Групова класифікація та некласичні симетрії рівнянь реакції–дифузії

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Групова класифікація та некласичні симетрії рівнянь реакції-дифузії

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Серед усієї множини диференціальних рівнянь у частинних похідних існує порівняно небагато рівнянь, що описують природні явища. Виникає питання: чим саме з математичної точки зору ці рівняння вирізняються з множини усіх можливих? Виявляється, що переважна більшість рівнянь математичної фізики мають нетривіальні симетрійні властивості. Це означає, що многовиди їх розв'язків інваріантні відносно багатопараметричних груп перетворень. Наявність широкої групи інваріантності, таким чином, можна розглядати як критерій відбору рівнянь, що описують реальні фізичні процеси. Цей факт підтверджується наступним прикладом. «Серед множини систем лінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних першого порядку для двох вектор-функцій і існує тільки одна система, що є інваріантною відносно групи Пуанкаре, а саме рівняння Максвелла. Аналогічним чином можна визначити рівняння Дірака, Шрьодінгера та інші». Отже, важливою є задача виокремлення з класу диференціальних рівнянь у частинних похідних таких, що допускають групу симетрій з найбільшою кількістю параметрів, а саме, задача групової класифікації. Відкриття С. Лі полягало в тому, що складні нелінійні умови інваріантності диференціального рівняння відносно групи перетворень можна замінити у випадку неперервної групи більш простими лінійними умовами інфінітезимальної інваріантності відносно твірних групи. Цей результат має велике значення для задач групової класифікації, оскільки дозволяє шукати замість перетворень з групи симетрій базисні оператори з відповідної алгебри ліївської інваріантності рівняння.

Дослідження рівнянь дифузії та різних їх модифікацій з додатковими членами, що відповідають реакції або конвекції, є актуальною задачею математичної фізики, оскільки ці рівняння часто використовують у якості математичних моделей різноманітних процесів у природі та суспільстві. Наприклад, у біології розглядають клітини, бактерії, хімічні речовини, тварин тощо як частинки, кожна з яких рухається хаотично. Тоді систематичний рух їх групи вважається процесом дифузії, і зазвичай це не проста дифузія, оскільки береться до уваги взаємодія між частинками. Для простоти біологи використовують (1+1) - вимірне неперервне модельне рівняння для опису глобальної поведінки в термінах густини чи концентрації частинок. Оскільки моделі дифузії часто формулюються в термінах нелінійних диференціальних рівнянь, які, як правило, не є інтегровними та не можуть бути лінеарізованими, то симетрійні методи, в силу своєї універсальності, є важливими для їх дослідження. Тому невипадково, що сучасний розвиток групового аналізу розпочався з групової класифікації Л.В. Овсянніковим класу (1+1) - вимірних нелінійних рівнянь дифузії. Результатом класифікації ліївських або некласичних симетрій (умовних, потенціальних, узагальнених) є виокремлення модельних рівнянь з нетривіальними симетрійними властивостями. Методом редукції за отриманими операторами симетрії можна побудувати точні розв'язки модельного рівняння, які дозволяють вивчити розподіл концентрації частинок та характер дифузії.

Багато процесів, що є об'єктами дослідження у фізиці та біології, можна моделювати (1+1) - вимірними нелінійними рівняннями реакції-дифузії зі степеневими нелінійностями та довільними елементами, що залежать від просторової змінної. Наявність змінних коефіцієнтів у таких моделях ускладнює виконання групової класифікації. Розв'язання цієї задачі потребує створення нових та вдосконалення існуючих методів групового аналізу. Пошуку та застосуванню таких підходів присвячено дисертацію. Поруч із цим розв'язано нетривіальні класифікаційні задачі щодо потенціальних некласичних симетрій (1+1) - вимірних нелінійних рівнянь дифузії зі сталими коефіцієнтами.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацію виконано у відділі прикладних досліджень Інституту математики НАН України в рамках тем «Теоретико-груповий аналіз нелінійних проблем математичної фізики, хімії, біології та економіки» (номер держреєстрації 0101U000098) та «Симетрія та інтегровність нелінійних моделей» (номер держреєстрації 0106U000436).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка та вдосконалення сучасних методів групового аналізу та їх застосування до класу (1+1) - вимірних нелінійних рівнянь реакції-дифузії зі змінними коефіцієнтами. Основну увагу приділено задачам групової класифікації, що не розв'язуються класичними методами, та узагальненим постановкам класифікаційних задач. Зокрема, однією з таких задач є класифікація потенціальних некласичних симетрій для рівнянь дифузії.

