Напружений стан ізотропних оболонок з системою тріщин (наскрізних, поверхневих і внутрішніх)

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність роботи. В реальних твердих тілах поблизу дефектів виникають області значної концентрації напружень. Внаслідок наявності перевантажених областей здатність таких тіл опиратися діючим на них зусиллям помітно знижується.

Разом з тим сучасні складні конструкції і споруди практично завжди містять ті чи інші гострокінцеві дефекти, що виникають або в процесі експлуатації, або первісно властиві матеріалам, що використовуються.

Найбільше до руйнування внаслідок дефектів такого роду схильні тонкостінні конструкції: ємкості високого тиску, трубопроводи, контейнери, корпуси суден та ін., які можна моделювати оболонками, ослабленими тріщинами. При проектуванні таких структур необхідно приймати до уваги наявність дефектів, які часто можуть привести до катастрофічних пошкоджень, що є небезпечним для навколишнього середовища або подальшої експлуатації устаткування.

Дуже важливо виявляти рівень навантаження (критичного), яке ініціює розвиток тріщин на ранній стадії. Це дає можливість своєчасно прийняти рішення щодо подальшого функціонування конструкції. Отже, дослідження напруженого стану та граничної рівноваги оболонок з виявленими тріщиноподібними дефектами в умовах експлуатації є актуальним і важливим науково-технічним завданням.

Метою дисертаційної роботи є розвиток методики розв'язання задачі про напружений стану ізотропних оболонок на оболонки довільної кривини з системами наскрізних, поверхневих і внутрішніх тріщин, визначення основних закономірностей впливу різноманітних геометричних параметрів на збурений напружений стан оболонок в околі тріщин.

Об'єктом дослідження є ізотропна оболонка довільної кривини з системами тріщин (наскрізних, поверхневих і внутрішніх).Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Предметом дослідження є коефіцієнти інтенсивності зусиль і моментів та їх залежність від довжини, глибини і кількості тріщин, їх типу (наскрізні, поверхневі або внутрішні), а також взаємного розташування тріщин і відстані між ними, геометричних параметрів оболонки.

Методи дослідження. Задача про напружений стан оболонки довільної кривини з системою наскрізних, поверхневих і внутрішніх тріщин за допомогою моделі лінійних пружин (line-spring model) зводиться до задачі про пружну оболонку з системою наскрізних тріщин. Використовуючи методику дослідження напруженого стану оболонок довільної кривини з системою наскрізних тріщин, побудована система сингулярних інтегральних рівнянь (СІР) поставленої задачі. Отримана система СІР зводиться методом механічних квадратур до системи лінійних алгебраїчних рівнянь із використанням квадратурних формул для невідомих функцій, необмежених на кінцях проміжку інтегрування.

1. Огляд наукових досліджень за тематикою дисертації

Проаналізовано роботи, пов'язані з дослідженням напруженого стану оболонок з наскрізними, поверхневими та внутрішніми тріщинами та методами їх розв'язання.

Суттєві результати у дослідженні напруженого стану оболонок з наскрізними тріщинами були отримані в роботах Абе Г., Дацишин О.П., Довбні К.М., Костенко І.С., Кушніра Р.М., Николишина М.М., Осадчука В.А., Панасюка В.В., Підстригача Я.С., Саврука М.П., Федюка Є.М., Чехова В.М., Шевченка В.П., Яреми С.Я., Barsoum R., Bradley M., Copley L., Delale F., Ehlers R., Erdogan F., Folias E., Hagendorf H., Kibler J., Krenk S., Loomis R., Naghdi P., Nicholson J., Sanders J.(Jr.), Sih C., Simmonds J., Stewart B., Yahsi O.

