Задачі термопружності для анізотропних пластинок з отворами та тріщинами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Донецький національний університет

УДК 539.3

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Задачі термопружності для анізотропних пластинок з отворами та тріщинами

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Антонов Юрій Сергійович

Донецьк - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Донецькому національному університеті, Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Калоєров Стефан Олексійович, Донецький національний університет професор кафедри теорії пружності і обчислювальної математики

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук, професор, Карнаухов Василь Гаврилович, Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України (м. Київ) зав. відділу термопружності

кандидат фізико-математичних наук, доцент, Гольцев Аркадій Сергійович, Донецький національний університет доцент кафедри прикладної механіки і комп'ютерних технологій.

Провідна установа - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів), відділ математичних методів механіки руйнування та контактних явищ.

Захист відбудеться “18” травня 2006 р. о 14:30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.051.05 при Донецькому національному університеті за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, головний корпус, математичний факультет, ауд. 603.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Донецького національного університету (83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24).

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, Донецький національний університет, вченому секретарю спеціалізованої вченої ради К 11.051.05.

Автореферат розісланий “18” квітня 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Мисовський Ю.В.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У багатьох галузях сучасної автоматики, обчислювальної та вимірювальної техніки, авіації, машинобудування та інших широко застосовуються конструкції, які містять елементи у вигляді тонких пластинок, що з технічних міркувань мають отвори, а з технологічних та експлуатаційних причин - також додаткові концентратори напружень типу тріщин. Найчастіше такі елементи конструкцій виготовляються з різних композиційних матеріалів з істотно вираженими властивостями анізотропії. Під впливом механічних сил і теплових полів у цих елементах можуть виникати високі концентрації напружень, які необхідно враховувати при розрахунку конструкцій на міцність і тріщиностійкість. У зв'язку з цим виникає необхідність розробки надійних методів, що дозволяють визначати термонапружений стан анізотропних пластинок з отворами та тріщинами, розв'язувати на їх основі нові класи задач інженерної практики. Роз-в'язанню деяких проблем у цій області й присвячена дана дисертаційна робота.

Метою дисертації є вивчення впливу геометричних характеристик, теплофізичних властивостей матеріалів пластинок з отворами та тріщинами, виду теплових навантажень на їх термонапружений стан, встановлення закономірностей його якісних і кількісних змін. Для досягнення цієї мети було необхідно

- розробити методику розв'язання задач теплопровідності й термопружності для анізотропних пластинок з довільною кількістю отворів та тріщин при довільному їх взаємному розташуванні й з'єднанні між собою;

- із застосуванням цієї методики отримати теоретичні розв'язки конкретних задач та провести їх алгоритмізацію;

- скласти комплекси програм для чисельної реалізації розроблених алгоритмів;

- дослідити ефективність розроблених підходів і достовірність отриманих на їх основі результатів;

- розв'язати нові класи актуальних задач інженерної практики;

- виявити термомеханічні закономірності розподілу температур, напружень і деформацій залежно від геометричних характеристик тіл, теплофізичних властивостей їхніх матеріалів, способів теплових навантажень.

Об'єктом дослідження є проблема вивчення термонапруженого стану, що виникає при розрахунках на міцність анізотропних пластинок з отворами та тріщинами.

Предметом дослідження є розробка ефективних методів визначення термонапруженого стану анізотропних пластинок з отворами та тріщинами з урахуванням взаємодій цих концентраторів між собою, теплофізичних властивостей матеріалів і форм теплових впливів.

Методи дослідження. Для досягнення сформульованої мети в роботі використано і розвинено ряд підходів. Зокрема, розвинуто метод комплексних потенціалів стосовно задач теплопровідності й термопружності для обмежених і нескінченних областей із системою довільно розташованих отворів з гладкими контурами та прямолінійних розрізів, вивчена ефективність використання комплексних потенціалів при розв'язанні конкретних задач і достовірність отриманих при цьому результатів; розроблено чисельно-аналітичний метод розв'язання задач теплопровідності та термопружності для анізотропних пластинок з довільно розташованими отворами та тріщинами, заснований на використанні конформних відображень, виділенні логарифмічних особливостей комплексних потенціалів та сингулярностей їх похідних у кінцях розрізів, застосуванні дискретного методу найменших квадратів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження пов'язані з фундаментальними науково-дослідними роботами, що фінансувалися Міністерством освіти і науки України: “Розробка методів дослідження напруженого стану композиційних тіл з концентраторами напружень та їх застосування” (№ держреєстрації 0101U005377, 2001-2003 рр.), “Розробка методів дослідження напруженого стану однорідних і кусочно-однорідних тіл з концентраторами напружень при дії силових, температурних, електричних полів і їх застосування” (№ держреєстрації 0104U002152, 2004 - 2006 рр.). Результати дисертаційної роботи увійшли до звітів з вказаних НДР.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що