Об'єктом дослідження є (1+1) - вимірні нелінійні рівняння реакції-дифузії з коефіцієнтами, що залежать від просторової змінної, та нелінійні рівняння фільтрації. Предметом дослідження є групова класифікація, некласичні симетрії, закони збереження і точні розв'язки таких рівнянь.

Методи дослідження. Для виконання групової класифікації застосовано класичний метод Лі-Овсяннікова та різні його сучасні версії, зокрема, запропоновані в роботі А.Г. Нікітіна і Р.О. Поповича та роботах [4,7]. Точні розв'язки побудовано методами ліївської та некласичної редукції і розмноження різними типами перетворень між рівняннями. Для опису законів збереження використано модифікацію прямого методу.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, такі:

1. Використовуючи новий підхід до групової класифікації, що базується на застосуванні перетворень з узагальненої розширеної групи еквівалентності та відображень між класами рівнянь, повністю розв'язано задачу групової класифікації (1+1) - вимірних рівнянь реакції-дифузії зі змінними коефіцієнтами та степеневими нелінійностями. За знайденими симетріями методом редукції побудовано нові точні розв'язки рівнянь з досліджуваного класу.

2. Описано множини всіх допустимих перетворень у класах (1+1) - вимірних рівнянь реакції-дифузії зі змінними коефіцієнтами та степеневими нелінійностями.

3. Прокласифіковано локальні закони збереження (1+1) - вимірних рівнянь реакції-дифузії зі змінними коефіцієнтами та степеневими нелінійностями.

4. Виконано вичерпну групову класифікацію рівнянь дифузії між пластинами. Також прокласифіковано локальні закони збереження і побудовано додаткові перетворення еквівалентності та точні розв'язки рівнянь з цього класу.

5. Прокласифіковано потенціальні некласичні симетрії (1+1) - вимірного рівняння швидкої дифузії. Доведено, що деякі класи таких симетрій пов'язані зі звичайними некласичними симетріями на множині розв'язків допоміжної потенціальної системи. Знайдено нові точні неліївські розв'язки. Показано, що відомі точні розв'язки рівняння швидкої дифузії вичерпуються розв'язками, які можна побудувати за знайденими операторами потенціальної некласичної симетрії.

6. Описано нелінійності, для яких рівняння з класу (1+1) - вимірних рівнянь фільтрації допускають нетривіальні некласичні симетрії.

ктичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Отримані результати є новими і можуть бути використані для розв'язання ряду конкретних задач теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, математичної фізики, а також у математичній біології, хімії та теоретичній фізиці.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану досліджень і постановка задач належать науковому керівнику - Р.О. Поповичу. У роботах [2-5,7] внесок співавторів дисертанта є наступним. Р.О. Поповичу належить розробка методів дослідження, зокрема, доведення загальних тверджень щодо властивостей відображень між класами, запропонованих у роботі [7], та виокремлення з класу рівнянь дифузії між пластинами рівняння, побудові точних розв'язків якого присвячено статтю [5]. У роботі [7] ним також запропоновано ідею застосування відображення між класами диференціальних рівнянь для виконання групової класифікації, впровадження якої стало вирішальним кроком для повного розв'язання поставленої задачі.

