До теорії локальної поведінки відображень зі скінченним спотворенням

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

УДК 517. 5

До теорії локальної поведінки відображень зі скінченним спотворенням

01.01.01 математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Салімов Руслан Радікович

Донецьк 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор,

Рязанов Володимир Ілліч,

Інститут прикладної математики і механіки

НАН України, завідувач відділу теорії функцій.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник,

Плакса Сергій Анатолійович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник відділу

комплексного аналізу і теорії потенціалу;

кандидат фізико-математичних наук,

Волчков Віталій Володимирович,

Донецький національний університет, доцент

кафедри математичного аналізу і теорії функцій.

Захист відбудеться 24.10.2007 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.193.02 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

Автореферат розісланий 22.09.2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Довгоший О. А.

квазіконформний гомеоморфізм мажорант

Анотація

Салімов Р.Р. До теорії локальної поведінки відображень зі скінченним спотворенням. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2007.

Дисертація присвячена вивченню відображень зі скінченним спотворенням в , і метричних просторах.

Доведено, що гомеоморфізми за Мартіо в , абсолютно неперервні на лініях, більше того, належать до класу Соболєва і диференційовані м.в. для будь-якого .

Досліджено також проблему продовження на межу гомеоморфізмів між областями в метричних просторах з мірами. Сформульовано ряд умов на функцію і границі областей, при яких усякий гомеоморфізм допускає неперервне або гомеоморфне продовження на межу. Зокрема, доведено узагальнення й підсилення відомої теореми Герінга-Мартіо про гомеоморфне продовження на межу квазіконформних відображень між областями квазіекстремальної довжини. Результати застосовані, зокрема, до ріманових многовидів, просторів Льовнера, груп Карно та Гейзенберга.

Ключові слова: абсолютна неперервність на лініях, конформні та квазіконформні відображення, відображення зі скінченним спотворенням, гомеоморфізми, гранична поведінка, метричні простори з мірою, слабо плоскі межі, скінченне середнє коливання, слабо плоскі простори.

Аннотация

Салимов Р.Р. К теории локального поведения отображений с конечным искажением. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2007.

Диссертация посвящена изучению отображений с конечным искажением в и метрических пространствах.

Установлено, что гомеоморфизмы по Мартио в , абсолютно непрерывны на линиях, более того, принадлежат классу Соболева и дифференцируемы п.в. для любого .

Исследована также проблема продолжения на границу гомеоморфизмов между областями в метрических пространствах c мерами. Сформулировано ряд условий на функцию и границы областей, при которых всякий гомеоморфизм допускает непрерывное или гомеоморфное продолжение на границу. В частности, доказано обобщение и усиление известной теоремы Геринга- Мартио о гомеоморфном продолжении на границу квазиконформных отображений между областями квазиэкстремальной длины. Результаты применимы, в частности, к римановым многообразиям, пространствам Левнера, группам Карно и Гейзенберга.

Ключевые слова: абсолютная непрерывность на линиях, конформные и квазиконформные отображения, отображения с конечным искажением, гомеоморфизмы, граничное поведение, метрические пространства с мерой, слабо плоские границы, конечное среднее колебание, слабо плоские пространства.

Abstract

Salimov R.R. To the theory of the local behavior for the mappings with finite distortion. - Manuscript.

The thesis for a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - Institute of Applied Mathematics and Mechanics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2007.

The thesis is devoted to the study of mappings with finite distortion in , and in metric spaces.

It is established that homeomorphisms by Martio in , are absolute continuous on lines, furthermore, belong to the Sobolev class and differentiable a.e. whenever

It is also investigated the problem on extending to the boundary of the homeomorphisms between domains in metric spaces with measures. It is formulated a series of conditions on the function and boundaries of the domains under which every homeomorphism admits a continuous or homeomorphic extension to the boundary. In particular, it is proved a generalization and strengthening of the known Gehring-Martio theorem on homeomorphic extending to the boundary quasiconformal mappings between the quasiextremal distance domains. The results can be applied, in particular, to Riemannian manifolds, the Loewner spaces, the groups by Carnot and Heisenberg.

