Cтатистична теорія фрагментації твердотільних середовищ при самоподібному законі подрібнення

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ НАУКОВИЙ ЦЕНТР

«ХАРКІВСЬКИЙ ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

УДК 519.216 : 536.75

01.04.02 - теоретична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

CТАТИСТИЧНА ТЕОРІЯ ФРАГМЕНТАЦІЇ ТВЕРДОТІЛЬНИХ СЕРЕДОВИЩ ПРИ САМОПОДІБНОМУ ЗАКОНІ ПОДРІБНЕННЯ

Бродський Роман Євгенійович

Харків - 2009



Дисертацією є рукопис

Робота виконана в НТК “НДІ Монокристалів”, Інституті монокристалів

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, Вірченко Юрій Петрович, НТК “Інститут монокристалів”, Інститут монокристалів НАНУ, старший науковий співробітник відділу теорії конденсованого стану речовини.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України Пелетмінський Сергій Володимирович, Інститут теоретичної фізики ім. О.І. Ахієзера Національного наукового центру «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України, головний науковий співробітник;

доктор фізико-математичних наук, професор, Соколовський Олександр Йосипович, Днепропетровський національний університет ім. Олеся Гончара, професор кафедри квантової макрофізики.

Захист відбудеться 21.10. 2009 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.845.02 у Національному науковому центрі «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України за адресою: 61108, м. Харків, вул. Академічна, 1.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного наукового центру «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України за адресою: 61108, м. Харків, вул. Академічна, 1.

Автореферат розісланий 15 09.2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради канд. фіз.-мат. наук Кірдін А. І.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Під процесами фрагментації у фізиці твердого тіла розуміють процеси послідовного здрібнювання зразка твердотільного середовища під впливом зовнішніх умов і внутрішніх взаємодій. При цьому твердотільне середовище представляється у виді набору не зв'язаних один з одним окремих макроскопічних компонентів, що називаються фрагментами. Кінетичний процес здрібнювання, що називається фрагментацією, складається з багаторазово повторюваних у часі окремих дроблень кожного з фрагментів середовища, тривалістю кожного з яких можна зневажити. У результаті кожного дроблення, що чи відбувається те через вплив фрагментів один на одного (зіткнення), чи те через зовнішній вплив (удар), фрагмент розпадається на окремі не зв'язані один з одним частини, геометричні характеристики (розміри) яких менше відповідних характеристик вихідного батьківського фрагмента ,так що сумарний об'єм дочірніх фрагментів, що утворяться, дорівнює вихідному об'єму. Кінетичний процес фрагментації твердотільного середовища приводить до того, що число фрагментів у системі збільшується, а розмір фрагментів, усереднений по всій їхній сукупності, зменшується. Приклади процесів фрагментації досить численні. Такого роду процеси протікають або з природних причин, або в результаті технологічної діяльності. Під даний опис підпадають процеси, що протікають у широкому спектрі просторових масштабів. Особливе місце займають процеси фрагментації, що реалізуються у виді технологічного здрібнювання зразків твердотільних матеріалів. Вони отримали особливу значимість у зв'язку з розвитком нанотехнологій. Іншою характерною рисою процесів фрагментації є те, що для здійснення кожного акта дроблення затрачується енергія, що витрачається на утворення нових макроскопічних поверхонь розділу. При цьому повний об'єм усіх фрагментів залишається незмінним.

З теоретичної точки зору фрагментація твердотільного середовища являє приклад кінетичного процесу в системі багатьох тіл, що протікає удалині від рівноважного стану системи. Кожен її стан у фіксований момент часу визначається великою кількістю параметрів, що мають випадкові значення, оскільки вони з часом перетерплюють неконтрольовані випадкові зміни. Тому процеси фрагментації математично повинні моделюватися на основі представлень теорії ймовірностей. При цьому конструювання відповідних динамічних моделей для опису фрагментації не може ґрунтуватися на якому-небудь детерміністичному динамічному принципі, аналогічному тому, що використовується в нерівноважній статистичній механіці. Це зв'язано, по-перше, з тим, що кожен із фрагментів системи вже являє собою макроскопічний об'єкт із випадковою будовою, а, по-друге, - сам фізичний механізм, на основі якого відбувається кожне дроблення, і вся послідовність дроблень дуже складні і мають велику частку невизначеності. У зазначених умовах побудова динаміки фрагментації може бути заснована тільки на загальній феноменологічній картині еволюції і з урахуванням загальних фізичних принципів і законів таких, як принцип причинності, закони збереження речовини й енергії і т.д. При цьому клас можливих динамічних моделей, що задовольняють цим загальним принципам і законам, виявляється досить великим.

Тому, перша задача, що виникає в статистичній теорії фрагментації полягає в описі всього класу можливих динамічних моделей, обмежених рамками розумних теоретичних обмежень. Наступне завдання полягає у вивченні кожної з можливих моделей з метою порівняння з експериментальними даними. Величинами, що спостерігаються для систем фрагментації у загальному випадку, є статистичні розподіли геометричних характеристик окремих її фрагментів. Звичайно обмежуються вивченням густини розподілу f(r) одного параметра r - розміру фрагмента, що визначається експериментально за деяким правилом. Ця густина змінюється згодом f(r,t), відповідно до введеної динамічній моделі, стартуючи з початкової густини f(r,0) . Так як вибір динамічної моделі має велику довільність і велика невизначеність є у виборі початкових даних, то густина f(r,t) може бути довільною функцією і, у цьому випадку зникає предмет теоретичного дослідження. Однак очікується, що при t, коли загальне число фрагментів N(t) стає великим, асимптотика густини f(r,t) слабо залежить від початкового розподілу і, деякою мірою, від конкретного динамічного механізму, що визначає еволюцію системи. З цієї причини саме ця асимптотика густини f(r,t), що називається фінальною густиною розподілу, є основним об'єктом вивчення теорії. Рішення основних задач теорії фрагментації зводиться саме до визначення можливих типів фінальних густин розподілу.

