Закритична поведінка і розгалуження розв’язків у нелінійних задачах теорії циліндричних оболонок

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

УДК 539.3

ЗАКРИТИЧНА ПОВЕДІНКА ТА РОЗГАЛУЖЕННЯ РОЗВ'ЯЗКІВ У НЕЛІНІЙНИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРІЇ ЦИЛІНДРИЧНИХ ОБОЛОНОК

01.02.04 - Механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ГРОМОВ Василь Олександрович

Дніпропетровськ 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Дніпропетровському національному університеті

Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор Ободан

Наталія Іллівна, Дніпропетровський

національний університет МОН України,

професор кафедри обчислювальної математики

та математичної кібернетики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Черняков Юрій Абрамович, Дніпропетровський національний університет МОН України (м. Дніпропетровськ), професор кафедри теоретичної та прикладної механіки.

доктор технічних наук, професор Красовський Василь Леонідович, Придніпровська державна академія будівництва та архітектури МОН України (м. Дніпропетровськ), завідувач кафедри будівельної механіки та опору матеріалів.

Провідна установа: Національний технічний університет

“Харківський політехнічний інститут” МОН України, м. Харків.

Захист дисертації відбудеться “26” травня 2006 р. о “14” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, проспект К. Маркса, 35, корпус 3, ауд. 57.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Дніпропетровського національного університету за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова,8.

Відзив на автореферат надсилати за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Наукова, 13, Дніпропетровський національний університет, вченому секретарю спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10.

Автореферат розіслано “14” квітня 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук, професор Дзюба А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Традиційна теорія стійкості оболонок, що ґрунтується на лінеаризації напружено-деформівного стану, дає змогу з'ясувати границі зміни критичних навантажень, що пов'язані з особливими точками нелінійної крайової задачі, лише у тому випадку, коли при втраті стійкості виникають “близькі” форми рівноваги. Такий підхід, який був уперше застосований Ейлером та обґрунтований Лагранжем, забезпечує добрі результати для різноманітних механічних систем, у тому числі й для деяких тонкостінних конструкцій. Основоположними тут є роботи Алумяе Н. А., Алфутова М. А., Болотина В. В., Вольміра А. С., Воровича Й. І., Григолюка Е. І., Григоренка Я. М., Гудрамовича В. С., Гузя О. М., Калінина В. С., Муштарі Х. М., Маневича Л. І., Мосаковського В. І., Панасюка В. В., Погорєлова О. В., Томпсона Дж. М. Т., Ханта Дж. В., Феодосьєва В. І., Фрідріхса К. О.

Відомо, що практичний досвід, а також результати експериментальних досліджень, свідчать про те, що критичні навантаження, одержані у межах лінійного наближення, істотно відрізняються від реальних критичних навантажень, іноді в декілька разів.

У зв'язку з цим, починаючи з робіт Кармана Т. и Цяня Х. С., розвивається напрямок, пов'язаний з дослідженням властивостей нелінійних розв'язків теорії оболонок. Тут необхідно відзначити роботи Андрєєва Л. В., Баженова В. А., Болотина В. В., Вайнберга М. М., Валішвілі Н. В., Вольміра А. С., Воровича Й. І., Гавриленка Г. Д., Григолюка Е. І., Григоренка Я. М., Гуляєва В. І, Кабанова В. В., Кантора Б. Я., Койтера В. Т., Красовського В. Л., Кузьменка В. І., Маневича А. І., Ободан Н. І., Погорєлова О. В., Срубщика Л. С., Томпсона Дж. М. Т., Ханта Дж. В., Феодосьєва В. І., Чернякова Ю. А.

Наразі такі дослідження зазвичай проводяться у межах часткових моделей та окремих експериментальних досліджень. Проведення ж широкомасштабних експериментів потребує значних матеріальних витрат, а у деяких випадках є принципово неможливим. Крім цього, результати, які одержані експериментально, важко формалізуються у вигляді рекомендацій, що мають загальний характер.

Поряд із цим, широке застосування тонкостінних оболонкових конструкцій у ракетно-космічній техниці, будіндустрії, машинобудуванні вимагає створення методик розрахунку, результати яких є адекватними результатам експериментальних досліджень.

Тому, аналіз нелінійної поведінки циліндричної оболонки, що знаходиться в умовах переважного стиску, незважаючи на багаторічний попередній досвід досліджень у цій галузі, є розділом механіки деформівного твердого тіла, що інтенсивно розвивається.

