Дослідження еволюційних рівнянь точно розв'язуваних моделей статистичної механіки

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ДОСЛІДЖЕННЯ ЕВОЛЮЦІЙНИХ РІВНЯНЬ ТОЧНО РОЗВ'ЯЗУВАНИХ МОДЕЛЕЙ СТАТИСТИЧНОЇ МЕХАНІКИ

01.01.03 - математична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ШТИК Вячеслав Олександрович

Київ - 2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник ГЕРАСИМЕНКО Віктор Іванович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор СИМЕНОГ Іван Васильович, Інститут теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова НАН України, завідувач відділу прикладних проблем теоретичної фізики;

доктор фізико-математичних наук, доцент ГОРДЕВСЬКИЙ Вячеслав Дмитрович, Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна, завідувач кафедри математичного аналізу.

Провідна установа Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, м. Львів.

Захист відбудеться `` 29 '' травня 2007 р. о 15.00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий 19 квітня 2007 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради РОМАНЮК А. С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми.

Дисертаційна робота належить до одного з напрямків інтенсивного розвитку сучасної математичної фізики - теорії еволюційних рівнянь багаточастинкових систем. В останні роки у зв'язку із розвитком нано- та біотехнологій спостерігається значний прогрес у математичному моделюванні багатокомпонентних систем різної природи, зокрема, квантових систем, для яких актуальною проблемою є розвиток математичного і чисельного аналізу кінетичних рівнянь. Відомо, що еволюція всіх можливих станів квантових систем частинок описується ланцюжком рівнянь Боголюбова (ієрархія рівнянь ББГКІ). При дослідженні таких рівнянь виявилось, що існує цілий ряд аналітичних проблем, які не можуть бути розв'язані відомими методами функціонального аналізу.

В останній час ці проблеми вивчались багатьма науковцями, значний внесок належить К. Бардосу, Д. Бенедетто, С. Вілані, Дж. Галавотті, В. І. Герасименку, Ф. Голсе, П. Дегонду, Л. Ердосу, Р. Еспозіто, Р. Іллнеру, Ф. Кастелла, М. Лаховічу, Е. Лібу, Дж. Ліонсу, Дж. Лєбовіцу, P. Марковічу, В. П. Маслову, Д. Я. Петрині, М. Пульвіренті, Дж. Тоскані, К. Учіямі, Дж. Фрьоліху, К. Черчіньяні, Г. Шпону, Г.-Т. Яо. Було створено нові функціонально-аналітичні методи дослідження еволюційних рівнянь багаточастинкових систем, зокрема, київській школі математичної фізики належать пріоритетні результати в цьому напрямку.

Нерівноважні стани квантових багаточастинкових систем, як відомо, можуть бути описані різними способами, наприклад, в термінах статистичних операторів або кореляційних статистичних операторів (відповідно, функцій розподілу та кореляційних функцій для класичних систем), еволюція яких визначається різними типами еволюційних рівнянь - ланцюжків лінійних або нелінійних рівнянь фон Неймана, ланцюжків лінійних або нелінійних рівнянь Боголюбова. Створення теорії ланцюжків нелінійних еволюційних рівнянь багаточастинкових систем до останнього часу залишалось однією з відкритих проблем, актуальність якої, зокрема, обумовлена проблемою строгого виводу квантових кінетичних рівнянь з динаміки систем частинок. Один з підходів до аналізу нелінійних еволюційних рівнянь полягає в дослідженні точно розв'язуваних моделей статистичної механіки, який використано в дисертації для ілюстрації отриманих результатів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Тематика дисертаційної роботи пов'язана з науковими дослідженнями відділу математичних методів в статистичній механіці Інституту математики НАН України. Основну частину результатів було отримано при виконанні державної науково-дослідної теми "Спектральні та ймовірнісні методи дослідження рівноважних та нерівноважних станів моделей статистичної механіки та квантової теорії поля" (номер державної реєстрації 0101U000594). Робота частково виконана за підтримки гранту НАН України для молодих вчених "Функціонально-аналітичні та ймовірнісні методи дослідження еволюційних рівнянь сучасної математичної фізики" (номер державної реєстрації 0105U005666), та в рамках українсько-австрійської робочої програми з науково-технічного співробітництва "Диференціальні рівняння з частинними похідними у нанофізиці".

