Гармоническое колебательное движение

Размещено на http://allbest.ru

Гармоническое колебательное движение

1. Кинематика гармонического колебания

колебание маятник биение

Процессы, повторяющиеся во времени называются колебаниями.

В зависимости от природы колебательного процесса и механизма возбуждения бывают: механические колебания (колебания маятников, струн, зданий, земной поверхности и т.д.); электромагнитные колебания (колебания переменного тока, колебания векторов и в электромагнитной волне и т.д.); электромеханические колебания (колебания мембраны телефона, диффузора громкоговорителя и др.); колебания ядер и молекул в результате теплового движения в атомах.

Рассмотрим отрезок [ОД] (радиус-вектор), совершающий вращательное движение вокруг точки 0. Длина |ОД| = A. Вращение происходит с постоянной угловой скоростью щ₀. Тогда угол ц между радиус-вектором и осью x меняется со временем по закону

где ц₀ - угол между [ОД] и осью х в момент времени t = 0. Проекция отрезка [ОД] на осьх в момент времени t = 0



а в произвольный момент времени

(1)

Таким образом, проекция отрезка [ОД] на ось х совершает колебания, происходящие вдоль оси х, и эти колебания описываются законом косинуса (формула (1)).

Колебания, которые описываются законом косинуса

или синуса

называется гармоническими.

Гармонические колебания являются периодическими, т.к. значение величины х (и у) повторяется через равные промежутки времени.

Если отрезок [ОД] находится з низшем положении по рисунку, т.е. точка Д совпадает с точкой Р, то его проекция на ось х равна нулю. Назовем такое положение отрезка [ОД] положением равновесия. Тогда можно сказать, что величина х описывает смещение колеблющейся точки из положения равновесия. Максимальное смещение от положения равновесия называется амплитудой колебания

Величина

которая стоит под знаком косинуса называется фазой. Фаза определяет смещение от положения равновесия в произвольный момент времени t. Фаза в начальный момент времени t = 0, равная ц₀ называется начальной фазой.

Промежуток времени, за который совершается одно полное колебание, называется периодом колебаний Т. Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний н.

Промежуток времени, за который совершается одно полное колебание, называется периодом колебаний Т. Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний н.

Через промежуток времени, равный периоду Т, т.е. при увеличении аргумента косинуса на щ₀Т, движение повторяется, и косинус принимает прежнее значение

т.к. период косинуса равен 2р, то, следовательно, щ₀Т = 2р



таким образом, щ_{0 -} это число колебаний тела за 2р секунд. щ₀ - циклическая или круговая частота.

рисунок гармонического колебания

А - амплитуда, Т - период, х - смещение, t - время.

Скорость колеблющейся точки найдем, продифференцировав уравнение смещения х(t) по времени

т.е. скорость v отличается по фазе от смещения х на р/2.

Ускорение - первая производная от скорости (вторая производная от смещения) по времени

т.е. ускорение а отличается от смещения по фазе на р.

Построим график х(t), у(t) и а(t) в одной смете координат (для простоты примем ц₀= 0 и щ₀ = 1)

Свободными или собственными называются колебания, которые происходят в системе предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия.

2. Пружинный маятник

Упругие и квазиупругие силы.

Уравнение колеблющейся пружины

Рассмотрим тело массы m, закрепленное на пружине с коэффициентом жесткости k(массой пружины пренебрегаем). Растянем пружину на х. Тогда по закону Гука на тело будет действовать сила упругости F_упр:

1) величина силы пропорциональна величине отклонения системы от положения равновесия

2) направление сила противоположно направлении смещения, т.е. сила всегда направлена к положению равновесия (при х > 0, F_упр < 0, при х < 0, F_упр > 0)

3) В положении равновесия х = 0 и F_упр = 0.

По закону Гука

F_упр = -kх.

Систему, состоящую из материальной точки массы m и абсолютно упругой пружины с коэффициентом жесткости k, в которой возможны свободные колебания, называютпружинным маятником.

Запишем второй закон Ньютона для рис. б

т.е.

тогда

и

Если сила не является по своей природе упругой, но подчиняется закону F = -kх, то она называется квазиупругой силой.

Получим уравнение пружинного маятника. Учтем в записи второго закона Ньютона, что

тогда

- дифференциальное уравнение точки, совершающей колебательное движение (дифференциальное уравнение пружинного маятника).