Одержання теоретичних оцінок критичних навантажень у загальному випадку пов'язано зі створенням загальних підходів одержання повної картини закритичних розв'язків та аналізу їх розгалуження; при цьому наявні чисельні розв'язки базуються на локальних моделях і також не дозволяють дійти висновків, що мають загальний характер. Із зазначеного випливає, що створення методу побудови загальної картини закритичних розв'язків, установлення точок розгалуження цих розв'язків та параметрів навантаження, що їм відповідають, як можливих значень критичних навантажень, проведення загального аналізу областей існування закритичних форм деформації оболонки є важливою та актуальною задачею. Поряд із цим, побудова загальної картини галуження та установлення закономірностей, які її визначають, має певне теоретичне значення.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Цю роботу було виконано у межах індивідуального плану роботи аспіранта та в рамках досліджень, що проводилися у Науково-дослідній лабораторії надійності та живучості конструкцій Дніпропетровського національного університету за держбюджетними темами:

д/б № 6-091-05 “Методи створення інтелектуальних систем діагностики живучості деформівних систем з пошкодженнями”; номер державної реєстрації 0105U000371; затверджена за наказом Міністерства освіти та науки України № 960 від 27.12.2004 та за наказом Дніпропетровського національного університету № 1347 від 27.12.2004;

д/б № 6-015-02 “Теоретико-експериментальні засади нелінійного аналізу залишкової працездатності тонкостінних систем з дефектами типу пробоїн, розшарувань, тріщин”; номер державної реєстрації 0102U004420; затверджена за наказом Дніпропетровського національного університету № 1340 від 27.12.2001;

Мета та задачі дослідження. Метою цієї роботи є розробка методу та чисельних алгоритмів розв'язання двовимірних нелінійних крайових задач на основі ітеративної апроксимації їх розв'язків у поєднанні з чисельним інтегруванням відповідних одновимірних диференційних рівнянь; аналіз закритичної поведінки циліндричних оболонок при осьовому стиску та зовнішньому тиску, розроблення рекомендацій щодо застосування математичних моделей для розв'язання конкретних задач теорії циліндричних оболонок, загальна оцінка рівней критичних навантажень тощо.

Для того щоб досягти цієї мети розв'язувалися такі основні задачі:

Розробка методу чисельного розв'язання нелінійних двовимірних крайових задач, що дозволяє фіксувати особливі точки загального вигляду (як граничні особливі точки, так і точки біфуркації), а також досліджувати характер галуження (кількість та конфігурацію розв'язків, що відгалужуються).

Розробка алгоритму, що ґрунтується на зазначеному методі, та його реалізації у вигляді пакета прикладних програм, а також розробка методу побудови закритичних розв'язків, що відгалужуються в особливих точках, які фіксуються на гілках розв'язку.

Аналіз структури закритичних розв'язків теорії циліндричних оболонок, які знаходяться в умовах переважаючего стиску, дослідження поведінки різних типів розв'язку, їх особливих точок та рівней критичних навантажень, що їм відповідають.

Порівняльний аналіз методів розв'язання зазначених задач, що ґрунтуються на різних підходах у моделюванні закритичної поведінки тонкостінних циліндричних конструкцій, а також результатів експериментальних досліджень.

Одержання рекомендацій щодо застосування одержаних результатів.

Об'єкт дослідження циліндрична оболонка при дії стискаючих навантажень.

Предмет дослідження нелінійні моделі теорії пологих циліндричних оболонок; нелінійні крайові задачі теорії циліндричних оболонок; до- та закритичні гілки розв'язку; рівні критичних навантажень для циліндричних оболонок при дії зовнішнього тиску та осьового стиску.

Метод дослідження варіаційний метод розв'язання нелінійних крайових задач; методи теорії галуження розв'язків; методи обчислювальної математики.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

Уперше розроблено ітеративний чисельний метод розв'язання двовимірних нелінійних крайових задач, що, у поєднанні з методом розв'язання одновимірних нелінійних крайових задач, дозволяє будувати закритичні розв'язки нелінійної крайової задачі і фіксувати особливі точки розв'язків загального вигляду.

Уперше розроблено математичні моделі побудови закритичних розв'язків нелінійних крайових задач для випадків осьового стиску та зовнішнього тиску, що враховують власні розв'язки відповідних однорідних крайових задач; проаналізовано особливі точки цих розв'язків, що одержані в результаті чисельного аналізу.

Уперше показано, що як для випадку осьового стиску, так і для випадку зовнішнього тиску закритичні розв'язки, що відповідають локальним формам деформування, є результатом існування вторинного галуження; установлено область існування цих розв'язків. Одержані результати добре узгоджуються с результатами експериментальних досліджень.

Уперше побудовано структуру розгалуження розв'язків для випадків осьового стиску та зовнішнього тиску, яка для випадку зовнішнього тиску містить такі гілки: ствол, регулярні гілки, локальні гілки: регулярні гілки відгалужуються від ствола, а локальні відгалужуються від регулярних; для випадку осьового стиску ствол; регулярні гілки, яким відповідають форми деформації вигляду один або декілька поясів вм'ятин; локальні гілки, яким відповідає локальна в обох напрямках форма або група вм'ятин, що лежать в одному поясі; при цьому кожний наступний тип гілки відгалужується від попереднього.

Уперше встановлено межі існування кожної з закритичних форм, що дозволило оцінити критичні навантаження, що реалізуються при відповідній формі деформації.

