Осесиметричний геометрично нелінійний термов’язкопружнопластичний стан складених оболонок з урахуванням пошкоджуваності матеріалу

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ім. С.П.ТИМОШЕНКА

01.02.04 - Механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

Осесиметричний геометрично нелінійний термов'язкопружнопластичний стан складених оболонок з урахуванням пошкоджуваності матеріалу

Галішин Олександр Закір'янович

Київ - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України.

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор, академік НАН України

Шевченко Юрій Миколайович,

Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України,

завідувач відділом термопластичності

Офіційні опоненти:доктор технічних наук, професор

Голуб Владислав Петрович,

Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України,

завідувач відділом механіки повзучості;

доктор технічних наук, професор

Гуляр Олександр Іванович,

Науково-дослідний інститут будівельної механіки

Київського національного університету будівництва і архітектури,

завідувач відділом статики і динаміки просторових конструкцій;

доктор технічних наук, професор

Кучер Микола Кирилович,

Інститут проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України

провідний науковий співробітник відділу міцності матеріалів та елементів конструкцій при кріогенних температурах

Провідна установа:Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, кафедра динаміки, міцності машин і опору матеріалів

Захист відбудеться “ 20 ” червня 2006р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України

Автореферат розісланий “ 04 ” травня 2006р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01, д.ф.-м.н.О.П.Жук

Размещено на http://www.allbest.ru//

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У різних галузях техніки знаходять широке застосування тонкостінні конструкції, що являють собою складені оболонки обертання. Під складеною оболонкою обертання мається на увазі оболонка, складена з послідовно з'єднаних ланок з різною формою меридіана. У межах кожної ланки оболонка може складатися з ізотропних й ортотропних шарів. До складених оболонок також відносяться оболонки, які перетинаються та мають спільну вісь обертання.

У процесі експлуатації складені оболонкові конструкції можуть піддаватися зовнішнім впливам, що викликають меридіональний напружений стан і кручення. Під дією прикладених зовнішніх навантажень і температурного поля в оболонках можуть накопичуватися пластичні деформації та деформації повзучості. Розвиток непружних деформацій супроводжується накопиченням ушкоджень у матеріалі у вигляді мікропор і мікротріщин, збільшення яких у процесі деформування призводить до руйнування конструкції. При пружнопластичному деформуванні матеріалу також можуть виникнути області розвантаження, які суттєво впливають на розподіл напружень і деформацій у конструкціях і на час їхнього руйнування. Тому для достовірного судження про міцність таких конструкцій необхідно досліджувати еволюцію їх напружено-деформованого стану і пошкодження матеріалу в процесі навантаження.

Аналіз літературних джерел показав, що питання термов'язкопружно-пластичного деформування складених оболонок з урахуванням пошкоджуваності матеріалу недостатньо вивчені. В існуючих роботах досліджуються осесиметрично навантажені оболонки при відсутності кручення. У більшості робіт розглядається пружне деформування тонких одношарових оболонок і оболонок середньої товщини в геометрично лінійній і нелінійній постановці при відсутності температурних впливів. Вирішенню задач термов'язкопружнопластичності з урахуванням пошкоджуваності матеріалу присвячені одиничні роботи, у яких досліджувалося геометрично лінійне деформування тонких одношарових оболонок. У літературі немає вирішених задач, у яких би враховувався вид напруженого стану. Також відсутні роботи, присвячені дослідженню шаруватих оболонок та оболонок, що перетинаються. Тому розробка методики визначення геометрично нелінійного термов'язкопружнопластичного деформування складених оболонок з урахуванням пошкоджуваності матеріалу є актуальною задачею механіки деформівного твердого тіла.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертації безпосередньо пов'язана з дослідженнями, що проводилися в Інституті механіки ім. С.П.Тимошенка НАНУ в рамках наступних тем науково-дослідних робіт. Теми №124 (1983 - 1987 рр.; № ДР 01.83.0.077898) “Розробка теорії й розв'язання задач термов'язкопластичності для процесів деформування по різних плоских траєкторіях”, що виконувалася відповідно до плану науково-дослідних робіт АН СРСР по фундаментальних проблемах машинобудування, комплексної науково-технічної програми “Матеріалоємність”; теми №138 (1984 - 1986 рр.; № ДР 01.84.0.083443) “Дослідження напружено-деформованого стану і стійкості магістральних трубопроводів”; теми №155 (1987 - 1991 рр.; № ДР 01870023718) “Дослідження процесів неізотермічного деформування з урахуванням пошкоджуваності елементів машинобудівних конструкцій за межами пружної роботи матеріалу”, яка була складовою частиною комплексної програми науково-технічного прогресу країн-членів РЕВ і комплексної програми “Підвищення надійності й довговічності газотурбінних двигунів”; теми №186 (1991 - 1995 рр.; № ДР 01910010360) “Розробка теорії й методів дослідження термов'язко-пружнопластичних процесів деформування й руйнування багатошарових елементів конструкцій з ізотропними й ортотропними шарами”, що виконувалась у відповідності з програмою фундаментальних досліджень АН СРСР “Підвищення надійності систем “машина - людина - середовище”, науково технічною програмою “Надійність”; теми №201 (1992 - 1994 рр.; № ДР UА01002855Р) “Розробка теорії й методів розв'язання задач термов'язкопластичності для різних елементів машинобудівних конструкцій при змінному термосиловому навантаженні”; теми №276 (1995 - 1999 рр.; № ДР 0195V9594) “Дослідження процесів термов'язкопружнопластичного деформування і граничного стану ізотропних та ортотропних тіл при статичному і динамічному навантаженні по різних траєкторіях”; теми №318 (1999 - 2002 рр.; № ДР 0199U000893) “Дослідження процесів термов'язкопружнопластичного деформування ізотропних та ортотропних тіл при статичному і динамічному навантаженнях з урахуванням виду його напруженного стану та пошкодження матеріалу”; теми №334 (2003 - 2006 рр.; № ДР 0102U007022) “Розробка визначальних рівнянь та методів дослідження термов'язкопружнопластичних процесів деформування елементів конструкцій з урахуванням пошкоджуваності матеріалів”.