- отримано основні співвідношення задачі теплопровідності для тіл із загальною анізотропією теплових властивостей, досліджено зв'язки між коефіцієнтами теплопровідності, встановлено інваріантність різних комбінацій цих коефіцієнтів, отримано співвідношення для коефіцієнтів теплопровідності й термопружності для різних випадків теплової й пружної симетрії;

- введено та досліджено комплексні потенціали плоскої задачі стаціонарної теплопровідності та термопружності для анізотропних пластинок з отворами та тріщинами, досліджено їх логарифмічні особливості, у похідних комплексних потенціалів виділено особливості в кінцях прямолінійних розрізів, отримано вирази основних характеристик термопружного стану та коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН), а також граничні умови для визначення комплексних потенціалів за різних видів теплових навантажень;

- розроблено чисельно-аналітичний метод визначення комплексних потенціалів задач теплопровідності й термопружності для анізотропних пластинок з отворами та тріщинами, що використовує конформні відображення, метод рядів і найменших квадратів;

- розв'язано низку нових задач теплопровідності й термопружності для анізотропних пластинок з отворами та тріщинами за дії різних теплових факторів;

- встановлено нові термомеханічні закономірності впливу теплофізичних сталих матеріалу пластинки, геометричних характеристик отворів та тріщин, їхньої кількості, сполучення й взаємного розташування на значення температури, напружень, внутрішньої енергії та КІН.

Вірогідність отриманих результатів і висновків роботи забезпечується строгістю постановки задач і використаних математичних методів; високим ступенем точності задоволення граничних умов, що перевіряються у численних точках границь тіл; узгодженням результатів з відомими у літературі, одержаними для окремих випадків розв'язаних задач.

Практичне значення отриманих результатів полягає в можливості використання розробленої методики розв'язання задач і програмних засобів для чисельної їх реалізації при розрахунках, що пов'язані з проектуванням і визначенням робочих параметрів елементів конструкцій з анізотропних матеріалів, що містять отвори та тріщини; в отриманні результатів, що дозволяють оцінювати взаємовплив отворів і тріщин залежно від їхньої кількості, сполучення та взаємного розташування, а також впливу теплофізичних сталих матеріалів пластинок на термонапружений стан.

Апробація результатів роботи. Основні положення і результати роботи були повідомлені й обговорені на ряді наукових конференцій і семінарів, у тому числі на II і III Міжнародних науково-практичних конференціях “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (м. Донецьк, 2003 р., 2005 р.), VI міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (м. Львів, 2003 р.), “Українсько-польському колоквіумі” (м. Донецьк, 2004 р.), науковій конференції професорсько-викладацького складу Донецького національного університету (м. Донецьк, 2005 р.), на об'єднаному науковому семінарі кафедр теорії пружності й обчислювальної математики, прикладної механіки й комп'ютерних технологій Донецького національного університету.

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалась на об'єднаному науковому семінарі кафедр теорії пружності й обчислювальної математики, прикладної механіки й комп'ютерних технологій Донецького національного університету, науковому семінарі відділу термопружності Інституту механіки НАН України під керівництвом проф. В. Г. Карнаухова (м. Київ), науковому семінарі відділу математичних методів механіки руйнування і контактних явищ Інституту прикладних проблем механіки і математики НАН України під керівництвом члена-кореспондента НАН України, проф. Г. С. Кіта (м. Львів).

Публікації й особистий внесок здобувача. Основні наукові результати дисертації опубліковані в 5 наукових працях [1-5], з яких 4 статті в наукових журналах, затверджених ВАК України фаховими виданнями [1, 3-5], 1 публікація у матеріалах наукової конференції [2].

Основні результати отримані автором самостійно. У роботах [2-5] співавторові С. О. Калоєрову належить участь у постановці розглянутих задач, виборі методу дослідження та обговоренні отриманих результатів. У роботі [2] О. В. Авдюшиній належить участь у чисельній реалізації алгоритму на ЕОМ і обговоренні отриманих результатів.

Особисто Ю. С. Антонову належать такі включені до дисертаційної роботи та публікацій наукові результати:

- отримання основних співвідношень задач теплопровідності й термопружності для анізотропних тіл, дослідження зв'язків між коефіцієнтами теплопровідності, логарифмічних особливостей комплексних потенціалів теплопровідності й термопружності, сингулярностей їх похідних для випадків пластинок з тріщинами;

- побудова теоретичних розв'язків низки розглянутих задач та їх алгоритмізація;

створення комплексів програм для чисельної реалізації алгоритмізованих розв'язків;

проведення чисельних досліджень температурного та термонапруженого станів для різних пластинок з отворами та тріщинами і встановлення закономірностей їх термомеханічної поведінки за дії різних теплових чинників.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаної літератури, що містить 251 джерело, й двох додатків. Робота містить 31 таблицю й 47 рисунків. Загальний обсяг дисертації становить 247 сторінок, з яких 22 сторінки займає список літератури, 81 сторінку - додатки.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми; сформульовано мету роботи й основні наукові результати, що виносяться на захист; зазначено її зв'язок з науковими програмами, планами; висвітлено наукову новизну, практичне значення отриманих результатів і особистий внесок автора в спільні роботи.