Решение дифференциального уравнения:

- уравнение колеблющейся точки (уравнение колеблющейся пружины).



- собственная частота колебаний.

3. Математический и физический маятники

Периоды колебаний математического и физического маятников

Математический маятник - материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, и совершавшая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Материальная точка - тело, масса которого сосредоточена в центре масс и размерами которого в условиях данной задачи, можно пренебречь.

Математический маятник при колебаниях совершает движение по дуге окружности радиуса . Его движение подчиняется законам вращательного движения.

Основное уравнение вращательного цветения запишется в виде

(1)

М - момент сил, I - момент инерции, е - угловое ускорение.

Равнодействующая сил и равна .

Из треугольника АВС

т.е.

таким образом, колебания математического маятника происходят под действием квазиупругой силы - силы тяжести.

Тогда (1) запишется в виде

(2)

Знак минус учитывает, что векторы и имеют противоположные направления (угол поворота можно рассматривать, как псевдовектор углового смещения , направление вектора определяется по правилу правого винта, из-за знака минус направлен в противоположную сторону).

Сократив в (2) на m и получим

При малых углах колебаний б = 5 ч6°,, получим

Ввода обозначения

получим дифференциальное уравнение колебаний математического маятника

Его решение:

- уравнение математического маятника.

из которого видно, что угол б изменяется по закону косинуса. б₀ - амплитуда, щ₀ - циклическая частота, ц₀ - начальная фаза.

- период колебаний математического маятника

Физический маятник - твердое тело, колеблющееся под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела, называемой осью качания маятника.



Основное уравнение - вращательного движения для физического маятника запишется в виде

При малых углах колебаний и уравнение движения имеет вид

Тогда положив

получим

- дифференциальное уравнение физического маятника.



- период колебаний физического маятника

Приравняв Т_физ = Т_мат:

следовательно, математический маятник с длиной

имеет такой же период колебаний, как и данный физический маятник. - приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

4. Энергия гармонических колебаний

По определению кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью равна

Потенциальная энергия равна

Полная энергия равна

Квазиупругая сила является консервативной, поэтому полная энергия гармонического колебания остается постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно. Колебания W_К и W_П происходят с частотой 2щ₀, т.е. в два раза превышающей частоту гармонических колебаний.

5. Сложение гармонических колебаний

Изображение колебаний в виде векторной диаграммы

Пусть колебания описываются уравнением



(1)

Отложим из точки О вектор длиной А, составлявший угол ц₀ с осью Ох. Если этот вектор начать вращать с угловой скоростью щ₀, то проекция конца вектора будет изменяться со временем по закону косинуса (1), т.о., гармоническое колебание может быть описано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания А, а направление вектора образует с осью х угол, равный начальной фазе ц₀.

2. Сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты.

Результирующий вектор равен



Находится по правилу параллелограмма, его проекция на ось X равна

X=X₁ + X₂.

Длина результирующего вектора или амплитуда результирующего колебания находится по теореме косинусов и равна

Начальная фаза результирующего колебания определяется из условия

При сложении двух гармонически колебаний с одинаковой частотой и одинакового направления, результирующее движение есть также гармоническое колебание с тем же периодом и с амплитудой А, лежащей в пределах

Колебания, у которых ц₁₀ = ц₂₀, А= А ₁ + А ₂называются синфазными.

Колебания, у которых ц₁₀ - ц₂₀ = р, А=| А ₂ - А ₁|называются противофазными.

В случае, если А ₁ = А ₂, то при ц₁₀ = ц₂₀ А = 2А ₁, при ц₁₀ - ц₂₀ = р, А=| А ₂ - А ₁| = 0.

6. Биения

Биения - сложение колебаний с близкими частотами щ₁ ? щ₂.

При сложении гармонических колебаний мало отличаюшихся по частоте результирующее движение являемся гармоническим колебанием с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биениями.

Для простоты примем А= А ₁ = А ₂, ц₁₀ = ц₂₀ = 0.

Тогда

где

(2)

Полученное выражение есть произведение двух колебаний.

