Основы технической механики

Размещено на http://www.allbest.ru/

1.Виды напряженно-деформированного состояния

Напряженно-деформированное состояние -- это совокупность внутренних напряжений и деформаций, возникающих при действии на материальное тело внешних нагрузок, температурных полей и других факторов.Совокупность напряжений полностью характеризует напряжённое состояние частицы тела. Эту совокупность записывают в виде тензора напряжений, :

Тензор напряжений (иногда Тензор напряжений Коши) -- тензор второго ранга, состоящий из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела. Эти девять величин записываются в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные напряжения в трёх взаимно перпендикулярных осях, а в остальных позициях -- касательные напряжения, действующие на трёх взаимно перпендикулярных плоскостях.

Рис. 1



Полный тензор механического напряжения элементарного объёма тела. Буквой у обозначены нормальные механические напряжения, а касательные буквой ф.

Компоненты тензора напряжений в декартовой системе координат (то есть ) вводят следующим образом. Рассматривают бесконечно малый объём тела (сплошной среды) в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого ортогональны координатным осям и имеют площади . На каждой грани параллелепипеда действуют поверхностные силы . Если обозначить проекции этих сил на оси как , то компонентами тензора напряжений называют отношение проекций силы к величине площади грани, на которой действует эта сила:

По индексу здесь суммирования нет. Компоненты , ,, обозначаемые также как , , -- это нормальные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы на нормаль к площади рассматриваемой грани :

и т. д.

Компоненты , ,, обозначаемые также как , , -- это касательные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы на касательные направления к площади рассматриваемой грани :

и т. д.



При отсутствии собственного момента импульса сплошной среды, а также объемных и поверхностных пар тензор напряжений симметричен (так называемый закон парности касательных напряжений), что является следствием уравнения баланса момента импульса. В частности, тензор напряжений симметричен в классической теории упругости и гидродинамике идеальной и линейно-вязкой жидкостей.

Совокупность компонентов деформации характеризует деформированное состояние частицы тела. Эту совокупность записывают в виде тензора деформации:

Тензор деформации -- тензор, который характеризует сжатие (растяжение) и изменение формы в каждой точке тела при деформации.

Тензор деформации Коши-Грина в классической сплошной среде (частицы которой являются материальными точками и обладают лишь тремя трансляционными степенями свободы) определяется как

,

где -- вектор, описывающий смещение точки тела: его координаты -- разность между координатами близких точек после () и до () деформации. Дифференцирование производится по координатам в отсчетной конфигурации (до деформирования). Расстояния до и после деформации связаны через :



(по повторяющимся индексам ведётся суммирование).

По определению тензор деформации симметричен, то есть .

В некоторых источниках этот тензор деформации называют тензором деформации Грина-Лагранжа, а правую меру деформации Коши-Грина (удвоенный обсуждаемый тензор деформации плюс единичный тензор) -- правым тензором деформации Коши-Грина.

Нелинейный тензор деформации Коши-Грина обладает свойством материальной объективности. Это означает, что если кусок деформируемого тела совершает жесткое движение, тензор деформации поворачивается вместе с элементарным объемом материала. Удобно использовать такие тензоры при записи определяющих уравнений материала, тогда принцип материальной объективности выполняется автоматически, то есть если наблюдатель двигается относительно деформируемой среды, поведение материала не меняется (тензор напряжений поворачивается в системе отсчета наблюдателя вместе с элементарным объемом материала).

Существуют также другие объективные тензоры деформации, например, тензор деформации Альманси, тензоры деформации Пиола, Фингера и т. д. В некоторые из них входят производные от перемещений по координатам в отсчетной конфигурации (до деформирования), а в некоторые -- по координатам в актуальной конфигурации (после деформирования).

То, что в классической сплошной среде энергия деформации зависит лишь от симметричного тензора деформации, следует из закона баланса моментов. Любая взаимно-однозначная функция объективного тензора деформации будет также объективным тензором деформации. Например (в силу симметричности и положительной определенности тензора деформации) можно использовать квадратный корень из тензора деформации Коши-Грина. Однако, задавая определяющие уравнения при помощи этих тензоров, важно следить за предположениями о характере зависимости свободной энергии (или напряжений) от тензоров деформации. Ясно, что предположения о, скажем, дифференцируемости свободной энергии по тензору деформации Коши-Грина, по корню из него или по его квадрату приведут к уравнениям совершенно разных материалов. Линейная по теория общего вида при малых получится лишь в первом случае.

При малых можно пренебречь квадратичными слагаемыми, и пользоваться тензором деформации в виде:

Линейный тензор деформации Коши-Грина (совпадает с линейным тензором деформации Альманси с точностью до знака) не обладает свойством материальной объективности при больших поворотах, поэтому его не используют в определяющих уравнениях для больших деформаций. В приближении малых поворотов это свойство сохраняется.

Диагональные элементы описывают линейные деформации растяжения либо сжатия, недиагональные -- деформацию сдвига.

Известны следующие простейшие виды деформаций стержней:

- осевое растяжение и сжатие - такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении стержня возникает только продольная сила - (работа тросов, канатов, цепей, тяг управления самолетом, стоек шасси самолета, подкосов рамы двигателя, шатунов поршневых двигателей);

- сдвиг или срез - такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только поперечная сила - (работа болтов подвижных соединений, цапф, пальцев сочленения, сварных швов, шпонок и др.);

- кручение - такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент - (работа валов, крыла и фюзеляжа самолета, рулей и элеронов, работа стойки шасси);

- изгиб чистый - такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент -Mх или My

Если в сечении стержня возникает еще и поперечная сила, то изгиб называют поперечным (работа всякого рода балок, лонжеронов крыла, качалок управления самолетом, ручки управления самолетом, стойки шасси).