Key words: absolute continuity on lines, conformal and quasiconformal mappings, boundary behavior, homeomorphisms, metric spaces with measures, weakly flat boundaries, finite mean oscillation, weakly flat spaces.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Теорія відображень є високо розвинутою частиною сучасного математичного аналізу. Ця теорія бере свій початок із знаменитих робіт Бельтрамі, Гаусса, Гільберта, Ліувілля, Пуанкаре, Рімана, Шварца й інших відомих математиків. Теорія аналітичних функцій давно вже стала зразком найбільш розвинених і ретельно розроблених гілок математики. В ній особлива увага приділяється конформним відображенням, що знайшли багаточисленні важливі застосування в теорії потенціалу, математичній фізиці, уніформізації, гідро- і аеродинаміці, електро- і магнітостатиці.

Наприкінці 20-х - початку 30-х років минулого сторіччя Греч, Лаврентьєв і Моррі ввели більш загальний клас відображень, згодом названих квазіконформними. Квазірегулярні відображення, названі також відображеннями з обмеженим спотворенням, було введено на початку 60-х років Решетняком Ю.Г. Основні властивості квазіконформних і квазірегулярних відображень були вивчені в працях Альфорса Л., Белінського П.П., Боярського Б.В., Векуа І.Н., Водоп'янова С.К., Волковиського Л.І., Вуорінена М., Вяйсяля Ю., Герінга Ф., Гольдштейна В.М., Гутлянського В.Я., Карамана П., Крушкаля С.Л., Лаврентьєва М., Лехто О., Мартіо О., Міклюкова В.М., Пєсіна І.Н., Решетняка Ю.Г., Рікмана С., Шабата Б.В. та інших.

В останнє десятиліття відбувся перехід до вивчення так званих відображень зі скінченним спотворенням, характеристики яких вже не є обмеженими в області визначення, а лише скінченними майже всюди. Серед могутнього потоку досліджень у цьому напрямку слід відзначити праці К. Астала, Е. Віламора, Ф. Герінга, Т. Іванця, П. Коскели, Дж. Манфреді, Р. Мартіна, О. Мартіо, У. Сребро, В. Рязанова, Е. Якубова та ін. Цьому передувало вивчення так званих відображень квазіконформних у середньому, почате з відомої роботи Альфорса і таке, що мало тривалу історію в роботах Білути П., Гольберга A., Круглікова В.І., Кудьявіна В., Крушкаля С., Kюнау Р., Перовича М., Пєсіна І.Н., Рязанова В.І., Стругова Ю.Ф., Сичова А.В., Зоріча В.А. й інших. У цьому ж зв'язку необхідно також згадати відображення обмеженим інтегралом Діріхле, теорія яких розроблялася школами Лелон-Феран Же і Суворова Г.Д.

Останнім часом інтенсивно розвивалася теорія так званих гомеоморфізмів, введених в у 2001 р. відомим фінським математиком Оллі Мартіо. Основною метою теорії гомеоморфізмів є вивчення взаємозв'язків властивостей відображення і властивостей мажоранти у модульній нерівності. Вивчення теорії гомеоморфізмів починалося в спільних працях О. Мартіо, У. Сребро, В. Рязанова і Е. Якубова. Високий рівень абстракції теорії відображень дозволяє застосовувати цю теорію до усіх сучасних класів відображень, де вдається встановити оцінку модуля з відповідною мажорантою , пов'язану з тими або іншими характеристиками (дилатаціями) відображень, зокрема, до відображень зі скінченним спотворенням за Іванцем і відображення зі скінченним спотворенням довжини по Рязанову. Відзначимо, що гомеоморфізми самі є відображеннями зі скінченним спотворенням у сенсі геометричного визначення.

