Поширення оптичних вихорів у скручених і навитих слабонапрямних оптичних волокнах

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Оптичні вихори - гвинтові дислокації хвильового фронту - набувають все більше практичного і теоретичного значення у фізиці. Основи теорії дислокацій хвильового фронту (фазових сингулярностей) були закладені Д. Наєм й М. Беррі в 1974 році. Початковий практичний інтерес до таких об'єктів був викликаний можливістю здійснювати з їхньою допомогою захоплення й маніпулювання мікрочастинками (зокрема, передавати їм орбітальний кутовий момент). Разом з тим, структура фази оптичного вихору виявляється винятково чутливою до параметрів середовища, у якому він поширюється, що робить досить перспективним використання оптичних вихорів у датчиках фізичних величин.

Останнім часом з'явилися теоретичні й експериментальні роботи, у яких оптичні вихори розглядаються як можливі носії інформації. Таким чином, інформацію можна передавати, використовуючи як два стани поляризації, так і можливі значення орбітального моменту, що істотно підвищує інформаційну пропускну здатність каналу зв'язку. Ще однією важливою перевагою такого способу передачі інформації є досягнення принципово нового рівня захисту даних. Існують також роботи, в яких йдеться про використання оптичних вихорів як базисних станів, довільна суперпозиція яких являє собою фізичну реалізацію квантового логічного елемента, названого “quNit”.

Зрозуміло, що для розширення сфери практичного застосування оптичних вихорів, як мінімум, варто вимагати наявності пристроїв, які здатні не тільки генерувати, але й передавати їх на необхідну відстань. Природно використовувати як такі пристрої оптичні волокна. У роботах групи професора О.В. Воляра було показано, що модами ідеального волокна є циркулярно-поляризовані оптичні вихори, які, однак, виявляються структурно нестійкими відносно малих зовнішніх збурювань. Це знижує їхню цінність як, наприклад, носіїв інформації в оптоволоконних лініях. Проте, потенційні можливості оптичних вихорів у інформаційних та інших технологіях спонукають шукати для них теоретично можливі пристрої передачі.

Як приклад таких пристроїв доцільно розглянути відомі у волоконній оптиці скручені та навиті слабонапрямні оптичні волокна. Незважаючи на те, що є значна кількість теоретичних й експериментальних робіт, присвячених вивченню даних типів волокна, питання про поширення вищих мод із азимутальним числом , до яких і належать оптичні вихори, у таких волокнах дотепер не було розглянуте. Тому, як основний аспект актуальності даної роботи вкажемо на необхідність дослідження можливості структурно стійкої передачі оптичних вихорів за допомогою скручених слабонапрямних волокон із наведеним двохпроменезаломлюванням матеріалу та форми, а також за допомогою навитих слабонапрямних волокон із круглим поперечним перерізом.

Метою даної роботи було теоретичне вивчення можливості структурно стійкого поширення оптичних вихорів у скручених і навитих слабонапрямних оптичних волокнах.

Для досягнення цієї мети були поставлені наступні задачі дослідження:

1) Сформулювати фізичну модель скручених оптичних волокон із матеріальною анізотропією й двохпроменезаломлюванням форми, а також модель навитого волокна з круглим поперечним перерізом.

2) Розробити теоретичні методи дослідження даних типів волокон, що дозволяють правильно врахувати спільний вплив анізотропії, скрутки, навивки й спін-орбітальної взаємодії на формування структури мод вищих порядків у скручених і навитих слабонапрямних оптичних волокнах.

3) Провести фізичний аналіз отриманих рішень із метою теоретично оцінити числові значення параметрів оптичного волокна, за яких моди є оптичними вихорами, які структурно стійкі стосовно зовнішніх збурювань.

1. Визначення структури і сталих поширення вищих мод з азимутальним числом скручених слабонапрямних волокон, у поперечному перерізі яких наведена матеріальна анізотропія

Будемо вважати, що кут між віссю анізотропії в перетині з координатою й віссю анізотропії в перетині дорівнює , де - крок скрутки. При цьому тензор діелектричної проникності в локальних осях має вигляд: , де позначає діагональну матрицю. Показник заломлення вважаємо дійсною функцією. Ми також вважаємо, що скрутка волокна не приводить до виникнення механічних напруг.

