Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Методические указания к лабораторной работе по физике

Маятник Обербека для определения характеристик вращательного движения твёрдого тела

Составители: А.А. Иванов, С.И. Петренко

Рецензенты: А.Г.Литвинко, А.А.Баранов

1. ДИНАМИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА

динамика движение маятник обербек

1.1 Основные понятия и формулы

Абсолютно твёрдым телом называют тело, расстояние между любыми двумя точками которого в условиях данной задачи можно считать постоянным. Иначе говоря, это тело, форма и размеры которого не изменяются при его движении. Всякое твёрдое тело можно мысленно разбить на большое число частей, сколь угодно малых по сравнению с размерами всего тела, и рассматривать его как систему (совокупность) материальных точек, жёстко связанных друг с другом.

Центром масс (инерции) называют точку, масса которой равна массе всего тела, а положение определяется радиусом-вектором RC:

, (1)

где mi и - массы и радиусы-векторы отдельных точек (частиц),

m - масса всего тела.

Произвольное движение тела можно представить как совокупность только поступательного движения центра инерции и вращательного движения относительно центра инерции.

Поступательным называется движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остаётся параллельной самой себе (рис.1а). При поступательном движении все точки тела получают за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми. Поэтому достаточно определить движение одной из точек тела (например, центра масс) для того, чтобы охарактеризовать движение всего тела.

Второй закон Ньютона для движения центра масс твёрдого тела записывается в виде

внешн (2)

где - скорость центра масс, внешн - геометрическая сумма всех внешних сил, приложенных к телу.

При вращательном движении все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Окружности, описываемые точками, находятся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения (рис. 1б). Ось вращения может находиться как внутри тела, так и вне его.

Чтобы твёрдое тело с закреплённой осью привести во вращательное движение, необходимо хотя бы в одной из его точек приложить внешнюю силу , не проходящую через ось вращения и непараллельную ей, другими словами, чтобы эта сила создавала момент силы.

Моментом силы относительно произвольной точки О (неподвижного начала) называется векторное произведение радиуса-вектора , проведенного из этой точки к точке приложения силы, на силу :

 (3)

Момент силы перпендикулярен к плоскости, в которой лежат радиус-вектор и сила , и образует с ними правую тройку (при наблюдении с конца вектора видно, что вращение по кратчайшему пути от к происходит против часовой стрелки (рис. 2).

Модуль вектора согласно определению векторного произведения равен

M = r F sin () = r F sin б = F l , (4)

где l = r sin б

- длина перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую, вдоль которой действует сила, называется плечом силы (рис. 2).

Моментом инерции I материальной точки относительно некоторой оси называется скалярная величина, равная произведению массы материальной точки mi на квадрат расстояния ri от этой точки до оси вращения

. (5)

Момент инерции I твёрдого тела относительно той же оси

, (6)

где mi и ri - масса i-той материальной точки и её расстояние до оси вращения.

Момент инерции зависит не только от массы всего тела и её распределения в теле, но также от его ориентации относительно оси вращения и является величиной аддитивной.

При непрерывном распределении массы относительно оси вращения, момент инерции равен:

. (7)

Учитывая, что

dm = с dV ,

где с - плотность вещества в объёме dV, формулу (7) можно записать в виде

. (8)

Если тело однородно, т.е. его плотность с одинакова по всему объёму, то

. (9)

Момент инерции относительно оси вращения характеризует инертность тела при вращении вокруг этой оси, т.е. является величиной, аналогичной массе тела, которая является мерой инертности тела при его поступательном движении.

Используя формулу (9), можно рассчитать моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы.

В качестве примера рассчитаем момент инерции сплошного однородного диска (цилиндра) относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр масс (рис 3а). Разобьём диск на кольцевые слои толщиной dr. Обьём такого слоя равен

dV = b·2рr·dr,

где b - толщина диска. Подставим выражение для dV в уравнение

и вынесем постоянные за знак интеграла:

Учитывая, что произведение плотности диска с на его объём рR2b равно массе диска, получим:

. (10)

Без расчёта приведём формулы момента инерции тонкого стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину (

, (11)

и момента инерции шара относительно оси, проходящей через его центр масс (рис. 3в)

(12).

Теоретический расчёт моментов инерции тел произвольной формы сложен, поэтому их определяют опытным путём.

Если для какого-либо тела известен его момент инерции I0 относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельной первой, может быть найден по теореме Штейнера. Момент инерции твёрдого тела относительно произвольной оси (I) равен сумме моментов инерции этого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции I0 и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

I = I0 + md , (13)

где m - масса тела; d - расстояние от центра масс до оси вращения.

Векторное произведение радиуса-вектора на её импульс называется моментом импульса этой материальной точки относительно точки О:

. (14)

Моментом импульса тела относительно точки C называется векторная сумма моментов импульса всех частиц тела относительно этой точки:

(15)

Если материальная точка вращается по окружности радиуса r (рис. 4), то момент импульса относительно оси вращения ОО

,

так как ,

где - угловая скорость.

Если вокруг оси ОО? вращается система материальных точек с одной и той же угловой скоростью , то

.

Величину , как одинаковую для всех материальных точек, можно вынести из-под знака суммы. Тогда получится

L=I, (16)

где -

момент инерции тела относительно оси вращения.

вращения.