У першому розділі викладено аналітичний огляд відомих у літературі методів і розв'язків задач з визначення температурного й термопружного станів тіл. Аналізом охоплено більше 250 робіт вітчизняних і закордонних авторів. Відзначено провідну роль у розвитку теорії та її додатків щодо розв'язання практичних задач робіт Я.Й. Бурака, О. Р. Гачкевича, Д. В. Грилицького, О. М. Гузя, Д. Єгера, С. О. Калоєрова, А. О. Камінського, В. Г. Карнаухова, Г. Карслоу, Г. С. Кіта, А. Д, Коваленка, О. С. Космодаміанського, Р. М. Кушніра, М. М. Лебедєва, С. Г. Лехницького, А. В. Ликова, Р. М. Мартиняка, Е. Мелана, М. І. Мусхелішвілі, В. Новацького, В.А. Осадчука, В. В. Панасюка, Г. Паркуса, Ю. М. Подільчука, Я. С. Підстригача, І. А. Прусова, М. П. Саврука, І. К. Сенченкова, Г.Т. Сулима, Л. П. Хорошуна, А. І. Уздалева, А. Ф. Улітка, Л. А. Фільштинського, В.П. Шев-ченка, Ю.М. Шевченка та інших вітчизняних і закордонних вчених. З аналізу досліджень інших авторів встановлено, що до теперішнього часу для ізотропних пластинок з отворами та тріщинами розроблені різні ефективні методи розв'язання задач теплопровідності й термопружності. Для анізотропних пластинок розроблені методи розв'язання задач та розв'язані окремі задачі теплопровідності й термопружності у випадку областей з гладкими контурами; для пластинки ж з тріщинами розглянуті лише випадки однієї або двох тріщин. Загальні підходи розв'язання задач теплопровідності й термопружності для анізотропних пластинок з тріщинами, з тріщинами та гладкими контурами, з крайовими тріщинами не розроблені. Тому не отримано розв'язків багатьох задач, які представляють практичний інтерес. На основі аналізу літературних джерел обґрунтовано актуальність розробки нових методів дослідження температурного та термонапруженого станів анізотропних пластинок з отворами та тріщинами, розв'язання на їх основі задач інженерної практики, виявлення нових термомеханічних закономірностей.

У другому розділі роботи подано основні співвідношення теплопровідності й термопружності. Вперше ретельно досліджено зв'язки між коефіцієнтами теплопровідності, зокрема, отримано вирази коефіцієнтів теплопровідності для будь-яких площадок через значення цих коефіцієнтів для головних площадок, для яких вектор теплопровідності спрямовано по нормалі. Доведено інваріантність комбінацій елементів матриці коефіцієнтів теплопровідності виду

(1)

де та - коефіцієнти теплопровідності для будь-яких трьох взаємно перпендикулярних напрямків та головних напрямків. Виведено рівняння теплопровідності й крайові умови його розв'язання для різних теплових дій на граничних контурах тіла чи контакту з іншими тілами, рівняння закону Гуку для різних видів теплової й пружної симетрії, формули для обчислення ентропії та внутрішньої енергії.

У цьому ж розділі розглянуто плоскі задачі теплопровідності й термопружності, введені комплексні потенціали для їх розв'язання. При цьому для температури в пластинці отримано вираз

 (2)

де - початкова температура, при якій напруження й деформації в пластинці відсутні; - температура, що виникає в пластинці від дії лінійного потоку тепла; - комплексний потенціал збуреного температурного поля, що визначається з відповідних граничних умов, причому , - корінь відомого характеристичного рівняння задачі теплопровідності, який є комплексним в силу доведеної в роботі нерівності для будь-яких анізотропних матеріалів. Отримано вирази основних характеристик температурного поля (температури, густини потоку тепла) через комплексний потенціал, граничні умови для визначення останнього, знайдено загальний вид функції для багатозв'язної області, досліджено її логарифмічні особливості. На основі розв'язку основної системи рівнянь термопружності введено та досліджено комплексні потенціали термопружності , отримано граничні умови для їх визначення, вирази основних характеристик термопружного стану (напружень, переміщень, внутрішньої енергії, а у випадку тріщин _ і КІН), загальний вигляд комплексних потенціалів для багато зв'язної області, досліджені логарифмічні особливості функцій.