Практичне значення одержаних результатів полягає у тому, що

розроблено новий чисельний метод, зорієнтований на особливості деформування циліндричних оболонок у закритичному стані, який дозволяє розв'язувати широке коло задач нелінійного деформування циліндричних оболонок, а також спосіб аналізу одержаних розв'язків. Одержані теоретичні результати узгоджуються з основними особливостями закритичного деформування та втрати стійкості, які спостерігалися раніше у широкомасштабному експерименті, що дозволяє використовувати їх для розрахунку, аналізу та виборі оптимальних конструктивних рішень при проектуванні космічних літальних апаратів, машинобудівних та будівельних конструкцій.

Знайдені особливості поведінки закритичних розв'язків збагачують уяву про закономірності поведінки тонких циліндричних оболонок для різних типів навантаження та про механізм утрати стійкості.

Вірогідність одержаних результатів. Вірогідність одержаних результатів забезпечується використанням фундаментальних моделей теорії оболонок; застосуванням на окремих етапах алгоритму відомих та апробованих чисельних методів; стійкістю одержаних чисельних розв'язків за вхідними даними; добрим узгодженням результатів обчислювального експерименту з відомими експериментальними даними та розрахунками інших авторів.

Особистий внесок здобувача. У роботах, що написані у співавторстві, здобувачеві належить вибір та побудова методу розв'язання, розробка та реалізація алгоритмів і програм, одержання та аналіз результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися на наступних семінарах і конференціях.

Семінарі з динаміки та міцності машин Інституту проблем машинобудування НАН України під керівництвом д. т. н., проф. Кантора В. Я. (м. Харків, 2006 р.).

Міжвузівському семінарі “Актуальні проблеми прикладної математики та механіки” у Запорізькому національному університеті під керівництвом д. т. н., проф. Грищака В. З. (м. Запоріжжя, 2006 р.).

Міжвузівському науковому семінарі кафедри обчислювальної механіки та міцності конструкцій “Проблеми механіки деформівних тіл та конструкцій” при Придніпровському науковому центрі НАН України та науковій раді з питань “Механіка деформівного твердого тіла” НАН України під керівництвом чл.-кор. НАНУ, д. т. н., проф. Гудрамовича В. С. та д. т. н., проф. Дзюби А.П. (м. Дніпропетровськ, 2006 р.).

Науковому семінарі “Актуальні питання оптимізації та дискретної математики” при науковій раді з проблеми “Кібернетика” НАН України під керівництвом заслуженого діяча науки й техніки України, д. ф.-м. н., проф. Кісельової О. М. (м. Дніпропетровськ, 2006 р.).

Сьомому міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (м. Львов, 2005 р.).

Другій та 3-й міжнародних науково-практичних конференціях Математичне й програмне забезпечення інтелектуальних систем (м. Дніпропетровськ, 2004 та 2005 р.).

Шостій Кримській міжнародній математичній школі “МФЛ-2002” (м. Алушта, 2002 р.);

Міжнародної науково-практичної конференції “Інформаційні технології: наука, техніка, технологія, освіта, здоров'я” (м. Харків, 2002).

Підсумкових наукових конференціях Дніпропетровського національного університету (м. Дніпропетровськ, 2000-2005 р.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 10 робіт, із них 4 статті за темою дисертації, у виданнях, включених ВАК України в перелік фахових видань.

Структура й обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації складає 141 сторінку, 50 рисунків, 2 таблиці, список використаних джерел із 135 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність обраної теми, зазначається її зв'язок із науковими програмами, планами, темами. Формулюється мета і задачі дослідження, характеризується наукова новизна, теоретична й практична значимість одержаних результатів, відзначається особистий внесок здобувача, аналізується вірогідність результатів, описується структура дисертаційної роботи і наводиться список публікацій здобувача за темою роботи.

У першому розділі дисертаційної роботи проводиться огляд останніх досліджень, присвячених стійкості тонкостінних оболонкових конструкцій, методів побудови й аналізу докритичних і закритичних гілок розв'язку нелінійних крайових задач, що описують поведінку навантажених оболонкових конструкцій, а також відмічаються задачі, що потребують подальших досліджень.

У другому розділі роботи будується математична модель навантаженої циліндричної оболонки та двовимірний ітераційний алгоритм знаходження розв'язків відповідної нелінійної крайової задачі; запропонований у даному розділі алгоритм дозволяє одержувати закритичні гілки розв'язків і аналізувати характер точок розгалуження із використанням методу продовження за параметром та методу збурення.

До- і закритичне деформування циліндричної оболонки, що знаходиться під дією зовнішнього навантаження, описується нелінійною крайовою задачею, яка формулюється у варіаційній постановці. Функціоналом даної варіаційної постановки є функціонал Н. А. Алумяе теорії пологих оболонок, для якого граничні умови на криволінійних контурах оболонки вважаються виконаними заздалегідь.