У спільних працях О. Мартіо, У. Сребро, В. Рязанова і Е. Якубова теорія гомеоморфізмів розвивалася в основному для випадку, коли мажоранта належала відомому простору функцій обмеженого середнього коливання за Джоном - Ніренбергом. У спільних роботах Ігнат'єва А.О., Рязанова В.І., Севост'янова Є.О., Сребро У. і Якубова Е. теорія гомеоморфізмів розроблялася, перш за все, стосовно випадку, коли має скінченне середнє коливання у відповідних точках. Одночасно, в цих працях був розвинений метод сингулярних функціональних параметрів, вибір яких дозволяє одержувати і багато інших критеріїв усування особливостей та неперервного і гомеоморфного продовження гомеоморфізмів до межі. У працях Ковтонюка Д.О. і Рязанова В.І. можна також знайти теорію граничної поведінки так званих нижніх гомеоморфізмів у .

Як було встановлено ще Льовнером у 1959 р., ємність будь-якого конденсатора в, обкладки якого є невиродженими континуумами, завжди позитивна. "Рівномірний" варіант цього твердження для конденсаторів в , обкладки яких мають сферичний діаметр, обмежений знизу, було встановлено дещо пізніше за Вяйсяля в його відомій монографії про просторові квазіконформні відображення. Відповідний результат для довільних областей у належить його учню Раймо Няккі. Абстрактні простори Льовнера були введені в 1998 р. учнями Оллі Мартіо Юха Хейноненом (США) і Пекка Коскела (Фінляндія), а вже в 2001 р. вийшла монографія Хейнонена, присвячена цій темі. Відзначимо, що простори Льовнера містять, зокрема, ріманові многовиди і відомі групи Карно та Гейзенберга.

Відзначимо, що питання усування особливостей і продовження до межі завжди займали одне з центральних місць у теорії відображень і, зокрема, в теорії конформних і квазіконформних відображень. Дисертація багато в чому присвячена саме цим питанням. Наведені в ній результати і методи, розроблено при доведеннях, що застосовані до різних класів просторових відображень зі скінченним спотворенням. Таким чином, тема дисертаційної роботи є вельми актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконувалася в рамках бюджетних тем відділів рівнянь з частинними похідними і теорії функцій ІПММ НАН України: "Варіаційно-параметричні і секвенціальні методи у геометричній теорії функцій і нелінійному аналізі" (шифр теми - 1.1.4.2, номер теми за планом Інституту - 2) і "Геометричні, топологічні і апроксимативні проблеми сучасної теорії функцій" (шифр теми - 1.1.4.2, номер теми за планом Інституту - 2).

Мета і задачі дослідження. Дисертація присвячена розвитку методу модулів стосовно конформних і квазіконформних відображень і їх узагальнень в метричних просторах. Одним із завдань дисертаційної роботи було дослідження властивостей (диференційовність і абсолютна неперервність на лініях) гомеоморфізмів у , з локально інтегрованою мажорантою . Іншим завданням дослідження була побудова теорії граничної поведінки гомеоморфізмів між областями в довільних метричних просторах з локально скінченними борелівськими мірами. Нарешті, останнє коло завдань полягало у вивченні ізольованих особливостей і сингулярностей нульової екстремальної довжини, а також неперервного і гомеоморфного продовження до межі гомеоморфізмів між областями квазіекстремальної довжини в так званих слабо плоских просторах.

Наукова новизна одержаних результатів. Дисертація займає цілком певне місце у могутньому потоці досліджень останнього часу, щодо відображень зі скінченним спотворенням. Саме, дисертація заповнює прогалини, що були в теорії гомеоморфізмів (відображень зі скінченним спотворенням у сенсі геометричного визначення) в , і в розвитку методу модулів стосовно гомеоморфізмів у довільних метричних просторах.

Перш за все, у дисертації доведено, що гомеоморфізми в , з локально сумовною мажорантою , диференційовані майже усюди і абсолютно неперервні на лініях і, більш того, належать класу Соболєва .

Дослідження гомеоморфізмів у абстрактних просторах дає можливість по-новому поглянути на такі актуальні проблеми теорії відображень, як усунення особливостей і продовження відображень до межі. Зокрема, в дисертації одержано цілу низку нових результатів про неперервне і гомеоморфне продовження відображень до межі, серед яких можна особливо відзначити узагальнення на довільні метричні простори з мірами відомої теореми Герінга - Мартіо (1985) про гомеоморфне продовження до межі квазіконформних відображень між областями квазіекстремальної довжини в . При цьому, результати дисертації про гомеоморфне продовження до слабо плоских меж є новими навіть для конформних і квазіконформних відображень на площині та в евклідових просторах.