У другому розділі подано також аналітичний розв'язок задачі про дію лінійного потоку тепла в пластинці з еліптичним отвором або абсолютно твердим ядром, контур якого теплоізольований або на ньому відносна температура дорівнює нулю. Для випадку, коли еліпс вироджується в прямолінійний розріз, отримані вирази КІН, що співпадають для окремих випадків з відомими, знайденими Г. С. Кітом (для ізотропної пластинки) і С. О. Калоєровим (для анізотропної пластинки). Проведено чисельні дослідження впливу геометричних характеристик отвору (або тріщини), теплофізичних властивостей матеріалу пластинки на значення температур, напружень і КІН. При проведенні чисельних досліджень розглядалися пластинки з анізотропних матеріалів КАСТ-В (матеріал М2), молібдату свинцю (матеріал М3), дігідрофосфату амонію (матеріал М4). Розглядалася також ізотропна пластинка (матеріал М1). Результати досліджень наведено у численних таблицях і рисунках. Деякі з отриманих результатів для пластинки із тріщиною представлені на рис. 1, 2, коли на берегах тріщини (рис. 1) або вони теплоізольовані (рис. 2). На рис. 1, 2 для різних матеріалів наведено значення КІН залежно від кута між лінією тріщини й напрямком потоку тепла. З рис. 1, 2 та інших отриманих результатів видно, що ступінь анізотропії істотно впливає на значення КІН. Так, при заданні на берегах температури максимальні значення КІН для пластинки з матеріалу М3 у сотні разів більше, ніж для ізотропного матеріалу М1, а у випадку теплоізольованих берегів тріщини вони в тисячі разів більше. Максимальні значення КІН у випадку теплоізольованих берегів тріщини набагато більше, ніж при завданні на берегах температури. У роботі також встановлено, що жорстке підкріплення берегів тріщини приводить до значного зменшення значення КІН, особливо у випадку теплоізольованих берегів; напруження та КІН, що виникають у пластинці, обернено пропорційні коефіцієнтам теплопровідності її матеріалу, тобто при зменшенні коефіцієнтів деформації та збільшенні коефіцієнтів лінійного розширення значення напружень зростають.

Третій розділ дисертації присвячений розв'язанню задач теплопровідності й термопружності для пластинки з отворами та тріщинами, коли на їх контурах для рівняння теплопровідності розв'язується задача Діріхле, тобто коли на них задана температура. Загальні розв'язки задач теплопровідності й термопружності будуються на основі комбінованого методу, що полягає в побудові відповідних конформних відображень, у розвинені комплексних потенціалів у ряди Лорана з виділенням сингулярностей їх похідних у кінцях прямолінійних розрізів, що моделюються “вузькими” еліпсами, у використанні методу найменших квадратів для визначення невідомих сталих, які входять до комплексних потенціалів, у наближеному чисельному обчисленні КІН. Для комплексного потенціалу теплопровідності та похідних комплексних потенціалів термопружності отримано вирази

(3)

де для скінченної області, для нескінченної області;

(4)

- змінні, що обчислюють із відповідних конформних відображень зовнішності одиничного кола на зовнішності еліпсів у областях визначення комплексних потенціалів; - сталі, які визначаються з умов на нескінченності (для кінцевої області вони дорівнюють нулю); , і , - сталі, що обчислюють через потужності зосереджених джерел тепла та сумарні потоки тепла в пластинку через її контури; , - сталі, що залежать від геометричних характеристик; , , , - невідомі сталі, визначення яких із граничних умов методом найменших квадратів зведено до розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Розв'язано низку задач для кільця, диска із тріщинами та нескінченної пластинки з отворами та тріщинами. Докладні чисельні дослідження температурних полів і термонапруженого стану проведено для кругового кільця, кругового диска з еліптичним отвором або тріщиною, кругового диска з двома діаметральними, паралельними й перпендикулярними тріщинами; для нескінченної пластинки з двома круговими отворами або двома тріщинами, з круговим отвором і тріщиною. Отримано ряд важливих результатів, виявлено нові термомеханічні закономірності. Результати представлені в численних таблицях і на рисунках. Тут описані лише деякі з отриманих результатів для пластинки із круговим отвором і тріщиною, всі значення наведені з точністю до різниці температур на контурах .

На рис. 3, 4 зображені графіки розподілу нормальних напружень біля контуру кругового отвору на площинках, перпендикулярних до контуру, у пластинці з круговим отвором радіуса та тріщиною півдовжини , горизонтальної вздовж діаметра (рис. 3) або вертикальної, що перпендикулярна до діаметра (рис. 4). Суцільні й штрихові лінії малюнків відповідають значенням відношення відстані між отвором і тріщиною до радіуса, яке дорівнює і . На рис. 5 для випадку “горизонтальної” діаметральної тріщини залежно від відношення наведено графіки зміни КІН (суцільні лінії) і (штрихові лінії). КІН для цього випадку виходить рівним нулю. На рис. 3-5 штрихові лінії для ізотропного матеріалу М1 не наведено, тому що вони практично співпадають з відповідними суцільними лініями для цього матеріалу. З рис. 3-5 та інших отриманих у роботі результатів видно, що зменшення відстані між отвором і тріщиною приводить до збільшення напружень біля контуру отвору й КІН для кінців тріщини, причому ці зміни найбільш значні для “горизонтальної” тріщини уздовж діаметра у випадку матеріалу М4, а для “вертикальної”, перпендикулярної до діаметра тріщини - у випадку матеріалу М3.