Мета й задачі дослідження. Метою роботи є розробка методики визначення осесиметричного геометрично нелінійного термов'язкопружно-пластичного стану і визначення часу до руйнування тонких складених оболонок обертання та складених оболонок середньої товщини, які перебувають під дією навантажень, що викликають меридіональний напружений стан і кручення.

Для досягнення зазначеної мети в дисертації були поставлені й вирішені наступні задачі:

вивести геометричні й статичні співвідношення геометрично нелінійного деформування тонких шаруватих оболонок обертання та оболонок обертання середньої товщини на основі уточненої кінематичної моделі, що враховує деформації поперечного зсуву;

вивести розв'язувальні рівняння, що описують геометрично нелінійний термов'язкопружнопластичний стан з урахуванням пошкоджуваності матеріалу складених оболонок обертання на основі визначальних співвідношень простих процесів навантаження та процесів деформування по траєкторіях малої кривизни й розробити алгоритми чисельного розв'язання початково-крайових задач;

розробити методику визначення параметрів, що входять у кінетичні рівняння повзучості й тривалої міцності, при неізотермічних процесах навантаження;

розробити методику визначення дотичних напружень, основану на чисельному інтегруванні рівнянь рівноваги в напруженнях;

апробувати методику визначення геометрично нелінійного термов'язко-пружнопластичного стану й часу до руйнування складених оболонок обертання шляхом зіставлення з експериментальними даними та з розв'язками інших авторів;

на основі розробленої методики розв'язати нові задачі геометрично нелінійного термов'язкопружнопластичного деформування та визначення часу й місця руйнування складених оболонок обертання.

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є процеси геометрично нелінійного термов'язкопружнопластичного деформування й накопичення пошкоджень в складених оболонках обертання.

Предмет дослідження. Предметом дослідження є термов'язкопружно-пластичний напружено-деформований стан, параметри моделі континуального руйнування, алгоритми розв'язання початково-крайових задач.

Методи дослідження. Для вирішення крайової задачі для розв'язувальної системи диференційних рівнянь використовується метод Рунге-Кутта з дискретною ортогоналізацією Годунова. Інтегральні характеристики жорсткості, обчислюються на основі процедури, що сполучає в собі методи Симпсона й Ньютона. Визначальні рівняння, що описують прості процеси навантаження, лінеаризуються методом перемінних параметрів пружності. Для лінеаризації фізичних рівнянь, що описують деформування елемента твердого тіла по траєкторіях малої кривизни, застосовується метод додаткових деформацій. Для лінеаризації геометрично нелінійної задачі використовуються методи простої ітерації та Ньютона. Розв'язання кінетичного рівняння пошкоджуваності здійснюється методом Ейлера. Для апроксимації діаграм повзучості застосовується метод найменших квадратів, а для екстраполяції по температурі діаграм тривалої міцності використовуються методи Ларсона-Міллера й Менсона.

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі отримані наступні нові наукові результати.

Дано постановку осесиметричної задачі термов'язкопластичності з урахуванням пошкоджуваності матеріалу складених оболонок обертання, які складаються з ортотропних матеріалів, що деформуються пружно, та ізотропних матеріалів, що деформуються непружно.

На основі зсувної моделі отримані рівняння геометрично нелінійного деформування тонких оболонок обертання та оболонок обертання середньої товщини, які знаходяться під дією навантажень, що викликають меридіональний напружений стан і кручення.

Розроблено методику визначення геометрично нелінійного термов'язко-пружнопластичного стану складених оболонок обертання з урахуванням пошкоджуваності матеріалу і виду напруженого стану.

Розроблено методику визначення параметрів, що входять у кінетичні рівняння повзучості й тривалої міцності, при неізотермічних процесах навантаження. термов'язкопружнопластичний інтегрування рівновага

Розроблено методику визначення дотичних напружень, основану на чисельному інтегруванні рівнянь рівноваги в напруженнях.

Отримано розв'язки нових задач і досліджені особливості геометрично нелінійного термов'язкопружнопластичного деформування й руйнування складених оболонок обертання.

Практичне значення отриманих результатів. Практичне значення отриманих у дисертаційній роботі результатів полягає у застосуванні розробленої методики для дослідження термопружнопластичного деформування складених оболонок обертання, що використовуються в сучасній техніці.

Методика розрахунку осесиметричного термопружнопластичного напружено-деформованого стану складених оболонок була реалізована у вигляді пакетів прикладних програм і впроваджена в розрахункову практику наступних підприємств машинобудівного профілю колишнього СРСР: п.с. А-3803 (Уфа, 1988); СвердНДІхіммаш (Свердловськ, 1989). Методика використовувалася для оцінки міцності конструкцій, що розроблялися, а також для скорочення строків виконання робіт на стадії їхнього проектування.