Незважаючи на значні успіхи в експериментальному вивченні і технологічному застосуванні процесів фрагментації, а також на велику кількість теоретичних досліджень, повне рішення основної, у зазначеному вище змісті, задачі статистичної теорії фрагментації ще далеке від свого завершення. У зв'язку з цим тема дисертації представляється актуальної.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відділі теорії конденсованого стану речовини Інституту монокристалів НАН України в рамках тем: "Дослідження ефектів нелінійності і хаотичності в конденсованих середовищах" (2001-2003, номер держ. реєстрації 0101U003489), "Дослідження хаотизації у складних композитних системах та аномальні кінетичні явища" (2004-2006, номер держ. реєстрації 0104U003918), "Дослідження класичних та квантових властивостей складних нелінійних систем с розгалуженням" (2007-2009, номер держ. реєстрації 0107U000855). У зазначених темах автор брав участь у якості виконавця.

Мета і задачі дослідження. У дисертації поставлена наступна мета. Побудувати статистичну теорію фрагментації твердотільних середовищ на основі однопараметричного опису динамічних станів фрагментів в умовах самоподібного закону подрібнення фрагментів і з урахуванням законів збереження речовини і балансу енергії.

Для досягнення поставленої мети в дисертації вирішуються наступні задачі. фрагментація твердотільний однопараметричний подрібнення

Визначити фізичні умови, при яких можливий опис еволюції системи фрагментації на основі кінетичного рівняння для густини розподілу числа фрагментів по розмірах. У рамках однопараметричного опису, розробити послідовну теоретико-імовірнісну схему для опису динаміки каскадних процесів фрагментації і на основі цієї схеми вивести основне кінетичне рівняння, що описує зміну в часі густини розподілу числа фрагментів у просторі розмірів.

На основі отриманого кінетичного рівняння дослідити типи асимптотичної поведінки густини розподілу числа фрагментів по розмірах при наявності самоподоби інтенсивності дроблення. Дослідити загальний випадок фінальної поведінки системи фрагментації при наявності масштабної інваріантості інтенсивності дроблення. Знайти динамічний режим, при якому реалізується колмогоровський тип фінальної поведінки.

Визначити фізичні умови, при яких густина розподілу числа фрагментів по розмірах може бути апроксимована рішеннями дифузійного рівняння в просторі розмірів, що є окремим випадком загального кінетичного рівняння. Одержати загальний вид коефіцієнтів цього рівняння з урахуванням законів збереження речовини й енергії.

У рамках дифузійного наближення, знайти типи фінальної поведінки густини розподілу числа фрагментів по розмірах у випадку масштабної інваріантості й у випадку самоподоби еволюційного рівняння.

Об'єкт дослідження цієї роботи - процес еволюції стохастичної системи фрагментації твердотільного середовища.

Предметом дослідження є фінальні розподіли числа фрагментів по розмірах.

Методи дослідження засновані на методах теорії випадкових процесів і загальних представленнях фізики твердого тіла. А саме, використані поняття і представлення теорії стрибкоподібних марковських процесів і марковських гіллястих процесів з континуумом типів часток, метод висновку керуючого рівняння типу Колмогорова-Феллера для зазначеного типу випадкових процесів на основі рівняння Чепмена-Колмогорова. Використано теорію фон Риттингера енергетичного балансу при дробленні зразка твердого тіла і базові положення термодинаміки. Крім того, у роботі істотно використовувалося перетворення Мелліна при рішенні й аналізі кінетичного рівняння фрагментації, а також метод перевалу при обчисленні фінальних розподілів ймовірностей.

Наукова новизна. У результаті проведеного дослідження були отримані наступні нові наукові результати.

Уперше побудована теоретико-імовірнісна модель, що описує каскадні кінетичні процеси фрагментації. У рамках цієї моделі на основі однопараметричного опису станів систем фрагментації отримане основне кінетичне рівняння, що описує еволюцію густини розподілу числа фрагментів по розмірах.

Уперше визначений клас можливих фінальних густин розподілу числа фрагментів по розмірах, що враховують закон збереження речовини, в умовах масштабно інваріантної інтенсивності дроблення при протіканні процесу фрагментації в незмінних зовнішніх умовах. З'ясовано фізичні умови, при яких реалізується фінальний логарифмічно нормальний закон розподілу.

В умовах масштабної інваріантості при степеневій апроксимації інтенсивності дроблення і незмінних зовнішніх умовах протікання процесу фрагментації вперше обчислено фінальну густину розподілу по розмірах фрагментів.

Уперше знайдений клас можливих фінальних густин розподілу числа фрагментів по розмірах, що враховують закон збереження речовини, при самоподібному порушенні масштабної інваріантості інтенсивності дроблення фрагментів з позитивним показником самоподоби і при незмінності зовнішніх умов. Обчислено фінальні густини розподілу при степеневій апроксимації інтенсивності дроблення.

Уперше знайдені фізичні умови, при яких рішення основного кінетичного рівняння апроксимуються рішеннями рівняння дифузії і уведено поняття про повільну фрагментацію. У випадку повільної фрагментації виділені два види фінальної поведінки густини розподілу числа фрагментів по розмірах. Один з них відповідає масштабно інваріантному дифузійному рівнянню. При цьому реалізується логарифмічно-нормальний фінальний закон розподілу. Інший відповідає еволюційному процесові, із самоподобою з позитивним показником. У цьому випадку обчислена фінальна густина розподілу для показника самоподоби рівного двом.

Наукове і практичне значення отриманих результатів.

Отримані в дисертації результати представляють теоретичне значення з наступних причин:

а) у рамках загальної задачі про повний опис класу можливих фінальних густин розподілів числа фрагментів по розмірам знайдений вид цих густин при наявності самоподоби інтенсивності дроблення;

б) розроблена загальна теоретико-імовірнісна схема, у рамках якої можливий логічно послідовне виведення кінетичних рівнянь для опису еволюції густини розподілу числа часток для каскадних процесів загального виду.

Отримані в роботі результати мають практичне значення, тому що можуть використовуватися при обробці статистичної інформації, зв'язаної с фрагментацією в технологічних процесах, наприклад, при одержанні дрібнодисперсних порошків у нанотехнологіях і ін.