Алгоритм знаходження розв'язків нелінійної крайової задачі, яка формулюється у варіаційній постановці, використовує представлення:

,, (1)

де співмножники , , , знаходяться за допомогою послідовного варіювання функціонала задачі, у межах ітераційного процесу.

Для знаходження співмножників , на -й ітерації будуються відповідні рівняння Ейлера, які з урахуванням представлення (1) і того, що функції , обчислені на попередній ітерації, мають такий вигляд:

, (2)

де вектори , лінійні і нелінійні складники диференціального оператора ; , відповідні вектори коефіцієнтів.

Коефіцієнтами в даній системі нелінійних звичайних диференціальних рівнянь є інтеграли від відповідних комбінацій співмножників, що визначають розв'язок у подовжньому напрямку, обчислених на попередній ітерації, і їх похідних. Система диференціальних рівнянь (2) доповнюється умовами замкненості функцій , та їх похідних.

Для знаходження функції на -й ітерації використовується представлення

, (3)

де , причому поправки , вважаються малими. Для знаходження поправок використовуються рівняння Ейлера для функцій , , які дають наступну систему лінеаризованих на нелінійних розв'язках попередньої, -й, ітерації диференціальних рівнянь, що залежать від параметра:

, (4)

Тут вектор коефіцієнтів і права частина визначається через знайдені на попередній, -й, ітерації функції і інтеграли від відповідних комбінацій співмножників, що визначають розв'язок в окружному напрямку, обчислених на поточній, -й, ітерації, та їх похідних. параметр задачі, яким є для задачі зовнішнього тиску величина зовнішнього тиску , для задачі осьового стиску зближення торців оболонки . Крайовими умовами даної системи диференціальних рівнянь є нульові граничні умови для тих невідомих функцій, що задані на торцях оболонки.

Для знаходження розв'язків одновимірних крайових задач нелінійної (2) і лінеарізованої (4) використовується метод Ньютона зведення крайової задачі до еквівалентної задачі Коші.

Ітераційний процес починається із задання з деяких апріорних міркувань початкового наближення по подовжній координаті .

У силу залежності системи рівнянь (4) від параметра, розв'язок такої системи є єдиним при тих значеннях параметра, для яких диференціальний оператор має обернений оператор . Якщо оператор є виродженим, то за теоремою Фредгольма про альтернативу необхідно розв'язувати задачу на власні значення для системи рівнянь (4) з нульовою правою частиною. Одержана в такий спосіб власна форма з невідомою амплітудою додається до початкового наближення ; рівняння для знаходження амплітуд формуються за допомогою знаходження умов стаціонарності функціонала за .

Для одержання вдалого початкового наближення для даного ітераційного процесу використовується метод продовження за параметром.

Процес руху за параметром починається з близьких до нуля значень параметра кожен раз, коли початкове наближення для знаходження подовжнього співмножника розв'язку змінюється через досягнення точки виродження оператора . Для одержання закритичних гілок розв'язку використовується метод збурення.

У процесі обчислювального експерименту було встановлено, що величина норми поправок, віднесена до норми розв'язку на першій ітерації для випадку зовнішнього тиску не перевищує 5%, для випадку осьового стиску 8%; наступні ітерації дають, як правило, поправки меньші за 1%. Залежність співвідношення для гілок локальних форм деформації подані: для випадку зовнішнього тиску на рис. 1, для випадку осьового стиску на рис. 2. Тут

У даному розділі також наводиться методика визначення порядку виродженности нелінійної крайової задачі в особливих точках розв'язку, що необхідно для аналізу структури галуження у особливій точці, що досліджується.

Третій розділ роботи присвячений аналізу структури розв'язку нелінійної крайової задачі, що описує поведінку циліндричної оболонки при дії зовнішнього тиску довільного вигляду. Спочатку розглядається випадок рівномірного зовнішнього тиску: на рис. 3 у координатах подано характерну структуру галуження нелінійної крайової задачі при дії рівномірного зовнішнього тиску. Тут величина зовнішнього тиску, віднесена до величини критичного навантаження, що одержана у межах лінійної теорії, величина характерного прогину, віднесена до товщини оболонки. На рисунку також подані радіальні перетини форм закритичної деформації оболонки, що відповідають наведеним гілкам розв'язку, подовжній перетин для всіх одержаних форм закритичної деформації є близьким до однієї напівхвилі.

Установлюється, що для випадку зовнішнього тиску структура розгалуження нелінійної крайової задачі (1) містить у собі такі елементи: ствол, якому відповідає практично недеформований стан оболонки, регулярні гілки, яким відповідають регулярні в окружному напрямку форми деформації, гілки первинного галуження і локальні гілки, яким відповідають локальні в окружному напрямку форми закритичної деформації, гілки вторинного галуження. Регулярні гілки відгалужуються від ствола, причому мінімальне значення параметра навантаження, при якому відбувається відгалуження регулярної гілки від ствола, відповідає рівню критичного навантаження, одержаного у межах лінійної теорії. Локальні гілки з'єднують між собою регулярні гілки, яким відповідають регулярні форми деформації з різним числом хвиль в окружному напрямку.