Рис. 2

Напряжения. Принято считать, что внутренние силы действуют непрерывно по всему сечению. Мерой их интенсивности является напряжение - величина внутренних сил, приходящихся на единицу площади сечения (рис. 3). Напряжение представляет собой отношение внутренней силы к некоторой площади и измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади: 1 H/м2 = 1Па. В практических расчетах удобно измерять напряжения в мегапаскалях (1МПа = 1Н/мм2= 106 Па = 106 Н/м2).

Через одну и ту же точку тела можно провести бесчисленное множество сечений, разделяющих тело на две части. В общем случае напряжения по различным сечениям будут различны.

Напряжения в некоторой точке какого-либо сечения тела характеризуются числовым значением и направлением, т.е. напряжение представляет собой вектор, наклоненный под тем или иным углом к рассматриваемому сечению. Направление и числовая величина напряжения зависят от характера и величины внешних сил, приложенных к телу, от положения сечения в теле и положения точки в сечении.

Пусть в некоторой точке К сечения тела по некоторой малой площадке А действует сила под некоторым углом к площадке (рис. 3).

Рис. 3

Поделив эту силу на площадь ДА, найдем возникающее в точке К напряжение

(2.1)

при DА ® 0

Разложим напряжение на составляющие: (сигма) - нормальное напряжение (по нормали к площадке Д А) и касательное напряжение - (тау). Полное напряжение и его составляющие и являются векторами. Рассматривая нормальное или касательное напряжения по какому-либо сечению, мы тем самым точно фиксируем их направление. Поэтому эти напряжения не принято обозначать как векторы. Нормальное напряжение возникает при сближении или отрыве частиц тела, а касательное при скольжении или сдвиге частиц. При решении задач сопротивления материалов удобнее оперировать не с полным напряжением, а с его составляющими, среднюю величину которых при равномерном распределении нагрузки можно вычислить по формулам:



у = и t = (2.2)

Полное напряжение

Напряжение, при котором происходит разрушение материала или возникают заметные пластические деформации, называют предельным, и обозначают упр, фпр . Эти напряжения определяют опытным путем. Во избежание разрушения элементов сооружений или машин, возникающие в них рабочие (расчетные) напряжения (у, ф) не должны превышать так называемых допускаемых напряжений, которые обозначаются буквами в квадратных скобках: [ у ], [ ф ]. Допускаемые напряжения - это наибольшие напряжения, при которых обеспечивается надежная работа детали

[у ] = упр / [n], [ ф ] = фпр / [n], (2.4)

где [n] = 1,2 … 5 и более - коэффициент запаса прочности. Выбор допускаемых напряжений и запаса прочности детали производится с учетом характера действия нагрузок, механических свойств материала, назначения проектируемой конструкции, вида деформации детали, наличия или отсутствия концентрации напряжений, точности расчета и других факторов. Назначение недостаточного запаса может привести к разрушению детали, излишне большой запас приводит к перерасходу материала и утяжелению конструкции. Опасным напряжением для пластичного материала будет предел текучести ут по которому и берется допускаемое напряжение, опасным же напряжением для хрупкого материала будет предел прочности уВ, тогда



[ у ] = уТ / [n] и [у ] = ув / [n] (2.4ў)

Нагрузка, по которой следует производить расчет на прочность, должна быть больше эксплуатационной, чтобы обеспечить безопасность работы конструкии для этого вводится коэффициент безопасности f - число, показывающее во сколько раз разрушающая нагрузка Fр будет больше эксплуатационной.

2.Расчет по предельным состояниям

Основным методом расчета конструкций промышленных и гражданских зданий и сооружений, мостов и др. в настоящее время является метод предельных состояний. Этот метод был разработан учеными под руководством проф. Н.С. Стрелецкого и начал применяться с 1955 г.

Предельным считается состояние, при котором конструкция перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям или требованиям, предъявляемым в процессе возведения здания и сооружения.

Различают две группы предельных состояний: первая - непригодность к эксплуатации по причинам потери несущей способности; вторая - непригодность к нормальной эксплуатации в соответствии с предусмотренными технологическими или бытовыми условиями. В правильно запроектированном сооружении не должно возникнуть ни одно из указанных предельных состояний, т.е. должна быть обеспечена его надежность. Надежностью называется способность объекта сохранять в процессе эксплуатации качество, заложенное при проектировании.

Факторы, от точного учета которых зависит уровень надежности сооружения или отдельного его элемента, следующие: нагрузки и другие воздействия, механические свойства материала, геометрические параметры конструктивных элементов, условия работы, степень ответственности сооружения и др.

Нормативное значение нагрузки и воздействий соответствует их значению при нормальной эксплуатации. Они устанавливаются Строительными нормами и правилами (СНиП). Возможное отклонение значений нагрузок от их нормативных значений учитывается коэффициентом надежности по нагрузке n?1, принимаемым по СНиПу.

Нагрузки и воздействия, полученные путем умножения их нормативных значений на коэффициент надежности по нагрузке, называются расчетными. Например, расчетная сила P=nPн.

При расчете по первой группе предельных состояний обычно n>1, и тогда расчетные нагрузки являются наибольшими нагрузками, которые могут возникнуть за время эксплуатации сооружения.

Но коэффициент надежности по нагрузке может быть меньше единицы, т.е. n<1, если это приводит к ухудшению условий работы сооружения. Например, кратковременные нагрузки в стадии возведения принимаются с коэффициентом n=0,8.