У роботі також вводяться і вивчаються так звані слабо плоскі простори, які успадковують основні локальні властивості евклідових просторів і є узагальненням, нещодавно введених просторів Льовнера і, зокрема, добре відомих груп Карно і Гейзенберга. У таких просторах області квазіекстремальної довжини мають слабо плоскі межі та, як наслідок, є лінійно зв'язними в точках межі. За цією основою в роботі одержано цілу низку результатів про усунення ізольованих особливостей і сингулярностей нульової екстремальної довжини, а також про неперервне і гомеоморфне продовження до межі квазіконформних відображень і гомеоморфізмів між областями квазіекстремальної довжини в слабо плоских просторах.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота має в основному теоретичне значення. Результати дисертації можуть бути використані при вивченні різних класів відображень зі скінченним спотворенням, зокрема, на ріманових многовидах, просторах Льовнера, групах Карно і Гейзенберга.

Особистий внесок дисертанта. Визначення загального плану напрямку досліджень дисертації і постановка завдань належать науковому керівнику В.І. Рязанову. Формулювання та доведення всіх основних результатів дисертації проведено автором.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на 6 міжнародних конференціях: Міжнародній школі - семінарі з геометрії і аналізу, присвяченій пам'яті Н.В. Єфімова, 5-11 вересня 2006, Новоросійськ, Росія; Міжнародній конференції "New Trends in Complex and Harmonic Analysis", 7-12 травня 2007, Восс, Норвегія; Міжнародній конференції "Geometrical Analysis and Nonlinear PDE", 3-10 червня 2007, Бедлево, Польща; "6-th Congress of Romanian Mathematicians", червень 28 - липень 4 2007, Бухарест, Румунія; "6-th ISAAC (International Society for Analysis, its Applications and Computation) Congress", 13-18 серпня 2007, Анкара, Туреччина; "Complex analysis and wave processes in mechanics", 19-26 серпня 2007, Житомир, Україна.

Результати дисертаційної роботи також доповідалися на науковому семінарі в Університеті, м. Гельсінки (керівники проф. О. Мартіо та М. Вуорінен) і на науковому семінарі в Академічному Інституті Технологій, м. Холон, Ізраїль (керівник Е. Якубов). Крім того, результати роботи доповідалися на науковому семінарі відділу теорії функцій ІПММ НАН України, м. Донецьк (керівник д.ф.-м.н., проф. В.І. Рязанов), на науковому семінарі кафедри математичного аналізу і теорії функцій ДонНУ, Донецьк (керівник д.ф.-м.н., проф. Р.М. Тригуб), на науковому семінарі відділу комплексного аналізу і теорії потенціалу Інституту математики НАН України, м. Київ (керівник д.ф.-м.н., проф. Ю.Б. Зелінський).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 12 наукових працях, серед яких 7 статей у наукових журналах [1]-[7], що визнаються ВАК України, 2-х зарубіжних препринтах [11] і [12] та 3-х тезах міжнародних конференцій [8]-[10]. Усі основні результати дисертації отримано особисто автором. У 2-х сумісних статтях і препринті науковому керівнику належить доведення лише допоміжних топологічних тверджень (пропозицій 3.1.1 і 4.4.1), а також загальне керівництво на рівні постановок завдань, методичної допомоги і критичного аналізу доведень.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, списку літератури і чотирьох глав, у першій з яких наведений огляд літератури за темою дисертації. Повний обсяг роботи складає 104 сторінки машинописного тексту. Перелік використаних джерел містить 202 найменування.

2. Основний зміст дисертації

Перший розділ дисертації містить огляд літератури. Нагадаємо, що борельова функція називається допустимою щодо сім'ї кривих в , пишуть , якщо

для всіх . Модуль сімей кривих визначається рівністю

За класичним геометричним визначенням гомеоморфізм між областями та в , називається квазіконформним, якщо

для деякого і для будь-якої сім'ї кривих у , тобто якщо спотворення модуля сімей кривих при відображенні обмежено.