Особистий внесок здобувача. Постановки задач і вибір методу дослідження, як дисертації, так і кожної зі спільно виконаних робіт, належать науковому керівникові Вірченко Ю.П. Всі основні результати дисертації отримані дисертантом самостійно. Матеріали дисертації опубліковані в 8 статтях [1-8] і 6 тезах конференцій [9-14]. У цих роботах автором особисто зроблене наступне. У статті [1] отримане основне кінетичне рівняння і знайдене його повне рішення з приведеною інтенсивністю утворення уламків. У роботі [2] отримане кінетичне рівняння для випадку постійної інтенсивності накачування енергії, а також вид параметрів, що входять у рівняння. У статті [3] на основі рівнянь для розподілу ймовірностей, що описують марковський каскадний процес фрагментації, отримане диференційне рівняння для твірної функції в безперервному часі і кінетичне рівняння для густини розподілу числа фрагментів по розмірах. У роботі [4] отримане рівняння для розподілу імовірності за допомогою формалізму виробляючого функціонала, а в статті [5] були знайдені умови реалізації різних режимів фрагментації з використанням цього рівняння. У роботі [6] отримані рівняння для багаточасткових функцій розподілу. У статті [7] знайдене кінетичне рівняння для масштабно-інваріантної інтенсивності утворення уламків і отримане його рішення при асимптотично великих часах. У роботі [8] визначені функціональні параметри, що входять у рівняння повільної фрагментації, та отриманий фінальний розподіл числа фрагментів у випадку масштабної інваріантості.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися й обговорювалися на наступних конференціях:

Міжнародна конференція "Колмогоров и современная математика" (Москва, 16-21 червня 2003р.)

10-а Міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука (Київ, 13-15 травня 2004р.)

Міжнародна наукова конференція "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения", TBMHA-2005 (Воронеж, 27-30 червня 2005р.)

VII-а Міжнародна конференція по математичному моделюванню (Феодосія, 6-10 вересня 2005р.)

11-а Міжнародна конференція імені академіка М.Кравчука (Київ, 18-20 травня 2006р.)

VIII-а Міжнародна конференція по математичному моделюванню (Феодосія, 5-9 вересня 2006р.)

Міжнародна конференція "Квантова електродинаміка і статистична фізика" QEDSP-2006 (Харків, 19-23 вересня 2006р.)

Міжнародна конференція пам'яті Ляпунова (Харків, 20-26 червня, 2007р.)

Публікації. Матеріали дисертації були опубліковані в 14 наукових публікаціях, у тому числі 8 статтях, три з яких, [1, 5, 6], опубліковані в фахових журналах, що відповідають вимогам ВАК України, і 6 тезах конференцій, що перераховані в прикладеному списку.

Структура і зміст роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновку і списку використаних джерел, що містить 113 найменувань на 11 сторінках. Загальний обсяг дисертації складає 155 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовується вибір і актуальність теми, визначається стан її наукової розробки, сформульовані мета та основні задачі дослідження, методи й теоретичні основи їх вирішення, розкрита наукова новизна положень, які виносяться на захист, визначене теоретичне і практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі дано огляд розвитку теорії фрагментації й аналіз робіт, проведених у цьому напрямку різними дослідниками, починаючи з фундаментальної, що заклала основи теорії фрагментації, роботи А.Н.Колмогорова. У цьому розділі також дається загальна постановка теоретичної задачі теорії фрагментації, описані специфічні труднощі, що виникають при її рішенні.

Досліджувана фізична система являє собою твердотільне середовище, що складається з не зв'язаних один з одним компонент {A1,…,AN}, що називаються її фрагментами. Вони являють собою твердотільні зразки з об'ємами V(Ai). Еволюція системи складається з розпадів фрагментів, що відбуваються у випадкові моменти часу, так що при розпаді кожного фрагмента, Aj j=1,…,N, утворюється нова сукупність фрагментів {B1(j),…,Blj(j)}, причому вихідний фрагмент є об'єднанням дочірніх і, таким чином, V(Aj)=V(Bi(j)). Звідси випливає, при урахуванні незмінюваності фрагментів з моменту утворення кожного з них до його розпаду, закон збереження об'єму

V0=V(Ai(t)) (1)

Важливими для опису системи фрагментації є її термодинамічні властивості. Енергія E(t), що надходить у систему протягом часу t, витрачається на розпад фрагментів і на їхнє нагрівання Q(t). Енергія, що йде на розпад фрагментів, витрачається на розрив міжмолекулярних зв'язків у речовині з утворенням нової поверхні. Позначивши W(Ai), енергію, витрачену на утворення поверхні фрагмента Ai, перший початок термодинаміки формулюємо у виді

Q(t)+W(Ai(t))=E(t)+W(Ai(0)), (2)

при цьому енергія W (Ai(t)) пропорційна площі S(Aj(t)) поверхні фрагмента і таким чином повна енергія, витрачена на утворення фрагментів до моменту часу дорівнює

W(t)=S(Ai(t))+W0 (3)

З метою виключення серйозних математичних ускладнень при описі динаміки системи фрагментації в умовах довільності випадкової форми фрагментів у дисертації використовується запропонований Колмогоровим однопараметричний опис стану системи фрагментів за допомогою завдання наборів випадкових розмірів <r1,…,rN>, що характеризують усі фрагменти системи в кожен момент часу. Експериментальне вивчення системи фрагментації складається в обробці статистичних даних великої вибірки її фрагментів за допомогою обчислення емпіричної функції N(r,t) розподілу фрагментів по розміру і її густини

g(r,t)=N(r,t). (4)

Теоретичне вивчення системи фрагментації засновано на кінетичному рівнянні для густини g(r,t) розподілу фрагментів по розмірах. Вивід і рішення кінетичних рівнянь такого роду складає основу методу дослідження, що використовується в дисертації. Варто відмітити, що в основному становить інтерес розподіл фрагментів по розмірах після тривалої еволюції системи фрагментації, коли розподіл імовірностей розмірів фрагментів слабо залежить від початкового розподілу. У цьому випадку говорять про фінальну поведінку густини розподілу f(r,t)=g(r,t)/N(t) імовірностей. Так як густина f(r,t) розподілу прагне до (r), то фінальна густина розподілу досліджується на основі густини h(r,t), що зв'язана з густиною f(r,t) наступною формулою

f(r,t)=(t)h((t)r,t) (5)

з підходящою масштабною функцією (t) такою, що густина h(r,t) має нетривіальну границю при t .

При побудові динаміки системи фрагментації, у дисертації використовуються тільки найзагальніші фізичні принципи такі, як закони збереження об'єму й енергії. Крім того, враховується ефект утрати пам'яті в протіканні еволюції системи фрагментації, тобто зміна густини g(r,t) за будь-який малий проміжок часу від t до t + t не повинна залежати від передісторії процесу фрагментації до даного моменту часу . В математиці випадкові процеси, що мають таку властивість, називаються марковськими.