Коэффициент надежности по нагрузке при расчете по второй группе предельных состояний принимается, как правило, равным единице.

Основной характеристикой сопротивления материалов силовым воздействиям является нормативное сопротивление Rн, которое устанавливается СНиПом с учетом условий контроля и статистической изменчивости механических свойств материала. В качестве нормативного сопротивления строительных сталей принимают наименьшее контролируемое (браковочное) значение предела текучести уT или временного сопротивления ув. Эти значения устанавливаются ГОСТами или техническими условиями на металл.

Возможное отклонение в неблагоприятную сторону от значений нормативного сопротивления учитывается коэффициентом надежности по материалу гм>1. Этот коэффициент отражает статистическую изменчивость свойств материала и их отличие от свойств отдельно испытанных образцов. Например, для металла гм =1,025…1,15; для бетона гм =1,3…1,5.

Величина, полученная в результате деления нормативного сопротивления на коэффициент надежности по материалу, называется расчетным сопротивлением:

Она представляет собой наименьшую возможную величину нормативного сопротивления; значения для R устанавливаются СНиПом.

Особенности действительной работы материалов, элементов конструкций, их соединений учитываются коэффициентом условий работы г. Он отражает влияние температуры, агрессивности среды, длительности и многократной повторяемости воздействия, приближенности расчетных схем и условность расчетных предпосылок (г<1), а также перераспределение усилий при развитии пластических деформаций и другие благоприятные факторы (г>1). Числовые значения для устанавливаются СНиПом на основании экспериментальных и теоретических исследований и вводятся в качестве множителя к значению расчетного сопротивления R. В большинстве случаев при нормальных условиях работы коэффициент г=1 и может быть опущен.

Степень ответственности и капитальности сооружений, а также значимость последствий тех или иных предельных состояний учитывается коэффициентом надежности по назначению гн?1. Его вводят в качестве делителя к значению расчетного сопротивления или в качестве множителя к значению расчетных нагрузок, воздействий и усилий.

Существуют и другие коэффициенты, которые учитывают особенности расчета и работы сооружения, например коэффициент nc, учитывающий одновременное действие всех расчетных нагрузок. Здесь же приведены коэффициенты, учитывающие основные факторы, которые влияют на надежность сооружения.

Надежность и гарантия от возникновения предельных состояний первой группы (по несущей способности) обеспечиваются выполнением следующего условия:

где N - усилие, действующее в рассчитываемом элементе конструкции (функция нагрузок и других воздействий); S - предельное усилие, которое может воспринять рассчитываемый элемент (функция физико-механических свойств материала, размеров элемента и условий работы).

Усилие N, являющееся наибольшим возможным усилием (воздействием) за время нормальной эксплуатации конструкции, определяется так:

а предельное усилие

где - геометрическая характеристика сечения.

Таким образом, условие прочности (надежности) для центрально растянутого (сжатого) элемента () будет иметь вид

Основные положения метода предельного равновесия

Расчет конструкций в упругой постановке задачи, как известно, проводится по методу допускаемых напряжений. Данный подход при расчете статически определимых и статически неопределимых систем не позволяет найти их истинный запас прочности, так как исчерпание несущей способности конструкции сопровождается появлением в ней пластических деформаций. Для выявления истинного запаса несущей способности конструкции необходимо проводить расчет с учетом упруго-пластических деформаций. Однако сложность аппарата теории пластичности не позволяет решать широкий круг очень важных инженерных задач. В этом отношении расчет конструкций по методу предельного равновесия, позволяет дополнить существующий пробел по данному вопросу. Поэтому, метод расчета конструкций по предельным состояниям, по сравнению с упругим расчетом, является важным этапом для оценки истинных запасов прочности конструкции. При этом следует отметить, что расчет конструкций по методу предельных состояний является приближенным в том контексте, что, в отличии от упруго-пластического расчета, не позволяет описать процесс перехода от упругого к предельному состоянию.

Если при проектировании инженерных сооружений необходимо знать процесс формирования напряженно-деформированного состояния вплоть до исчерпания несущей способности конструкций, метод предельного равновесия неприменим. Однако, в тех случаях, когда необходимо определить только несущую способность конструкции этот метод является очень эффективным и имеет важное практическое значение.

При расчете конструкций по допускаемым напряжениям в упругой постановке задачи, как известно, предельной нагрузкой считается та, при которой наибольшее напряжение , хотя бы в одной точке опасного сечения достигает величины . При этом вводится понятие о допускаемом напряжении, определяемом по формуле , где n - коэффициент запаса.

При расчете конструкций по методу предельного равновесия предполагается двухстадийный характер деформирования материала: в первой стадии материал подчиняется закону Гука, пока напряжения не достигнут предела текучести; а затем во второй стадии, предполагая, что в нем в определенной стадии нагружения в опасных сечениях беспредельно развиваются пластические деформации при постоянном напряжении. С появлением пластических деформаций нарушается линейная зависимость между напряжениями и деформациями по закону Гука, и все расчетные формулы, вывод которых основан на этой зависимости, становятся неприменимыми. Нарушается прямая пропорциональность между действующими на элемент конструкции нагрузками и возникающими в нем напряжениями и деформациями. Становится неприменимым один из основных принципов сопротивления материалов - принцип независимости действия сил.

Так как зависимость между напряжениями и деформациями становится нелинейной и для каждого материала определяется видом диаграммы растяжения, единых для различных материалов расчетных формул, учитывающих пластические деформации, получить невозможно. При выводе расчетных формул диаграммы растяжения упрощают (схематизируют). Для материалов, имеющих площадку текучести, например для низкоуглеродистых сталей условная диаграмма зависимости напряжения от деформации состоит из наклонного и горизонтального участков и носит название диагpаммы идеально yпpyго-плаcтичеcкого тела, или диагpаммыПpандтля.