Наступна концепція, що запропонована професором Оллі Мартіо, є природним узагальненням геометричного визначення квазіконформного відображення. Нехай - область в , і нехай - вимірна функція. Гомеоморфізм = називається гомеоморфізмом, якщо



для будь-якої сім'ї кривих в і будь-якої допустимої функції для . Тут позначає міру Лебега в . Відмітимо, що ця концепція природним чином пов'язана з теорією так званих модулів з вагою, які вивчалися в працях К. Казаку, М. Отсуки і П.М. Тамразова.

Розділ 2 містить наступні основні результати.

Теорема 2.2.1. Нехай та - області в і - гомеоморфізм з . Тоді є диференційованим майже усюди в .

Теорема 2.3.1. Нехай та - області в і - гомеоморфізм з . Тоді

Наслідок 2.3.1. Нехай та - області в і - гомеоморфізм з . Тоді .

У розділі 3 досліджується проблема продовження до межі так званих гомеоморфізмів між областями в довільних метричних просторах із мірами. Тут сформульовані умови на функцію і межі областей, за якими всілякий гомеоморфізм допускає неперервне або гомеоморфне продовження на межу. Надалі позначає простір з метрикою і локально кінцевою борельовою мірою. Областю у називатимемо відкриту множину, будь-які дві точки якої можна зв'язати неперервною кривою. Нехай та - області зі скінченними хаусдорфовими вимірностями і у просторах та і нехай - вимірна функція. Говоримо, що гомеоморфізм є гомеоморфізмом, якщо



для будь-якої сім'ї кривих у та будь-якої допустимої функції для .

Модуль сім'ї кривих в задаємо рівністю

де допустимі функції для визначаються колишньою умовою як і в . У випадку простору беремо хаусдорфову вимірність області .

Простір називається регулярним за Альфорсом, якщо існує постійна така, що

для всіх куль в радіуса . Як відомо, регулярні простори мають хаусдорфову вимірність .

Говоритимемо, що простір є регулярним зверху в точці , якщо існує постійна така, що

для всіх куль з центром у точці радіуса . Також говоритимемо, що простір є регулярним зверху, якщо ця умова виконана в кожній точці.

Нагадаємо, що область є локально зв'язною в точці якщо для будь-якого околу точки знайдеться окіл точки такий, що зв'язне. Аналогічно, ми говоримо, що область є локально лінійно зв'язною в точці якщо для будь-якого околу точки знайдеться окіл точки такий, що лінійно зв'язне, тобто будь-які дві точки в можливо зв'язати неперервною кривою. Секція 3.1 містить ряд допоміжних топологічних лем. Секція 3.2 присвячена вивченню так званих слабо плоских меж.

Визначення 3.2.1. Говоритимемо, що межа області є слабо плоскою у точці, якщо для будь-якого числа і околу точки знайдеться її окіл такий, що

(3.2.1)

для будь-яких континуумів та в , які перетинають та Тут означає сім'ю всіх кривих, що з'єднують та в .

Визначення 3.2.2. Також говоритимемо, що сильно досяжна в точці , якщо для будь-якого околу точки знайдеться компакт , окіл точки та число такі, що

для будь-якого континууму в , що перетинає і

Межу області називаємо сильно досяжною та слабо плоскою, якщо відповідні властивості мають місце в кожній точці межі. Відмітимо, що у визначенні слабо плоских і сильно досяжних меж можливо обмежитися якою-небудь базою околів точки і, зокрема, як околи і точки можливо брати кулі (відкриті або замкнені) з центром у точці . Дуже важлива наступна лема.

Лема 3.2.1. Нехай - область у . Якщо - слабо плоска в точці , то локально лінійно зв'язна в точці .

У секції 3.3 вивчаються важливі для подальшого функції зі скінченним середнім коливанням щодо міри.

Визначення 3.3.1. Нехай - область у просторі . Згідно з Ігнатьєвим - Рязановим говоримо, що функція має скінченне середнє коливання в точці , скор. , якщо

де

- середнє значення функції на множині щодо міри . Тут умова (3.3.1) містить припущення, що інтегрована щодо міри по деякій множині .