Мета і завдання дослідження.

Об'єктом дослідження є еволюційні рівняння нескінченних класичних та квантових систем частинок. Предметом дослідження є нерівноважні кластерні розклади еволюційних операторів багаточастинкових систем, на основі яких визначаються розв'язки ланцюжків рівнянь Боголюбова та розв'язки ланцюжків нелінійних рівнянь Ліувілля класичних та квантових систем. Мета й основні задачі дослідження полягали в наступному:

* узагальнити метод нерівноважних кластерних розкладів побудови розв'язку ланцюжка рівнянь Боголюбова на випадок квантових систем частинок;

* встановити критерій кумулянтного зображення розв'язку початкової задачі для ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова;

* довести теорему існування та єдиності кумулянтного зображення розв'язку початкової задачі ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем в просторі послідовностей ядерних операторів;

* побудувати та дослідити властивості розв'язку початкової задачі для ланцюжка нелінійних рівнянь Ліувілля у відповідних функціональних просторах.

Методи дослідження. В дисертаційній роботі застосовуються функціонально-аналітичні методи, розроблені Київською школою математичної фізики на чолі з академіком Д.Я. Петриною, методи сучасного функціонального аналізу, алгебраїчні та комбінаторні методи.

Наукова новизна одержаних результатів.

На захист виносяться такі основні нові результати, отримані автором:

* узагальнено метод нерівноважних кластерних розкладів еволюційних операторів побудови розв'язку початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова на квантові системи частинок (статистика Максвела-Больцмана);

* доведено критерій кумулянтного зображення розв'язку початкової задачі для ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова на основі побудованих розв'язків початкової задачі для ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана;

* доведено теорему існування та єдиності кумулянтного (семіінваріантного) зображення розв'язку початкової задачі для ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова в просторі послідовностей ядерних операторів;

* побудовано розв'язок початкової задачі для ланцюжка нелінійних рівнянь Ліувілля. Доведено теорему існування та єдиності розв'язку таких рівнянь в просторі інтегровних функцій та у випадку точно розв'язуваної моделі досліджено властивості розв'язку для початкових даних, які є трансляційно-інваріантними по конфігураційних змінних функціями.

Практичне значення одержаних результатів.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Досліджені в роботі еволюційні рівняння складають основу для дослідження проблеми строгого виводу квантових кінетичних рівнянь з динаміки нескінченночастинкових систем. Побудовані в роботі розв'язки для ланцюжків нелінійних рівнянь дають можливість обчислювати такі характеристики системи частинок, як флуктуації та макроскопічні величини, які не є середніми значеннями спостережуваних. Результати також можуть бути використані при математичному моделюванні різноманітних кінетичних процесів, зокрема, в галузі нанотехнологій та математичної біології. Окремі частини дисертації можуть бути корисними при читанні спецкурсів з сучасної математичної фізики на математичних і фізичних факультетах університетів.

Особистий внесок здобувача.

За темою дисертації опубліковано чотири роботи. Три з них - в співавторстві [2,3,4]. Робота [1] написана автором самостійно. В роботах [3,4] В.І. Герасименку належать постановка задач та загальна методологія їх розв'язання. Зі спільної роботи [2] до дисертації включено лише результати, написані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації.

Результати роботи доповідалися на міжнародних наукових конференціях: "Сучасні проблеми математичної та теоретичної фізики" (Київ, 2004), "Симетрія в нелінійній математичній фізиці" (Київ, 2005), "Міжнародний конгрес по фізиці плазми" (Київ, 2006), "Нелінійна фізика та математика" (Київ, 2006), "Стохастичні моделі в біологічних науках" (Варшава, Польща, 2006), "Моделювання клітинних систем та застосування до росту пухлин" (Бедлєво, Польща, 2006), "Квантовий перенос: моделювання, аналіз та асимптотики" (Четраро, Італія, 2006); а також - на об'єднаному семінарі з математичної фізики Інституту математики НАН України (керівники: професор Є. Д. Білоколос, професор А. Г. Нікітін); на семінарах: відділу математичних методів в статистичній механіці Інституту математики НАН України (керівник: акад. НАН України Д. Я. Петрина), математичного факультету Римського університету (керівник: професор M. Пульвіренті), факультету прикладної математики Флорентійського університету (керівник: професор Дж. Фрозалі).