Суть метода состоит в том, что конструкция рассматривается в момент, непосредственно предшествующий ее разрушению, когда еще выполняются условия равновесия для внутренних и внешних сил, достигающих предельных значений. Отсюда и произошло название метода предельного равновесия.

Реальные конструкции представляют собой в большинстве случаев многократно статически неопределимые системы, материал которых обладает свойством пластичности. Благодаря этому конструкции обладают дополнительными резервами несущей способности. После того, как в наиболее опасных сечениях напряжения достигают предела текучести, в отличие от статически определимых систем, статически неопределимые системы могут нести дополнительные нагрузки за счет перераспределения внутренних сил.

Для пластичного материала предельным обычно считается, напряженное состояние, которое соответствует возникновению заметных остаточных деформаций, а для хрупкого - такое, при котором начинается разрушение материала.

Для выполнения расчетов на прочность по методу предельного равновесия вводятся понятия коэффициента запаса прочности и эффективное напряжение.

Коэффициент запаса при данном напряженном состоянии это число, показывающее во сколько раз следует одновременно увеличить все компоненты тензора напряжений, чтобы оно стало предельным.

Эквивалентное напряжение - это такое напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние было равно опасно с заданным.

Для пластичных материалов критерием наступления предельного состояния принимается состояние, при котором максимальные касательные напряжения достигают некоторого предельного значения:

Гипотеза максимальных касательных напряжений, приемлемая для пластичных материалов, обнаруживает заметные погрешности для материалов, имеющих различные механические характеристики при сжатии и растяжении.

В таких случаях применяется энергетическая гипотеза, согласно которой предельное состояние в точке наступает тогда, когда энергия формоизменения



принимает некоторое заранее заданное значение. Это предельное значение для определяется следующим образом. Для простого растяжения выражение (20.2) принимает вид:

В сложном напряженном состоянии принимает значение

Следует помнить, что расчет по методу предельного равновесия можно выполнять только для элементов конструкций, изготовленных из пластичных материалов, допускающих пластические деформации в наиболее напряженных точках без появления в них трещин. Недопустимо появление пластических деформаций в деталях машин, длительно работающих при переменных, циклических напряжениях, так как при этом резко снижается число циклов до разрушения, т.е. долговечность детали.

Основы теории пластичности

Рассмотрим основные особенности характера деформирования материалов при их нагружении в упруго-пластической стадии. При напряжениях, превышающих предел упругости, после разрузки наблюдаются заметные остаточные деформации. Свойство материалов относительно неспособности восстанавливать первоначальные размеры образцов после их разгрузки за счет возникновения остаточных деформаций, называется пластичностью.

Физические соотношения, взятые в основу теории, позволяющие определить переход напряженно-деформированного состояния от упругой стадии к упруго-пластической и описать процесс деформирования тела с учетом пластических свойств материалов, называются теорией пластичности.

Учет пластических свойств материалов является чрезвычайно важным этапом в плане совершенствования методов расчета конструкций. Если конструкции из хрупких материалов вплоть до стадии разрушения при действии внешних сил не развивают заметных пластических деформаций, то для конструкций из пластических материалов основные деформации формируются именно за счет возникновения пластических деформаций. Так например, полные деформации, соответствующие концу площадки текучести на реальной диаграмме, для многих материалов в 30 - 40 раз превышают деформации, соответствующие концу линейного участка.

В настоящее время существуют две теории пластичности. Их различие заключается в конкретной записи физических соотношений.

В деформационной теории пластичности, разработанной А.А.Ильюшиным, взамен закона Гука устанавливаются новые соотношения между напряжениями и деформациями.

Во второй теории - теории течения, физические соотношения связывают напряжения с приращениями деформаций или скоростями деформаций.

Как показывают экспериментальные исследования, деформационная теория пластичности справедлива при относительно небольших пластических деформациях для простого нагружения, т.е. когда все внешние нагрузки изменяются пропорционально во времени.

Теория течения является эффективным при изучении процессов, связанных с возникновением больших деформаций и при сложном нагружении, т.е. когда нагрузки, прикладываемые к телу, изменяются во времени независимо друг от друга. Здесь ограничимся рассмотрением только деформационной теории пластичности.

Процесс деформирования материалов можно условно разделить на две стадии. Начальная стадия - упругое деформирование. Компоненты тензоров напряжений и деформаций при этом связаны законом Гука.

Для реальных инженерных задач, связанных с определением напряженно-деформированного состояния тела, как в упругой, так и в упруго-пластической стадии деформирования, предварительно необходимо установить: во-первых, условие перехода от упругой стадии деформирования к пластической стадии и, во-вторых, установить физические зависимости во второй стадии деформирования.

Условия перехода от упругого состояния к пластическому могут быть определены по формулам одной из гипотез метода предельного равновесия. Как это было изложено в пункте «Основные положения метода предельного равновесия», наиболее приемлемыми являются гипотезы максимальных касательных напряжений и энергии формоизменения. При этом, для построения соотношений пластичности гипотеза энергии формоизменения является наиболее приемлемой, согласно которой переход из упругого состояния в пластическое происходит тогда, когда величина

называемая интенсивностью напряжений, достигает определенной величины, равной пределу текучести материала при одноосном напряженном состоянии, т.е.



С учетом физических соотношений (10.18) и (10.19) выражение (20.4) принимает вид:

где принято обозначение:

называемое интенсивностью деформаций.