Пропозиція 3.3.1. Якщо для деяких чисел

(3.3.4)

то .

Наслідок 3.3.1. Зокрема, якщо

 (3.3.3)

то .

Центральною лемою про є наступне твердження.

Лема 3.3.1. Нехай - область у просторі регулярному зверху з у точці і

Тоді для будь-якої невід'ємної функції класу

(3.3.5)

при і деякому , де , ,

Відзначимо, що (3.3.4) більш слабке за умови подвоєння міри, яке використовувалося раніше у контексті у роботі Ігнатьєва-Рязанова. Відмітимо, що ця умова автоматично виконується у внутрішніх точках області , якщо є регулярним за Альфорсом.

У секції 3.4 вивчається проблема неперервного продовження гомеоморфізмів до межі. Центральну лему 3.4.1 і її наслідок 3.4.1 сформульовано в термінах сингулярних інтегралів від з ядрами загального вигляду. Основними тут є наступні теореми.

Теорема 3.4.2. Нехай є регулярним зверху в точці , , де локально лінійно зв'язна і задовольняє умові (3.3.4), а компактна та сильно досяжна. Якщо , то будь-який гомеоморфізм може бути продовженим у точку за неперервністю в .

Наслідок 3.4.3. Зокрема, якщо

(3.4.7)

де , то будь-який гомеоморфізм може бути продовженим у точку за неперервністю в .

У секції 3.5 вивчається проблема неперервного продовження на межу зворотних відображень гомеоморфізмів. Як показує наступна теорема для цього потрібні значно простіші умови, ніж для продовження самих гомеоморфізмів.

Теорема 3.5.1. Нехай область локально лінійно зв'язна в усіх своїх граничних точках і - компакт, має слабо плоску межу, а - гомеоморфізм з . Тоді зворотній гомеоморфізм допускає неперервне продовження .

Зауваження 3.5.1. Як показують відповідні приклади, будь-який скільки завгодно великий ступінь інтегровності не гарантує неперервного продовження гомеоморфізмів навіть до ізольованої граничної точки. Насправді тут, у теоремі 3.5.1, як і у всіх подальших теоремах, досить вимагати замість умови інтегровність в околі , припускаючи продовженим нулем зовні .

Нарешті, у секції 3.6 одержуємо відповідні висновки про гомеоморфне продовження до межі.

Теорема 3.6.2. Нехай - область в регулярному зверху просторі , , яка є локально лінійно зв'язною і задовольняє умові (3.3.4) у всіх граничних точках, - область у просторі зі слабо плоскою межею, а і - компакти. Якщо функція має скінченне середнє коливання в усіх граничних точках, то будь-який гомеоморфізм може бути продовженим до гомеоморфізму .

Наслідок 3.6.2. Зокрема, висновок теореми 3.6.2 має місце, якщо

у всіх точках , де .

У розділі 4 вивчаються властивості слабо плоских просторів, які є узагальненням нещодавно введених просторів Льовнера, і, зокрема, широко відомих груп Карно і Гейзенберга. На цій основі, у розділі побудовано теорію граничної поведінки і усунених особливостей для квазіконформних відображень і їх узагальнень, яка застосована в усіх названих вище класах просторів. Зокрема, доведено узагальнення і підсилення відомої теореми Герінга-Мартіо про гомеоморфне продовження до межі квазіконформних відображень між областями квазіекстремальної довжини. У секції 4.1 знайдено умови на міру , за якими сім'я усіх кривих у просторі , що проходять через фіксовану точку, має нульовий модуль. У секції 4.2 вводяться і вивчаються так звані слабо плоскі простори. Тут - простір з метрикою і локально скінченною борельовою мірою і скінченною хаусдорфовою вимірністю .

Визначення 4.2.1. Лінійно зв'язний простір будемо називати слабо плоским у точці , якщо для будь-якого околу точки і будь-якого числа знайдеться окіл точки такий, що для будь-яких континуумів та в , що перетинають і .