Особистий внесок здобувача. Дисертація є результатом наукових досліджень автора в області чисельного розв'язання задач термов'язко-пластичності для складених оболонок обертання з урахуванням геометричної нелінійності, деформацій поперечного зсуву й пошкоджуваності матеріалу. У роботах, написаних у співавторстві, особистий внесок здобувача полягає в наступному. У роботах [14, 23, 24] авторові належать розв'язувальні рівняння, розробка й чисельна реалізація алгоритму визначення термов'язко-пружнопластичного деформування складених оболонок обертання. У роботах [12, 13, 16, 17, 22] автором отримано рівняння осесиметричного геометрично нелінійного термопружнопластичного деформування шаруватих оболонок обертання на основі кінематичної гіпотези, що враховує деформації поперечного зсуву; розроблено методики спільного розв'язання фізично й геометрично нелінійних задач для тонких оболонок обертання й оболонок середньої товщини. У роботах [18 - 20] автор провів чисельне дослідження термопружнопластичного напружено-деформованого стану осесиметрично навантажених шаруватих оболонок обертання. У роботах [27, 29] авторові належить розробка методики визначення термов'язкопружнопластичного стану оболонок обертання з урахуванням пошкоджуваності матеріалу. У роботі [11] автором досліджена застосовність співвідношень теорії тонких оболонок для визначення термопружнопластичного стану циліндричних оболонок з урахуванням історії навантаження. У роботах [1, 21, 25, 26] автор розробив методику чисельного дослідження осесиметричного термопружнопластичного стану елементів трубопроводів з кільцевими й гвинтовими гофрами. У роботі [15] автор дослідив застосовність підходу для визначення напружено-деформованого стану циліндричних оболонок, підкріплених кільцевими ребрами, заснованого на заміні ребристої оболонки складеною. У роботі [28] автором розроблено методику й програмне забезпечення для розв'язання задачі термопластичности для складених оболонок обертання у складі системи розрахунку “Пластичність-1”.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідались на наступних наукових нарадах, конференціях, симпозіумах: XI (1986), XII (1987), XIII (1988), XV (1990) наукових конференціях молодих учених Інституту механіки АН УРСР (Київ); Всесоюзній конференції молодих спеціалістів “Строительство ГЭС в высокогорных условиях” (Цхалтубо, 1986); II Всесоюзній конференції “Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов” (Куйбишев, 1986); II (1987), III (1991) Всесоюзній конференції по механіці неоднорідних структур (Львів); XXII Всесоюзній нараді з проблем міцності двигунів (Москва, 1988); Міжнародній науково-технічній конференції “Молодые ученые в решении комплексной программы научно-технического прогресса стран-членов СЭВ” (Київ, 1989); III Всесоюзному симпозіумі “Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии” (Житомир, 1989); III Всесоюзній конференції по нелінійній теорії пружності (Сиктивкар, 1989); Сибірській школі з сучасних проблем механіки деформівного твердого тіла (Якутськ, 1990); IX симпозіумі “Verformung und Bruch” (Магдебург, Німеччина, 1991); науковій нараді “Термовязкоупруго-пластические процессы деформирования в элементах конструкций” (Канів, 1992); IV симпозіумі “Прочность материалов и элементов конструкций” (Севастополь, 1992); IV Міжнародній конференції по механіці неоднорідних структур (Тернопіль, 1995); Міжнародній конференції “Modelling and Investigation of Systems Stability” (Київ, 1997); Міжнародній конференції “XXIV-a Conferinta Nationala de Mecanica Solidelor” (Кишинів, 2000); Міжнародній науково-практичній конференції “Інформаційні технології: наука, техніка, технологія, освіта, здоров'я” (Харків, 2002); II (2002), III (2003), IV (2004) Всеукраїнській науковій конференції “Математичні проблеми технічної механіки” (Дніпродзержинськ); Міжнародній конференції “Математичні проблеми технічної механіки” (Дніпропетровськ, 2005); IV (2001), V (2003) Міжнародній конференції “Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения” (Санкт-Петербург); 5-м Міжнароднім конгресі “Thermal Stresses'03” (Блексбург, США, 2003).

В повному обсязі дисертація доповідалась і обговорювалась на науковому семінарі відділу термопластичності Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (Київ, 2006); на семінарі по науковому напрямку “Механіка зв'язаних полів в матеріалах і елементах конструкцій” Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (Київ, 2006); на загальноінститутському науковому семінарі по механіці Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (Київ, 2006), на засіданні кафедри динаміки, міцності машин і опору матеріалів Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут” (Київ, 2006); на науковому семінарі по будівельній механіці й механіці деформівного твердого тіла при Київському національному університеті будівництва і архітектури (Київ, 2006).

Публікації. Основний зміст дисертації викладено у 29 наукових працях, з яких 25 опубліковані у фахових виданнях. Теоретичні результати дисертації, що належать здобувачу особисто, відображені у 9 самостійних працях.

Структура та обсяг дисертації. Робота складається зі вступу, сімох розділів, списку використаних літературних джерел, висновків і додатка. Загальний обсяг дисертації становить 319 сторінок. Дисертація містить 111 рисунків, 32 таблиці, список використаних літературних джерел з 328 найменувань на 33 сторінках й додаток на 4 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовані мета та задачі досліджень, викладені основні отримані результати, їх наукова новизна й практичне значення, апробація результатів дисертації.

У першому розділі на підставі огляду літератури проаналізовано сучасний стан проблеми, присвяченої розробці визначальних рівнянь і дослідженню термов'язкопружнопластичного напружено-деформованого стану складених оболонок обертання з урахуванням геометричної нелінійності та пошкоджуваності матеріалу.

Вагомий внесок у розробку теорії пластичності здійснили такі вчені, як М.І.Бєзухов, Г.І.Биковцев, І.А.Біргер, М.І.Бобир, В.С.Бондар, Г.Гєнкі, Д.Дракер, М.Жичковський, В.С.Зарубін, В.Г.Зубчанінов, Д.Д.Івлєв, О.А.Ільюшин, О.Ю.Ішлінський, М.К.Кучер, В.С.Лєнський, М.М.Малінін, Р.Мізес, М.С.Можаровський, В.В.Москвітін, А.Надаі, П.М.Нахді, І.З.Паллєй, Г.С.Писаренко, В.Прагер, П.Пежина, В.В.Соколовський, Р.Хілл, Ю.М.Шевченко та інші. У роботах цих авторів розроблено різні варіанти теорії пластичності деформаційного типу, теорії течії, ковзання, які призначені для опису процесів простого і складного ізотермічного та неізотермічного навантаження.

Розробці феноменологічних теорій повзучості і методам вирішення прикладних задач присвячені роботи Х.Альтенбаха, Н.Х.Арутюняна, В.І.Астафьева, Дж.Беттена, М.І.Бєзухова, Дж.Бойла, В.С.Бондаря, А.В.Бурлакова, Ф.Гароффалло, В.П.Голуба, Д.А.Гохфельда, О.І.Гуляра, В.С.Гудрамовича, М.Жичковського, О.О.Золочевського, О.А.Ільюшина, Б.Я.Кантора, Л.М.Качанова, Ф.Кеннеді, Дж.Леметра, О.М.Локощенка, М.М.Малініна, Д.Л.Марріота, М.С.Можаровського, О.К.Морачковського, С.Муракамі, Ф.Одквіста, Р.К.Пенні, А.Н.Підгорного, Б.Е.Побєдрі, Ю.М.Работнова, О.В.Сосніна, Дж.Спенса, С.Тайри, Д.Хейхерста, Г.М.Хажинського, Дж.Л.Чебоша, Ю.М.Шевченка, С.О.Шестерикова та інших. У цих роботах використовуються різні визначальні співвідношення, які встановлюють функціональні залежності між деформаціями (швидкостями деформацій) повзучості, напруженнями, температурою і часом.