У дисертації також передбачається наявність каскадності процесів фрагментації, коли розпад кожного з фрагментів системи не залежить від взаємодії з іншими фрагментами. Істотною відмінністю дійсної роботи, як від основної роботи А.Н.Колмогорова, так і від робіт інших авторів, виконаних у рамках підходу, що заснований на однопараметричному описі станів фрагментів, є дослідження фрагментації в умовах порушення масштабної інваріантості закону однократного дроблення фрагмента. При цьому, у дисертації, вивчається порушення масштабної інваріантості при наявності в законі подрібнення більш слабої властивості - самоподоби при зміні масштабу. Це означає, що, густина розподілу перетворюється згодом таким чином, що має місце співвідношення

N(r,t)=G(r/r',t)r'-1dN(r',0), (6)

з деякою функцією G(x,t), що описує процес фрагментації незалежно від початкового розподілу фрагментів по розмірах і показником 0 самоподоби механізму дроблення.

Другий розділ присвячений побудові імовірнісної моделі для опису випадкового каскадного процесу фрагментації твердотільного середовища у рамках однопараметричного опису станів фрагментів і виведенню на її основі кінетичного рівняння для густини g(r,t), що використовується в наступних розділах дисертації. У рамках такого підходу у кожен момент часу система фрагментації описується значенням N випадкової величини (t) - повного числа фрагментів, і набором <r1,…,rN> з N додатних упорядкованих по зростанню чисел, що є значеннями випадкових розмірів фрагментів. Розподіл ймовірностей на такому просторі станів системи фрагментації у кожен фіксований момент часу визначається завданням набору багаточасткових густин розподілу <fN(r1,…,rN;t) 0;NN>. У зв'язку з нерозрізненістю фрагментів з однаковими розмірами зручно вважати ці густини симетричними функціями розмірів. При цьому властивість нормування всього набору <fN(r1,…,rN;t) 0;NN> записується у виді

fN(r1,…,rN;t)drN = pN(t), pN(t)=1. (7)

Побудова стохастичної динаміки для розподілу ймовірностей стану системи, обумовленого набором густин <fN(r1,…,rN;t) 0;NN> заснована на припущенні, що відповідний випадковий процес ; t 0 є марковським. Для його визначення вводиться набір густин умовних ймовірностей переходу <fNN'(r1,…,rN, t|r'1,…,r'N', t'); NN,N'N> зі стану <r'1,…,r'N'> в стан <r1,…,rN>. Для того, щоб процес був марковським, необхідно щоб цей набір густин задовольняв рівнянню Чепмена-Колмогорова, що, у даному випадку, має вигляд

fNN'(r1,…,rN, t|r'1,…,r'N', t') =

fNN''(r1,…,rN, t|r''1,…,r''N'', t'')

fN''N'(r''1,…,r''N'', t''|r'1,…,r'N', t')dr''1…r''N'' . (8)

Марковський процес, що описує каскадну фрагментацію і якій потрібно конструювати, є стрибкоподібним. Це означає, що із величезною величиною імовірності протягом інтервалу [t, t+) для досить малих значень > 0 або відбувається один розпад якогось із фрагментів системи, або зовсім не відбувається розпадів. При цьому імовірність того, що в цьому інтервалі відбудеться більш одного розпаду має величину порядку 2. Тоді підстановка в рівняння Чепмена-Колмогорова густин умовних ймовірностей переходу при t - t' = , що представляються з точністю до першого порядку по формулою

fNN'(r1,…,rN, t+|r'1,…,r'N', t)=

=NN'(1-N(r1,r2,…,rN;t))(r'P1 - r1)…(r'PN - rN)+

+NN'(r1,…,rN, t|r'1,…,r'N') + o(), (9)

де P - оператори перестановок N індексів, NN'(r1,…,rN, t|r'1,…,r'N') - частоти відповідних переходів при дробленнях фрагментів, і перехід до границі 0 приводить до системи динамічних рівнянь

(r1,…rN; t)=

=NN'(r1,…,rN, t|r'1,…,r'N')fN(r'1,…r'N'; t)dr'1,…dr'N' -

- N(r1,…,rN; t)fN(r1,…rN; t) (10)

для набору густин <fN(r1,…rN; t) 0; NN>. При цьому умова їх нормування дає співвідношення

N(r'1,…,r'N; t) = NN'(r1,…,rN, t|r'1,…,r'N')dr1,…drN, (11)

яке може бути інтерпретовано, як принцип детальної рівноваги.

У марковському процесі, якій треба побудувати, передбачається наявність властивості розгалуження, що описує на імовірнісній мові властивість каскадності процесу фрагментації. Умова розгалуження представляється формулою

fNN'(r1,…,rN, t+|r'1,…,r'N', t)= fsj(r(A); t, |r'j), (12)

де A = {i1,…,is}{1,…N}, r(A)={ri1,…,ris}. Ця формула визначає спеціальний вид інтенсивності переходу NN'(r1,…,rN, t|r'1,…,r'N') для випадкового процесу, що будується. Підстановка інтенсивностей переходу такого типу в систему динамічних рівнянь для набору густин <fN(r1,…rN; t) 0; NN> приводить до наступної системи рівнянь

|A|(r(A); t | r')fN-|A|+1(r',r(IN\A); t)dr' -

- 1(r1;t)fN(r1,…,rN; t), (13)

IN = {1,…,N} для марковського процесу, що описує каскадну фрагментацію і розгалужується. На основі системи (13) знаходиться кінетичне рівняння для густини g(r,t) розподілу числа фрагментів по розмірах. Для рішення цієї задачі у дисертації, використовується метод твірного функціонала

H[u;t]=fN(r1,…,rN; t)dr1,…,drN, (14)

де u(r), r > 0 - довільна безперервна фінітна функція розміру r. Опис розподілу ймовірностей сконструйованого випадкового процесу в термінах цього функціонала еквівалентно його описові на основі густин fN(r1,…,rN; t), N N, оскільки має місце формула

fN(r1,…,rN; t). (15)

Густина g(r,t) визначається формулою

g(r,t)= fN(r1,…,rN-1,r; t)dr1,…,drN-1, (16)

яка еквівалентна співвідношенню

g(r,t) = . (17)

Аналогічним образом вводяться багаточасткові густини розподілу числа фрагментів

g(r1,…,rN; t) =fN'(r1,…,rN, r1,…,rN'-N; t)dr'1…dr'N'-N , (18)