Следовательно, соотношение следует рассматривать как одну из форм выражения обобщенного закона Гука.

Выражения интенсивности напряжений и интенсивности деформаций, записанные через главные напряжения и деформации можно представить в виде:

В основу деформационной теории пластичности заложены следующие гипотезы.



Рис. 4

Первая гипотеза устанавливает связь между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций, и гласит, что она не зависит от вида напряженного состояния, т.е.

где - является переменной величиной и зависит от значения . Соотношение (20.9) является единым для всех видов напряженного состояния.

Согласно второй гипотезе - изменение объема является чисто упругой. Это положение хорошо согласуется с экспериментальными данными, так как при всестороннем сжатии в материалах заметных пластических деформаций не обнаруживается.

При деформировании материалов пластические деформации, как правило, существенно больше упругих и, учитывая, что объемная деформация e является величиной порядка упругих удлинений, поэтому принимается, что при пластическом деформировании изменение объема пренебрежительно мало. На основании этого положения вводится гипотеза, что в пластической стадии деформирования материал считается несжимаемым.

Откуда следует, что в пластической стадии деформирования можно коэффициент Пуассона принимать равным м = 0,5.

Сначала определим физические соотношения при одноосном растяжении, когда

Из (20.4) и (20.7), соответственно получим и , что подтверждает первое положение теории, что аналитическое выражение (20.9) едино для всех видов напряженного состояния. Данное обстоятельство позволяет определить переменный модуль деформирования по диаграмме , т.е. .

В заключение, аналогично соотношениям запишем физические соотношения между напряжениями и деформациями при пластической стадии деформирования тела:

где является модулем деформации при сдвиге, который определяется следующим образом:



Приведенные физические соотношения деформационной теории пластичности являются справедливыми при простых нагружениях, т.е. только в тех случаях, когда все внешние силы на всех этапах нагружения во времени изменяются пропорционально. В данном случае заметим, что главные оси напряженного состояния при изменении внешних сил сохраняют свое направление независимо от стадии деформирования.

Для наглядности ниже рассмотрим наиболее представительные примеры расчета конструкций по методу предельного равновесия.

3.Ползучесть материалов

Основы теории ползучести

При изучении предыдущих частей данного учебного пособия предполагалось, что напряженное и деформированное состояние тела остается неизменным во времени, если неизменны внешние воздействия. Однако, в действительности полная деформация любой точки заданного тела при действии внешних сил, формируется в течении определенного промежутка времени. Далее известно, что все материалы обладают свойством старения, т.е. физико-механические характеристики во времени меняются, поэтому учет временных процессов, протекающих в элементах конструкций в период действия внешних сил имеет важное значение в плане совершенствования методов их расчета.

Ползучестью называется процесс нарастания остаточной деформации во времени при постоянных нагрузке или напряжении и температуре.

В современной технической литературе термин «ползучесть» часто заменяют термином «вязкоупругость».

Явление ползучести в принципе присуще всем материалам, но не все они обладают им в одинаковой мере. В металлах ползучесть обнаруживается лишь при высоких температурах, а в цветных металлах (свинец, медь и др.) может проявляться и при обычных температурах. Наиболее ощутим процесс ползучести в бетоне, грунтах, полимерах. Опыт показывает, что деформации ползучести могут быть весьма существенными и заметно влиять на работу конструкции. Известны случаи разрушения котельных труб под постоянным давлением вследствие ползучести материала. Установлено, что в результате ползучести бетона напряжения в арматуре железобетонных конструкций могут увеличиться в 2...2,5 раза, а перемещения в 3...4 раза. Накопление деформаций ползучести в лопатках и дисках турбин может привести к опасному уменьшению зазора между концами лопаток и кожухом двигателя, к заклиниванию и поломке лопаток. В других случаях чрезмерное удлинение детали в условиях ползучести может привести к уменьшению поперечного сечения и разрушению детали при напряжениях, гораздо меньших, чем те, которые она может выдержать приобычном статическом нагружении без длительной выдержки под нагрузкой. Поэтому учет фактора ползучести имеет существенное значение для правильного работы конструкций при действии внешних сил.

Хотя явление ползучести было известно давно, экспериментально его исследовал одним из первых В.Вебер в 1835 г. в опытах по воздействию крутящего момента на кварцевые волокна. В них обнаружилось удивительное для неживой материи свойство хранить «память» о воздействиях, которые она испытывала в прошлом.

Предположим, что в начальный момент времени деформации имеют значения е(0), равное упругой деформации или суммарной упругой и пластической деформацией. Обычно считается, что время нагружения (или разгрузки) образца пренебрежимо мало по сравнению с временем проведения эксперимента, в связи с чем можно положить, что напряжение и деформация е(0) появляются мгновенно.

С увеличением времени t наблюдается возрастание деформаций. Если процесс сопровождается уменьшением скорости деформирования (точкой обозначена производная по времени t) и при , , то эта стадия ползучести называется установившейся. Если деформация ползучести имеет тенденцию к беспредельному увеличению и в итоге сопровождается разрушением материалов конструкции, то эта стадия ползучести называется неустановившейся.

Полная деформация в произвольный момент времени определяется как сумма начальной деформации е(0) и деформации ползучести еП, т.е.

Заметим, что характер протекания ползучести во времени очень чувствителен в зависимости от интенсивности напряжений и температуры. Увеличение интенсивности напряжений или градиента температуры, как правило, приводит к возрастанию деформаций ползучести.