В основу феноменологічних теорій повзучості, що описують деформування й руйнування матеріалу, покладена концепція пошкоджуваності, яка була запропонована Л.М.Качановим і Ю.М.Работновим. У розділі надано огляд робіт, у яких застосовуються різні підходи для визначення пошкоджуваності матеріалу при повзучості, а також різні форми подання функції пошкоджуваності: скалярна, векторна, тензорна або змішана. Аналіз літературних джерел показав, що для вирішення практичних задач найбільш широке застосування отримала скалярна форма параметру пошкоджуваності, оскільки вона потребує найменшої кількості базових експериментів для визначення матеріальних функцій.

Для конкретизації визначальних рівнянь, як правило, використовуються експерименти при миттєвому деформуванні зразків при одновісному напруженому стані, експерименти на повзучість і тривалу міцність. Оскільки діаграми тривалої міцності знаходяться при різних рівнях напружень, у тому числі й перевищуючих межі текучості матеріалу, то пошкодження, що виникають при первісному пружнопластичному деформуванні, автоматично враховується в цих діаграмах. Узагальнення визначальних рівнянь на складний напружений стан здійснюється шляхом введення еквівалентного напруження, у якості якого звичайно використовується один із критеріїв тривалої міцності при складному напруженому стані. Розробкою та експериментальним обґрунтуванням критеріїв тривалої міцності займались М.І.Бобир, Р.Дж.Браун, Ф.Гароффалло, Є.Р.Голубовський, А.Джонсон, Ш.Н.Кац, В.М.Киселевський, А.О.Лєбєдєв, Г.С.Писаренко, Д.Лосдейл, О.М.Локощенко, Р.Мізес, В.П.Сдобирєв, І.І.Трунін, Ю.М.Шевченко, С.О.Шестериков та інші.

З літератури відомо, що багато конструкційних матеріалів при повзучості в залежності від виду напруженого стану проявляють різні властивості. У розділі надано огляд робіт, присвячених урахуванню виду напруженого стану та асиметрії властивостей повзучості.

Розробка теорії оболонок явилась предметом дослідження багатьох авторів. Рівняння геометрично лінійної теорії оболонок, що основані на класичній та уточнених моделях, викладені в роботах С.О.Амбарцумяна, В.Л.Бідермана, Н.І.Вєкуа, В.З.Власова, А.Л.Гольденвейзера, Е.І.Григолюка, Я.М.Григоренка, О.М.Гузя, Л.Г.Доннела, Г.Кирхгофа, А.І.Лур'є, А.Лява, В.В.Новожилова, Б.Л.Пелеха, С.П.Тимошенка, К.Ф.Черних, Ю.М.Шевченка, М.О.Шульги та інших вчених. Варіанти геометрично нелінійної теорії оболонок розроблялися в роботах А.С.Вольміра, К.З.Галімова, М.С.Ганєєвої, Е.І.Григолюка, Я.М.Григоренка, В.Т.Койтера, М.С.Корнішина, Х.М.Муштарі, Дж.Л.Сандерса, Л.А.Шаповалова та інших авторів.

Далі в розділі наводиться огляд робіт, присвячених розрахунку складених оболонок обертання, а також робіт, присвячених дослідженню напружено-деформованого стану оболонок обертання з урахуванням пошкоджуваності матеріалу при повзучості. На основі аналізу літературних джерел обґрунтована актуальність теми дисертації і необхідність проведення досліджень, які здійснено в подальших розділах роботи.

У другому розділі наведені основні рівняння геометрично нелінійної теорії термов'язкопластичності в ортогональних криволінійних координатах.

У роботі використовуються геометричні й статичні рівняння у формі В.В.Новожилова, записані у випадку малих подовжень і зсувів. Як фізичні рівняння для ізотропних матеріалів, які деформуються непружно, використовуються співвідношення термов'язкопластичности, що описують прості процеси навантаження й процеси деформування по траєкторіях малої кривизни. Для ортотропних матеріалів, що деформуються пружно, застосовується узагальнений закон Гука. Основні рівняння записані в системі криволінійних ортогональних до деформації координат.

Геометричні рівняння мають вигляд

При відсутності об'ємних сил рівняння рівноваги у векторній формі має вигляд

У даній роботі рівняння рівноваги у формі (3) використовуються для визначення дотичних напружень. Рівняння ж відносно зусиль і моментів, що виникають в оболонці обертання, отримані з початку можливих переміщень.

При формулюванні визначальних рівнянь розглядаються такі процеси деформування елемента твердого тіла, у яких розходження в напрямках ортів деформованої й недеформованої систем координат несуттєво впливає на встановлення зв'язку між напруженнями й деформаціями. Це припущення обумовлено тим, що компоненти тензора є складовими векторів напружень, що діють на гранях деформованого паралелепіпеда, по напрямках ортів деформованої системи координат, а компоненти тензора деформацій , як і вектора переміщень, відносяться до недеформованої системи координат.

Для ізотропного матеріалу рівняння стану наведені для однорідного тіла, що в момент часу =0 знаходиться в природному недеформованому стані при температурі , а потім піддається нерівномірному нагріву та дії поверхневих навантажень. Припускається, що в процесі деформування вторинні пластичні деформації не виникають, тіло не втрачає стійкість, а діючі на нього навантаження змінюються в часі з такою швидкістю, що задачу можна розглядати в квазістатичній постановці. Приймається, що у всьому інтервалі зміни напружень аж до моменту руйнування має місце закон пружної зміни об'єму.

Рівняння стану для ізотропного матеріалу представляються у формі узагальненого закону Гука з коефіцієнтами жорсткості і додатковими напруженнями, що залежать від незворотних і теплових деформацій і від параметра пошкоджуваності . Величини , і визначаються по-різному в залежності від рівнянь стану, методів їхньої лінеаризації й напрямку процесу навантаження. Для їхньої конкретизації використовується миттєва термомеханічна поверхня і діаграми повзучості, отримані аж до руйнування. Для визначення параметра використовуються діаграми тривалої міцності, отримані в експериментах на одновісний розтяг і чисте кручення. У роботі використовується скалярна форма параметру пошкоджуваності. Припускається, що цей параметр є функціоналом процесу навантаження. Для визначення параметру при термов'язкопружнопластичному деформуванні використовується кінетичне рівняння Ю.М.Работнова, записане у припущенні, що при стиску ушкодженнями в елементі тіла можна знехтувати в порівнянні з виникаючими ушкодженнями при розтягу. Еквівалентне напруження визначається критерієм тривалої міцності, запропонованим Ю.М.Шевченко зі співавторами.