Одним з методів дослідження слабонапрямних волокон є рішення векторного хвильового рівняння:

, (1)

де - оператор Лапласа, , - хвильовий вектор у вакуумі, - довжина хвилі. Зазвичай показник заломлення волокна представляють у вигляді:

, (2)

де , а та - значення показника заломлення на осі волокна і в оболонці, відповідно. У даній дисертації розглядаються слабонапрямні оптичні волокна, для яких . Рівняння (1) для скручених анізотропних волокон, за умови , що дозволяє зневажити впливом поздовжньої компоненти електричного поля на еволюцію поперечної складової , набуває такого виду:

. (3)

Тут , ,

де - одинична матриця, , і .

Для розв'язання рівняння (3) був узагальнений формалізм матриць Джонса у випадку полів, що володіють кутовим орбітальним моментом імпульсу. Ми розглядаємо волокна, крок скрутки яких значно перевищує довжину хвилі випромінювання, що дозволяє нам зневажити впливом відбитих хвиль. Оператор, що описує перетворення поля, яке пройшло ділянку волокна довжиною , називається оператором трансформації і для випадку мод із азимутальним числом має вигляд:

, (4)

де визначаються відомими поляризаційними поправками до скалярної сталої поширення прямих анізотропних волокон. Мода скрученого волокна визначається як власна функція оператора трансформації , а його власні значення дозволяють отримати спектр сталої поширення. Шляхом застосування теорії збурювань були отримані аналітичні вирази для мод і спектр сталої поширення в практично важливому випадку, коли вплив анізотропії набагато більший впливу скрутки та спін-орбітальної взаємодії в оптичних волокнах. Наприклад, для волокна з параметрами , , умова слабкої скрутки має вид: . Аналіз отриманого рішення показав, що коли вплив скрутки перевершує вплив спін-орбітальної взаємодії, то моди являють собою чотири лінійно-поляризованих оптичних вихора з топологічним зарядом , які поширюються з різними сталими поширення. Основна різниця фазових швидкостей має місце для вихорів із різною поляризацією (вплив анізотропії), а додаткова - для вихорів з різним знаком топологічного заряду, що обумовлено впливом скрутки.

Для уточнення діапазону кроку скрутки, у рамках якого можливе існування чистих “вихрових” мод, було отримане й проаналізоване числове рішення спектральної задачі для оператора трансформації (4). Були запропоновані та досліджені критерії близькості розподілу поля моди до розподілу в ідеальному оптичному вихорі, а саме: нормоване квадратичне відхилення фази:

,

де - фаза поля моди, а - полярний кут (фаза ідеального вихору); відхилення від одиниці - компоненти кутового моменту поля моди . Обидва критерії дають однакові оцінки граничного кроку, нижче якого починає реалізовуватися “вихоровий” модовий режим.

Для урахування відбитих хвиль задача про визначення структури мод із азимутальним числом і спектра сталої поширення була вирішена шляхом безпосереднього застосування теорії збурювань до рівняння (3), що було представлено у вигляді рівняння на власні функції і власні значення деякого оператора:

, (5)

де - оператор, що описує поширення світла в деякому ефективному прямому волокні з показником переломлення , , , - компоненти електричного поля в базисі циркулярних поляризацій, - циліндричні координати і - точна стала поширення. Оператор має вигляд:

, (6)

де , і - матриці Паулі. У виразі (6) можна виділити три типи доданків: доданок, при якому стоїть коефіцієнт , описує вплив анізотропії на поширення світла, члени пропорційні - вплив скрутки, а оператор походить із градієнтного члена у хвильовому рівнянні і описує спін-орбітальну взаємодію в оптичних волокнах. Оскільки спектр оператора для мод з чотирикратно вироджені, для наближеного розв'язання рівняння (5) необхідно використати теорію збурювань із виродженням. Вибравши як базис у просторі власних функцій оператора циркулярно-поляризовані оптичні вихори ( для правої і лівої циркулярної поляризації, відповідно; - топологічний заряд), встановлюємо вид матриці збурювання, на основі якої одержуємо вирази для мод скрученого анізотропного волокна і відповідних сталих поширення. Моди були отримані в тому ж діапазоні значень параметрів волокна, що й при дослідженні методом матриць Джонса. Аналіз показав повний якісний збіг отриманих результатів, що пояснюється малим впливом відбитих хвиль при розглянутих значеннях кроку скрутки. Даний підхід дозволив, ґрунтуючись на відсутності виродження в спектрі сталої поширення, зробити висновок про структурну стійкість лінійно-поляризованих оптичних вихорів у скручених анізотропних волокнах щодо малих зовнішніх збурювань.