які, відповідно, виражаються у виді функціональних похідних g(r1,…,rN;t)=від твірного функціонала. Вводиться твірний функціонал L[u;r,t] для набору частот m(r1,…,rm;t|r), m N розпадів фрагментів з розміром r,



l[u;r,t]m(r1,…,rm;t|r)dr1…drm , (19)

залежний від r > 0 як від параметра, і на його основі набір інтенсивностей утворення в одиницю часу фрагментів з розмірами r1,…,rm

Km(r1,…,rm;t|r)=

N(r1,…,rm,r'1,…,r'N-m;t|r)dr'1,…,dr'N-m

, (20)

які цілком характеризують закон дроблення одного фрагмента. У термінах функціонала L[u;r,t], формулюється динамічне рівняння для твірного функціонала

(L[u;r',t]-u(r')L[1;r',t])dr'. (21)

Звідси, обчислюючи функціональну похідну по u(r) при u(r) = 0 отримуємо кінетичне рівняння для густини розподілу числа фрагментів по розмірах

K(r,r';t)g(r',t)dr'-(r,t)g(r,t), (22)

де K(r,r';t)=K1(r;t|r'), (r,t)=1(r,t), g(r,t) = g1(r,t).

У третьому розділі дисертації досліджуються рішення кінетичного рівняння (22) для густини g(r,t) у випадку самоподібного закону дроблення (зокрема, масштабно-інваріантного). На інтенсивності K(r,r';t)утворення фрагментів розміру r із фрагментів розміру r' і (r,t) - розпаду фрагментів розміру r накладається додаткова умова

(r,t)=r-3K(r,r';t)r'3dr', (23)

яке забезпечує наявність збереження, згідно (22), величини

g(r,t)r3dr = V0 = const. (24)

У рамках підходу, заснованого на однопараметричному описі, це відповідає урахуванню збереження повного об'єму системи фрагментів. Крім того, дослідження в цьому розділі засновано на припущенні про те, що процес фрагментації відбувається в незмінних зовнішніх умовах. Навіть при наявності такого обмеження інтенсивність K(r,r';t) з необхідністю залежить від часу. Це зв'язано з тим, що повне число фрагментів зростає й енергія, що надходить ззовні в систему, перерозподіляється між великим числом фрагментів і, отже, процес фрагментації сповільнюється. Однак при наявності незмінних зовнішніх умов можна стверджувати, що при досить тривалій еволюції системи повинний виникнути автономний режим, коли залежність від часу в інтенсивності утворення фрагментів факторизується K(r,r';t) = K(r,r')(t) і, відповідно, (r,t)=(r)(t). Це приводить до того, що виникає стаціонарний режим фрагментації в ефективній шкалі часу s, для якої має місце ds=(t)dt. У термінах цієї шкали часу кінетичне рівняння (22) приймає вид



g(r,s)=K(r,r')g(r',s)dr'-(r)g(r,s). (25)

Це рівняння не може мати більш одного інваріанта. Таке положення приводить до того, що величина інтеграла r2g(r,t)dr, що описує ріст сумарної поверхні фрагментів системи, не може приймати довільні значення. Тому енергія, витрачена на утворення поверхонь фрагментів, що дорівнює помноженої на величині цього інтеграла, повинна з необхідністю бути менше, ніж величина енергії E(t), закачаної у систему. Відповідно, різниця Q(t) = E(t) - r2g(r,t)dr повинна бути, узагалі говорячи, відмінна від нуля. За допомогою диференціювання цього співвідношення за часом, вважаючи =V(T(t)), де (T) залежана від температури питома теплоємність твердотільного середовища, отримуємо рівняння для зміни температури T(t) системи фрагментів з часом

=V(T(t))+g(r,t)A2(r,t)dr, (26)

Aa=K(r,r';t)r'adr'-(r,t)ra, (27)

у припущенні про її однорідний розподіл, що зв'язує ця зміна зі зміною згодом.

Спочатку у розділі 3 досліджується фінальна поведінка рішень рівняння (25) в умовах масштабної інваріантості інтенсивності утворення фрагментів, тобто при незмінності міри K(r,r';t)dr' щодо перетворень r r; r' r', > 0. У цьому випадку, функція K(r,r';t) представляється в більш простому виді K(r,r'; t) = r'-1K(r/r')(t), відповідно має місце (r,t)=(t). Тоді рівняння (25) переходить у наступне

g(r,s)=K(x-1)x-1g(xr, s)dx - g(r,s). (28)

Рівняння (28) досліджується за допомогою перетворення Мелліна

M(z,s)=rz-1g(r,s)dr, (29)

оскільки образи M(z,s), підкоряються рівнянню

M(z,s) = (R(z)-)M(z,s), (30)

R(z)=K(x)xz-1dx. (31)

У результаті густина g(r,s) представляється у виді

g(r,s)G(r/r';s)g(r',0), (32)

де ядро G(x,s), що є функцією Гріна для рівняння (30), дається формулою

G(x,s)=exp(sR(z)). (33)

Це ядро містить всю інформацію про процес фрагментації і визначає фінальну поведінку густини розподілу ймовірностей розмірів фрагментів. Зокрема, у тому випадку, коли еволюція системи починається з дроблення одного фрагмента, g(r,0)=(r - r0), фінальна поведінка густини g(r,s) визначається асимптотою функції G(x,s) при s,

g(r,s)=G(r/r0,s)r0-1. (34)

Інтегральне представлення (33) дозволяє обчислити цю асимптотику методом перевалу. Результатом цього обчислення є наступне асимптотичне представлення для густини розподілу ймовірностей

(s)f(r(s),s)=(r0 es)-1, (35)

z* = z*(s-1ln[r/r0 es]), = R(1)-R(2), (36)

де z*- точка перевалу, тобто рішення алгебраїчного рівняння R'(z*) = s-1ln[r/r0 es], а функція зміни масштабу (s) має вигляд (s) = (s)/(0)=e-s . Фінальна густина розподілу (35) дуже складна, її вид цілком визначається невідомою функцією R(z). Тому для одержання формул, придатних для обробки експериментальних даних по розмірах фрагментів, необхідно зробити додаткові припущення про функцію K(x), що визначає інтенсивність утворення фрагментів з різними розмірами. Досліджено два випадки. У першому випадку, вивчена степенева апроксимація, K(x)=Kx. Тоді, у випадку фрагментації єдиного фрагмента з початковим розміром r0, має місце наступна фінальна густина розподілу ймовірностей по розмірах фрагментів

g(r,s) = r-1x(1+)e-s

x = r/r0 [0,1] і =,

де I1() - модифікована функція Бесселя першого порядку. Відповідно, асимптотика густини розподілу дається формулою

f(r;s)=Cexp(-(1+)[|ln x|1/2-(sK)1/2/(1+)]2). (37)