При простих процесах навантаження для лінеаризації рівнянь стану (6) застосовується метод перемінних параметрів пружності. Співвідношення (6), (11), (12) описують активне навантаження, розвантаження й повторне навантаження в первісному напрямку. Вони записані з урахуванням того, що зміцнення матеріалу при повторному навантаженні визначається не тільки миттєвою пластичною деформацією, але й деформацією повзучості. Тому як параметр зміцнення матеріалу на довільному -му етапі навантаження прийнята незворотна деформація, накопичена за попередні етапи. Перемінний параметр пружності є функціоналом процесу навантаження. Його конкретизація здійснюється в процесі вирішення крайової задачі методом послідовних наближень на основі функціональної залежності, яка не залежить від виду напруженого стану. Для конкретизації цієї залежності використовується миттєва термомеханічна поверхня і діаграми повзучості, побудовані згідно (9), (10).

На довільному етапі навантаження задача термов'язкопластичності розв'язується методом послідовних наближень, у кожному з яких уточнюються перемінні параметри пружності (12), еквівалентне напруження. Приріст обчислюється з урахуванням напрямку процесу навантаження на основі поверхні, побудованій з поверхні по формулам (13).

При конкретизації приросту припускається, що він не залежить від виду напруженого стану й визначається з експериментів на одновісний розтяг зразків. Приріст визначається по діаграмі повзучості одновісного розтягу на основі знайденого еквівалентного напруження. Визначення функціонала на -му етапі навантаження здійснюється в процесі вирішення крайової задачі методом послідовних наближень.

Слід зазначити, що оскільки коефіцієнти у кінетичному рівнянні (7) визначаються з діаграм тривалої міцності, які враховують пошкоджуваність матеріалу при первісному пружнопластичному деформуванні, а еквівалентне напруження в процесі вирішення крайової задачі визначається з урахуванням пластичних деформацій та деформацій повзучості, то рівняння (7) визначає пошкоджуваність матеріалу при термов'язкопружнопластичному деформуванні.

Для ортотропного матеріалу припускається, що у всьому діапазоні зміни зовнішніх навантажень і температури аж до руйнування він деформується пружно й виникаючими деформаціями повзучості можна знехтувати. Рівняння стану записані з урахуванням гіпотези Дюамеля-Неймана в формі узагальненого закону Гука в координатах, що збігаються з головними напрямками пружності ортотропного матеріалу. У векторній формі ці рівняння мають вигляд

Для оцінки міцності ортотропного матеріалу застосовується критерій максимальних напружень, відповідно до якого руйнування відбувається при досягненні однієї з компонент тензора свого граничного значення. Цей критерій є найпростішим і не враховує взаємного впливу компонент тензора напружень, але враховує різні механізми руйнування.

У третьому розділі одержані рівняння геометрично нелінійного термов'язкопружнопластичного деформування осесиметрично навантажених складених оболонок обертання з урахуванням деформацій поперечного зсуву й кручення.

Розглядається оболонка обертання, складена з послідовно сполучених ланок з різною геометрією. Координатний меридіан складеної оболонки представляється у вигляді основного меридіана, з яким у вузлах спряження сполучаються незамкнуті координатні меридіани гілок. На рис. 1 основний меридіан показаний товстою лінією. На рис. 2 показано приклад складеної оболонки, зображеної в аксонометрії.

У межах однієї ланки оболонка складається з ізотропних й ортотропних шарів змінної уздовж меридіана товщини, які зібрані без натягу й деформуються без проковзування й відриву. Для кожної гілки вибирається своя локальна система криволінійних ортогональних до деформації координат.

Розглядаються оболонки середньої товщини, для яких у всіх рівняннях зберігаються величини , а також тонкі оболонки, для яких цими величинами можна знехтувати в порівнянні з одиницею. Тут й - головні кривизни координатної поверхні. Геометричні і статичні рівняння одержано на основі співвідношень, наведених в першому розділі, і наступних допущень.

1. Виконується гіпотеза прямолінійного елементу для всього пакета шарів, відповідно до якої має місце лінійний закон зміни переміщень

2. Лінійні частини тензору деформації , , , і поворот такі, що ними можна знехтувати в порівнянні з одиницею, а інші такі, що можна знехтувати в порівнянні з одиницею лише їхніми квадратами й добутками.

3. Нормальне напруження є незначним в порівнянні з іншими нормальними напруженнями і ним можна знехтувати.

З урахуванням цих допущень геометричні рівняння (1), (2) для оболонок середньої товщини перетворюються до вигляду

Для тонких оболонок геометричні рівняння представляються у вигляді

Геометричні співвідношення (18) і (19) використовуються при виведенні рівнянь рівноваги з початку можливих переміщень. Для оболонок середньої товщини ці рівняння мають вигляд

Рівняння (20) співпадають з геометрично лінійними рівняннями, якщо величини з кришками замінити на відповідні величини без них.

При виведенні рівнянь рівноваги враховувався вираз для питомої роботи, який на основі прийнятих допущень у вибраній системі координат має вигляд

Ліва частина рівності (22) являє собою питому роботу напружень, що діють на гранях деформованого елемента оболонки, на похідних від варіацій переміщень, а права частина є питомою роботою напружень на варіаціях відповідних деформацій.

Із початку можливих переміщень випливають статичні граничні умови на контурі, які формулюються відносно зусиль і моментів, що входять під знак похідної в рівняннях (20).

Рівняння рівноваги для тонких оболонок представляються у вигляді

Для складених оболонок, що перетинаються, припускається виконання кінематичних і статичних умов у вузлах спряження. Кінематичні умови виражають умови рівності проекцій компонент переміщень на осі й для всіх гілок, що сходяться у вузлі, і умови рівності кутів повороту. Статичні умови спряження формулюються відносно зусиль і моментів й являють собою умови статичної рівноваги вузла.