2. Визначення структури й сталих поширення вищих мод із азимутальним числом скручених слабонапрямних волокон з еліптичною формою поперечного перерізу

Для введення в систему скрутки вважаємо, що головні осі еліпса безперервно повертаються при переході від одного поперечного перерізу до іншого. За умови , де параметр пов'язаний з ексцентриситетом еліпса в перерізі волокна за допомогою , процес поширення випромінювання по скрученому еліптичному волокну описується рівнянням (3), у правій і лівій частинах якого необхідно використовувати відповідний вираз для скалярного показника заломлення . Для розв'язання рівняння (3) за умови, що вплив еліптичності поперечного перерізу волокна значно перебільшує вплив скрутки і спін-орбітальної взаємодії, був використаний узагальнений у першому розділі формалізм матриць Джонса. При таких параметрах волокна моди представлені чотирма еліптично-поляризованими полями, ступінь еліптичності яких визначається співвідношенням скрутки і спін-орбітальної взаємодії. Залежність полів мод від полярного кута формується впливом сильної еліптичності і описується функцією косинуса та синуса. Таким чином, при даних параметрах волокна в структурі мод оптичні вихори відсутні. Основна різниця фазових швидкостей має місце для мод із різною парністю кутової функції (вплив еліптичної форми перерізу), а додаткова - для мод із різним знаком еліптичної поляризації, що обумовлено впливом скрутки.

Оскільки метод матриць Джонса не дозволяє розглянути випадок, коли вплив скрутки волокна дорівнює або більше впливу еліптичності поперечного перерізу, ми отримали аналітичне розв'язання векторного хвильового рівняння (3) для скручених еліптичних волокон методом теорії збурювань. Введення еліптичності і скрутки в показник заломлення ідеального волокна здійснюється за допомогою масштабного перетворення: , . Після нескладних перетворень рівняння (1) можна привести до виду рівняння на власні функції і власні значення (5), де оператор описує поширення світла в ефективному ідеальному волокні з показником заломлення , а оператор має вигляд:

, (7)

де ,, - деякі диференціальні оператори по змінним , , і - оператор - проекції повного кутового моменту поля. Доданки, які пропорційні , описують еліптичність перерізу, пропорційні - скрутку, а остання група операторів - спін-орбітальну взаємодію в ідеальному волокні. Завдяки використаним наближенням, оператор можна розглядати як збурювання до оператора , для якого спектральна задача має точне розв'язання. Дотримуючись відомого рецепту та зневажаючи несуттєвою у цьому випадку спін-орбітальною взаємодією, встановлюємо вид мод із азимутальним числом і відповідний спектр сталої поширення. Аналіз показує, що кожна мода являє собою блоховську хвилю, що складається із двох парціальних циркулярно-поляризованих оптичних вихорів з різними знаками топологічного заряду, наприклад:

, (8)

де для волокон із східчастим профілем показника заломлення - функція Бесселя 1-го роду 1-го порядку в серцевині та модифікована функція Бесселя 1-го роду 1-го порядку в оболонці, , і індекс позначає базис циркулярних поляризацій. Константа характеризує ступінь еліптичності перерізу волокна. Кожен парціальний вихор поширюється зі своєю фазовою швидкістю (наприклад, і ). Як витікає із визначення параметру при зменшенні кроку скрутки вся енергія, яка переноситься модою, зосереджується в одному з парціальних вихорів, а саме в тому, при якому як коефіцієнт стоїть . У такий спосіб при певних параметрах скручене еліптичне волокно можна використовувати для передачі циркулярно-поляризованих оптичних вихорів.

