описує одновимірний рух частинок у випадковому полі швидкостей в умовах великого тертя. Рівняння (11) можна звести до рівняння з одним шумом, у розумінні Стратоновича отримаємо , [x (0) =x₀], де о (t) - ефективний гаусівський білий шум з нульовим середнім значенням та одиничною інтенсивністю;

. (12)

У загальному випадку амплітуда флуктуацій G (x) є не негативною. Обмежимося випадком G (x) >0 для всіх x, тобто x (t) (-?,?).

Вираз для моментів динамічної змінної x, яка задовольняє рівняння (11), можна подати у вигляді

, (13)

де n=0,1,2,…; Ш^-1 (u) - взаємно обернена функція до Ш (x):

,

Ш (-?) =-? і Ш (?) =?; - дисперсія випадкового процесу О (t); u₀=Ш (x₀).

Дослідимо асимптотичну поведінку моментів (13) для великих часів. Візьмемо асимптотику амплітуди флуктуацій (12) у вигляді (|x|>?), де Д - ефективна інтенсивність шуму при |x|=?; б (?1) - дійсний параметр. Випадок б=1 відповідає лінійному мультиплікативному шуму, б=0 - адитивному шуму. Можна назвати ще одну фізичну можливість, нелінійний мультиплікативний шум з б=1/2, при якому лінійна залежність реалізується не для амплітуди флуктуацій шуму, а для його інтенсивності. Надалі будемо проводити дослідження для довільного значення б (?1). Обрана степенева залежність для G (x) відповідає припущенню про самоподібність [4*]. Візьмемо асимптотику коефіцієнта загасання у вигляді л (t) ~lt^в (t>?), де l - позитивний параметр і в?1/2 (ця умова гарантує, що у (?) =?).

Ефективний коефіцієнт тертя, який належить до названого класу, використовувався при описанні аномальної дифузії броунівських частинок в неоднорідному середовищі, такому, як оточення живої клітини [5*]. Обрані степеневі залежності для G (x) і л (t) спільно згадуються в контексті дифузії в комплексному середовищі, такому, як турбулентна рідина [6*].

При б=1 вираз (13) має вигляд

(t > ?),

якщо n - парне, і

(t > ?),

якщо n - непарне.

При u₀=0 не відбувається систематичного збільшення першого моменту (n=1), тобто динамічна змінна демонструє чисто дифузійну поведінку, яка може характеризуватися дисперсією . При в<1/2 отримаємо

(t > ?).

Дифузія затягнута експоненціальна при 0<в<1/2, експоненціальна при в=0, стисла експоненціальна при в<0. Якщо в=1/2, то

(t > ?),

де - деякий масштаб часу. Ця формула демонструє чудову особливість, режим дифузії визначається ефективною інтенсивністю Д білого шуму. Має місце субдифузія при Д<l²/4, нормальна дифузія - при Д=l²/4, супердифузія - при Д>l²/4.

При б<1 вираз (13) має вигляд

(t > ?),

якщо n - парне, і

(t > ?),

якщо n - непарне. Тут Г (z) - гамма-функція, з=1+n/ (1-б). Останнє співвідношення показує, що =0 при u₀=0, спостерігається чисто дифузійна поведінка. У цьому випадку вираз для дисперсії динамічної змінної набере вигляду

(t > ?).

При в<1/2 , має місце супердифузія при б>2в, нормальна дифузія - при б=2в, субдифузія - при б<2в. При в=1/2 - степенево-логарифмічна дифузія .

У четвертому розділі "Еволюція системи з двома джерелами кольорового шуму" розглядається випадок малих зміщень системи, досліджується її часова еволюція під впливом джерел кольорового шуму. Рівняння Ланжевена має вигляд

[x (0) = x₀ > 0], (14)

де к (?0) і б (<1) - дійсні параметри системи; f₁ (t) і f₂ (t) - кольорові шуми з відомими статистичними характеристиками. Це рівняння (докладно досліджене у випадку f₁ (t) ?0 [7*]), зокрема при б=0, описує сильно загасаючий гармонічний осцилятор з флуктуючими жорсткістю та швидкістю. Для випадку 0<б<1 існує особлива точка x=0. Припустимо, що вона є регулярною, і розв'язок рівняння (14) для всіх моментів часу t?0 збігається з розв'язком рівняння

.

Розв'язок цього рівняння можна записати у вигляді

, (15) Де

; (16)

щ = (1 - б) к;

.

Щоб отримати щільність імовірності для x (t), використовуючи вираз для траєкторій (15), визначимо щільності імовірності для F₁ (t) і F (t). Припустимо, що f₁ (t) - гаусівський шум з нульовим середнім значенням і довільною кореляційною функцією =r₁ (|t-t'|). Тоді F₁ (t) - гаусівський процес з нульовим середнім значенням і дисперсією

=.