На рис. 3 подано регулярну гілку гілка (їй відповідає форма деформації з п'ятьма хвилями в окружному напрямку форма 1) і дві локальні гілки гілки (форми деформації з однією і трьома локальними вм'ятинами форми 4,5,6) та гілка (форми деформації з двома локальними вм'ятинами форми 7 і 8).

Усі особливі точки, що фіксуються на гілках розв'язку, обумовлені виродженністю оператора, що визначає розв'язок в окружному напрямку; у задачі зовнішнього тиску оператор, що визначає розв'язок у подовжньому напрямку, не вироджується. У загальному випадку виродженість в особливих точках розв'язку дорівнює 1.

Нижньою межею області існування локальних форм за параметром навантаження є величина 0.55 у частках критичного навантаження, одержаного у межах лінійної теорії, що істотно нижче нижньої межі за параметром навантаження області існування регулярної гілки, від якої дана локальна гілка відгалужується.

Далі розглядається випадок зовнішнього тиску довільного виду, причому функція тиску задається рядом Фур'є. У процесі обчислювального експерименту були виявлені чотири характерних типи розв'язку, що реалізуються при різних видах функції зовнішнього навантаження, і встановлені рівні критичних навантажень, що відповідають даним типам розв'язку. Коли змінюваність функції зовнішнього навантаження прямує до нуля, дані характерні типи розв'язку переходять у певні закритичні гілки розв'язку для випадку рівномірного зовнішнього тиску; що дозволяє використовувати нижню межу області існування локальних форм 0.55 у частках критичного навантаження, одержаної у межах лінійної теорії, як оцінку рівня критичного навантаження для циліндричної оболонки при дії зовнішнього тиску довільного виду.

Тип розв'язку, що реалізується, (а разом з ним і відповідний рівень критичного навантаження) визначається п'ятьма істотними параметрами: величиною зовнішнього навантаження, власним числом хвиль оболонки, номером головної гармоніки при розкладанні функції зовнішнього навантаження в ряд Фур'є і значеннями коефіцієнтів Фур'є головної гармоніки , . Закритичний многовид у просторі даних параметрів досліджується з використанням методів теорії особливостей диференційовних відображень.

У четвертому розділі роботи будується та здійснюється аналіз структури галуження розв'язків нелінійної крайової задачі, що описує поведінку циліндричної оболонки при дії осьового стиску. Спочатку розглядається структура закритичного розв'язку нелінійної крайової задачі при відсутності збурюючих впливів: характерний вид розгалуження поданий на рис. 4 у координатах . Тут і надалі значення параметра навантаження, віднесене до величини критичного навантаження, що одержана у межах лінійної теорії; норма прогину в просторі С. Л. Соболєва , що характеризує міру згинної деформації (за Й. І. Воровичем).

У структурі розв'язку можна виділити такі гілки розв'язку: ствол, якому відповідає докритичний стан оболонки; регулярні гілки розв'язку, яким відповідають регулярні в обох напрямках форми закритичної деформації; гілки, які характеризуються розв'язками, що описуються формами закритичної деформації вигляду один або кілька суміжних поясів вм'ятин, локальні в подовжньому й регулярні в окружному напрямку форми деформації; локальні гілки, яким відповідають форми деформації вигляду одна локальна вм'ятина, кілька локальних вм'ятин, що знаходяться у одному поясі, кілька локальних вм'ятин, що знаходяться у суміжних поясах, (група вм'ятин) локальні в обох напрямках форми деформації.

Регулярні гілки (гілки і на рис. 4) відгалужуються від ствола в точках біфуркації, що утворюють нелінійний регулярний спектр крайової задачі; причому в точках регулярного спектра вироджується як оператор, що визначає співмножник розв'язку в подовжньому напрямку, так і оператор, що визначає співмножник розв'язку в окружному напрямку. Порядок виродженності в даних особливих точках дорівнює двом. Значення параметра навантаження, що відповідає першій (мінімальній за параметром навантаження) точці спектра дорівнює величині критичного навантаження, що одержана у межах лінійної теорії.

Нижньою межею за параметром навантаження області існування регулярних гілок є величина (зокрема, цієї межі досягає гілка, якій відповідає регулярна форма закритичної деформації з п'ятьма напівхвилями у подовжньому напрямку і вісьма хвилями у окружному). На регулярних гілках фіксуються особливі точки, обумовлені виродженням оператора, що визначає співмножник розв'язку в подовжньому напрямку, причому виродженість у даних особливих точках також дорівнює двом.

У зафіксованих особливих точках ( і на гілці , і на гілці , рис. 4) від регулярних гілок відгалужуються гілки, яким відповідають форми деформації оболонки з одним або декількома поясами вм'ятин (тобто форми локальні в подовжньому напрямку і регулярні в окружному); першою (при русі вздовж регулярної гілки від ствола) відгалужується гілка, який відповідає форма вигляду один пояс вм'ятин, наступною два пояси вм'ятин і т.д.; при цьому, число вм'ятин у поясах дорівнює числу вм'ятин в окружному напрямку для регулярної форми, що відповідає гілці, від якої відгалужуються дані гілки.