Рис. 5

Если увеличение деформаций ползучести пропорционально увеличению напряжений, то имеем дело с линейной ползучестью, в противном случае ? с нелинейной ползучестью. Установлено, что ползучесть металлов при высоких температурах нелинейная, а бетона, пластмасс при малых напряжениях - линейная. В частности, линейная ползучесть бетона при сжатии имеет место при напряжениях, меньших приблизительно половины призменной прочности.

На ползучесть различных материалов кроме перечисленных оказывают значительное влияние и другие факторы. Например, на ползучести бетона сказываются влажность, свойства заполнителя, вид цемента, водоцементное отношение, масштабный фактор и т.д.

В некоторых случаях наблюдается изменение механических свойств материала по истечении длительного времени при неизменных внешних условиях и в ненагруженном состоянии. В бетоне, например, это явление обусловлено длительными химическими процессами, происходящими в цементном камне, в пластмассах, каучуках и в материалах органического происхождения - медленно протекающими окислительными процессами. Отмеченные явления приводят к так называемому старению материалов. В результате старения они через определенный промежуток времени не могут быть использованы в качестве конструкционных. Установлено, что деформация ползучести при старении зависит не только от продолжительности действия нагрузки, но и от возраста самого материала, который нагружается не сразу после его изготовления.

Известны четыре вида ползучести:

- неупругая обратимая ползучесть, которая считается неопасной для конструкций, т.к. она протекает при напряжениях сдвига ниже критических ();

- логарифмическая ползучесть протекает в области относительно низких температур;

- высокотемпературная ползучесть - которая протекает при (0,4...0,6), где , - температура плавления материала;

- диффузионная ползучесть реализуется при очень высоких температурах порядка (0,8...0,9).

Испытание материалов на ползучесть

Сопоставление материалов по их сопротивлению ползучести часто проводится с помощью условной характеристики, называемой пределом ползучести. Существуют два определения для предела ползучести. Первое относится к случаю относительно непродолжительной работы материала при высоких уровнях напряжения и температуры, когда существенную роль играют процессы, происходящие на стадии неустановившейся ползучести. Например, работа лопаток авиационных газовых турбин. В соответствии с первым определением пределом ползучести называется напряжение, при котором остаточная деформация в условиях длительного статического напряжения достигает определенной величины за заданный промежуток времени, равный времени эксплуатации детали (например, 0,1% за 300 часов) при температуре T.Второе определение относится к случаю длительной работы конструкции в стационарных условиях при относительно невысоких напряжении и температуре, когда стадией неустановившейся ползучести практически можно пренебречь, а учитывать только деформацию ползучести, накапливаемую на стадии установившейся ползучести с постоянной скоростью. Например, работа лопаток паровой турбины тепловой станции. В соответствии со вторым определением пределом ползучести называется напряжение, при котором скорость ползучести на установившейся стадии равна заданной величине (например, 10-8 ч-1) при температуре T. Отметим, что предел ползучести является не только характеристикой материала, но учитывает также фактор времени.

Предел ползучести рекомендуется определять при допусках на удлинение от 0,1 до 1% при длительности испытания от 50 до 10000 ч. Если предел ползучести определяется по скорости ползучести, то общая продолжительность испытания должна составлять не менее 2000-3000 ч, при условии продолжительности прямолинейного участка кривой ползучести не менее 500 ч. Скорость ползучести определяется по формуле



где ?l - абсолютное приращение длины образца за время ?t; l0 - расчетная длина.

Порядок определения условного предела ползучести следующий: испытывают серию образцов (не менее четырех) при данной температуре и трех-четырех уровнях напряжения. Количество образцов в серии должно обеспечивать задаваемую точность определения предела ползучести. Результатом испытания являются первичные кривые ползучести в координатах «деформация - время t». В случае нахождения предела ползучести по заданной деформации, при обработке первичных кривых ползучести определяются величины относительных деформаций, соответствующих заданной длительности, например 10000 ч. Затем по найденным величинам деформации строится график зависимости напряжения у от деформации (рис.18.2, б), из которого по заданному допуску (например, 1% деформации) находится значение искомого напряжения.

Рис. 6



В случае определения предела ползучести по заданной скорости ползучести, на основании обработки первичных кривых ползучести находят средние скорости ползучести на прямолинейных участках каждой кривой. Затем строят график зависимости логарифма напряжения у от логарифма скорости ползучести . Эта зависимость в логарифмической системе координат изображается прямой, что позволяет легко определить напряжение, соответствующее заданной скорости ползучести . Эти способы позволяют находить искомое напряжение с погрешностью, не превышающей 5 МПа.

При определении предела ползучести по деформации в обозначении этой величины указывается допуск на деформацию, время и температура испытания. Например, - предел ползучести при допуске на деформацию 0,2% за 100 ч испытания при температуре 700 0С. При определении предела ползучести по скорости он обозначается, например, , что означает, что испытания велись при 1100 0С и при скорости испытания %/ч.

Суть расчета конструкции на ползучесть заключается в том, что деформация деталей не будет превышать допустимого уровня, при котором нарушится конструктивная функция, т.е. взаимодействие узлов, за весь срок эксплуатации конструкции. При этом должно выполняться условие

,

разрешив которое, получаем уровень рабочих напряжений. Обратим внимание на тот факт, что при расчете на ползучесть речь не идет о недопущении разрушения конструкции. Решается лишь задача недопущения чрезмерной ее деформации. Например, деформация ползучести лопаток авиационной газовой турбины, работающих при температурах до 1200 0С, не нарушит условий работы турбины за весь срок ее эксплуатации.

Для практики наиболее важна высокотемпературная ползучесть. При высокотемпературных испытаниях образец нагревается специальной печью, которая содержится в конструкции испытательной машины.