Щоб визначити щільність імовірності для F (t), введемо для розгляду між шумами f₁ (t) і f₂ (t) спеціальну залежність

, (17)

де f (t) - гаусівський шум з нульовим середнім значенням і довільною кореляційною функцією =r (|t-t'|). Тоді F (t) - гаусівський процес з середнім значенням m (t) = і дисперсією

=.

Підставляючи (17) в (16), траєкторії (15) можна подати у вигляді x (t) =p (t) /l (t), де p (t) і l (t) - незалежні степенево-нормальний і логнормальний процеси. Використовуючи відомі вирази для статистичних характеристик цих процесів, знайдемо щільність імовірності для x (t):

, (18)

де у_б (t) = (1-б) у₁ (t), і дробові моменти

, (19)

де r - дійсне число; v=0 або 1, з=1+r/ (1-б); a (t) =m (t) /у (t); D_-з (z) - інтегральне подання функції параболічного циліндра

(з > 0).

Формулу (18) для нестаціонарної щільності імовірності назвемо інтерполяційною, вона дає точні результати у випадку нехтовно малого одного з шумів.

Розглянемо сильно загасаючий гармонічний осцилятор, описуваний рівнянням Ланжевена (14) при б=0. Вирази (19) для середнього значення та дисперсій наберуть вигляду:

, (20)

. (21)

Середнє значення (20) динамічної змінної спадає за експонентою в часі і визначається параметрами флуктуючого коефіцієнта жорсткості: його середнім значенням к і кореляційною функцією r₁ (|t-t'|).

Визначимо область застосовності формули для щільності імовірності (18), отримання якої ґрунтується на виразі (17), при описі часової еволюції осцилятора з двома незалежними шумами. Для цього запишемо вирази (20) і (21) для випадку гаусівських білих шумів, тобто r₁ (u) =D₁д (u) і r (u) =Dд (u), при нульовому параметрі к:

, (22)

. (23)

Порівняємо їх з точними результатами для цього самого випадку в розумінні Стратоновича:

, (24)

. (25)

Середні значення (22) і (24) збігаються, дисперсії (23) і (25) відрізняються другими доданками. Щоб їх значення практично не відрізнялись, накладемо обмеження:

1) інтенсивність адитивного шуму f (t) значно менша за інтенсивність мультиплікативного шуму f₁ (t), тобто D<<D₁;

2) добуток інтенсивності адитивного шуму на час значно менший за одиницю, тобто Dt<<1. Таким чином, запропонований метод знаходження статистичних характеристик може бути застосовним при дослідженні еволюції осцилятора в початкові моменти часу у випадку слабкого адитивного шуму.

У висновках подані перелік і коротка характеристика основних результатів дисертаційної роботи.

Висновки

У даній дисертаційній роботі розглянуто нульвимірні системи (частинки), стан яких може бути описаний однією динамічною змінною. У випадку сильного загасання досліджено їх часову еволюцію під впливом двох зовнішніх шумів. Найбільш важливими результатами дисертації є такі:

1. Для нелінійних систем у наближенні взаємно корельованих гаусівських білих шумів встановлено, що зміна коефіцієнта взаємної кореляції може приводити до якісної зміни рівноважної щільності імовірності динамічної змінної. Тим самим виявлена конструктивна роль взаємної кореляції в явищі одномодального-бімодального нерівноважного переходу.

2. Досліджено часову еволюцію системи в нестаціонарному середовищі. Розгляд проведений на прикладі сильно загасаючого гармонічного осцилятора з коефіцієнтом загасання, що змінюється в часі за степеневим законом. Установлено, що випадкові осциляції, викликані флуктуаціями жорсткості, характеризуються статистичними моментами, що необмежено зростають у часі.

3. Вивчено аномальну дифузію частинок, що виконують одновимірний рух у випадковому полі швидкостей, що породжується корельованими мультиплікативними шумами. Розгляд проведений для випадку великого тертя, що змінюється в часі за степеневим законом. Залежно від параметрів загасання та шумів виявлені такі дифузійні режими: нормальний, субдифузійний, супердифузійний, експоненціальний, затягнутий експоненціальний, стислий експоненціальний, логарифмічний.

4. У спеціальному класі систем з лінійним мультиплікативним шумом виявлено нетипову для звичайних дифузійних процесів зміну характеру дифузії при зміні інтенсивності Д цього шуму. Показано, що існує критичне значення інтенсивності Д_cr таке, що при Д<Д_cr має місце субдифузія (повільна дифузія), при Д=Д_cr - нормальна дифузія, а при Д>Д_cr - супердифузія (швидка дифузія).

5. Досліджено часову еволюцію сильно загасаючого гармонічного осцилятора, збуджуваного двома джерелами кольорового шуму. Розроблено метод визначення нестаціонарної щільності імовірності для динамічної змінної та її моментів. Установлено, що середнє значення динамічної змінної спадає за експонентою в часі й визначається параметрами флуктуючого коефіцієнта жорсткості: його середнім значенням і кореляційною функцією.

Цитована література