К. Софоклеусу в роботах [3,4,7] належить початковий вибір класів для дослідження, а також перевірка знайдених додаткових перетворень еквівалентності, у роботі [5] - відшукання нетривіального прикладу оператора редукції з нульовим коефіцієнтом при .

У статтях [3,4] А.Г. Джонпіллаі виконав часткову перевірку групової класифікації досліджуваних класів.

Н.М. Івановій у роботі [2] належить опрацювання літератури, що стосується точних розв'язків рівняння швидкої дифузії, а також перевірка виконаних обчислень.

Доведення всіх результатів дисертації, винесених на захист, проведено дисертантом самостійно.

Апробацiя результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на семінарах відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України (2005-2007, керівник семінару - професор Нікітін А.Г.), на VІ та VІІ Міжнародних конференціях «Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics» (Київ, 2005, 2007), на VІ Міжнародному симпозіумі «Lie Theory and Its Applications in Physics» (Варна, Болгарія, 2005), на І і ІІ Міжнародних симпозіумах «Group Analysis of Differential Equations and Integrable Systems» (Нікосія, Кіпр, 2005, 2006), на науково-практичному семінарі «Українська школа групового аналізу диференціальних рівнянь: здобутки і перспективи (до 70-річчя з дня народження В.І. Фущича)» (Полтава, 2006), на конференції «Симетрія і інтегровність рівнянь математичної фізики» (Київ, 2006).

Публiкацiї. Основні результати дисертації опубліковано у семи роботах [1-7]. З них дві роботи опубліковано без співавторів.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі змісту, вступу, 6-ти розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 127 найменувань, та додатку. Повний обсяг дисертації становить 190 сторінок, з них список використаних джерел займає 14 сторінок, а додаток - 20 сторінок.

Основний зміст роботи

дифузія рівняння некласичний

У вступі обґрунтовано актуальність теми, проаналізовано сучасний стан розглянутих проблем, сформульовано задачі дослідження та коротко викладено основні результати роботи.

Основна частина роботи складається з 6 розділів. На початку кожного розділу подається короткий зміст цього розділу за підрозділами.

Перший розділ присвячено огляду літератури за темою дисертації.

У другому розділі наведено основні теоретичні відомості щодо ліївських та некласичних симетрій, законів збереження диференціальних рівнянь у частинних похідних, а також групової класифікації у класах диференціальних рівнянь.

У третьому розділі дисертації виконано групову класифікацію класу (1+1) - вимірних нелінійних рівнянь реакції-дифузії зі степеневими нелінійностями загального вигляду

(1)

Тут , та - довільні гладкі функції змінної , ; , - довільні сталі. Випадок є особливим, тому його досліджено окремо у розділі 4. Спочатку знайдено звичайну, узагальнену розширену та різні типи умовних груп еквівалентності класу (1), перетворення з яких дозволили спростити вигляд рівнянь та отримати вичерпну групову класифікацію. Перетворення зводить рівняння (1) до такого

(2)

Тому, без обмеження загальності, далі розглянуто клас (2). Результат групової класифікації можна підсумувати наступним чином.

Теорема 1. Алгеброю Лі ядра основних груп класу рівнянь (2) є алгебра . З точністю до перетворень еквівалентності повний перелік розширень максимальних алгебр ліївської інваріантності рівнянь з класу (2) вичерпується такими випадками:

Загальний випадок степеня 

1.

;

2. ;

, ?, ?

3. ;

4.

;

5. ;

6.

;

?або ?

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12.

.

Тут - довільна стала, у випадку 8, ,

З точністю до -еквівалентності набір параметрів  приймає такі значення: при та при , , , де - довільна стала.

У теоремі 1 і надалі довільні елементи задовольняють лише явно зазначеним обмеженням і вважаються нееквівалентними довільним елементам, що мають додаткове розширення.

Знаходження усіх додаткових перетворень еквівалентності у досліджуваному класі дозволило отримати групову класифікацію також відносно всіх точкових перетворень.