Как отмечалось выше, процесс ползучести завершается разрушением материала. Сопротивление материала такому разрушению называется длительной прочностью. Время до разрушения (долговечность) tp зависит от величины напряжения и температуры.

Испытания на длительную прочность проводятся аналогично испытаниям образцов на ползучесть и на тех же испытательных машинах. Отличие заключается в том, что в испытаниях на длительную прочность не интересуются изменением деформации образца в процессе его нагружения постоянной нагрузкой, а фиксируют лишь время до его разрушения и деформацию при разрушении. Экспериментальная зависимость tp от напряжения у при заданной температуре отражается в виде кривой длительной прочности в логарифмических координатах lgу - lgtp, которую обычно представляют в виде ломаной линии, состоящей из двух прямых (рис.18.3).

Рис. 7

Точка перелома соответствует переходу от вязкого разрушения к хрупкому. Хрупкое разрушение связано с накоплением повреждений в материале, в частности в поликристаллических материалах с развитием многочисленных трещин по границам между зернами. При вязком разрушении трещины развиваются внутри зерен.

В образцах, изготовленных из одного и того же материала при различных нагрузках, могут наблюдаться и хрупкое, и вязкое разрушения. Как правило, при уменьшении напряжения и соответственно увеличении длительности пребывания образца под нагрузкой деформации к моменту разрушения уменьшаются, а характер разрушения становится хрупким. Иногда в указанных координатах кривая длительной прочности имеет вид прямой, что соответствует одному из указанных видов разрушения.

Зависимость времени до разрушения одновременно от уровня напряжений и температуры дает кинетическая теория разрушения, развитая Журковым на основе экспериментов, проведенных на широком классе материалов (металлах, галлоидных соединениях, полимерах, стеклах) в большом диапазоне изменения долговечности, температуры и напряжений. Была установлена следующая зависимость

где у - напряжение при растяжении; T- абсолютная температура; - постоянные, определяемые экспериментально и зависящие от физико-химической природы твердого тела и его структуры; k - постоянная Больцмана.

Прочность материала при ползучести оценивается пределом длительной прочности, т.е. таким минимальным напряжением, которое при заданной длительности работы при определенной температуре приводит материал к разрушению. Предел длительной прочности с увеличением времени действия нагрузки (от долей минут до десятков лет) значительно снижается. Обозначается предел длительной прочности через у с двумя индексами, например, , где верхний индекс - это температура испытания, а нижний - заданная продолжительность испытания до разрушения в часах.

Если говорить о длительной прочности такого материала как бетон, то считается, что он определяется характером структурных дефектов, вызванных длительно действующей нагрузкой. Если дефекты не возникают, то это означает, что действующее напряжение не превосходит предела длительной прочности. При напряжениях, меньших предела длительной прочности, дефекты также могут возникать, но при условии, что их развитие прекращается во времени. Для достаточно большого времени нагружения, равного времени эксплуатации сооружения (~50...70 лет), предел длительной прочности бетона принимается равным ~0,8ув, где ув - призменная прочность бетона (временная).

Среди материалов, работающих в условиях комнатных температур, вопросы длительной прочности особенно важны для древесины и композитных материалов, выполненных на основе полимеров (стеклопластики, полимербетон и т.п.).

Для древесины можно привести следующие данные: предел временной прочности сосны при сжатии и растяжении вдоль волокон соответственно равен ~76 и ~115 МПа, а предел длительной прочности при тех же нагружениях ~44 и ~56 МПа; слоистый пластик ДСП-В (материал, изготовленный из тонких листов лущеного березового шпона, пропитанного синтетическими смолами) при кратковременном нагружении имеет предел прочности при сжатии и растяжении вдоль слоев шпона и вдоль волокон рубашки одинаковый и равный ~148 МПа, а предел длительной прочности ~75 МПа.

В испытаниях на длительную прочность также определяют характеристики пластичности: относительные удлинения и сужение образца при разрушении, дающие информацию о деформационной способности материала. Это особенно важно для большинства материалов, применяемых в энергомашиностроении, когда пластичность снижается от 10-15% при малой долговечности до 1-2% при сроках службы 1•105-2•105 ч.

Процесс ползучести следует рассматривать как процесс накопления повреждений, приводящий к полному разрушению материала, когда происходит исчерпание деформационной способности материала. За меру повреждения можно принять отношение , где - накопленная деформация ползучести при заданном режиме нагружения и продолжительности эксплуатации, - деформация разрушения при заданном режиме нагружения. Тогда кривые ползучести фактически отражают условия накопления повреждений материала во времени. Такой подход используется для оценки состояния материала элементов энергооборудования, на которых происходят эксплуатационные измерения ползучести (например, в трубах паропроводов современных энергоблоков), оценивая по величине накопленной деформации степень поврежденности и определяя долю исчерпания заданного ресурса.

Теории ползучести

Отметим, что в реальных условиях ползучесть, как правило, протекает при изменяющихся напряжениях и температурах, и для описания соответствующих процессов используются технические теории ползучести на базе характеристик, полученных при постоянных напряжениях и температуре.

Обычно для оценки сопротивления материала ползучести получают серию кривых ползучести по результатам испытания образцов при различных постоянных уровнях напряжения. Обрабатывая эту серию кривых ползучести, можно определить константы и параметры аналитических зависимостей соответствующих теорий ползучести и определить пределы ползучести. Сущность теорий ползучести состоит в выборе основных переменных, определяющих процесс ползучести, и установлении функциональных зависимостей между ними. Известны четыре основные теории ползучести, построенные на различных гипотезах.