Публікації.

Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в наукових статтях [1-4], надрукованих у провідних українських наукових журналах, в працях міжнародної конференції та тезах доповідей міжнародних наукових конференцій [5-12].

Структура та об'єм роботи.

Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатку. Загальний обсяг дисертації складає 131 сторінку машинописного тексту. Список використаних джерел займає 15 сторінок і містить 121 найменування.

квантовий ядерний оператор кластерний

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, вказано наукову новизну, теоретичне і практичне значення отриманих результатів. Зазначено особистий внесок здобувача, відмічено про апробацію роботи та публікації автора, а також наведено структуру дисертаційної роботи та зміст її основних розділів.

Перший розділ присвячено огляду строгих результатів та основних етапів розвитку теорії еволюційних рівнянь квантових систем частинок, зроблено огляд сучасного стану та сформульовано відкриті проблеми математичних досліджень з теорії квантових еволюційних рівнянь багаточастинкових систем.

В другому розділі досліджено початкову задачу для ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова на основі методу нерівноважних кластерних розкладів. Розв'язок такої задачі будується у формі розкладу по групах частинок, еволюція яких описується певного типу еволюційними операторами, які є кумулянтами відповідного порядку еволюційних операторів рівнянь фон Неймана систем скінченного числа частинок.

Доведено критерій кумулянтного зображення розв'язку ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок. В основу доведення критерію покладено розв'язки ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана, для якого доведено теорему існування та єдиності розв'язку. Досліджено збіжність побудованих розкладів в просторі послідовностей ядерних операторів.

У підрозділі 2.1 введено необхідні факти про динаміку квантової системи не фіксованого (тобто довільного але скінченного) середнього числа тотожних (безспінових) частинок одиничної маси. Стани такої системи описуються нескінченною послідовністю n-частинкових операторів густини, які є позитивними, самоспряженими операторами визначеними на просторі Фока над гільбертовим простором H. Стани системи належать простору послідовностей ядерних операторів з нормою

де - дійсне число. Розглядається парний потенціал взаємодії між частинками, що задовольняє умови Като, отже, гамільтоніан системи - самоспряжений оператор в області визначення і діє за формулою

Еволюція станів в просторі ядерних операторів описується початковою задачею для абстрактного ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок

 (1) (2)

де використано такі оператори, що діють в просторі ядерних операторів: a - аналог оператора знищення

(3)

для елемента на всюди щільній множині фінітних послідовностей вироджених операторів з нескінченно диференційовними ядрами зосередженими на компактах, визначено оператор фон Неймана

(4)

де h- стала Планка.

Розв'язок початкової задачі (1)-(2), який побудовано в цьому розділі, визначається на основі еволюційного оператора, яким зображується розв'язок початкової задачі для рівнянь фон Неймана

Стани системи не фіксованого числа тотожних частинок можна описати не лише в термінах послідовності статистичних операторів (6), що є розв'язками послідовності рівнянь фон Неймана, а й в інший еквівалентний спосіб, а саме, в термінах так званої послідовності кореляційних операторів, еволюція яких визначається початковою задачею для ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана. В підрозділі 2.2 досліджено початкову задачу для ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана (статистика Максвела-Больцмана), які необхідні для побудови розв'язку початкової задачі (1)-(2) та доведено теорему існування та єдиності сильного розв'язку в просторі ядерних операторів.

Для квантової системи не фіксованого числа тотожних (безспінових) частинок одиничної маси, розглянуто гамільтоніан системи з потенціалом взаємодії загального типу, що дозволило описати загальну структуру генератора ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана.

(9)

(10)

де , тут використано такі позначення: Y=(1,…,n), |Y|=n- означає кількість елементів множини Y.

Оператор фон Неймана визначається формулами (4), та

(11)

де - n-частинковий потенціал взаємодії. Оператор фон Неймана є інфінітезимальним генератором групи еволюційних операторів (7). Оператори g(t) інтерпретуються як кореляційні статистичні оператори.

Для початкової задачі (9)-(10) справедлива така теорема.