Проблемою дослідженні поверхневих і внутрішніх тріщин в оболонках займалися Довбня К.М., Кушнір Р.М., Николишин М.М., Осадчук В.А, Хапілова Н.С., Шалдирван В.А., Atluri S.N., Axsel B., Boduroglu H., Chen Y., Chiesa M., Delale F., Erdogan F., Grebner H., Heliot J., Isida M., Kamichika R., Kaneko H., Kobayashi A., Labbens R., Mattheck C., McGowan J., Mendelson A., Miyazaki N., Miyoshi T., Morawietz P., Munz V., Nakamura H., Newman J.(Jr.), Nishioka T., Noguchi H., O'Donoghue P., Okamoto A., Parks D., Raju I., Scott P., Shah R., Shiratori M., Sih G., Smith F., Strathmeier U., Swedlow J., Theocaris P., Thorpe T., Wu D., Yang C., Yoshida Y. При розв'язанні задач ці вчені використовували різноманітні числові методи: метод тривимірних скінчених елементів, метод граничних інтегральних рівнянь, метод вагових функцій, метод масової сили та ін.

Внаслідок аналізу літературних джерел виявлено області теорії та практики, які через математичні труднощі до цього часу залишались мало дослідженими. Зокрема, йдеться про відсутність робіт, в яких би досліджувалися взаємодія тріщин різної довжини та різного типу (наскрізні, поверхневі і внутрішні) в оболонках довільної кривини. До цього усі розв'язки задач про напружений стан оболонок з тріщинами стосувалися оболонок певної кривини з системами тріщин одного типу, орієнтованих переважно вздовж однієї лінії кривини.

2. Постановка задачі про напружений стан ізотропної оболонки довільної кривини з системами наскрізних і ненаскрізних тріщин, розташованими вздовж ліній головних кривин

Наводяться основні гіпотези та співвідношення теорії пружних оболонок; модель лінійних пружин для поверхневої та внутрішньої тріщин в оболонці, модифікація line-spring model для поверхневої тріщини; отримано систему СІР для поставленої задачі.

Розглядається полога ізотропна оболонка довільної кривини сталої товщини , яка послаблена системою наскрізних і ненаскрізних (поверхневих або внутрішніх) тріщин, орієнтованих вздовж обох ліній головних кривин. Оболонка знаходиться під дією симетричного зовнішнього навантаження.

Рівняння контурів тріщин мають вигляд:

, , , (2.1)

,

де - півдовжина контуру.

При розв'язанні задачі використовується модель лінійних пружин, яка дозволяє розв'язувати тривимірну задачу про ненаскрізні тріщини в оболонці у двовимірній постановці. Основні припущення, на яких базується модель, наступні:

· тріщина моделюється як наскрізна, а напруження, що виникають у залишковому прошарку матеріалу на контурі -ї ненаскрізної тріщини, апроксимуються невідомими мембранним і згинаючим навантаженнями, що діють у серединній поверхні оболонки;

· коефіцієнт інтенсивності напруження по фронту поверхневої (внутрішньої) тріщини визначається з розв'язку задачі для смуги з крайовою (внутрішньою) поперечною тріщиною в умовах плоскої деформації.

В результаті граничні умови для двовимірної задачі мають наступний вигляд для наскрізних тріщин:

, ; (2.2)

для ненаскрізних:

, , (2.3)

де , - мембранні зусилля, , - згинальні моменти.

В дисертаційній роботі також пропонується наближений варіант до line-spring model, який дозволяє спростити задачу. Наприклад, для оболонки з поверхневою тріщиною замість двох граничних інтегральних рівнянь маємо одне. Суть цього підходу полягає в використанні співвідношення, яке характеризує залежність між похідними переміщення і кута повороту :

, (2.4)

де , - функції, визначені з розв'язку для смуги з краєвою тріщиною.

У роботах академіка В.П. Шевченка та його учнів отримані фундаментальні розв'язки рівнянь статики пологих оболонок і розроблена методика побудови інтегрального подання переміщень, кутів повороту та зусиль і моментів для оболонок з розрізами. В дисертаційній роботі використовується ця методика у поєднанні з моделлю лінійних пружин. Завдяки чому отримано систему сингулярних інтегральних рівнянь для дослідження напруженого стану оболонок довільної кривини з наскрізними, поверхневими та внутрішніми тріщинами, орієнтованими вздовж обох ліній головних кривин.

3. СІР для трьох випадків розташування тріщин в оболонці; проведено дослідження напруженого стану оболонок довільної кривини з системою наскрізних, поверхневих і внутрішніх тріщин у всіх трьох випадках; знайдено залежності коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів для наскрізних тріщин і КІН для ненаскрізних від відстані між ними, їх довжини, глибини і кривини оболонки

Випадок І. Оболонка містить систему трьох колінеарних тріщин, довжини , . Тріщини орієнтовані вздовж вісі , відстань між двома сусідніми дорівнює .