В другому випадку, досліджена ситуація, коли функція K(x) зосереджена поблизу значення x=1. У результаті отримано колмогоровський закон розподілу

(s)f(r(s),s)=exp. (38)

Далі у третьому розділі вивчені можливі типи фінальних розподілів у випадку порушення масштабної інваріантості закону дроблення, при наявності в міри K(r,r';t)dr' властивості самоподоби з деяким показником самоподоби > 0 при перетворенні масштабу r r; r' r'. У цьому випадку інтенсивність народження фрагментів K(r,r') в ефективній шкалі часу має вигляд K(r,r') = (r')-1K(r,r'), обумовлений деякою додатною функцією K(x). Рівняння (25) приймає вид

, (39)

інваріантний щодо перетворення r r; s -s. Відповідне рівняння для образів Мелліна густини g(r,s) 

M(z,s)=(R(z)-)M(z+,s), (40)

вже не допускає точного інтегрування. Однак в окремому випадку, коли =1, на основі цього рівняння, використовуючи закон збереження об'єму M(4,s) = const = V отримані точні вираження для всіх статистичних моментів густини g(r,s). Перші три моменти визначають, відповідно, повне число фрагментів M(1,s)=N(t), повну поверхню фрагментів S(t)=M(3,s) і їхній середній розмір (t)=M(2,s)/M(1,s). Асимптотичні вираження цих характеристик, при великій величині s, мають, відповідно, вид

N(s)=M(1, s)=V(R(1)-R(4))(R(2)-R(4))(R(3)-R(4))s3, (41)

S(s)=M(3,s)=V(R(3)-R(4))s, (42)

(s)= = . (43)

У загальному випадку фінальну поведінку густини f(r,s) не вдається досліджувати прямим методом, як це було зроблено у випадку масштабно інваріантного дроблення. У зв'язку з цим, припускаючи наявність у густині f(r,s)фінальної поведінки виду f(r,s)=(s)h((s)r,s), для функції h(r,s) виводиться рівняння, що випливає з (39). Далі з цього рівняння знаходиться, що така фінальна поведінка може мати місце тільки при виконанні умови

-1(s)=-(s). (44)

При цьому виникає гранична густина h(x,s)h(x) при s . Рівняння, якому задовольняє ця густина, виявляється істотно простіше, і воно допускає точне рішення. У термінах образів Мелліна

M(z)=xz-1h(x)dx (45)

густини h(x), це рівняння є функціональним і має вигляд

(4-z)M(z)=M(z+)(R(z)-). (46)

З умови нормованості густини h(x), випливає крайова умова M(1)=1. У дисертації рівняння (46) вирішено в тім же випадку, для якого була отримана явна формула для фінальної густини розподілу при наявності масштабної інваріантості дроблення, а саме для степеневої апроксимації функції K(x), K(x)=Kx ,

, . (47)

У цьому випадку рівняння (46) приймає вид

M(z)=K,

і його рішенням, що задовольняє потрібній крайовій умові, є

M(z)= z, (48)

де . Зворотне перетворення Мелліна функції (31) визначаає формулу, що дає опис для всіх можливих густин h(x),

h(x)=[(/)]-1(x/)exp(-(x/)), (49)

які визначають фінальну поведінку густин розподілу ймовірностей розмірів фрагментів,

f(r,s)=-1(s)exp. (50)

Четвертий розділ дисертації присвячений дослідженню спеціального динамічного режиму фрагментації, що названий повільною фрагментацією. Такий режим реалізується тоді, коли енергія, що надходить у систему за характерний час взаємодії фрагментів, у середньому багато менше енергії, необхідної для розвалу одного фрагмента в системі. При реалізації режиму повільної фрагментації права частина кінетичного рівняння

(r,t)=(Lg)(r,t), (51)

для густини g(r,t)з лінійним оператором L допускає асимптотичне розкладання по степенях l ефективного малого параметра ,

(Lg)(r,t)=[cl(r,t)g(r,t)]. (52)

Помітимо, що незважаючи на лінійність оператора L, рівняння для густини розподілу ймовірностей не є лінійним

(r,t)=Lf(r,t)-f(r,t)(Lf)(r',t)dr', (53)

і тому відповідний випадковий процес, у якого густина f(r, t) є густиною частинного одноточкового розподілу, не є марковським. Для опису динаміки повільної фрагментації можна обмежитися членами в розкладанні (52) до другого порядку включно. При цьому, як і в третьому розділі, рішення кінетичного рівняння вивчаються в припущенні про встановлення автономного режиму з ефективним часом . Тоді, досліджуване кінетичне рівняння приймає вид

g(r,s) = c(r)g(r,t) + [c1(r)g(r,s)] + [c2(r)g(r,s)]. (54)

Закон збереження повного об'єму речовини й умова малості приходу енергії приводять до того, що, у головному наближенні, коефіцієнти c(r),c1(r),c2(r) не є незалежними, а зв'язані з c(r) співвідношеннями

c2(r)=r2c(r), c1(r)=rc(r). (55)

У рамках режиму повільної фрагментації можна розрізнити два випадки з якісно різною поведінкою. Вони визначаються залежністю поблизу точки r = 0 функції c(r), що відповідальна за швидкість народження фрагментів з розміром r. У випадку, коли c(0) 0, рівняння (54) допускає обчислення асимптотики рішення при s і, у результаті, отримуємо колмогоровський тип фінальної поведінки густини розподілу ймовірностей

f(r,s)=expf(r',0)dr'. (56)

У випадку c(0) = 0, припускаючи наявність самоподоби механізму подрібнення, тобто вводячи степеневу залежність функції c(r)=(r/r*) , > 0, у дисертації досліджений до кінця випадок, коли показник самоподоби дорівнює двом. У цьому випадку рівняння (54) також допускає явне рішення, що дозволяє знайти фінальну густину розподілу. Ця густина має такий вигляд

g(r,s)=r' 3G(r*/r,r*/r';s/3)g(r',0)d(r'/r*), (57)

де функція G(x,x';s) дається формулою

G(x, x'; s)=|x - x'| exp+(x + x') exp . (58)

У випадку, коли має місце фрагментація одного зразка з розміром r0, враховуючи, що на фінальному етапі еволюції r << r0, формули (57), (58) дають наступне вираження для фінальної густини розподілу ймовірностей розмірів фрагментів

f(r,s)=, (s)=r*(3/s)1/2, (59)

і при цьому має місце лінійний ріст повного числа фрагментів N(s) = (r/r*)3.



ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі, в рамках загальноприйнятого в статистичній теорії фрагментації підходу А.Н.Колмогорова до дослідження систем, що подрібнюються, внаслідок зовнішніх впливів, крихких твердотільних середовищ, що заснований на грубому однопараметричному описі стану кожної із систем, досліджені процеси фрагментації, у яких механізм дроблення фрагментів різних розмірів має властивість самоподоби. Це можна розглядати як узагальнення результатів класичної роботи А.Н.Колмогорова, у якій механізм дроблення має властивість масштабної інваріантості.

В результаті проведеного дослідження побудована теорія фрагментації тведотільних середовищ в умовах самоподібного закону подрібнення фрагментів і при врахуванні законів збереження речовини та енергії. Складовими цієї теорії є наступні отримані в дисертації результати.

1. Побудована теоретико-імовірнісна модель, що описує каскадні кінетичні процеси фрагментації. У рамках цієї моделі отримано кінетичне рівняння для густини розподілу числа фрагментів по розмірах з врахуванням збереження їхнього повного об'єму, балансу енергії, затрачуваної на дроблення, і властивості асимптотичної автономності динаміки системи.

2. Показано, що це кінетичне рівняння не може мати більш одного статистичного моменту густини розподілу, що зберігається, і на основі цього факту отримано рівняння для зміни з часом температури системи фрагментів у припущенні про її однорідний розподіл.

3. На основі кінетичного рівняння описаний клас фінальних густин розподілу ймовірностей по розмірах фрагментів для масштабно інваріантного закону дроблення в умовах збереження повного об'єму системи й адіабатичному надходженні енергії в систему. Виявлено умови, що накладаються на закон дроблення, при яких реалізується логарифмічно нормальний розподіл. У рамках описаного класу фінальних густин обчислена фінальна густина розподілу при степеневій апроксимації закону подрібнення.

4. В умовах збереження повного об'єму системи на основі кінетичного рівняння знайдений клас фінальних густин розподілу ймовірностей по розмірах фрагментів для самоподібного з додатним показником закону подрібнення при степеневій його апроксимації. Цей клас розподілів являє собою узагальнення класу законів розподілу Вейбулла.

5. Введено поняття про динамічний режим повільної фрагментації. Показано, що для цього динамічного режиму густина розподілу числа фрагментів по розмірах підкоряється лінійному дифузійному рівнянню з розподіленим самоузгодженим джерелом, що визначається розподіленою по розмірах інтенсивністю народження фрагментів. Показано, що при реалізації режиму повільної фрагментації, мається два якісно різних типи фінальних густин розподілу по розмірах фрагментів, відповідно, коли інтенсивність народження фрагментів прагне до додатної величини при прагненні розміру до нуля і, навпаки, коли вона в зазначеному випадку прагне до нуля. У першому випадку реалізується логарифмічно нормальний фінальний розподіл ймовірностей по розмірах фрагментів. В другому випадку знайдений фінальний розподіл ймовірностей у випадку інваріантного при перетворенні подоби рівняння дифузії з показником самоподоби, рівним двом. Густина розподілу в цьому випадку має степеневу r-6 асимптотику в області великих розмірів фрагментів.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Virchenko Yu.P. Investigation of final stage of random fragmentation process/ Yu.P.Virchenko, R.E.Brodskii // Functional Materials. - 2003. - V.10., № 3. - P. 378-387.

2. Бродский Р.Е. Исследование модели Колмогорова фрагментации материала в условиях сохранения объёма и энергии / Р.Е.Бродский, Ю.П.Вирченко // Вестник Херсонского НТУ. - 2005. - Т.22. - С. 69-72.

3. Вирченко Ю.П. Построение марковского случайного процесса фрагментации в пространстве размеров / Р.Е.Бродский, Ю.П.Вирченко // Вестник Херсонского НТУ. - 2006. - Т.25(2). - С. 111-115.

4. Brodskii R.E. The Kolmogorov equation in the stochastic fragmentation theory and branching processes with infinite collection of particle types / Yu.P.Virchenko, R.E.Brodskii // Absract and Applied Analysis. - 2006. - Art.ID 36215. - P. 1-10.

5. Virchenko Yu.P. Investigation of the material fragmentation model with the uniform scale subdivision energy distribution / Yu.P.Virchenko, R.E.Brodskii // Functional Materials. - 2006. - V.13., № 1. - P. 6-13.

6. Brodskii R.E. Probabilistic description of Cascade Kinetic Processes / R.E.Brodskii, Yu.P.Virchenko // Problems of Atomic Science and Technology. - 2007. - № 3(2). - P. 343-347.

7. Бродский Р.Е. Исследование кинетического уравнения каскадной теории фрагментации при нарушении самоподобия дробления / Р.Е.Бродский // Scientific Bulletin of Belgorod State University. Physics. Mathematics. - 2008. - № 9(49), вып. 14 - P. 69-72.

8. Вирченко Ю.П. Финальные распределения вероятностей случайных размеров при самоподобном механизме дробления / Ю.П.Вирченко, Р.Е.Бродский // Scientific Bulletin of Belgorod State University. Mathematics & Physics. - 2008. - № 13(53), вып. 15 - P. 23-31.

9. Virchenko Yu.P. Investigation of the Final Evolution of the Random Fragmentation Processes / Yu.P.Virchenko, R.E.Brodskii // "Kolmogorov and Contemporary Mathematics". Abastracts. - June 16-21, 2003. - Moscow, MSU. - P. 582.

10. Вирченко Ю.П. Исследование финального этапа случайного процесса фрагментации при их самосогласованном взаимодействии / Ю.П.Вирченко, Р.Е.Бродский // X Міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука. Тезисы докладов. - 13-15 мая 2004. - Киев. - С. 581.