Теоpема 1 Якщо , , тоді для існує єдиний сильний розв'язок задачі Коші (9)-(10) для ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана (9), який визначається формулою

(12)

де

(13)

В формулі (13) використано такі позначення: - множина, елементами якої є |P| підмножин , і використано позначення формули (9). Еволюційний оператор інтерпретується як кумулянт (семіінваріант) |P|-го порядку еволюційних операторів (лінійних) рівнянь фон Неймана (5).

В підрозділі 2.3 введено означення кластерного розкладу еволюційних операторів (7) в загальному випадку. Позначимо через множину, яка складається з елементів , де символ відображає ту обставину, що множина (1,…,s)=Y є зв'язною частиною (кластером s частинок) розбиття множини X=(1,…,s,s+1,…,s+n) на n+1 елемент.

Кумулянтом n-порядку еволюційних операторів (7) рівнянь фон Неймана (5) (статистика Максвела-Больцмана) називається розв'язок таких рекурентних співвідношень (кластерних розкладів еволюційних операторів (7)), що для будь-якого:

(14)

Розв'язки рекурентних співвідношень (кластерних розкладів) (14) визначаються розкладами (13) (лема 2.1).

В підрозділі 2.4 в просторі ядерних операторів доведено критерій кумулянтного зображення розв'язку ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова.

Теоpема 2 Якщо , то розв'язок початкової задачі (1)-(2) визначається розкладами

 (15)

тоді і тільки тоді, коли еволюційні оператори , n>0, є кумулянтами еволюційних операторів рівнянь фон Неймана, тобто є розв'язками рекурентних співвідношень (кластерних розкладів) (14

Для доведення критерію було встановлено, що розв'язок початкової задачі (1)-(2) можна виразити через розв'язки початкової задачі для ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана (9)-(10), а саме:

(17)

де g(t) - розв'язок (12) ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана (9)-(10) для системи, що складається з кластера Y=(1,...s) та (s+1)-ї,,(s+n)-ї частинки.

В підрозділі 2.5 розглядається початкова задача для абстрактного ланцюжка рівнянь Боголюбова в просторі послідовностей ядерних операторів для загального типу потенціалів взаємодії

Доведено (лема 2.4), що у випадку парного потенціалу взаємодії генератор ланцюжка рівнянь Боголюбова (18) набуває вигляду генератора ланцюжка рівнянь Боголюбова (1).

В цьому ж підрозділі для початкових даних з простору послідовностей ядерних операторів побудовано розв'язок початкової задачі (18)-(19) у формі розкладу (15) по кумулянтах еволюційних операторів рівнянь фон Неймана (5), для якого за умови, що a>e, справедлива така оцінка (лема 2.5)

(20)

де c - константа.

Третій розділ дисертаційної роботи присвячено дослідженню властивостей групи, якою визначається розв'язок ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова, доведено теорему існування та єдиності кумулянтного зображення розв'язку в просторі послідовностей ядерних операторів.

В підрозділі 3.1 показано, що вираз для розв'язку (15) для визначає однопараметричну сім'ю відображень простору послідовностей ядерних операторів в себе, і справедлива теорема

Теоpема 3 Група визначена в просторі послідовностей ядерних операторів і є групою операторів класу C0.

Використовуючи результати теореми 3.1 та леми 2.5 у підрозділі 3.2 для систем частинок з потенціалом взаємодії, що задовольняє умови Като, доведено таку теорему.

Теоpема 4 Якщо , то за умови для існує єдиний розв'язок задачі Коші (1)-(2) який зображується формулою (15)

Для початкових даних - це сильний розв'язок, а для довільних початкових даних з простору послідовностей ядерних операторів - слабкий розв'язок.

В підрозділі 3.3 доведено, що виразом (21) для початкових даних з простору послідовностей ядерних операторів визначається слабкий (узагальнений) розв'язок ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова (1)-(2). Для доведення існування слабкого розв'язку в просторі послідовностей обмежених операторів побудовано розв'язок дуального ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова.

В підрозділі 3.4 досліджено питання еквівалентності різних зображень розв'язку ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова, в основу побудови яких покладено кластерні розклади еволюційних операторів (7) рівнянь фон Неймана (5).