Множитель имеет частоту среднюю для двух слагаемых колебаний. т.е. близкую к их частотам щ₁ и щ₂. Второй множитель обладает в силу условия близости щ₁ и щ₂ малой частотой, т.е. большим периодом. Это позволяет рассматривать результирующее движение как почти гармоническое колебание со средней угловой частотой и медленно меняющейся амплитудой .



1,2 - график медленно меняющейся амплитуды.

3 - график результирующего колебания.

Когда ц₁ ? ц₂, А_рез ? 2А. Спустя промежуток , одно из колебаний отстает от другого по фазе на р и А_рез > 0 . Такое постепенное возрастание и убывание амплитуд результирующего колебания называется биением.

Если щ₁ и щ₂ соизмеримы, т.е. можно найти два таких числа n₁ и n₂, что то через промежуток времени аргументы обоих сомножителей в (2) изменятся на целое (хотя и различное) число раз 2р, их произведение примет тоже значение, что и в начале промежутка ф. Величина ф тогда является периодом результирующего колебания.

Если частоты не соизмеримы, то результирующее колебание будет непериодическим.

4. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты щ₁ = щ₂ = щ, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у.

 (1)

а) Пусть ц₁₀ = ц₂₀.

Тогда , т.е. - траектория - это диагональ прямоугольника со сторонами 2А (по оси х) и 2В (по оси у)

б) Пусть ц₁₀ = ц₂₀ +р.

Тогда

в) Пусть ц₁₀ = ц₂₀ +р/2



- эллипс.

При А = В - окружность.

г) ц₁₀ = ц_{20 -} р/2 - эллипс, но изменяется направление обхода.

д) Произвольные ц₁₀ и ц₂₀ - также эллипс с уравнением

В общем случае

1. ц₂₀ - ц₁₀ = 2kр;

1. Дц = (2k + 1)р;

1. Дц = ±р/2k;

е) Фигуры Лиссажу

В там случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний, в которых одновременно участвует рассматриваемая точка, относятся как целые числа, траектория движения представляет собой сложные кривые, получившие название фигур Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми параллельными осям координат. По виду фигур Лиссажу можно определить неизвестную частоту по известной, или определить отношение частот щ₁ и щ₂.

6. Затухающие колебания. Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность

Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.

Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называютсязатухающими.

Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения

где r - коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что F_C направлена в сторону противоположную скорости.

Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r. По второму закону Ньютона

где в - коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.



- дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

- уравнение затухающих колебаний.

щ - частота затухающих колебаний:

Период затухающих колебаний:

Затухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно говорить, когда в мало.

Если затухания выражены слабо (в>0), то . Затухающие колебания можно

рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону

В уравнении (1) А ₀ и ц₀ - произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания

Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени ф, за которое амплитуда уменьшится в е раз

ф - время релаксации.

Коэффициент затихания в обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затуханияD, который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:

Логарифмический декремент затухания равен логарифму D:

Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний уменьшилась в ераз. Логарифмический декремент затухания - постоянная для данной системы величина.

Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q.

Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации ф.

Добротность Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.

Добротность Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.



Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.

7. Вынужденные колебания

Резонанс

В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.

Пусть

Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.

По второму закону Ньютона:

(1)

- дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.

Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:

(2)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде:

Тогда

Подставим в (2):

т.к. выполняется для любого t, то должно выполняться равенство г = щ, следовательно,



Это комплексное число удобно представить в виде

где А определяется по формуле (3 ниже), а ц - по формуле (4), следовательно, решение (2),в комплексной форме имеет вид

Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:

Где

 (3)

(4)

Слагаемое Х_о.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой щ и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы. При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механической системы, называется резонансом.

Частота щ вынуждающей силы, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение щ_рез, необходимо найти условие максимума амплитуды. Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).

Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой. Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания в и с уменьшением в, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если в = 0, то

щ_рез = щ₀.

При щ>0 все кривые приходят к значению - статическое отклонение.

Параметрический резонанс возникает в том случае, когда периодическое изменение одного из параметров система приводит к резкому увеличению амплитуды колеблющейся системы. Например, кабины, делающие "солнышко" за счет изменения положения центра тяжести система.(То же в "лодочках".)

Автоколебаниями называются такие колебания, энергия которых периодически пополняется в результате воздействия самой системы за счет источника энергии, находящегося в этой же системе.

Размещено на Allbest.ru

...