3. Визначення структури і сталих поширень вищих мод із азимутальним числом навитих слабонапрямних волокон з круглою формою поперечного перерізу

Основним методом вирішення даного завдання було застосування теорії збурювань із виродженням до векторного хвильового рівняння (1), переписаному в локальній неортогональній системі координат ( - природний параметр центральної гвинтової лінії, - полярні координати, введені в поперечному перерізі волокна), у якій показник заломлення залежить тільки від однієї координати . Використовуючи наближення: , і , де - кривизна, а - крутіння гвинтової лінії, рівняння (1) було приведене до виду рівняння на власні функції і власні значення (5), де оператор описує поширення світла в прямому ідеальному волокні (у циліндричній системі координат), а оператор збурювання з точністю до членів першого порядку малості має вигляд:

, (9)

де і . Остання група доданків у фігурних дужках описує спін-орбітальну взаємодію в прямому ідеальному волокні, а інші члени в операторі залежать тільки від параметрів і , описуючи в такий спосіб чисто геометричні ефекти. Використовуючи теорію збурювань із виродженням, встановлюємо, що моди з азимутальним числом представлені двома однорідними (знаки і збігаються) циркулярно-поляризованими оптичними вихорами з топологічним зарядом і стандартними , модами, а моди з азимутальним числом складаються із чотирьох циркулярно-поляризованих оптичних вихорів з топологічним зарядом .

Проведений аналіз спектра сталої поширення показав, що в їхній структурі присутні доданки, що обумовлюють виникнення топологічної фази Беррі для мод навитого волокна та характеризують вплив навивки на фазові швидкості оптичних вихорів. Із графіків на рис. 6,7 видно, що існує значення кроку навивки , при якому сталі поширення оптичних вихорів максимально “рознесені”. Саме область значень кроку навивки поблизу і являє собою область найбільш стійкого поширення оптичних вихорів. Зауважимо, що у вираз для не входять ніякі матеріальні константи. На основі аналізу виразів для спектру сталої поширення, була отримана формула для топологічної фази Беррі , що виникає при поширенні циркулярно-поляризованих оптичних вихорів, які переносять як спіновий (поляризаційний), так і орбітальний кутовий момент:

, (10)

де - тілесний кут, що визначається траєкторією хвильового вектора в просторі імпульсів стосовно початку координат, - топологічний заряд оптичного вихору, для правої і лівої циркулярної поляризації відповідно.

Далі були досліджені топологічні ефекти, які обумовлені фазою Беррі. Відомо, що для фундаментальних мод навитого волокна топологічний ефект проявляється у вигляді обертання площини лінійно поляризованого світла, яке пройшло один виток волокна. Кут повороту поляризації чисельно дорівнює тілесному куту в імпульсному просторі. Нами було показано, що для спостереження топологічних ефектів у випадку вищих мод із азимутальним числом , необхідно збудити в навитому волокні суперпозицію однорідних або неоднорідних оптичних вихорів. Фаза Беррі виявиться при цьому у вигляді виникнення двох ефектів: повороту векторів поляризації в перерізі волокна на кут :

, (11)

і у вигляді обертання розподілу інтенсивності в кожній компоненті даної суперпозиції на кут :

. (12)

У формулах (11) і (12) випадку суперпозиції однорідних вихорів відповідає значення , а випадку неоднорідних вихорів -.

Далі, на основі трансформаційної властивості мод навитого волокна:

, (13)

де , - матриця обертання, було дане пояснення експериментально спостережуваному повороту спекл-картини, що пройшла виток волокна, при зміні його геометричних параметрів таким чином, що довжина витка залишається постійною. На рис. 8 представлене числове моделювання повороту спекл-картини для суперпозиції мод (лінії зображують рівні рівної інтенсивності). Кут топологічного обертання інтенсивності становить .

Висновки

фізичний оптичний анізотропія хвильовий

1) Визначено сталі поширення і моди з азимутальним числом скрученого слабонапрямного сильно анізотропного волокна із східчастим реальним профілем показника заломлення. Показано, що коли збурювання, яке внесене скруткою, значно перевершує спін-орбітальну взаємодію, то для скрученого анізотропного волокна моди з азимутальним числом являють собою лінійно-поляризовані оптичні вихори з одиничним топологічним зарядом. На основі чисельного аналізу дана оцінка величини кроку скрутки, при якому всі моди є лінійно-поляризованими оптичними вихорами.

2) На основі аналізу аналітичного розв'язання векторного хвильового рівняння для мод показано, що лінійно-поляризовані оптичні вихори в скручених анізотропних волокнах є структурно стійкими стосовно малих зовнішніх збурювань.