В четвертому розділі побудовано ланцюжок нелінійних рівнянь Ліувілля та доведено існування розв'язку цього ланцюжка для початкових даних з простору інтегровних функцій. На основі цього розв'язку побудовано кумулянтне зображення s-частинкових кореляційних функцій. Як приклад застосування кумулянтного зображення розв'язку в просторі послідовностей інтегровних трансляційно-інваріантних функцій показано збіжність ряду, яким зображується двочастинкова кореляційна функція для системи пружних куль.

Стани системи не фіксованого середнього числа тотожних частинок можна описати не лише в термінах послідовності функцій розподілу, що є розв'язками послідовності рівнянь Ліувілля, а й в інший, еквівалентний спосіб, а саме, в термінах так званої послідовності кореляційних функцій, еволюція яких визначається початковою задачею для ланцюжка нелінійних рівнянь Ліувілля. В підрозділі 4.1 розглянуто класичні системи не фіксованого числа тотожних частинок одиничної маси, кожна з яких характеризується фазовими координатами , v>1, n-частинкова підсистема якої, n>1, визначається гамільтоніаном

де - k-частинковий потенціал взаємодії. Вважається, що потенціали системи , k>1, задовольняють умови, які гарантують існування глобальних за часом розв'язків початкової задачі для рівнянь Гамільтона.

Для послідовності кореляційних функцій визначених на фазовому просторі , v>1, які симетричні відносно перестановок аргументів, задача Коші для ланцюжка нелінійних рівнянь Ліувілля має вигляд

(22)

(23)

де , - сума по всіх можливих розбиттях P множини Y на |P| непорожніх підмножин XieY, що взаємно не перетинаються. Оператор Ліувілля визначається за формулами

(24)

де <.,.> - скалярний добуток.

Для початкових даних (23) з підпростору неперервно диференційовних функцій з компактними носіями банахового простору інтегровних функцій справедлива теорема.

Теоpема 5 Якщо , n>1, то для існує єдиний сильний розв'язок задачі Коші (22)-(23) для ланцюжка нелінійних рівнянь Ліувілля (22), який визначається формулою

(25)

В формулі (25) використано такі позначення: - множина, елементами якої є |P| підмножин . Еволюційний оператор - кумулянт (семіінваріант) |P|-го порядку визначається в такий спосіб

 (26)

Група еволюційних операторів S(-t), яка описує еволюцію системи скінченного, , числа частинок.

В підрозділі 4.2 розвивається ще один підхід до опису станів систем частинок, а саме, опис в термінах s-частинкових кореляційних функцій G(t). Такі функції визначаються кластерними розкладами розв'язків F(t) початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова

де Y=(1,…,s), - сума по всіх можливих розбиттях P множини Y на |P| непорожніх підмножин, які не перетинаються.

Встановлено, що s-частинкові кореляційні функції G(t) представляються через розв'язки g(t) початкової задачі для ланцюжка нелінійних рівнянь Ліувілля (22)-(23), для початкових даних, що задовольняють умову "хаосу", розв'язок ланцюжка нелінійних рівнянь Боголюбова зображується такою формулою:

(29)

В підрозділі 4.3 розглянуто приклад точно розв'язуваної моделі статистичної механіки, а саме, систему частинок, які взаємодіють між собою як пружні кулі. Це дозволило отримати явні вирази (аналоги формул Дюамеля), якими визначається дія кумулянтів довільного порядку (26) на початкові функції.

В підрозділі 4.4 для системи пружних куль досліджено властивість кореляційної функції (25) двох частинок, а на її основі - властивість двочастинкової кореляційної функції (29). Побудовано оцінку (лема 4.1), з якої випливає, що двочастинкова кореляційна функція є інтегровною трансляційно-інваріантною по конфігураційних змінних. Цей результат інтерпретується як властивість спадання кореляцій, що виникають в процесі еволюції системи і доводить принцип послаблення кореляцій, сформульований Боголюбовим.