Нижньою межею за параметром навантаження гілок, яким відповідають розв'язки, що описуються формою деформації вигляду один пояс вм'ятин, є величина , а гілок, яким відповідають розв'язки, що описуються формою деформації два або більш поясів вм'ятин, .

В обчислювальному експерименті було встановлено, що нелінійна крайова задача у випадку осьового стиску має третинне розгалуження: від гілки, який відповідає розв'язок, що описується формою закритичної деформації вигляду пояс вм'ятин, відгалужуються гілки, яким відповідають розв'язку, що описуються формою деформації вигляду одна локальна вм'ятина або кілька вм'ятин, що належать одному поясу (локальні форми).

Дане розгалуження відбувається через виродження оператора, що визначає розв'язок в окружному напрямку, причому виродженість даного оператора в цих точках дорівнює двом; у кожній з точок біфуркації, що фіксуються на гілці даного типу, відгалужуються дві локальні гілки. Локальні гілки з'єднують між собою гілки, яким відповідають пояси з різною кількістю вм'ятин в окружному напрямку і (можливий випадок ), що обумовлює складну структуру локальної гілки.

На рис. 5 подано характерний вид локальної гілки гілка у координатах . Усі форми деформації оболонки, що відповідають точкам даної гілки розв'язку, характеризуються яскраво вираженою локальністю в подовжньому напрямку характерний подовжній перетин поданий у верхньому правому куті рисунка; на рисунку також подані радіальні перетини форм, що відповідають різним ділянкам даної гілки. Нижньою межею області існування для гілок, яким відповідають розв'язки, що описуються формою деформації вигляду декілька локальних вм'ятин, що належать одному поясу, є , причому дані гілки характеризуються порівняно невеликими величинами норм прогину.

Як і для гілки з одним поясом вм'ятин, під час руху за параметром уздовж гілки з формою вигляду два суміжних пояси вм'ятин, фіксуються особливі точки, обумовлені виродженням оператора, що визначає співмножник розв'язку в окружному напрямку. Виродженість у даних особливих точках дорівнює 1. Дані особливі точки породжують локальні гілки, яким відповідають розв'язки, що описуються формами деформації вигляду група вм'ятин (або кілька несуміжних груп вм'ятин), на рис. 6 наведений характерний вид гілки даного типу гілка характерний подовжній перетин разом з радіальними перетинами, що відповідають різним ділянкам гілки, також наведений на рисунку. Нижньою межею за параметром навантаження області існування гілок, які характеризуються розв'язками, що описуються формами деформації вигляду група вм'ятин, які належать суміжним поясам, є величина , причому нижньої межі досягає значне число гілок.

У таблиці 1 наведено характеристики областей існування характерних закритичних форм деформації; значення норм прогинів віднесені до максимального значення норми, зафіксованого на спадних ділянках регулярних гілок.

Незважаючи на те, що нижню межу області існування регулярних форм деформації меньша за нижні межі областей існування інших форм деформації, норма прогину, при якій досягається даний рівень навантаження, в кілька разів перевищує характерні значення норм прогинів інших закритичних форм деформації.

Характерні значення норм прогинів, що відповідають формам деформації вигляду один пояс вм'ятин і декілька суміжних поясів вм'ятин, значно більше характерних значень норм прогинів, що відповідають локальним формам деформації групи (одна або декілька) локальних вм'ятин, що належать одному поясу, і групи (одна або декілька) локальних вм'ятин, що належать суміжним поясам.

Порівнюючи між собою розв'язки, що характеризуються формами деформації вигляду група локальних вм'ятин, що належать одному поясу, та розв'язки, що характеризуються формами деформації вигляду група локальних вм'ятин, що належать суміжним поясам, варто наголосити на тому, що останні характеризуються більш низькими значеннями навантажень, що характеризують область їх існування, 0.33 у порівнянні з 0.5, але і великими значеннями норм прогину. Залежність нижніх меж областей існування різних типів форм закритичної деформації від параметра наведено на рис. 7.

Підмноговиди многовиду закритичних розв'язків були досліджені методами теорії особливостей диференційовних відображень.

Порівняльний аналіз довів, що одержані в роботі результати добре узгоджуються з розрахунками інших авторів та відомими експериментальними даними.

ВИСНОВКИ

Аналіз експериментальних досліджень, присвячених стійкості циліндричних оболонок при переважних зусиллях стиску, показують, що для оцінки несучої здатності тонкостінних циліндричних оболонок необхідна побудова та аналіз структури закритичних розв'язків нелінійної крайової задачі, як таких, що визначають поведінку навантаженої оболонки.