Фізичні рівняння для оболонки обертання виведені з урахуванням умови . У загальному випадку ізотропних й ортотропних шарів рівняння зв'язку між напруженнями й деформаціями у векторній формі мають вигляд

На підставі рівнянь (18), (19), (24) одержано фізичні рівняння, що зв'язують зусилля й моменти з параметрами деформації координатної поверхні.

Із наведених геометричних, статичних та фізичних рівнянь можна досить точно визначити нормальні і дотичні напруження. Але дотичні напруження й , знайдені з фізичних рівнянь (24), в силу рівностей (18), (19) у загальному випадку не задовольняють граничним умовам на поверхнях оболонки й умовам контакту суміжних шарів. Тому для визначення цих напружень розроблена методика, яка базується на чисельному інтегруванні рівнянь рівноваги (3). З урахуванням прийнятих припущень із цих рівнянь одержані формули для визначення дотичних напружень

Інтеграли, які входять у формули (25), обчислюються чисельно на основі процедури, що сполучає в собі методи Симпсона й Ньютона. При виведенні формул (25) не використовувались граничні умови на зовнішній поверхні оболонки, однак надалі вони виступають як критерій точності визначення дотичних напружень.

У четвертому розділі виведені розв'язувальні системи рівнянь і побудовано алгоритми визначення геометрично нелінійного термов'язкопружнопластичного стану складених оболонок.

Для оболонок середньої товщини система розв'язувальних рівнянь, що описує напружено-деформований стан кожної гілки, представляється у вигляді

Такий вибір розв'язувальних функцій дозволяє встановити певні залежності між елементами матриці і тим самим суттєво скоротити час на її формування. Розв'язок системи рівнянь (26) повинен задовольняти граничним умовам на невузлових контурах гілок. У вузлах спряження повинні виконуватись кінематичні й статичні умови спряження, які представляються, відповідно

Система рівнянь (26) сформована так, що всі члени, пов'язані з геометричною нелінійністю, входять лише у вектор вільних членів. Це обумовлює застосування для лінеаризації геометрично нелінійної задачі методу простої ітерації, згідно з яким задача розв'язується методом послідовних наближень, у кожному з яких нелінійні члени вважаються відомими з попереднього наближення. Однак звичайний метод простої ітерації є повільно збіжним, тому для прискорення його збіжності використовується модифікований метод простої ітерації. Його суть полягає в тому, що як початкове наближення на поточному етапі навантаження використовуються нелінійні величини не з попереднього етапу, а знайдені шляхом квадратичної екстраполяції результатів, отриманих на попередніх етапах. У процесі послідовних наближень фізично нелінійні члени уточнюються на основі попереднього наближення відповідно до алгоритмів, викладених у другому розділі.

Для тонких оболонок розв'язувальні функції також вибрані у формі (27), а система розв'язувальних рівнянь представлена в такий спосіб, що всі нелінійні члени відокремлені від інших і явно виражені через розв'язувальні функції

Для лінеаризації системи рівнянь (29) застосовується метод Ньютона і вона в остаточному підсумку приводиться до вигляду

Отримані в роботі розв'язувальні рівняння для визначення геометрично нелінійного напружено-деформованого стану оболонок обертання з урахуванням деформацій поперечного зсуву відрізняються від існуючих у літературі, насамперед, вибором розв'язувальних функцій.

Далі наводяться використані в роботі способи визначення матеріальних функцій, що входять у визначальні рівняння. При фіксованих температурах діаграми миттєвого деформування, модулі пружності, коефіцієнти Пуассона й лінійного температурного розширення задаються табличними значеннями. Для значень температури, які не збігаються з табличними, ці величини знаходяться шляхом лінійної інтерполяції. Для коефіцієнтів у рівняннях (7) і (9) виведені формули, які дозволяють визначити їх при значеннях температури, відмінних від табличних. Відзначено, що значення коефіцієнта досить чутливе до вибору системи одиниць для виміру напружень. Тому пропонується вибирати таку систему одиниць, застосування якої приводить до природного нормування напружень. Це дозволяє істотно збільшити значення коефіцієнта й тим самим позбутися від дуже малих величин, небажаних при розв'язанні крайових задач.

Далі описується алгоритм визначення геометрично нелінійного термов'язкопружнопластичного стану складених оболонок обертання з урахуванням пошкоджуваності матеріалу. Для вирішення задачі задається геометрія оболонки, умови її закріплення, навантаження, нагріву й фізико-механічні властивості матеріалів шарів. Також задаються параметри просторової дискретизації оболонки і розбивка процесу навантаження за часом. При виборі моментів часу, що розмежовують етапи навантаження, необхідно, щоб вони якнайменше відрізнялися від моментів часу, при яких змінюється напрямок процесу навантаження. Збіжність результатів при обраних параметрах просторово-часової дискретизації контролюється за допомогою принципу Рунге.

Фізично й геометрично нелінійна задача вирішується методом послідовних наближень. У кожнім наближенні довільного етапу навантаження крайова задача розв'язується шляхом зведення до ряду задач Коші, для інтегрування яких застосовується метод Рунге-Кутта з дискретною ортогоналізацією за Годуновим. Наведені формули, яким повинні задовольняти часткові розв'язки задачі у вузлах спряження, і описаний алгоритм вирішення лінійної крайової задачі.

Відзначається, що у випадку відсутності кручення із виведених систем рівнянь можна також одержати розв'язання в рамках моделі Кірхгофа-Лява. Для цього при формуванні системи розв'язувальних рівнянь треба примусово покласти рівними нулю коефіцієнти жорсткості в співвідношеннях, які зв'язують кути поперечного зсуву з поперечними зусиллями.

У процесі поетапного вирішення задачі термов'язкопластичності в кожній точці ізотропних шарів оболонки визначається параметр . Він знаходиться шляхом чисельного інтегрування методом Ейлера кінетичного рівняння (7). Про момент руйнування оболонки можна судити по досягненню цим параметром критичного значення, яке у практичних розрахунках приймається рівним 0.50.95. Зі структури рівняння (7) видно, що параметр має асимптотичний характер. При наближенні до критичного значення швидкість його зміни сильно зростає і виникає необхідність сильного згущення етапів навантаження. При великих етапах виникає нестійкість розрахунку й процес послідовних наближень розходиться. Для автоматизації вибору етапів передбачена процедура, яка полягає у дробленні у двічі їх тривалості, якщо кількість послідовних наближень перевищить граничне значення.

