Волны в упругой среде

Размещено на http://www.allbest.ru/

Упругие волны

1. Волны в упругой среде

Если колеблющееся тело (камертон, струна, мембрана и т.д.) находится в упругой среде, то оно приводит в колебательное движение соприкасающиеся с ним частицы среды, вследствие чего в прилегающих к этому телу элементах среды возникают периодические деформации (например, сжатия и растяжения). При этих деформациях в среде появляются упругие силы, стремящиеся вернуть элементы среды к первоначальным состояниям равновесия; благодаря взаимодействию соседних элементов среды, упругие деформации будут передаваться от одних участков среды к другим, более удаленным от колеблющегося тела.

Таким образом, периодические деформации, вызванные в каком-нибудь месте упругой среды, будут распространяться в среде с некоторой скоростью, зависящей от ее физических свойств. При этом частицы среды совершают колебательное движение около положений равновесия. От одних участков среды к другим передается только состояние деформации.

Процесс распространения колебательного движения в среде называется волновым процессом или просто волной. В зависимости от характера возникающих при этом упругих деформаций различают продольные и поперечные волны. В продольных волнах частицы среды колеблются вдоль направления распространений колебаний. В поперечных волнах частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны.

Жидкие и газообразные среды не имеют упругости сдвига, поэтому в них возбуждаются только продольные волны, распространяющиеся в виде чередующихся сжатий и разряжений. Волны, возбуждаемые на поверхности воды, являются поперечными, они обязаны своим существованием земному притяжению.

В твёрдых телах могут быть вызваны и продольные и поперечные волны.

Предположим, что точечный источник волны начал возбуждать в среде колебания в момент времени t = 0; по истечению времени t это колебание распространится по различным направлениям на расстояние r =vit, где vi - скорость волны в данном направлении. Поверхность, до которой доходит колебание в некоторый момент времени, называется фронтом волны. Форма фронта волна определяется конфигурацией источника колебаний и свойствами среды. В однородных средах скорость распространения волна везде одинакова. Среда называется изотропной, если эта скорость одинакова по всем направлениям. Фронт волна от точечного источника колебаний в однородной и изотропной среде имеет вид сферы; такие волны называются сферическими.

В неоднородной и не изотропной (анизотропной) среде, а также от неточечных источников колебаний фронт волны имеет сложную форму. Если фронт волны представляет собой плоскость и эта форма сохраняется по мере распространения колебаний в среде, то волну называют плоской.

Поверхности волны, точки которых колеблются в одинаковых фазах, называются волновыми или фазовыми поверхностями.

График, показывающий распределение в среде колеблющейся величины в данный момент времени, называют формой волны.

2. Уравнение плоской волны

Уравнение волны позволяет найти смещение от положения равновесия колеблющейся точки с координатами (х, у, z) в момент времен t.

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 происходят по закона косинуса

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того, чтобы пройти путь от х = 0 до этой плоскости волне требуется время v - скорость, распространения волны, следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на ф от колебаний частиц в плоскости х = 0, т.е, будут иметь вид

- уравнение падающей, бегущей волны.

(уравнение волны, распространявшейся в направлении оси X).

S- смещение точки от положения равновесия в плоскости, находящейся на расстоянии х от источника колебаний;

А- амплитуда волны;

ц0 - начальная фаза.'

Для одной волны можно выбрать х и t так, чтобы ц0 =0.

Для нескольких волн это не удаётся.

Если волна распространяется в сторону убывания координаты х, то колебания в плоскости х начнутся раньше на , чем в плоскости х = 0. Тогда уравнение отраженной волны запишется в виде

- уравнение отраженной волны.

3. Понятие о фазовой скорости

Связь между фазовой и групповой скоростями

1. Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении бегущей волны

Из него следует связь между временем t и тем местом х, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение даёт скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав (1), получим

k - волновое число, л - длина волны.

Таким образом, скорость v в уравнении распространяющейся волны является фазовой скоростью, т.е. она показывает, с какой скоростью распространяется фаза волны (скорость перемещения фазы).