, (3.1)

,

де:

, , .

Випадок ІІ. Оболонка послаблена двома колінеарними тріщинами, орієнтованими по осі , і третьою тріщиною, орієнтованою по осі .

, ,

, , (3.2)

де:

, .

Випадок ІІІ. Розглядається оболонка з чотирма хрестоподібно розташованими тріщинами, орієнтованими вздовж осей та .

, , (3.3)

де:

, .

Величини із зірочкою характеризують напружений стан у суцільній оболонці. Невідомі функції обрані таким чином:

, , (3.4)

, ,

де - модуль Юнга, - коефіцієнт Пуассона, - радіуси головних кривин оболонки, , .

Ядра систем регулярні або мають особливість типу Коші:

. (3.5)

Доданок з'являється при досліджені напруженого стану оболонки з ненаскрізними тріщинами. Наприклад, ядро має такий вигляд:

.

Спеціальна функція має вигляд:

, ,

де - функція Бесселя другого роду порядку .

Глибина напівеліптичних поверхневих і еліптичних внутрішніх тріщин задається функціями і , відповідно.

Системи (3.1), (3.2) і (3.3) розв'язуються чисельно методом механічних квадратур.

При розв'язанні задач дослідження напруженого стану оболонок з тріщинами, найбільш цікавими є зони, прилеглі до вершин тріщин.

Враховуючи той факт, що напружений стан є функцією, яка швидко згасає на відстані одної півдовжини тріщини, далі будуть наводитися коефіцієнти інтенсивності усиль і моментів для наскрізних тріщин, які обчислюються за формулами:

,

.

Коефіцієнти характеризують відхилення коефіцієнтів інтенсивності в оболонці від відповідних коефіцієнти інтенсивності в пластині (для пластини з одним розрізом , ).

Для поверхневих та внутрішніх тріщин, КІН обчислюється за формулами:

де .

Суцільною лінією зображені коефіцієнти інтенсивності зусиль і моментів на внутрішніх кінцях тріщин, пунктирною - на зовнішніх. Зірочками позначено результати, отримані Є.М. Федюком. Виявилось, що розбіжність між результатами, отриманими з використанням різних методик не перевищує 1%.

При розрахунках виявилося, що найбільше значення коефіцієнта інтенсивності досягається у центральній точці ненаскрізних тріщин, отже ця точка є найбільш характерною. Тому далі на більшості рисунків наведено КІН у центральній точці тріщини.

4. Дослідження взаємодії тріщин різного типу (наскрізних, поверхневих і внутрішніх), орієнтованих вздовж обох ліній головних кривин оболонки

Нижче для випадку II наведено розв'язувальну систему СІР, до якої зводиться задача дослідження напруженого стану оболонки з двома колінеарними повздовжніми поверхневими тріщинами, та поперечною наскрізною тріщиною між ними:

,

, (4.1)

,

де:

, , .

Функції є компонентами матриці:

, .

Система розв'язана методом механічних квадратур.

На рис. 4.1-4.2 наведено залежність КІН для поверхневих і коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів для наскрізних тріщин від кривини. Вважалося, що , . Криві 1-4 відповідають різній глибині поверхневих тріщин .

Висновки

ізотропний напружений оболонка лінійний

У дисертаційній роботі вирішено наукове завдання - розвинути підхід до розв'язування задач напруженого стану та граничної рівноваги оболонок з системами наскрізних, поверхневих та внутрішніх тріщин. Отримані наступні результати:

· вперше побудований розв'язок задачі про напружений стан ізотропної оболонки довільної кривини з внутрішньою тріщиною;

· запропоновано модифікований підхід до розв'язання задач про напружений стан ізотропної оболонки довільної кривини з поверхневими тріщинами;

· розглянуто нові задачі про взаємодію системи тріщин одного типу, орієнтованих вздовж обох ліній головних кривин, в ізотропних оболонках довільної кривини;

· досліджено взаємовплив наскрізних, поверхневих і внутрішніх тріщин в залежності від кривини оболонки, розташування тріщин, їх довжини і глибини;