3) На основі розробленого узагальнення формалізму матриць Джонса для станів з орбітальним кутовим моментом визначені структура і спектр сталої поширення вищих мод з азимутальним числом скручених слабонапрямних сильно еліптичних волокон. Показано, що моди таких волокон являють собою гвинтові еліптичні поля.

4) Отримано аналітичне розв'язання векторного хвильового рівняння для випадку мод з азимутальним числом сильно скручених слабонапрямних еліптичних волокон. Установлено, що модами скрученого слабонапрямного еліптичного волокна, за умови, що скрутка значно перевищує еліптичність форми поперечного перерізу, є циркулярно-поляризовані оптичні вихори з одиничним топологічним зарядом з еліптичним розподілом інтенсивності, які мають властивість структурної стійкості стосовно малих зовнішніх збурювань. Показано, що скрутка волокна приводить до істотного зменшення поляризаційної модової дисперсії для оптичних вихорів.

5) На основі застосування теорії збурювань із виродженням до векторного хвильового рівняння встановлені структура й спектр сталої поширення вищих мод із азимутальним числом навитого слабонапрямного волокна з круглим поперечним перерізом. Показано, що при моди сформовані двома стійкими однорідними циркулярно-поляризованими оптичними вихорами з одиничним топологічним зарядом, а також і модами, а при моди представлені чотирма стійкими циркулярно поляризованими оптичними вихорами з топологічним зарядом . На прикладі спектра сталої поширення фундаментальних мод показано, що урахування градієнтного члена у векторному хвильовому рівнянні приводить до гібридизації геометричної та динамічної фаз.

6) Отримано вираз для топологічної фази Беррі, що виникає при поширенні по навитому волокну циркулярних оптичних вихорів, які володіють як спіновим (поляризаційним), так і орбітальним кутовим моментом. Показано, що отримана формула справедлива також і для полів, які переносять тільки орбітальний кутовий момент.

7) Установлено топологічні ефекти, що проявляються при поширенні вищих мод навитого волокна, а саме: локальне обертання неоднорідного розподілу поляризації і обертання картини розподілу інтенсивності в кожній компоненті модової суперпозиції однорідних і неоднорідних оптичних вихорів. Подано кількісний опис цих ефектів і їхній зв'язок з топологічною фазою Беррі. Також дано теоретичне пояснення експериментально спостережуваному топологічному ефекту обертання спекл-картини в маломодовому навитому волокні.

Література

1. Alexeyev C.N., Volyar A.V. and Yavorsky M.A. Vortex-preserving weakly guiding anisotropic twisted fibres // J.Opt.A:Pure Appl.Opt.-2004.-V.6, №5.-P.S162-S165.

2. Alexeyev C.N., Yavorsky M.A. Optical vortices and the higher order modes of twisted strongly elliptical optical fibres // J. Opt. A: Pure Appl. Opt.- 2004.-V.6, № 9.- P.824-832.

3. Alexeyev C.N., Yavorsky M.A. Hybridisation of the topological and dynamical phase in coiled optical fibres // J.Opt.A: Pure Appl Opt.- 2006.- V.8, №8.- P.647-651.

4. Alexeyev C.N., Yavorsky M.A. Berry's phase for optical vortices in coiled optical fibres // J.Opt.A: Pure Appl Opt.- 2007.- V.9, №1.- P.6-14.

5. C.N. Alexeyev, M.A. Yavorsky. Topological phase evolving from the orbital angular momentum of “coiled” quantum vortices // J.Opt.A: Pure Appl Opt.- 2006.- V.8, №9- P.752-758.

6. Алексеев К.Н., Яворский М.А. Скрученные оптические волокна, поддерживающие распространения оптических вихрей // Оптика и спектроскопия.- 2005.- Т.98, №1.- С.59-66.

7. Alekseyev K.N., Yavorsky M.A. Propagation of optical vortices in coiled weakly guiding optical fibers // Opt. and Spectroscopy.- 2007.- V.102, №5.- P.754-759.

8. Alexeyev C.N., Yavorsky M.A. Pancharatnam's phase induced by the spin-orbit interaction in weakly guiding twisted elliptical fibers // Украинский журнал физической оптики.- 2007.- V.8, №1.- P.1-12.

9. Alexeyev C.N., Volyar A.V. and Yavorsky M.A. Alexeyev A.N. Vortex-preserving fibers // Proceedings of SPIE.- 2003.-V.5257.-P.295-301.

Размещено на Allbest.ru