11. Бродский Р.Е. Модель процесса фрагментации материала и физические условия сохранения / Р.Е.Бродский, Ю.П.Вирченко // "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения" Материалы международной научной конференции TBMHA-2005. - 2005. - Воронеж. - С. 24-27.

12. Вирченко Ю.П. Теоретико-вероятностная модель процессов фрагментации. / Ю.П.Вирченко, Р.Е.Бродский // Одиннадцатая международная конференция имени академика М.Кравчука. Тезисы докладов. - 18-20 мая 2006. - Киев. - С. 687.

13. Brodskii R.E. Probabilistic dynamical model of fragmentation process in size space. / R.E.Brodskii, Yu.P.Virchenko // Quantum electrodynamics and statistical physics. QEDSP2006. Book of Abstracts. - September 19-23, 2006. - Kharkov, Ukraine. - P. 147.

14. Brodskii R.Ye. Probabilistic description of cascade kinetic processes. / R.Ye.Brodskii, Yu.P.Virchenko // Lyapunov Memorial Conference. Book of Absracts. - June 24-30, 2007. - Kharkiv. - P. 20.



АНОТАЦІЯ

Бродський Р.Є. Статистична теорія фрагментації твердотільных середовищ при самоподібному законі подрібнення. - рукопис.

Дисертація на здобуття ученого ступеня кандидата фізико-математичних наук за фахом 01.04.02 - теоретична фізика. - НТК “Інститут монокристалів”, Інститут монокристалів НАНУ, Харків, 2009.

Дисертація присвячена дослідженню процесів фрагментації твердотільных середовищ в умовах самоподібного на різних масштабах закону дроблення, з урахуванням законів збереження об'єму матеріалу і балансу енергії, що надходить у систему. На підставі теоретико-імовірнісної схеми отримано загальне кінетичне рівняння для густини розподілу числа фрагментів по розмірах g(r,t). Знайдені в явному виді нові густини фінальних розподілів - рішення отриманого кінетичного рівняння - при різних апроксимаціях інтенсивності утворення уламків, як у випадку масштабної інваріантості, так і при її самоподібному порушенні. Показано, при яких умовах реалізується випадок А.Н.Колмогорова. Показано, що у випадку “повільної фрагментації”, g(r,t) підкоряється дифузійному рівнянню, для якого отримані рішення у випадку масштабної інваріантості та у випадку показника самоподоби, рівного двом.

Ключові слова: фрагментація, самоподібний закон дроблення, масштабна інваріантність, розподіл по розмірах, густина розподілу по розмірах, повільна фрагментація.



АННОТАЦИЯ

Бродский Р.Е. Статистическая теория фрагментации твердотельных сред при самоподобном законе дробления. - рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. - НТК “Институт монокристаллов”, Институт монокристаллов НАНУ, Харьков, 2009.

Диссертация посвящена исследованию процессов фрагментации твердотельных сред в условиях самоподобного на различных масштабах закона дробления, а также с учётом законов сохранения объёма материала и баланса энергии, поступающей в систему и расходующейся как на процесс разрушения фрагментов, так и на нагрев среды. Таким образом,

процессы фрагментации понимаются, как процессы, происходящие в системах состоящих из отдельных, различимых, изолированных связных объектов - фрагментов одного типа;

фрагменты считаются твердотельными образцами;

считается допустимым однопараметрическое описание фрагментов среды, так, что все фрагментационные свойства объёктов зависят только от одного параметра - размера;

предполагается самоподобие процессов фрагментации в том смысле, что интенсивность образования осколков с размером, имеющим заданное отношение к размеру родительского фрагмента в определённом (описанном в работе) смысле подобна на различных масштабах;

наконец, процессы фрагментации в работе рассматриваются в условиях выполнения указанных законов сохранения.

В диссертации на основе теоретико-вероятностной схемы, в предположении марковости процесса фрагментации и при учёте условия ветвления, заключающегося в независимости распадов отдельных фрагментов, получено общее кинетическое уравнение для плотности распределения числа фрагментов по размерам. Получены также уравнения для многочастичных плотностей распределения числа фрагментов по размерам, а также многочастичных плотностей распределения вероятности. Найдены решения полученного кинетического уравнения при наличии самоподобия дробления. А именно, найдены в явном виде новые плотности финальных распределений при различных аппроксимациях интенсивности образования осколков, как в случае масштабной инвариантности, так и при её самоподобном нарушении. Показано, при каких условиях на интенсивность образования осколков, реализуется случай, исследованный в известной работе А.Н.Колмогорова. Для этого случая, в рамках предложенной схемы исследования, получено логарифмически-нормальное распределение, исследованы общие ограничения, накладываемые на систему, необходимые для реализации такого распределения. Введено понятие медленной фрагментации. Показано, что в случае реализации такого режима, плотность распределения числа фрагментов по размерам подчиняется диффузионному уравнению. Указаны два существенно различных класса поведения системы в условиях реализации случая медленной фрагментации. Показано, что различие фрагментационных параметров систем для этих классов выражается в различном поведении функционального коэффициента при g(r,t) вблизи нуля. Для этого уравнения получены решения как в случае масштабной инвариантности, так и при её самоподобном нарушении с показателем самоподобия, равном двум.

Ключевые слова: фрагментация, самоподобный закон дробления, масштабная инвариантность, однопараметрическое описание, распределение по размеру, плотность распределения по размеру, медленная фрагментация.



SUMMARY

Brodskii R.E. Statistical theory of the solid fragmentation with self-similar subdivision law. - Manuscript.

The thesis for Candidate's degree of physical and mathematical sciences, the speciality 01.04.02 - theoretical physics. - Institute for single crystal of NAS of Ukraine, Kharkov, 2009.

The thesis is devoted to investigation of solid media fragmentation processes with self-similar subdivisions on all size scales and with the account of the volume conservation and the energy balance. The general kinetic equation for the distribution density of fragment size g(r,t) number is obtained. It is done on the basis of the probabilistic scheme of the Markov branching process with the independence of different fragment decays. Some solutions of the kinetic equation are found when its subdivision intensity has the property of self-similarity, both in the case of the scale invariance and the in case of its self-similar violation. It is shown that in case of “slow fragmentation” g(r,t) is subjected to the diffusion equation. Some solutions both in the case of the scale invariance and in the case of its self-similar violation when the self-similar power is equal 2 are obtained.

Keywords: fragmentation, self-similar subdivisions, scale invariance, size distribution, size distribution density, slow fragmentation.

Размещено на Allbest.ru

...