Четвертий розділ роботи присвячено розв'язанню задач теплопровідності й термопружності для багатозв'язних пластинок при дії лінійних потоків тепла та зосереджених джерел тепла. При цьому для задачі теплопровідності розв'язуються задачі Діріхле та Неймана, або “змішана задача”, коли на контурах одних отворів задані значення температури, а контури інших отворів теплоізольовані. Комплексні потенціали для цих класів задач мають структуру, аналогічну наведеним вище формулам. Тільки у цьому випадку на теплоізольованих контурах розв'язуються крайові задачі з визначення похідної комплексного потенціалу теплопровідності .

У цьому розділі, для випадку, коли на контурах всіх отворів підтримується однакова температура або вони всі теплоізольовані, а на нескінченності діє лінійний потік тепла, наведено також розв'язки періодичних задач теплопровідності та термопружності. Для останнього випадку з умов періодичності температурного поля й напруженого стану за допомогою низки перетворень для функцій отримано вирази

(5)

де

(6)

, , - величини, які обчислюють у такий же спосіб, як це описано у третьому розділі; , , - невідомі сталі, що визначаються з граничних умов на контурі основного отвору за допомогою методу найменших квадратів.

Як і в попередніх розділах, у цьому розділі наведено розв'язки низки задач. Для випадку дії лінійного потоку тепла проведено докладні чисельні дослідження для нескінченної пластинки з двома круговими отворами, з отвором і тріщиною, із двома тріщинами, зі скінченим або нескінченним рядом кругових отворів або тріщин. Залежно від геометричних характеристик розглянутих пластин, теплофізичних сталих їх матеріалів, кутів потоку тепла досліджувалися характер розподілу температур, напружень, а у випадку тріщин також і зміни КІН. Тут представлені лише деякі з отриманих результатів. Значення всіх характеристик наведено з точністю до густини потоку тепла як множника.

На рис. 6, 7 для теплоізольованих контурів при дії потоку тепла з кутом зображені графіки зміни КІН для випадку пластинки з круговим отвором радіуса та тріщиною півдовжини , розташованої “горизонтально” уздовж діаметра або “вертикально” (перпендикулярно до діаметра). Із цих малюнків видно, що наближення отвору до тріщини приводить до зростання значень КІН за абсолютною величиною. Цей зріст найбільш значний для “горизонтальної” тріщини. На рис. 8 зображені графіки змін КІН для діаметральної тріщини довжини , що виходить із контуру кругового отвору радіуса для пластинки з матеріалу М4, залежно від відношення . Криві для відносяться до кута потоку тепла (у цьому випадку ), а криві для - до кута потоку тепла (у цьому випадку ). Суцільні лінії на рис. 8 відповідають випадку, коли на контурах задано температуру , штрихові _ коли вони теплоізольовані. Як видно з рис. 8 та інших отриманих у роботі результатів, при збільшенні довжини крайової тріщини значення КІН за абсолютною величиною зростають, а значення напружень біля контуру отвору змінюються незначно, за винятком точок у кінцях вертикального діаметру, якщо контури теплоізольовані і кут потоку тепла . Ці напруження збільшуються більш ніж у два рази при збільшенні від до .теплопровідність анізотропний пластинка деформація

На рис. 9 зображено графіки зміни КІН для лівої тріщини в пластинці з матеріалу М4 із двома теплоізольованими тріщинами півдовжини залежно від відношення відстані між тріщинами до їх півдовжини у випадках тріщин, що розташовані на одній прямій (суцільні лінії) і паралельних тріщин (штрихові лінії) при дії потоку тепла, перпендикулярного до тріщин. З рис. 9 видно, що при зближенні тріщин значення КІН змінюються незначно. Тільки у випадку тріщин уздовж однієї прямої при досить малих відстанях між ними спостерігається істотний зріст КІН за абсолютною величиною.

На рис. 10 зображені графіки зміни КІН для правої вершини центральної тріщини півдовжини в пластинці з нескінченним рядом тріщин залежно від відношення відстані між тріщинами до півдовжини однієї з них. З даних рис. 10 видно, що при зближенні тріщин значення КІН зменшуються. Для пластинки з матеріалу М4 максимальні значення КІН більш ніж в 50 разів перевищують максимальні значення КІН для ізотропного матеріалу М1.

У даному розділі також наведено розв'язки задач про дію зосереджених джерел тепла. Для пластинки з однією тріщиною у випадку дії одного або двох зосереджених джерел тепла проведено чисельні дослідження та описано отримані результати, коли на її берегах або вони теплоізольовані.