Запропонований варіаційний метод ітеративного відокремлення змінних у поєднанні з методом зведення одновимірної крайової задачі до задачі Коші розв'язує проблему побудови загальної картини закритичних розв'язків рівнянь нелінійної теорії циліндричних оболонок та дозволяє фіксувати особливі точки загального виду (граничні особливі точки, точки біфуркації). Зазначений метод у поєднанні з методом продовження за параметром та методом збурення реалізовано у вигляді алгоритму, який, є основою пакета прикладних програм для побудови закритичних гілок розв'язку.

Здійснений аналіз доводить, що особливі точки нелінійних розв'язків локалізуються в точках проходження через нуль визначника матриці Фреше для форм, що змінюються в одному з напрямків (в окружному, прийнятому в цій роботі) і в точках спектра лінеарізованої на нелінійних розв'язках крайової задачі для іншого (подовжнього) напрямку. Для аналізу структури галуження може бути використана теорія біфуркацій, що дозволяє установити характер і порядок розгалуження в особливих точках.

Структура розгалуження нелінійної крайової задачі, що описує поведінку циліндричної оболонки при дії рівномірного зовнішнього тиску, характеризується такими типами гілок: ствол, регулярні гілки, локальні гілки; при цьому регулярні гілки відгалужуються від ствола, а локальні відгалужуються від регулярних.

Структура галуження нелінійної крайової задачі, що описує поведінку циліндричної оболонки при дії рівномірного осьового стиску, характеризується такими типами гілок: ствол; регулярні гілки; гілки, яким відповідають форми типу один або декілька поясів вм'ятин; локальні гілки, яким відповідає локальна в обох напрямках форма або група вм'ятин, що лежать в одному поясі або у суміжних поясах. При цьому, кожен наступний тип гілки відгалужується від попереднього.

Нижньою межею для області існування закритичних гілок розв'язку є для випадку рівномірного осьового стиску є величина , для випадку рівномірного зовнішнього тиску . Обидві величини подані в частках відповідних критичних навантажень, що одержані у межах лінійної теорії.

Розв'язки нелінійної крайової задачі, що описують поведінку циліндричної оболонки при наявності початкових недосконалостей (початковий погин, нерівномірність навантаження) близькі за нормою до одного із закритичних розв'язків, одержаних для випадку відсутності зазначених недосконалостей, як для випадку осьового стиску, так і для випадку зовнішнього тиску. Як наслідок, значення параметра зовнішнього навантаження, при яких на закритичних гілках розв'язку крайової задачі при відсутності початкових недосконалостей фіксуються особливі точки, можуть бути використані для оцінки рівня критичного навантаження для випадку наявності початкових недосконалостей.

При якісному аналізі поведінка циліндричної оболонки при впливі нерівномірного зовнішнього тиску можна обмежиться лише п'ятьма істотними параметрами, а саме: величиною зовнішнього навантаження , власним числом хвиль оболонки , номером головної гармоніки при розкладанні функції зовнішнього навантаження в ряд Фур'є і значеннями коефіцієнтів Фур'є головної гармоніки , . Подібна картина спостерігається й у випадку осьового стиску, але кількість параметрів збільшується, оскільки галуження тут має більш складну структуру (значна кількість закритичних форм).

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Ободан Н. И., Громов В. А. Исследование закритических ветвей решения нелинейной краевой задачи теории оболочек для случая цилиндрической оболочки // Вестник ДНУ. Серия Механика. - 2003. - № 7. Том 2. - С. 153 164.

Ободан Н. И., Громов В. А. Характерное ветвление решения для задачи равномерного осевого сжатия цилиндрической оболочки // Вестник ДНУ. Серия Механика. - 2004. - № 6. Том 2. - С. 161 169.

Ободан Н. І, Громов В. О. Розгалуження розв'язків нелінійної крайової задачі для циліндричної оболонки при дії рівномірного осьового стискання // Машинознавство. - 2005. - № 7. - С. 3 - 9.

Ободан Н. И., Громов В. А. Численный анализ ветвления решений уравнений нелинейной теории цилиндрических оболочек // Прикл. механика. - 2006. - № 1. - С. 103 112.

Ободан Н. И., Громов В. А. Катастрофа сферической оболочки // Вестник ДНУ. Серия Механика. - 2000. - № 3. Том 2. - С. 70 77.

Громов В. О. Моделювання нелінійних ефектів у поздовжньо стиснутих циліндричних оболонках // Тези доповідей 7-го міжнародного симпозіуму українських інженерів-механіків у Львові. Львів, 2005. - С. 65.

Громов В. А. Идентификация критической начальной погиби оболочки при заданном нагружении // Тезисы докладов 3-й международной научно-практической конференции Математическое и программное обеспечение интеллектуальных систем. Днепропетровск, 2005. - С. 44.

Громов В. А. Классификация основных параметров оболочечной системы, определяющих её устойчивость, методами теории катастроф // Тезисы докладов 2-й международной научно-практической конференции Математическое и программное обеспечение интеллектуальных систем. Днепропетровск, 2004. - С. 31.