В додатку А наведено означення та доведення необхідних технічних результатів, які використовуються в дисертації.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі досліджено властивості еволюційних рівнянь класичних та квантових багаточастинкових систем. Узагальнено метод нерівноважних кластерних розкладів еволюційних операторів побудови розв'язку початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова на квантові системи частинок (статистика Максвела-Больцмана). Доведено критерій кумулянтного зображення розв'язку початкової задачі для ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова на основі розв'язків початкової задачі для ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана. Доведено теорему існування та єдиності кумулянтного (семіінваріантного) зображення розв'язку початкової задачі для ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова в просторі послідовностей ядерних операторів. Побудовано розв'язок початкової задачі для ланцюжка нелінійних рівнянь Ліувілля. Доведено теорему існування та єдиності розв'язку таких рівнянь в просторі інтегровних функцій та для випадку точно розв'язуваної моделі досліджено властивості розв'язку для початкових даних, які є трансляційно-інваріантними по конфігураційних змінних функціями.

CПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Штик В. О. Про розв'язки ланцюжка нелінійних рівнянь Ліувілля // Доп. НАН України, 2006. - № 7. - C. 38-42.

Герасименко В. І., Штик В. О. Початкова задача для ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок // Укр. мат. журн., 2006. - 58, № 9. - C. 1175-1191.

Герасименко В. І., Штик В. О. Критерій існування кумулянтного зображення розв'язків ієрархії рівнянь Боголюбова квантових систем // Доп. НАН України, 2006. - № 8. - C. 7-13.

Gerasimenko V. I., Shtyk V. O. Cumulant expansions for solution of quantum BBGKY hierarchy //Proc. of contributed papers of XIIIth International Congress on Plasma Physics(ICPP 2006) //BITP NAS of Ukraine, TOPIC A: Fundamental Problems of Plasma Physics, 2006. - A014p. - P. 1-4.

Gerasimenko V. I., Shtyk V. O. Cumulant expansions for solution of the quantum BBGKY hierarchy // XIIIth International Congress on Plasma Physics(ICPP 2006): Book of absracts.Part I. - Kyiv: BITP NAS of Ukraine, 2006. - P. 25.

Gerasimenko V. I., Shtyk V. O. On solution representations of quantum BBGKY hierarchy // Conf. Stat. Phys. 2006: Condensed Matter: Theory and Applications. Program abstracts. - Kharkiv: FTINT NAS of Ukraine, 2006. - P. 90.

Gerasimenko V. I., Shtyk V. O. On solutions of quantum evolution equations // Mathematical Analysis, Differential Equations And Their Applications. Abstracs. - Kyiv: Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 2006. - P. 147-148.

Shtyk V. O. On the structure of initial value problem of the nonlinear Bogolyubov hierarchy for classical infinite particle system // Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics: Abstracts. - Kyiv: Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 2004. - http://www.imath.kiev.ua/ appmath/Abstracts2005/Shtyk.html

Shtyk V. O. Initial value problem of nonlinear Bogolyubov hierarchy // Nonlinear Physics and Mathematics. International Workshop: Book of abstracts. - Kyiv: BITP NAS of Ukraine, 2006. - P. 38.

Gerasimenko V.I., Shtyk V. O. On the solutions representations of the initial value problem to the quantum BBGKY hierarchy // Quantum transport: modelling, analysis and asymptotics. International Workshop. - Cetraro: C.I.M.E., 2006. - http://web.math.unifi.it/users/cime/Courses/2006/04/poster shtyk.pdf

Shtyk V. O. On the structure of expansions for solutions of the non-linear Bogolyubov hierarchy // Modern Problems of Math. and Theor. Phys. Bogolyubov Kyiv conference: Book of absracts. - Kyiv: Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 2004. - P. 54.

Shtyk V. O. On the solution representations of the initial value problem to the quantum BBGKY hierarchy // Modelling cellular systems with applications to tumour growth. - Bedlewo: C.I.M.E., 2006. - P.1.

АНОТАЦІЇ

Штик В.О. Дослідження еволюційних рівнянь точно розв'язуваних моделей статистичної механіки. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зa спеціальнiстю 01.01.03 - математична фізика. - Інститут математики НАН України, Київ, 2007.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню еволюції станів квантових та класичних багаточастинкових систем.

На основі методу нерівноважних кластерних розкладів побудовано кумулянтне зображення розв'язку початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок у формі розкладу по групах зростаючого числа частинок, еволюція яких описується кумулянтом (семіінваріантом) відповідного порядку еволюційних операторів рівнянь фон Неймана.

Доведено теорему існування та єдиності такого розв'язку в просторі послідовностей ядерних операторів. В основу кумулянтного зображення розв'язку покладено критерій, доведення якого ґрунтується на дослідженні ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана.