Для пластинки з теплоізольованою тріщиною при дії двох зосереджених джерел тепла на рис. 11 і 12 зображені графіки зміни КІН у випадку, коли джерела розташовані на продовженні лінії тріщини (у цьому випадку ), і для випадку, коли джерела розташовані на серединному перпендикулярі до тріщини (у цьому випадку ). Для рис. 11, 12 під розуміється відстань від тріщини до джерела тепла. З даних рис. 11, 12 видно, що зі зменшенням відстані між тріщиною й зосередженими джерелами тепла спостерігається істотний зріст КІН за абсолютною величиною. Так, для випадку, коли джерела тепла розташовані на продовженні лінії тріщини, максимальні значення КІН для пластинки з матеріалу М3 перевищують аналогічні значення для ізотропного матеріалу М1 більш ніж в 27 разів, а у випадку джерел на серединному перпендикулярі - більш ніж в 37 разів.

Відзначимо, що отримані в цьому розділі результати для ізотропної пластинки (матеріал М1) з двома теплоізольованими тріщинами, розташованими уздовж однієї прямої, з періодичною системою теплоізольованих тріщин при дії потоку тепла, а також для пластинки з теплоізольованою тріщиною при дії зосереджених джерел тепла повністю узгоджуються з наведеними в монографії В. В. Панасюка, М. П. Саврука, О. П. Дацишин.

Основні результати й висновки

У дисертаційній роботі отримали подальший розвиток методи розв'язання задач теплопровідності й термопружності для багатозв'язних середовищ та їх застосування до проблеми вивчення теплового й термонапруженого станів пластинок з отворами та тріщинами.

Основні наукові результати та висновки, отримані в роботі, полягають у наступному:

Уперше докладно досліджено зв'язки між коефіцієнтами теплопровідності для тіл із загальною анізотропією теплових властивостей, встановлено інваріантність різних комбінацій цих коефіцієнтів, отримано співвідношення для коефіцієнтів теплопровідності та термопружності для різних випадків теплової й пружної симетрії.

Для дослідження збуреного термонапруженого стану пластинок з отворами та тріщинами введено та досліджено комплексні потенціали стаціонарної теплопровідності й термопружності. У похідних останніх виділено особливості в кінцях тріщин. Уперше ретельно досліджено логарифмічні особливості комплексних потенціалів, отримано системи для визначення коефіцієнтів при логарифмах. Через комплексні потенціали знайдено вирази для температури, напружень, переміщень, густини потоку тепла, густини внутрішньої енергії, виведено граничні умови для визначення потенціалів для різних теплових впливів на границі (задання температури, густини потоку тепла, контакту із зовнішнім середовищем, контакту двох тіл). Отримано формули, за якими обчислюються КІН для кінців прямолінійних тріщин, що моделюються “вузькими” еліпсами.

Із застосуванням методів конформних відображень і розвинень у ряди Лорана та за поліномами Фабера отримано загальні вирази комплексних потенціалів для багатозв'язної анізотропної пластинки, що містять невідомі сталі, які визначаються із граничних умов на контурах отворів і тріщин методом найменших квадратів.

Алгоритмічною мовою розроблено комплекси програм для чисельної реалізації отриманих теоретичних розв'язків.

Чисельними дослідженнями встановлено високу ефективність розроблених підходів до розв'язання задач для багатозв'язних середовищ і стійкість отриманих результатів, а для окремих задач _ їх добре узгодження з відомими, знайденими іншими методами. Останнє поряд із застосуванням строгих математичних методів підтверджує достовірність отриманих результатів.

Розв'язано низку задач із визначення теплового й термонапруженого станів пластинки з отворами та тріщинами, причому всі задачі, пов'язані з визначенням термонапруженого стану за наявності тріщин у багатозв'язній анізотропній пластинці, розв'язані вперше.

На основі чисельних досліджень виявлено ряд нових термомеханічних закономірностей. про вплив геометричних розмірів отворів і тріщин, їхньої кількості, сполучення й місця розташування, теплофізичних властивостей матеріалів пластинок на значення основних теплових та термопружних характеристик і КІН. А саме, встановлено, що при зростанні коефіцієнтів лінійного розширення та зі зменшенням коефіцієнтів деформації матеріалу пластинки температурні напруження та КІН зростають, напруження та КІН, що виникають у пластинці під дією лінійного потоку тепла обернено пропорційні коефіцієнтам теплопровідності.

Основний зміст дисертаційної роботи відображено у публікаціях

1. Антонов Ю.С. Исследование термонапряженного состояния анизотропного диска с прямолинейными трещинами // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А Природн. науки.- 2005.- Вып.1.- С. 90-93.

2. Калоеров С.А.,Авдюшина Е.В., Антонов Ю.С. Температурные напряжения в многосвязной анизотропной пластинке с отверстиями и трещинами // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур.- Львів.- 2003.- С. 294-296.