Теорема 2. З точністю до точкових перетворень повний перелік розширень максимальних алгебр ліївської інваріантності рівнянь з класу (1) вичерпується випадками 1-2 та 7-12, наведеними в теоремі 1.

У цьому ж розділі прокласифіковано всі допустимі перетворення та локальні закони збереження для рівнянь з досліджуваного класу. Отримані результати підсумовують наступні твердження.

Теорема 3. Нехай рівняння та рівняння пов'язані точковим перетворенням змінних , та . Тоді та

Перетворення, що пов'язує ці рівняння, визначається перетворенням з узагальненої групи еквівалентності

a) , якщо або , або , ;

b) , якщо ;

c) , якщо , ,

тоді також .

Якщо та , то та перетворення є композицією двох перетворень з групи та групи через проміжне рівняння, в якому .

Випадок є подібним до попереднього.

Тут - узагальнена група еквівалентності класу (2), - умовні узагальнені групи еквівалентності класу (2) з умовами та , , відповідно.

Теорема 4. Перелік рівнянь (2), які мають нетривіальні закони збереження, вичерпується такими, що задовольняють одній з наступних умов:

Тут , та - довільні сталі. Функції , , утворюють фундаментальну систему розв'язків лінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку . (Разом з умовами на довільні елементи класу (2) також наведено вектори густини і характеристики базисних елементів відповідних просторів законів збереження.)

Використовуючи знайдені симетрії, методом ліївської редукції побудовано деякі точні розв'язки.

У четвертому розділі проведено розширений груповий аналіз класу (1+1) - вимірних квазілінійних рівнянь реакції-дифузії вигляду

(3)

Тут , , - довільні гладкі функції змінної , , . Лінійний випадок, що відповідає значенням та , виключено з розгляду, оскільки він добре вивчений. Для розв'язання задачі групової класифікації в цьому класі використано новий підхід, що базується на послідовному застосуванні перетворень з групи еквівалентності класу та відображень між класами, породженими сім'ями точкових перетворень. А саме, спочатку перетворенням

зі звичайної групи еквівалентності класу (3) виконано калібрування довільних елементів з цього класу.

Отже, не втрачаючи загальності, можна обмежитися дослідженням класу

(4)

оскільки всі результати, що стосуються симетрій та розв'язків цього класу, можна поширити на клас (3) перетворенням з групи еквівалентності.

Сім'я точкових перетворень

(5)

параметризованих довільним елементом , породжує відображення класу (4) на клас

(6)

де

Підклас класу (6) зі значенням відрізняється за своїми симетрійними властивостями від рівнянь з іншими значеннями параметра . У випадку необхідне додаткове калібрування з використанням відображення між класами. А саме, сім'я точкових перетворень

(7)

породжує відображення класу (6) з на клас рівнянь вигляду

(8)

де

Групові класифікації вихідного класу, його підкласу з та їх образів відносно відображень, породжених сім'ями точкових перетворень, виконано з точністю до відповідних узагальнених розширених або звичайних груп еквівалентності та множин усіх точкових перетворень. Результати групової класифікації рівнянь (3) з точністю до всіх точкових перетворень сформульовано у наступному твердженні.

Теорема 5. Алгеброю Лі ядра основних груп класу рівнянь (4) є алгебра . З точністю до всіх точкових перетворень перелік розширень максимальних алгебр ліївської інваріантності рівнянь з класу (3) вичерпується такими випадками:

?;

1. ?;

2. ?;

3. ?;

4.

;

5.

.

Тут , , ; при та при .

, де - функція Уіттекера з параметрами ; , ; та додатково при .

Широкі сім'ї нових точних розв'язків досліджуваних рівнянь знайдено класичним методом ліївської редукції та розмноженням відомих розв'язків інших рівнянь, пов'язаних з досліджуваними різними типами точкових перетворень (такими як додаткові перетворення еквівалентності та відображення між класами). Множину допустимих перетворень класу-образу вичерпно описано у загальному випадку .