В дисертаційній роботі також досліджено динаміку класичних багаточастинкових систем, стани яких характеризуються кореляційними функціями. Для початкових даних з простору інтегровних функцій доведено теорему існування сильного розв'язку задачі Коші для ланцюжка нелінійних рівнянь Ліувілля, що дозволило математично обґрунтувати і розв'язати задачу "розповсюдження молекулярного хаосу" в процесі еволюції класичної нескінченночастинкової системи. Для однієї точно розв'язуваної моделі статистичної механіки, а саме, системи частинок, які взаємодіють як пружні кулі, доведено, що двочастинкова кореляційна функція є інтегровною трансляційно-інваріантною по конфігураційних змінних.

Ключові слова: ланцюжок рівнянь Боголюбова, багаточастинкова система, точно розв'язувана модель, рівняння Ліувілля, рівняння фон Неймана, еволюційний оператор, нерівноважний кластерний розклад, кумулянт (семіінваріант).

ШТЫК В. О. Исследование эволюционных уравнений точно решаемых моделей статистической механики. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. Институт математики НАН Украины, Киев, 2007.

Диссертация принадлежит к одному из направлений современной математической статистической механики - теории эволюционных уравнений квантовых систем бесконечного числа частиц. Работа состоит из четырёх разделов.

В первом разделе дан обзор строгих результатов полученных для квантовых эволюционных уравнений и сформулированы открытые проблемы математических исследований по теории квантовых эволюционных уравнений систем бесконечного числа частиц.

Во втором разделе исследуется задача Коши для цепочки квантовых уравнений Боголюбова на основе метода неравновесных кластерных разложений. Решение такой задачи строится в форме разложения по группам частиц, эволюция которых определяется кумулянтом (семиинвариантом) соответствующего порядка эволюционных операторов фон Неймана. Доказан критерий кумулянтного представления решения цепочки квантовых уравнений Боголюбова. В основе доказательства критерия положено решение цепочки нелинейных уравнений фон Неймана, для которого доказана теорема существования и единственности решения.

В третьем разделе цепочка квантовых уравнений Боголюбова рассматривается как абстрактное эволюционное уравнение в пространстве последовательностей ядерных операторов. Доказана теорема существования и единственности кумулянтного представления решения, построенного во втором разделе, начальной задачи для таких уравнений. Для начальных данных из подпространства вырожденных операторов с бесконечно дифференцируемыми ядрами построено сильное решение, а для начальных данных из пространства последовательностей ядерных операторов - слабое решение. В этом разделе также исследован вопрос эквивалентности разных представлений решения цепочки квантовых уравнений Боголюбова.

Ключевые слова: цепочка уравнений Боголюбова, многочастичная система, точно решаемая модель, уравнение Лиувилля, уравнение фон Неймана, эволюционный оператор, неравновесное кластерное разложение, кумулянт (семиинвариант).

SHTYK V.O. Investigation of evolution equations of exactly solvable models of statistical mechanics. - Manuscript.

Dissertation for the candidate of physics and mathematics degree in speciality 01.01.03 - mathematical physics. - Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2007.

The thesis is devoted to the investigation of the initial value problem of the quantum BBGKY hierarchy for many-particle systems by the non-equilibrium cluster expansion method. We construct a new representation of the solution of the initial-value problem to the quantum BBGKY hierarchy of equations as an expansion over particle clusters whose evolution are described by the corresponding-order cumulant (semi-invariant) of the evolution operators of finitely many-particle quantum systems.

The criterion of cumulant representation of the solution of the BBGKY hierarchy is proved. For the initial data from the space of sequences of the trace operators the existence and uniqueness theorem is proved.

We also investigate the initial-value problem of the nonlinear Liouville hierarchy. For the initial data from the space of integrable functions the existence of a strong solution of the Cauchy problem is proved. It was also shown that the nonlinear Liouville hierarchy is basic in the substantiation of the validating of the correlation-weakening principle.

Key words: BBGKY hierarchy, many-particle system, exactly solvable model, Liouville equation, von Neumann equation, evolution operator, non-equilibrium cluster expansion, cumulant (semi-invariant).

Размещено на Allbest.ur

...