Основной закон динамики вращательного движения тела имеет вид

, (17)

где - производная по времени от момента импульса тела относительно произвольного неподвижного начала, -геометрическая сумма моментов всех приложенных к телу внешних сил относительно того же начала.

Основное уравнение динамики вращательного движения (17) аналогично основному уравнению динамики поступательного движения



и поэтому уравнение (17) называют также вторым законом Ньютона для вращательного движения.

С учётом (16) уравнение (17) можно представить в виде

(18)

Если ось неподвижна (I=const), то уравнение (18) можно записать так:

или , (19)

где е - угловое ускорение.

Сравнивая формулы

и

убеждаемся, что эти формулы аналогичны. Аналогом силы , входящей в уравнение динамики поступательного движения, является момент силы в случае вращательного движения твёрдого тела, линейной скорости поступательного движения - угловая скорость вращающегося тела, массы - момент инерции тела.

2. ВЫВОД РАБОЧЕЙ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

На рис. 5 представлена принципиальная схема установки, с помощью которой производятся исследования. Четыре стержня укреплены на втулке под прямым углом. На стержнях находятся грузы массой mгр каждый. Втулки и шкив насажены на общую ось. Ось закреплена в подшипниках так, что вся система может вращаться вокруг гори-

зонтальной оси. Передвигая грузы по стержням, можно легко изменять момент инерции I системы. На шкив намотана нить, к которой прикреплена платформа известной массы. На платформу кладётся груз, нить натягивается и создаёт вращающий момент

M = T r , (20)

где T - сила натяжения нити;

r - радиус шкива.

Силу T можно найти из уравнения движения платформы с грузом

(21)

или в скалярном виде

m g + T = m a , (22)

где m - масса платформы с грузом, a - её ускорение.

Ускорение a связано с угловым ускорением е соотношением

(23)

Из уравнений (20) и (22) получаем, что момент силы натяжения нити

M = T r = m ( g - a) r. (24)

Кроме того, на маятник действует момент силы трения в оси Mтр. С учётом этого, уравнение динамики вращения твёрдого тела (19) имеет вид:

I е = m ( g - a) r - Mтр. (25)

В уравнение (25) входит ускорение a платформы. Это ускорение можно определить, измеряя время t, в течение которого платформа с грузом опускается на расстояние h

. (26)

Тогда уравнение (25) принимает вид:

тр

и для I получаем выражение

(27)

или с учётом (26)

. (28)

2.1 Определить момент инерции тела и момент сил трения

Для этого:

а) установить грузы mгр на некотором расстоянии (R=10 см) от оси маятника. Маятник должен находиться в равновесии;

б) установить высоту падения (45ч50 см) перемещением подвижного кронштейна;

в) изменять нагрузку нити m и измерять время t движения груза;

г) вычислить значения a,е и M для каждой нагрузки по формулам:

; ; ;

д) построить график зависимости е = f (M);



е) экстраполируя прямую до пересечения с осью абсцисс, определяем Mтр;

ж) по графику определить момент инерции системы. Так как наклон прямой

, то

. (29)

2.2 Исследовать зависимость момента инерции системы от распределения массы относительно оси вращения

Для этого:

а) установить высоту падения h = 45ч50 см;

б) грузы на стержнях закрепить на расстоянии R = 10 см от оси вращения;

в) нагрузку на нить взять m ? 90 г;

г) измерить время движения груза;

д) груз на стержнях передвигать на 5 см и проделать опыт до конца стержней;

е) для каждой длины R вычислить значения момента инерции без учёта сил трения по формуле

 ; (30)

ж) построить график зависимости I = f (R).

Домашнее задание:

а) для каждой длины R вычислить значение момента инерции с учётом сил трения (считая силу трения во всех случаях одинаковой) по формуле (31) и сравнить с результатами, полученными по формуле (30):

; (31)

б) рассчитать теоретически момент инерции маятника, рассматривая его как систему, состоящую из шкива, 4 стержней и 4 грузиков по формуле

I = Iшкива + 4Iст + 4Iгр , (32)

где Iшкива=mor 2,

mo - масса шкива;

Iстержня= Iо ст + mстержня· d 2 , (33)

где Iо ст - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс

Iо ст = mст· l 2 , (34)

где l - длина стержня,

d - расстояние от оси вращения до центра масс стержня

Iгр = Iо гр + mгр· S 2 , (35)

где S - расстояние от центра масс грузика до оси вращения

Iо гр - момент инерции грузика относительно оси, проходящей

через его центр масс, который рассчитывается по формуле

,

где R- внешний радиус цилиндра,

r - внутренний радиус цилиндра,

l - высота цилиндра.

При данных размерах

(36)

С учётом (33), (34), (35) и (36) формула (32) принимает вид:

I = mоr 2 + 4(mст· l 2 + mст· d 2) + 4(mгр· rгр 2 + mст· S 2) (37)

в) оценить в процентном отношении расхождение результатов измерения с теорией для одного значения I (при R = 10 см) по формуле

(38)

ЛИТЕРАТУРА

1. И.В.Савельев. Курс общей физики. Т.1. Москва. Гл. редакция физ.-мат. литературы. 1989. §§ 36-39.

2. Т.И.Трофимова. Курс физики. Москва. «Высшая школа». 1985. Стр. 28-37.

3. Лабораторный практикум по общей физике под ред. Е.М.Гершензона и Н.Н. Малова. «Просвещение». 1985. Стр. 41-43.

Размещено на Allbest.ru

...