· числовий аналіз розглянутих задач дозволяє зробити наступні висновки:

o в оболонці, послабленій тріщинами, на певній відстані між ними спостерігається зменшення коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів для наскрізних тріщин та КІН для поверхневих та внутрішніх тріщин у порівнянні із значенням, яке відповідає одній тріщині;

o при зменшені відстані між тріщинами коефіцієнти інтенсивності зусиль і моментів для наскрізних тріщин та КІН для поверхневих і внутрішніх тріщин збільшуються, крім коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів для наскрізних тріщин в випадку ІІ;

o найбільше значення коефіцієнти інтенсивності зусиль і моментів для наскрізних і КІН для поверхневих поперечних та внутрішніх тріщин досягаються в сферичній оболонці, але КІН для поверхневих повздовжніх тріщин мають найбільше значення в циліндричній оболонці;

o найменше значення коефіцієнти інтенсивності зусиль і моментів для наскрізних і, КІН для поверхневих та внутрішніх тріщин мають в псевдосферичній оболонці, крім коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів для наскрізних поперечних тріщин, який досягаються в циліндричній оболонці;

o в змішаній системі тріщин найбільше значення коефіцієнти інтенсивності зусиль і моментів для наскрізних та КІН для ненаскрізних тріщин мають в сферичній оболонці, крім КІН для ненаскрізних тріщин в випадку І;

o в змішаній системі тріщин найменше значення коефіцієнти інтенсивності зусиль і моментів для наскрізних та КІН для ненаскрізних тріщин мають в псевдосферичній оболонці, крім КІН для наскрізних поперечних тріщин (в оболонках з від'ємною кривиною);

o в випадку І при збільшенні глибини центральної (крайніх) тріщини коефіцієнти інтенсивності крайніх (центральної) тріщин збільшується.

o в системі поверхневих або внутрішніх тріщин в випадку ІІ при збільшенні глибини сусідніх тріщин КІН для поздовжніх тріщин зменшується, а КІН для поперечних - збільшуються.

o в системі поверхневих або внутрішніх тріщин в випадку ІІІ КІН тріщин зменшуються.

o в змішаній системі наскрізних і ненаскрізних тріщин в випадку ІІ та випадку ІІІ при збільшенні глибини сусідніх тріщин коефіцієнти інтенсивності для поздовжніх тріщин збільшуються, а коефіцієнти інтенсивності для поперечних в псевдосферичних і циліндричних оболонках - зменшуються.

o в змішаній системі ненаскрізних тріщин в випадку ІІ при збільшенні глибини сусідніх тріщин КІН для інших тріщин збільшується, а та випадку ІІІ КІН - зменшується.

Література

1. Довбня К.М., Яртемик В.В. Оцінка похибки застосування теорії спеціальної ортотропії при розрахунку на міцність ортотропних оболонок з колінеарними розрізами // Машинознавство. - 2005. - №1. - С.8-11.

2. Довбня К.М., Корохіна О.А., Яртемик В.В. Дослідження з використанням двох моделей розкриття поверхневої тріщини в оболонці // Труды ИПММ, Т. 11. - 2005.- С.30-34.

3. Довбня К.М., Яртемик В.В. Модифікація line-spring model для оболонки довільної кривини з поверхневою тріщиною // Доповіді НАН України. - 2006. - №4. - С.39-43.

4. Довбня К.М., Яртемик В.В. Дослідження КІН в оболонці з системою наскрізних і поверхневих колінеарних тріщин // Труды ИПММ, Т. 13. - 2007.- С.63-69.

5. Довбня Е.Н., Чернышенко М.А., Яртемик В.В. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния оболочек, содержащих поверхностные и сквозные трещины // Вестник Херсонского национального технического университета. - 2006. - Вып. 2(25). -C. 184-189.

6. Довбня Е.Н., Яртемик В.В. К оценке концентраций напряжений в ортотропных оболочках с двумя коллинеарными трещинами // Труды XI Международной научной школы им. академика С.А. Христиановича “Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках”. Алушта, 20-26 сентября 2004. - Симферополь, 2004. - С.43-45.

Размещено на Allbest.ru