Во всех реальных волновых процессах приходиться иметь дело с более сложными волнами, имеющими несинусоидальный характер. Такую сложную волну можно представить как сумму косинусоидальных или синусоидальных волн, или как группу таких волн. В реальных условиях наблюдается перемещение групп волн, каждая из которых отличается от другой по частоте. В каждый момент времена можно найти точку, в которой наблюдается максимум колебаний, возникающих в результате наложения этих волн. В этой точке фаза любой группы волн будет одинаковой. Эта точка называется центром группы волн. Положение центра группы волн со временем изменяется. Этой точке соответствует максимум энергии колеблющейся группы волн. Энергия колеблющейся группы волн переносится со скоростью, равной скорости перемещения центра группы волн. Эту скорость называют групповой скорстью. Она обозначается u.

1. Связь между групповой и фазовой скоростями.

Чтобы найти эту связь воспользуемся тем, что в центре группы волн фазы всех волн одинаковы. Групповая скорость равна

В зависимости от знака групповая скорость u может быть меньше или больше фазовой скорости v. В отсутствии дисперсии и групповая скорость совпадает с фазовой.

4. Интерференция волн

Принцип суперпозиции. Понятие о когерентности волн

Если в среде распространяется несколько волн одновременно, то колебания частиц среды равны геометрической сумме колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются, не возмущая друг друга - принцип суперпозиции (наложения) волн.

Две волны называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени. колебательный волна суперпозиция когерентность

- условие когерентности.

Источники когерентных волн называются когерентными источниками.

т.к. для когерентных источников разность начальных фаз , то амплитуда Арезв различных точках зависит от величины , называемой разностью хода. Если

то наблюдается максимум.

При

наблюдается минимум.

При наложении волн от когерентных источников наблюдаются минимумы и максимумы, результирующей амплитуды, т.е. взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других в зависимости от соотношения между фазами этих, волн - суть явления интерференции.

5. Стоячие волны

Частным случаем интерференции являются стоячие волны - волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу волн с одинаковыми амплитудами н частотами.

Для вывода уравнения стоячей волны примем: 1) волны распространяются в среде без затухания; 2) А 1 = А 2 =А - имеют равные амплитуды; 3) щ1 = щ2= щ - равные частоты; 4)ц10 = ц20 = 0.

Уравнение бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х (т.е. уравнение падающей волны):

Уравнение бегущей волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси х (т.е. уравнение отраженной волны):

Сложив (1) и (2) получим уравнение стоячей волны:

Особенностью стоячей волны является то, что амплитуда зависит от координаты х. При перемещении от одной точки к другой амплитуда меняется по закону:

- амплитуда стоячей волны.

Те точки среды, в которых амплитуда стоячей волны максимальна и равна 2А, называются пучностями. Координаты пучностей можно найти из условия, что

отсюда

Расстояние между двумя соседними пучностями равно .

Точки, в которых амплитуда стоячей волны минимальна и равна 0, называются узлами. Координата узлов можно найти из условия

отсюда

Расстояние между двумя соседними узлами равно .

В отличие от бегущей волна, все точки которой колеблются с одинаковой амплитудой, но с разными фазами, зависящими от координаты х точки (), точки стоячей волны между двумя узлами колеблется с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами(). При переходе через узел множитель меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на р, т.е. точки лежащие по разные стороны от узла колеблются в противофазе.

Стоячая волна получается в результате интерференции падающей и отраженной волн. На характере отражения сказывается граница раздела двух сред, от которой происходит отражение. Если волна отражается от среды менее плотной (рис. а), то фаза волны на границе раздела не меняется и на границе раздела двух сред будет пучность. Если волна отражается от более плотной среды, то её фаза изменяется на противоположную, т.е. отражение от более плотной среды происходит с потерей половины длины волны (л/2). Бегущая волна переносит энергию колебательного движения в направлении распространения волны. Стоячая волна энергию не переносит, т.к. падаюшая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узлами остается постоянной. Лишь в пределах расстояний равных л/2 происходит превращение кинетической энергии в потенциальную.

Размещено на Allbest.ru