3. Калоеров С.А., Антонов Ю.С. Термонапряженное состояние конечной многосвязной анизотропной пластинки с отверстиями и трещинамми // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А. Природн. науки.- 2004.- №1.- С. 103-110.

4. Калоеров С.А., Антонов Ю.С. Термоупругое состояние анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами при действии линейного потока тепла и температуры на контурах // Теорет. и прикладная механика.- 2005.- Вып.40.- С. 102-116.

5. Калоеров С.А., Антонов Ю.С. Термонапряженное состояние анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами // Прикладная механика.- 2005.- Т.41, №9.- С. 127-136.

Анотація

Антонов Ю.С. Задачі термопружності для анізотропних пластинок з отворами та тріщинами.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла, Донецький національний університет, Донецьк, 2005.

Розглянута в дисертації проблема виявлення впливу геометричних характеристик анізотропних пластинок з отворами та тріщинами, теплофізичних властивостей їх матеріалів, способу теплового навантаження на їх термопружний стан.

У дисертації отримали подальший розвиток методи розв'язку крайових задач теплопровідності та термопружності та їх застосування до проблеми вивчення термонапруженого та енергетичного станів анізотропних пластин з отворами та тріщинами. Ці методи засновані на дослідженні зв'язків між коефіцієнтами теплопровідності матеріалів пластинок, введенні комплексних потенціалів стаціонарної теплопровідності та термопружності, через які визначається температурне поле й термонапружений стан в багатозв'язній пластинці, на використанні властивостей комплексних потенціалів, виділенні їх логарифмічних особливостей і особливостей їх похідних у кінцях тріщин, на застосуванні конформних відображень, розвинень функцій у ряди Лорана та за поліномами Фабера, визначенні невідомих сталих, що входять у комплексні потенціали методом найменших квадратів.

Побудовано загальний розв'язок плоских задач теплопровідності й термопружності для багатозв'язних анізотропних пластинок при заданні на контурах температур, потоків тепла, при дії лінійного теплового потоку на нескінченності та зосереджених джерел тепла в точках кінцевої частини пластинки.

Чисельними дослідженнями продемонстрована висока ефективність розроблених методик, стійкість і досить висока точність одержуваних результатів, їхнє узгодження з відомими в літературі для часткових випадків задач.

Розв'язано ряд нових практично важливих задач. Для випадку дії лінійного потоку тепла отримано аналітичний розв'язок задачі для пластинки з одним отвором або тріщиною, коли контур теплоізольований або на ньому задана температура, коли він вільний або жорстко підкріплений. Вирішено ряд задач для багатозв'язних областей. Зокрема, вирішені задачі теплопровідності й термопружності для диска та нескінченної пластинки з різною кількістю, сполученням і розташуванням отворів і тріщин. Розглянуто різні види теплового впливу, зокрема, випадки задання на контурах різних значень температури, теплоізольованих контурів, дія лінійного потоку тепла або зосереджених джерел тепла. У всіх задачах проведені докладні чисельні дослідження з виявленням впливу теплофізичних параметрів матеріалу пластинки, геометричних розмірів, кількості, сполучення й розташування отворів і тріщин на значення й розподіл температур, термонапружень, внутрішньої енергії й КІН для кінців тріщин. Виявлено ряд нових термомеханічних закономірностей. Встановлено, що значення коефіцієнтів теплопровідності, деформації й лінійного розширення значно впливають на значення й характер розподілу температур, напружень, густини внутрішньої енергії та КІН. Так, при дії лінійного потоку тепла термічні напруження в пластинці та КІН обернено пропорційні коефіцієнтам теплопровідності її матеріалу. Зі зменшенням коефіцієнтів деформації та зі збільшенням коефіцієнтів лінійного розширення значення напружень ростуть.

Результати досліджень, представлені в роботі, мають як теоретичний, так і практичний інтерес. Запропоновані методики можуть бути використані при розв'язанні різноманітних задач інженерної практики.

Ключові слова: потік тепла, вектор потоку тепла, зосереджене джерело тепла, інваріанти коефіцієнтів теплопровідності, термонапружений стан, густина внутрішньої енергії, КІН, комплексні потенціали, метод найменших квадратів.

Аннотация

Антонов Ю.С.: Задачи термоупругости для анизотропних пластинок с отверстиями и трещинами.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела, Донецкий национальный университет, Донецк 2005

В диссертации рассматривается проблема выявления влияния геометрических характеристик анизотропных пластинок с отверстиями и трещинами, теплофизических свойств их материалов, вида тепловых воздействий на их термоупругое состояние.