Теорема 6. Звичайна група еквівалентності  класу (6) з складається з перетворень

де , , - довільні сталі, . Параметр  інваріантний відносно будь-якого точкового перетворення у класі (6). Допустимі перетворення, що не породжуються перетвореннями з групи , існують тільки між рівняннями з довільними елементами загального вигляду

де , , , , , , , , - сталі, що задовольняють умови

причому або де

Множину рівнянь, що допускають нетривіальні допустимі перетворення, можна розбити на чотири підкласи, кожен з яких є нормалізованим в узагальненому сенсі та замкненим відносно точкових перетворень у класі (6). Для кожного з цих підкласів визначено додаткові обмеження на довільні елементи: : , ; : , , ; : , , ; : . Підклас  є напівнормалізованим у звичайному сенсі, причому його звичайна група еквівалентності індукується групою .

Множина допустимих перетворень в класі (6) породжується звичайною групою еквівалентності  та нетривіальними умовними узагальненими групами еквівалентності , .

Запропоновано алгоритм проведення класифікації некласичних симетрій, який також ґрунтується на відображеннях між класами диференціальних рівнянь.

П'ятий розділ дисертації присвячено дослідженню класу (1+1) - вимірних нелінійних рівнянь дифузії між пластинами вигляду

(9)

Для цього класу виконано вичерпну групову класифікацію відносно його звичайної групи еквівалентності , що складається з перетворень

де , , - довільні сталі, .

Теорема 7. Алгеброю Лі ядра основних груп рівнянь з класу (9) є алгебра . З точністю до перетворень з групи еквівалент-ності  повний перелік розширень максимальних алгебр ліївської інваріантності рівнянь з класу (9) вичерпується наступними випадками (разом з обмеженнями на довільні елементи наведено базиси відповідної алгебри ):

1. ?;

2. ?;

3. ?;

4. ?;

5. ;

6. ?;

7. ?;

8. ?;

9. ;

10. ;

11.

;

12. .

Тут , , ; , .

Знайдено додаткові перетворення еквівалентності та умовні групи еквівалентності цього класу. Ці результати використано для доведення наступного твердження.

Теорема 8. Можливі випадки розширення максимальних алгебр ліївської інваріантності рівнянь з класу (9) з точністю до всіх точкових перетворень вичерпуються випадками 1-4, , 6-8, та , наведеними в теоремі 7.

Отримані ліївські симетрії застосовано для побудови точних розв'язків.

Прокласифіковано локальні закони збереження рівнянь з класу (9). Доведено, що рівняння з класу (9) допускають нетривіальні закони збереження тільки для сталих значень довільного елемента . Відповідні простори законів збереження є двовимірними і мають базисні елементи з такими векторами густини і характеристиками:

Із досліджуваного класу рівнянь виокремлено рівняння, що вирізняється прихованими симетрійними властивостями:

(10)

Для нього побудовано точні розв'язки, використовуючи метод ліївської редукції і такі сучасні техніки групового аналізу як функціональне відокремлення змінних, узагальнені умовні та приховані симетрії.

У шостому розділі досліджено потенціальні некласичні симетрії рівняння швидкої дифузії вигляду

(11)

які є некласичними симетріями його потенціального рівняння

(12)

Оператори некласичної симетрії рівняння (12) вичерпно прокласифіковано з точністю до -еквівалентності, де  - максимальна група ліївської інваріантності цього рівняння. Її утворюють перетворення

де , …, - довільні сталі, .

Теорема 9. -нееквівалентні неліївські оператори редукції потенціального рівняння швидкої дифузії (12) вичерпуються такими:

де

де

де

де

де

Тут , - довільний несталий розв'язок звичайного диференціального рівняння , тобто

У результаті знайдено широкі класи операторів потенціальної некласичної симетрії та точних розв'язків рівняння швидкої дифузії. Виявлено зв'язок між операторами некласичної та потенціальної некласичної симетрії. У цьому ж розділі прокласифіковано некласичні симетрії нелінійних рівнянь фільтрації вигляду

(13)

Теорема 10. Нелінійні рівняння фільтрації (13) допускають неліївські оператори редукції з ненульовими коефіцієнтами при  тільки у випадку нелінійностей типу Фуджити

де , , - довільні сталі.