Ободан Н. И., Громов В. А. Устойчивость и катастрофы тонкостенных оболочек // Тезисы докладов 6-й крымской международной математической школы Метод функций Ляпунова и его приложения. Алушта, 2002. - С. 53.

Ободан Н. І., Громов В. О. Моделювання нелінійної поведінки циліндричних оболонок за допомогою теорії катастроф // Тези доповідей міжнародної науково-практичної конференції Інформаційні технології: наука, техніка, технологія, освіта, здоров'я. Харків, 2002. - С. 65 - 66.

АННОТАЦИЯ

Громов В.А. Закритическое поведение и ветвление решений в нелинейных задачах теории цилиндрических оболочек. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твёрдого тела. - Днепропетровский национальный университет Министерства образования и науки Украины, Днепропетровск, 2006.

Диссертация посвящена построению и анализу закритических решений нелинейных краевых задач, описывающих поведение цилиндрических оболочек при действии осевого сжатия и внешнего давления.

В диссертации предложен вариационный метод итеративного разделения переменных, позволяющий в сочетании с методом продолжения по параметру строить закритические решения и фиксировать особые точки общего вида. В диссертации приводится методика анализа особых точек, позволяющая установить порядок вырожденности в особой точке.

С использованием предложенного метода в рамках широкомасштабного вычислительного эксперимента установлена структура ветвления нелинейных краевых задач, описывающих деформирование цилиндрической оболочки для случаев внешнего давления и осевого сжатия, установлены области существования по параметру нагружения и нормам прогиба различных закритических форм деформации.

Структура ветвления нелинейной краевой задачи, описывающей поведение цилиндрической оболочки, подвергнутой действию равномерного осевого сжатия, характеризуется следующими типами ветвей: ствол; регулярные ветви; ветви, которым соответствуют формы типа один или несколько поясов вмятин; локальные ветви, которым соответствует локальная в обоих направлениях форма или группа вмятин, лежащих в одном поясе. При этом, каждый последующий тип ветви ответвляется от предыдущего.

Структура ветвления нелинейной краевой задачи, описывающей поведение цилиндрической оболочки, подвергнутой действию равномерного внешнего давления, характеризуется наличием следующих ветвей: ствол, регулярные ветви, локальные ветви; при этом регулярные ветви ответвляются от ствола, а локальные ответвляются от регулярных.

Проанализированы нижние границы областей существования решений, которые соответствуют возможным значениям критических нагрузок.

Ключевые слова: цилиндрическая оболочка при действии осевом сжатии и внешнем давлении, закритическая деформация, ветвление закритических решений.

АНОТАЦІЯ

Громов В.О. Закритична поведінка і розгалуження розв'язків у нелінійних задачах теорії циліндричних оболонок. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Дніпропетровський національний університет Міністерства освіти і науки України, Дніпропетровськ, 2006.

Дисертація присвячена побудові й аналізу закритичних розв'язків нелінійних крайових задач, що описують поведінку циліндричних оболонок при дії осьового стиску і зовнішнього тиску.

У дисертації запропоновано варіаційний метод ітеративного відокремлення змінних, що дозволяє у поєднанні з методом продовження за параметром будувати закритичні розв'язки і фіксувати особливі точки загального виду. У дисертації приводиться методика аналізу особливих точок, що дозволяє установити порядок вироджености в особливій точці.

З використанням запропонованого методу у межах широкомасштабного обчислювального експерименту встановлено структура розгалуження нелінійних крайових задач, що описують деформування циліндричної оболонки для випадків зовнішнього тиску й осьового стиску, встановлені області існування за параметром навантаження й нормою прогину різних закритичних форм деформації.

Ключові слова: циліндрична оболонка при дії осьовому стиску і зовнішньому тиску, закритична деформація, розгалуження закритичних розв'язків.

задача нелінійний крайовий тиск

SUMMARY

Gromov V. A. Postcritical behaviour and solution branching for the cylindrical shell theory non-linear problems. - Manuscript.

The thesis submitted towards candidate scientific degree of the physical and mathematical sciences on the specialty 01.02.04 “Mechanics of deformed solids”. - Dnepropetrovsk national university. Dnepropetrovsk, 2006.

The thesis is devoted to the postcritical solution construction and analysis for non-linear boundary problems, which govern axially compressed or pressured cylindrical shells.

The variational method of iterative variants decomposition is put forward in the thesis. The method coupled with the path-tracing method is able to construct postcritical solutions and fix singular points of any kind. The technique of singular point analysis to compute its degeneracy is proposed in the thesis likewise.

The method was employed to determine the solution branching for non-linear boundary problems, which govern axially compressed or pressured cylindrical shells, in the wide-range simulation. The regions of existence by the load parameter and the deflection norm are determined for different postcritical forms of deformation.

Key words: axially compressed or pressured cylindrical shells, postcritical deformation, postcritical solution branching.

Размещено на Allbest.ru

...