Після визначення напружено-деформованого стану на кожному етапі навантаження визначаються дотичні напруження і перевіряються умови міцності ортотропних шарів. У найбільш напружених точках оболонки будуються траєкторії деформування в тих координатних площинах, у яких компоненти вектора деформації досягають максимальних значень.

У п'ятому розділі для обґрунтування вірогідності розробленої методики розглянуто ряд прикладів деформування трубчатих зразків, результати розрахунку яких зіставлені з експериментальними даними. З цією метою спочатку були визначенні параметри повзучості й тривалої міцності матеріалів зразків, експериментальні дані яких отримані в роботах інших авторів, а саме: сплаву ЕІ 437, сталі 30ХГСА й сталі 20. Параметри сплаву ЕІ 437 визначені для еквівалентного напруження, що визначається критерієм (8). Параметри сталі 30ХГСА визначались для цього ж еквівалентного напруження при =0, а сталі 20 - при =0;0.5;1. Розрахунки зразків проведено в геометрично лінійній постановці на основі визначальних рівнянь деформування по траєкторіях малої кривизни, при цьому зразок моделювався циліндричною оболонкою.

Для обґрунтування вірогідності розв'язання задачі термов'язкопластичності при процесах деформування по траєкторіях малої кривизни розглянуто неізотермічне деформування зразків, виготовлених зі сталі 30ХГСА. Зразки навантажувались осьовою силою і крутячим моментом по двох програмах. По першій програмі зразки спочатку навантажувались тільки силою, що розтягує, а потім - довантажувалися крутячим моментом. У другій програмі навпаки: спочатку зразки навантажувалися тільки крутячим моментом, а потім відбувалося їхнє довантаження осьовою силою. Одночасно із силовим навантаженням здійснювався рівномірний нагрів зразків по лінійному закону в часі. Розрахунки проводилися на основі розв'язувальних рівнянь для тонких оболонок без урахування пошкоджуваності матеріалу. Виявилося, що результати розрахунків добре узгоджуються з експериментальними даними: у області максимальних значень розходження дослідних і розрахункових деформацій не перевищує 7%.

У другому прикладі для обґрунтування вірогідності методики визначення термов'язкопружнопластичного стану й часу до руйнування оболонок обертання, підданих дії зусилля, що розтягує, і крутячого моменту, розглянуто неізотермічне деформування зразків, виготовлених зі сплаву ЕІ 437. Зразки навантажувались по трьох програмах. У першій з них здійснювався чистий розтяг, у другій - пропорційний розтяг і кручення, а в третій - складне навантаження по траєкторії зі зломом. У процесі навантаження зразки піддавались рівномірному нагріву, який у часі змінювався по лінійному закону. Розрахунки проводилися на основі розв'язувальних рівнянь для тонких оболонок. У результаті розрахунків установлено, що найкраще з експериментальним часом до руйнування узгоджується розрахунковий час у програмі одновісного навантаження; максимальна відмінність результатів спостерігається в програмі складного навантаження, яка складає 11%.

У третьому прикладі для обґрунтування вірогідності визначення процесів повзучості й часу до руйнування оболонок обертання, підданих дії внутрішнього тиску й сили, що розтягує, розглянуто деформування зразків зі сталі 20 при постійній температурі. Дослідження проводились на основі рівнянь для оболонок середньої товщини. Розрахунки показали, що по визначенню часу до руйнування з дослідними даними найкраще узгоджуються результати розрахунку при =0 і гірше всього - при =1. Якщо врахувати, що досліджувані зразки деформувалися в пружній області, то отримані результати підтверджують концепцію про характер руйнування, закладену в критерії (8). Для порівняння був також визначений час до руйнування, знайдений з використанням критерію інтенсивності нормальних напружень, який збігся з часом, отриманим на основі критерію (8) при =1, а також з використанням критерію Сдобирєва, який краще всього узгоджується з часом, знайденим при =0.5.

У шостому розділі для оцінки ефективності й точності визначення геометрично нелінійного термов'язкопружнопластичного стану складених оболонок обертання з урахуванням пошкоджуваності матеріалу розглянуто ряд тестових прикладів, рішення яких за розробленою методикою зіставлені з рішеннями, отриманими іншими авторами.

У першому прикладі дана оцінка застосовності співвідношень тонких оболонок й оболонок середньої товщини для визначення напруженого стану оболонок обертання при силовому й тепловому навантаженні. З цією метою розглянуто термопружний стан ізотропної нескінченно довгої циліндричної оболонки, що перебуває під дією внутрішнього тиску або температури, що змінюється по товщині за степеневим законом. Результати розрахунку за розробленою методикою зіставлені з аналітичним рішенням, отриманим на основі використаних у даній роботі рівнянь для оболонок середньої товщини й тонких оболонок, а також з точними рішеннями в просторовій постановці: задачі Ляме й задачі для нерівномірно нагрітого товстостінного циліндра, наведеної в роботі А.Д.Коваленка. Виявлено, що результати розрахунків за розробленою методикою співпадають з аналітичним розв'язком по оболонковій теорії. Також установлено, що при чисто силовому навантаженні з точним розв'язком краще узгоджується розв'язок, оснований на рівняннях для оболонок середньої товщини. Однак при тепловому навантаженні в розв'язку для оболонок середньої товщини виникають великі фіктивні напруження, тоді як розв'язок для тонких оболонок практично співпадає з точним. Фіктивні напруження виникають також у вільній від навантажень, незакріпленій, рівномірно нагрітій циліндричній оболонці кінцевої довжини, у якій напруження виникати не повинні. Тому при силовому навантаженні треба користуватись рівняннями для оболонок середньої товщини, а при тепловому - рівняннями для тонких оболонок.