В диссертации получили дальнейшее развитие методы решения краевых задач теплопроводности и термоупругости и их приложения к проблеме изучения термонапряженного и энергетического состояний анизотропных пластин с отверстиями и трещинами. Эти методы основаны на исследовании связей между коэффициентами теплопроводности материалов пластинок, введении комплексных потенциалов стационарной теплопроводности и термоупругости, через которые определяется возникающее в многосвязной пластинке возмущенное температурное поле и термонапряженное состояние, на использовании свойств комплексных потенциалов, выделении их логарифмических особенностей и особенностей их производных в концах трещин, на применении конформных отображений, разложений функций в ряды Лорана и по полиномам Фабера, определении входящих в комплексные потенциалы неизвестных постоянных методом наименьших квадратов.

Построено общее решение плоских задач теплопроводности и термоупругости для многосвязных анизотропных пластинок при задании на контурах разностей температур, потоков тепла, при действии линейных потоков тепла на бесконечности и сосредоточенных источников тепла в точках конечной части пластинки.

Численными исследованиями продемонстрирована высокая эффективность разработанных методик, устойчивость и достаточно высокая точность получаемых результатов, их согласование с известными в литературе для частных задач.

Решен ряд новых практически важных задач. Для случая действия линейного потока тепла получено аналитическое решение задачи для пластинки с одним отверстием или трещиной, когда контур теплоизолирован или на нем задана температура, когда он свободен или жестко подкреплен. Решен ряд задач для многосвязных областей. В частности, решены задачи теплопроводности и термоупругости для диска и бесконечной пластинки с различным количеством, сочетанием и расположением отверстий или трещин, отверстий и трещин совместно. Рассматривались различные виды теплового воздействия, в частности, случаи задания на контурах различных значений температуры, теплоизолированных контуров, действие линейного потока тепла или сосредоточенных источников тепла. Во всех задачах проведены подробные численные исследования с выявлением влияния теплофизических параметров материала пластинки, геометрических размеров, количества, сочетания и расположения отверстий и трещин на значения и распределение температур, термонапряжений, внутренней энергии и КИН для концов трещин. Выявлен ряд новых термомеханических закономерностей. Установлено, что значения коэффициентов теплопроводности, деформации и линейного расширения значительно влияют на значения и характер распределения температур, напряжений, плотности внутренней энергии и КИН. Так, при действии линейного потока тепла возникающие в пластинке напряжения и КИН обратно пропорциональны коэффициентам теплопроводности ее материала. С уменьшением коэффициентов деформации и с увеличением коэффициентов линейного расширения значения напряжений растут.

Результаты исследований, представленные в работе имеют как теоретический, так и практический интерес. Предложенные методики могут быть использованы при решении различных задач инженерной практики.

Ключевые слова: поток тепла, вектор потока тепла, сосредоточенный источник тепла, инварианты коэффициентов теплопроводности, термонапряженное состояние, плотность внутренней энергии, КИН комплексные потенциалы, метод наименьших квадратов.

Abstract

Antonov Y.S.: Termoelasticity problem for anisotropic plates with holes and cracks.- The manuscript.

The thesis for the Candidate of physical and mathematical sciences degree on speciality 01.02.04 - mechanics of a deformable solid body, Donetsk National University, Donetsk, 2005.

The considered in the thesis problem of plates geometrical and their materials thermophysical characteristics, thermal loads types influence on the thermoelastic state detection is the current fundamental and practical problem of the deformable solids mechanics.

The theory of heat conductivity and thermoelasticity boundary problems solution methods and their applications for the anisotropic plates with holes and cracks thermoelectroelastic state investigation are developed. The methods are based on the analysis of plates materials heat-conductivity coefficients, using of generalized complex potentials for the stationary heat-conductivity, thermoelasticity and their properties, the logarithmic singularities and derivatives singularities in the cracks ends, the conformal mapping, the expansion in Loran series and Faber polynoms, their variables determination by the least squares method. Through the functions the disturbed temperature field, the thermostressed state and the stress intensity factors (SIF) are defined.

The plane problem general solution for the anisotropic plates with randomly placed holes and cracks under the contour temperatures (heat flows), the infinite linear heat flow and the concentrated heat source loads is constructed.

The developed methods high performance, stability and accuracy of the obtained results are established.

The new multiconnected plates problems set of practical importance is solved. There is the analytical solution for the anisotropic plate with the elliptical hole (crack), when contour is thermoisolated or temperature is applied, under infinite linear heat flow load obtained. In particular, heat conductivity and thermoelasticity problems solutions for the multiconnected disk or the infinite plate are obtained. The various thermal load types are examined (infinite linear heat flow, concentrated heat source and etc.). For all cases detailed numerical investigations of temperature, stresses, internal energy and SIF for cracks ends distributions are carried out. Some new thermomechanical laws are figured out.

Presented in the thesis research results have both theoretical and practical interests. The proposed methods can be used for the various engineering problems solution.

Keywords: heat flow, concentrated heat source, heat-conductivity coefficients invariants, thermostressed state, density of the internal energy, stress intensity factor (SIF), complex potentials, the least squares method.

Размещено на Allbest.ru