Простір називатимемо слабо плоским, якщо він є слабо плоским у кожній точці. У визначенні слабо плоских просторів, можливо обмежитися якою-небудь базою околів точки і, зокрема, за околи і можна брати кулі (відкриті або замкнуті) з центром у точці . Також очевидно, що будь-яка область у слабо плоскому просторі є слабо плоским простором.

Топологічний простір називається локально (лінійно) зв'язним у точці , якщо для будь-якого околу точки , знайдеться окіл точки , який (лінійно) зв'язний.

Лема 4.2.1. Якщо простір - слабо плоский у точці , то локально лінійно зв'язний у .

Наслідок 4.2.1. Відкрита множина в слабо плоскому просторі лінійно зв'язна тоді і тільки тоді, коли вона є зв'язною .

Наслідок 4.2.2. Область у слабо плоскому просторі локально лінійно зв'язна в точці тоді і тільки тоді, коли локально зв'язна в .

У секції 4.3 розвивається теорія граничної поведінки -гомеоморфізмів у областях квазіекстремальної довжини.

Визначення 4.3.1. Аналогічно Герінгу-Мартіо, область в називатимемо областю квазіекстремальної довжини , скор. КЕД областю, якщо

(4.3.1)

для скінченного числа та усіх континуумів і в . КЕД область у слабо плоскому просторі має слабо плоску межу і, як наслідок, сильно досяжна і, крім того, локально лінійно зв'язна в усіх точках межі.

Тому всі результати розділу 3 про продовження до межі -гомеоморфізмів між областями зі слабо плоскими межами в метричних просторах мають місце щодо КЕД областей у слабо плоских просторах. Як резюме, тут наведено лему 4.3.1, теореми 4.3.1-4.3.4, наслідки 4.3.1 і 4.3.2.

У секції 4.4 досліджується роль множин нульової екстремальної довжини для -гомеоморфізмів у слабо плоских просторах.

Визначення 4.4.1. Замкнену множину у просторі називаємо множиною нульової екстремальної довжини скор., НЕД множиною , якщо

(4.4.1)

для будь-якої області в і будь-яких континуумів і у .

Також як і в , НЕД множини у слабо плоских просторах не можуть мати внутрішніх точок і, крім того, вони не розбивають простір навіть локально, точніше має єдину компоненту лінійної зв'язності для будь-якої області в . Таким чином, доповнення НЕД множин в є вельми окремим випадком КЕД областей. Тому НЕД множини в слабо плоских просторах відіграють таку ж роль у проблемах усування особливих множин як і при квазіконформних відображеннях та їх узагальненнях у Як резюме тут наведено леми 4.4.1 і 4.4.2, а також теореми 4.4.1 і 4.4.2.

У секції 4.5 вивчається проблема усувності ізольованих особливостей гомеоморфізмів у слабо плоских просторах. Основними результатами тут, крім загальної леми 4.5.1 і наслідка 4.5.1, які сформульовано в термінах сингулярних інтегралів від з ядрами загального вигляду, є наступні теореми. Тут і - простори з метриками і і локально скінченними борельовими мірами і і - області в і зі скінченними хаусдорфовими вимірностями і , відповідно.

Теорема 4.5.1. Нехай простори і - компактні, лінійно зв'язний у точці а - слабо плоский простір. Якщо вимірна функція задовольняє умові

при , де то будь-який гомеоморфізм може бути продовжений по неперервності в точку .

Наслідок 4.5.2. Зокрема, висновок теореми 4.5.1 має місце, якщо збігається сингулярний інтеграл

(4.5.6)

в точці у сенсі головного значення.

Теорема 4.5.2. Нехай і - компактні слабо плоскі простори, - область у , котра -регулярна зверху з , лінійно зв'язна в точці і

(4.5.7)

Якщо , то будь-який -гомеоморфізм області у може бути продовжений по неперервності в точку .

Наслідок 4.5.3. Зокрема, якщо

(4.5.8)

то будь-який гомеоморфізм може бути продовжений по неперервності в точку .

Нарешті, в секції 4.6 наведено резюме результатів для конформних і квазіконформних відображень, лема 4.6.1, теореми 4.6.1-4.6.3, наслідки 4.6.1-4.6.3, які є прямими наслідками розвиненої вище теорії -гомеоморфізмів у метричних просторах з мірою.