Теория течения. Основана на предположении существования постоянной зависимости между скоростью пластической деформации, напряжением и временем . Полученное дифференциальное уравнение теории течения справедливо при не слишком малых скоростях ползучести и медленно изменяющихся напряжениях, достаточно больших в начале процесса. Оно нашло применение в расчетах металлических узлов и соединений при высоких температурах.

Теория упрочнения. Под упрочнением подразумеваются такие изменения в материале, которые происходят по мере накопления деформаций ползучести и приводят к снижению скорости ползучести при заданных напряжении и температуре. В данной теории предполагается существование постоянной зависимости между пластической деформацией, скоростью пластической деформации и напряжением .. Теория упрочнения удовлетворительно описывает ползучесть при не очень сложных законах изменения внешних нагрузок.

Теории наследственности и старения. В этих теориях принята гипотеза о существовании постоянной зависимости между пластической деформацией, напряжением и временем . Они описываются схожими интегральными уравнениями. В теории старения механические характеристики принимаются зависящимиот возраста материала.

При линейной ползучести, если материал конструкции не обладает свойством старения, зависимость между напряжениями и деформацией можно представить в следующем виде:

где ; - определяет деформацию ползучести при единичном напряжении у = 1; .

Для функции справедливо равенство с(0) = 0.

Для получения зависимости между напряжением и деформацией при линейной ползучести в теории наследственности взят принцип наложения, согласно которому суммарная деформация ползучести при переменном напряжении может быть найдена как сумма деформаций ползучести, вызванных соответствующими приращениями напряжений. При этом каждая величина деформации ползучести зависит только от величины этого приращения напряжения и продолжительности его действия, но не зависит от величины и длительности действия других приращений.

Согласно принятому принципу наложения, получено выражение:

где t - время определения деформации; t0 - момент времени приложения нагрузки; ф - момент времени приращения нагрузки; функция указывает на приращение деформации от напряжения за время .

Функция имеет размерность 1/(сут•МПа) и выражается различными уравнениями. Для ряда материалов принимают, в частности:

где г, k - постоянные коэффициенты, характеризующие свойства материалов.

Первое слагаемое в выражении соответствует упругой деформации, а интегральный член - деформации ползучести, накапливаемой в образце при действии нагрузки от момента времени t0 до t.

Если учесть свойства старения материалов, то величина деформаций ползучести конструкций зависят от возраста материала. В этом случае физические уравнения можно представить в следующем виде:



или

Здесь в, n, A, B, г - постоянные характеристики материалов конструкций. В общем случае, когда переменными являются как напряжение, так и деформация соотношения между ними с учетом свойства наследственности и строения в рамках линейной теории записывается в виде:

Здесь вводим обозначения:

Теория ползучести, в основу которой положено выражение , носит название теории наследственного старения.

Соотношения наследственной теории ползучести были предложены Л.Больцманом в 1874 г. и развиты В. Вольтерра в 1909 г., а уравнения теории наследственного старения - Г.Н.Масловым и Н.Х.Арутюняном в 40-х годах XX столетия.

Линейное соотношение между напряжениями и деформациями отличается от закона Гука для упругого материала только тем, что вместо величины 1/E здесь имеется интегральный оператор. Отсюда следует следующее простое правило построения решения задачи теории линейной ползучести, которое носит название принцип Вольтерра.

Решение задачи по теории линейной ползучести может быть получено из решения аналогичной задачи в упругой постановке, далее следует заменить упругие постоянные интегральные операторы и произвести необходимые операции над ними.

В частности, если в известных упругих решениях предполагать, что они записаны в изображениях Лапласа, т.е. заменить упругие постоянные изображениями соответствующих операторов теории ползучести и применить операции переходов от изображений к оригиналам искомых функций, получим решение соответствующее задаче с учетом ползучести материалов конструкции.

Отметим, что в настоящее время при решении многих инженерных задач, как в области механики твердого деформируемого тела, так и других отраслях, широко применяется метод интегрального преобразования Лапласа. Этот метод особенно эффективен при решении линейных дифференциальных, интегро-дифференциальных и интегральных уравнений, а также систем, состоящих из вышеуказанных типов уравнений. Суть его является следующей. Если имеется некая искомая функция y(t) от действительной переменной t, обозначая через y(s) образ искомой функции комплексной переменной s, т.е. изображение заданной функции по Лапласу, тогда формулы по определению оригинала и его изображения имеют следующие представления:

где i - мнимая единица, а c - некоторая постоянная, на действительной оси. В качестве примера реализации изложенного подхода при решении инженерных задач рассмотрим расчет прогиба свободного конца консольной балки (рис.18.6), в момент времени t = 0 загруженной равномерно распределенной нагрузкой, постоянной во времени. Материал балки характеризуется линейной ползучестью, для которого

Рис. 8

По методу начальных параметров в упругой постановке задачи решение записывается в виде:

Заменим на

Здесь K(s) определяется из:



Выполняя операции обратного преобразования Лапласа, получим:

Отсюда следует, что при действии постоянной нагрузки прогиб балки с течением времени возрастает по экспоненциальному закону и при принимает следующее предельное значение:

где y A - упругое перемещение, т.е. перемещение балки в точке А при t = 0. В статически неопределимых упругих системах распределение усилий либо не зависит от упругих постоянных, либо зависит. В первом случае, как и в статически определимых системах, напряженное состояние при ползучести совпадает с напряженным состоянием упругой системы, если функции E(t), K(t,ф) одинаковы для всех элементов конструкции. Меняется только деформированное состояние. Во втором случае, который может встретиться, например, при расчете конструкций из разномодульных материалов, изменение во времени претерпевает не только деформированное, но и напряженное состояние.

...