У другому прикладі для оцінки точності визначення пружнопластичного стану шаруватих оболонок обертання на основі визначальних рівнянь теорії простих процесів навантаження і для оцінки точності визначення дотичних напружень розглянуто пружнопластичний стан жорстко затиснутої по краях двошарової циліндричної оболонки, що перебуває під дією внутрішнього тиску. Розв'язок за розробленою методикою порівнюється з розв'язком по методу скінчених елементів (МСЕ) в осесиметричній просторовій постановці. В цьому й наступних прикладах, у яких за еталонне приймається розв'язок по МСЕ, для розрахунків були використані методики й програми, розроблені у відділі термопластичності Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України. У результаті розрахунків установлено, що як при активному навантаженні, так і при розвантаженні меридіональні, колові й дотичні напруження скрізь добре узгоджуються з напруженнями із розрахунку по МСЕ. Виняток становить малий окіл в області жорсткого затиснення, де не спрацьовують гіпотези теорії оболонок. Також показано, що при активному навантаженні розподіл дотичних напружень по товщині оболонки має складний характер, а при розвантаженні ці напруження навіть міняють знак. Тому в задачах термов'язкопластичності вибрати заздалегідь закон зміни дотичних напружень по товщині оболонки не представляється можливим.

У третьому прикладі оцінена точність визначення термопружнопластичного деформування оболонок обертання по траєкторіях малої кривизни. З цією метою розглянуто нескінченно довгу циліндричну оболонку, піддану дії внутрішнього тиску й температури, що змінюються в часі по заданим законам. Результати розрахунку зіставлені з розв'язком по МСЕ, отриманим на основі теорії процесів деформування по траєкторіях малої кривизни. У результаті розрахунку виявлено, що в різних точках оболонки реалізуються траєкторії деформування малої кривизни або такі, що незначно відрізняються від прямолінійних. Виявилось, що оболонковий й просторовий розв'язки добре узгоджуються між собою. Що ж стосується оболонкового розв'язку, отриманого по теорії простих процесів навантаження, то воно гірше узгоджується з просторовим, а максимальна відмінність результатів спостерігається в тих точках оболонки, в яких радіус кривизни траєкторії деформування є мінімальним.

У четвертому прикладі для оцінки точності визначення напружено-деформованого стану оболонок обертання, що перебувають в умовах повзучості, розглянута задача про деформування циліндричної оболонки середньої товщини, що знаходиться під дією внутрішнього тиску. Розв'язок цієї задачі наведено в роботі С.Такезоно й С.Фуджиока, у якій вона розв'язувалась на основі уточненої теорії пружних оболонок Рейсснера-Нагді. Закон короткочасної повзучості описувався степеневою функцією. Зіставлення результатів розрахунку переміщень й напружень у різні моменти часу показало добре їх узгодження з даними вищезгаданої роботи.

Для оцінки точності визначення термопружнопластичного стану складених оболонок обертання в п'ятому прикладі розглядається напружено-деформований стан складеної оболонки середньої товщини, яка являє собою циліндричну оболонку, підкріплену зовні кільцевою пластиною. Результати розрахунку з урахуванням і без урахування величин порівнюються з розв'язком по МСЕ. Оболонка рівномірно нагріта до температури, відмінної від початкової, а циліндрична її частина навантажена внутрішнім тиском . Було розглянуто два варіанти навантаження. Значення й у першому варіанті вибирались такими, що домінуючим було температурне навантаження, а у другому - силове. Аналіз результатів по першому варіанту показав, що напруження, знайдені без урахування величин , практично всюди збіглися з напруженнями, знайденими по МСЕ, за винятком малого околу вузла спряження, який становить 12 товщини оболонки. Щодо напружень, отриманих з урахуванням , то навіть на значному віддаленні від вузла спряження вони суттєво відрізняються від просторового рішення. У другому варіанті розрахунку виявилось, що оболонкові розв'язки з урахуванням і без урахування величин добре узгоджуються між собою й дещо відрізняються від просторового розв'язку.

У шостому прикладі для обґрунтування доцільності використання співвідношень, заснованих на гіпотезах прямолінійного елемента, розглянуто пружнопластичний стан нескінченно довгої циліндричної оболонки, що знаходиться під дією змінного уздовж меридіану навантаження. Розв'язок за розробленою методикою зіставлений з розв'язком по МСЕ, а також з розв'язком, заснованим на гіпотезах Кірхгофа-Лява. В результаті розрахунків виявлено, що як у пружному, так і в пружнопластичному розв'язку напруження, знайдені на основі оболонкових моделей, незначно розрізняються між собою і в області максимальних значень непогано погоджуються з напруженнями, отриманими по МСЕ. Добре погоджується з просторовим розв'язком і прогин, знайдений з використанням гіпотез прямолінійного елементу, тоді як похибка у його визначенні на основі гіпотез Кірхгофа-Лява досягає 40%.

У сьомому прикладі оцінена точність визначення напружено-деформованого стану циліндричної оболонки середньої товщини, що знаходиться під дією внутрішнього тиску, з урахуванням пошкоджуваності матеріалу при повзучості. Результати розрахунку зіставлені з розв'язком роботи А.І.Сичова, в якій задача розв'язувалась на основі зсувної моделі теорії оболонок й моделі, основаній на гіпотезах Кірхгофа-Лява. Розрахунки показали, що результати, отримані на основі гіпотез Кірхгофа-Лява, практично збіглися з даними роботи А.І.Сичова. Розрахунки ж, засновані на зсувній моделі, мають відмінність лише в часі до руйнування, яка не перевищує 13%. У проведених розрахунках також встановлено, що розв'язання задачі повзучості з урахуванням пошкоджуваності матеріалу потрібно проводити на більш дрібній просторовій сітці, ніж розв'язання пружної задачі.

У восьмому прикладі для оцінки точності визначення напружено-деформованого стану оболонок обертання з урахуванням геометричної нелінійності й пошкоджуваності матеріалу при повзучості розглянута задача про поперечний згин тонкої круглої пластини з центральним отвором, що знаходиться під дією розподіленого навантаження. Рішення цієї задачі наведено в роботі Х.Альтенбаха зі співавторами. Для опису накопичення деформацій повзучості використовувалось рівняння (9). Як еквівалентне напруження вибиралась інтенсивність нормальних напружень. Розрахунки проводилися на основі гіпотез Кірхгофа-Лява. Аналіз результатів показав, що значення згинаючого моменту й прогину, знайдені по двох методиках у геометрично лінійних і нелінійних розрахунках, добре погоджуються між собою.