У кінці основної частини дисертації зроблено загальні висновки.

У додаток А винесено доведення теорем з розділу 6 щодо результатів класифікації операторів редукції потенціального рівняння швидкої дифузії та загального класу нелінійних рівнянь фільтрації.

Висновки

1. Використовуючи новий підхід до групової класифікації, що базується на застосуванні перетворень з узагальненої розширеної групи еквівалентності та відображень між класами рівнянь, повністю розв'язано задачу групової класифікації (1+1) - вимірних рівнянь реакції-дифузії зі змінними коефіцієнтами та степеневими нелінійностями. За знайденими симетріями методом редукції побудовано нові точні розв'язки рівнянь з досліджуваного класу.

2. Описано множини всіх допустимих перетворень в класах (1+1) - вимірних рівнянь реакції-дифузії зі змінними коефіцієнтами та степеневими нелінійностями.

3. Прокласифіковано локальні закони збереження (1+1) - вимірних рівнянь реакції-дифузії зі змінними коефіцієнтами та степеневими нелінійностями.

4. Виконано вичерпну групову класифікацію рівнянь дифузії між пластинами. Також прокласифіковано локальні закони збереження і побудовано додаткові перетворення еквівалентності та точні розв'язки рівнянь з цього класу.

5. Прокласифіковано потенціальні некласичні симетрії (1+1) - вимірного рівняння швидкої дифузії. Доведено, що деякі класи таких симетрій пов'язані зі звичайними некласичними симетріями на множині розв'язків допоміжної потенціальної системи. Знайдено нові точні неліївські розв'язки. Показано, що відомі точні розв'язки рівняння швидкої дифузії вичерпуються розв'язками, які можна побудувати за знайденими операторами потенціальної некласичної симетрії.

6. Описано нелінійності, для яких рівняння з класу (1+1) - вимірних рівнянь фільтрації допускають нетривіальні некласичні симетрії.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Ванєєва О.О. Групова класифікація рівнянь реакції-дифузії зі змінними коефіцієнтами та квадратичною нелінійністю // Збiрник праць Iнституту математики НАН України. - Т. 3, №2. - 2006. - С. 49-62.

2. Popovych R.O., Vaneeva O.O., Ivanova N.M. Potential nonclassical symmetries and solutions of fast diffusion equation // Phys. Lett. A. - 2007. - V. 362. - P. 166-173.

3. Vaneeva O.O., Johnpillai A.G., Popovych R.O., Sophocleous C. Enhanced group analysis and conservation laws of variable coefficient reaction-diffusion equations with power nonlinearities // J. Math. Anal. Appl. - 2007. - V. 330. - P. 1363-1386.

4. Vaneeva O.O., Johnpillai A.G., Popovych R.O., Sophocleous C. Group analysis of nonlinear fin equations // Appl. Math. Lett. - 2007. - doi:10.1016/j.aml.2007.02.023. - 6 p.

5. Popovych R.O., Sophocleous C., Vaneeva O.O. Exact solutions of a remarkable fin equation // Appl. Math. Lett. - 2007. - doi:10.1016/j.aml.2007.03.009. - 6 p.

6. Vaneeva O.O. Reduction operators of nonlinear filtration equation / Proceedings of the VI International Workshop on Lie Theory and Its Applications in Physics edited by H.-D. Doebner and V.K. Dobrev // Bulg. J. of Phys. - 2006. - V. 33 (s2). - P. 227-230.

7. Vaneeva O.O., Popovych R.O., Sophocleous C. Enhanced group analysis of variable coefficient semilinear diffusion equations with a power source // arXiv:0708.3457. - 2007. - 43 p.

Размещено на Allbest.ru

...