Висновки

Перерахуємо найбільш важливі результати дисертації.

1. Доведено, що гомеоморфізми за Мартіо в , , диференційовані майже усюди і абсолютно неперервні на лініях, більш того, належать класу Соболєва , якщо мажоранта локально інтегрована.

2. Побудовано теорію граничної поведінки гомеоморфізмів між областями в довільному метричному просторі з локально скінченною борельовською мірою .

Зокрема, показано, що будь-який гомеоморфізм між областями зі слабо плоскими межами і компактним замиканням допускає гомеоморфне продовження на межу, якщо мажоранта має скінченне середнє коливання в точках межі щодо міри .

3. Розвинено теорію слабо плоских просторів, які є узагальненням недавно введених просторів Льовнера, і на цій основі, зокрема, отримано узагальнення і підсилення відомої теореми Герінга - Мартіо про гомеоморфне продовження на межу квазіконформних відображень між областями квазіекстремальної довжини. Крім того, в зазначених метричних просторах знайдено ряд умов на , при яких ізольовані особливі точки усувні по неперервності, а сингулярності нульової екстремальної довжини неістотні щодо гомеоморфізмів.

Таким чином, у дисертації розвинено модульну техніку стосовно конформних і квазіконформних відображень та їх узагальнень у метричних просторах, і на цій основі побудовано теорію їх поведінки на межі та в особливих точках.

При цьому відповідні результати про гомеоморфне продовження на межу відображень між областями зі слабо плоскими межами є новими навіть для конформних і квазіконформних відображень на площині й у просторі. Розвинена теорія може бути застосована також до різних сучасних класів відображень зі скінченним спотворенням на ріманових многовидах, просторах Льовнера і добре відомих групах Карно і Гейзенберга.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Salimov R. Local behavior of Q-homeomorphisms with respect to a measure // Труды ИПММ НАН Украины. - 2006. - Т. 12. - С. 122-127.

2. Рязанов В., Салимов Р. Теория отображений в слабо плоских пространствах // Труды ИПММ НАН Украины. - 2006. - Т. 13. - С. 148-153.

3. Салимов Р. Q-гомеоморфизмы в пространствах Левнера // Труды ИПММ НАН Украины. - 2006. - Т. 13. - С. 161-173.

4. Салимов Р. О граничном поведении отображений между областями в метрических пространствах // Труды Института математики НАН Украины, Киев. - 2006. - Т.3. - С. 421-430.

5. Салимов Р. Q-гомеоморфизмы абсолютно непрерывны на линиях // Труды ИПММ НАН Украины. - 2007. - Т. 14. - С. 143-149.

6. Рязанов В., Салимов Р. Слабо плоские пространства и границы в теории отображений // Укр. мат. вестник. - 2007. - Т. 3. - № 2. - С. 199-234.

7. Салимов Р. О граничном поведении вложений метрических пространств в евклидово // Укр. мат. журн. - 2007. - №8. - С. 68-74.

8. Салимов Р.Р. О граничном поведении отображений метрических пространств // Труды Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Новороссийск, Россия. - 2006. - C. 153-154.

9. Salimov R. On ACL-homeomorphisms // Abstracts of International conference in Geomrtric analysis and nonlinear PDE, Bedlevo, June 3-10, Poland. - 2007. - P. 17-18.

10. Salimov R. Differentiability and linear absolute continuity of locally integrable Q-homeomorphisms // Abstracts of Bogolubov readings 2007, Dedicated to Yu. A. Mitropolskii on the occasion of his 90-th birthday Ukraine, Zhitomir-Kiev, 19 August - 2 September 2007 Украина, 19-26 августа, Житомир, 2007. - С. 46-47.

11. Salimov R. Absolute continuity and differentiability of Q-homeomorphisms // Reports in Math. of Univ. of Helsinki. - 2007. - 463. - 7 pp.

12. Ryazanov V. and Salimov R. On the mapping theory in metric spaces // Reports in Math. of Univ. of Helsinki. - 2007. - 466. - 34 pp.

Размещено на Allbest.ru

...