Определение ускорения свободного падения для Астрахани при помощи математического и физического маятников

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа № 2

определение ускорения свободного падения для астрахани при помощи математического и физического маятников

Цель работы: изучение свободных колебаний на примере малых колебаний математического и физического маятников, определение ускорения свободного падения.

Оборудование: лабораторный стенд, горизонтальный стержень для крепления математического маятника, секундомер, математический маятник (шарик с острием на длинной и прочной нити), физический маятник (стержень с двумя грузами и двумя опорными призмами).

Теоретическое введение

Колебания

Колебание - более или менее регулярно повторяющийся процесс. Таково качественное определение понятия «колебание». Можно привести множество примеров колебательных процессов, относящихся к различным областям жизнедеятельности. Колеблется маятник часов; колеблется груз, подвешенный на пружине; колеблется взволнованная поверхность воды и гитарная струна; колеблется заряд на пластинах конденсатора и магнитное поле в катушке индуктивности колебательного контура; более или менее периодически изменяется температура воздуха (зимой холоднее - летом теплее) и количество автомобилей на улицах города (больше в часы пик -- меньше поздней ночью); периодически меняется экономическая ситуация в жизни общества: кризисные явления сменяются подъемом экономики. Колеблется давление (или плотность воздуха), вызывая колебания ушной мембраны - и мы слышим голоса окружающих.

Простейший вид колебательных движений - гармонические колебания.

Гармонические колебания

Кинематика гармонических колебаний

Гармоническими называют колебания, в которых интересующая нас величина х (например, линейное или угловое смещение из положения равновесия) изменяется со временем t по закону

, (2.1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

где a, щ, ц -- константы. График функции (2.1) изображен на рис. 2.1. Она хороша, разумеется, не только потому, что имеет довольно простой математический вид. Более существенно то обстоятельство, что реальные колебания во многих физических системах зачастую очень хорошо описываются этой функцией, т. е. близки к гармоническим колебаниям. Легко проверить, что функция (2.1) является периодической, т. е. для любого момента времени t имеет место равенство x(t) = x(t+T), где Т называется периодом колебаний:

. (2.2)

Величина щ, с-1 называется циклической (круговой) частотой. Положительная константа а - амплитуда колебания (это максимальное отклонение величины x от равновесного значения x = 0). Аргумент косинуса в (2.1) - угол ц, выраженный в радианах, называется фазой колебания:

, (2.3)

а значение ц при t = 0, т. е. величину б, называют начальной фазой. Соотношение (2.3) -- это линейная связь между фазой колебания ц и круговой (циклической) частотой щ, из которой следует . Круговая частота - это производная фазы ц по времени. Число колебаний в секунду называют линейной частотой (иногда просто частотой). Единица линейной частоты - Гц (герц). Очевидно,

(2.4)

(колебанию 1 герц соответствует изменение фазы - угла поворота, равное 2р в секунду). Обратите внимание на различие наименований циклической и линейной частот.

Продифференцировав (2.1) по времени, найдем скорость и ускорение :

гармонический колебание маятник математический

, (2.5)

. (2.6)

Из этих выражений видно, что скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону с амплитудами и соответственно. При этом скорость опережает смещение х по фазе на , а ускорение - на , т. е. находится в противофазе со смещением х. На рис. 2.1 приведены графики зависимостей , и для случая б = 0.

Сопоставив (2.6) и (2.1), видим, что , или

. (2.7)

Это дифференциальное уравнение называют уравнением гармонического осциллятора. Его решение (2.1) содержит две произвольные постоянные: а и б. Для каждого конкретного колебания они определяются начальными условиями -- смещением х0 и скоростью в начальный момент t = 0:

, . (2.8)

Отсюда находим искомые постоянные:

, . (2.9)

Обычно рассматривают только значения б в интервале . Уравнение для удовлетворяется двумя значениями б в этом интервале. Из этих значений следует взять то, при котором получаются правильные знаки у и в (2.8).

Динамика гармонических колебаний

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для определения характера движения механической системы нужно, исходя из законов динамики или закона сохранения энергии, составить уравнение движения системы, и если оно приводится к виду (2.7), то можно однозначно утверждать, что данная система является гармоническим осциллятором, частота щ которого равна корню квадратному из коэффициента при х. Рассмотрим несколько примеров с маятниками и затем обобщим полученные результаты.

Всякое твердое тело, колеблющееся под действием силы тяжести вокруг неподвижной точки или оси, называют маятником.

Грузик на пружине. Пусть грузик массы т, подвешенный на невесомой пружине жесткости k, совершает вертикальные колебания (рис. 2.2). Возьмем начало О оси X в положении равновесия, где , - растяжение пружины в этом положении. Тогда, согласно основному уравнению динамики, , или

.

Из сопоставления с (2.7) видим, что это уравнение гармонического осциллятора, колеблющегося около положения равновесия с частотой щ и периодом Т, равными

, . (2.10)

Период колебаний Т не зависит от амплитуды а. Это свойство называется изохронностью колебаний. Изохронность, однако имеет место до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях закон Гука нарушается. Тогда и колебания перестают быть изохронными, т. е. появляется зависимость периода колебаний от амплитуды.

Математический маятник. Материальная точка массы т, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити длиной l, совершает колебания в вертикальной плоскости (рис. 2.3). Здесь удобнее всего использовать уравнение динамики в проекции на орт ф, направление которого совпадает с положительным направлением отсчета дуговой координаты s (величина алгебраическая, на рисунке изображен момент, когда s > 0). Начало отсчета s возьмем в положении равновесия - в точке О. Имея в виду, что , и что проекция силы натяжения , запишем: , или

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из сопоставления с (2.7) видим, что это уравнение, вообще говоря, не является уравнением гармонического осциллятора, поскольку в нем вместо смещения и стоит . Однако при малых колебаниях, когда , уравнение совпадает с (2.7):

,

откуда следует, что частота щ и период Т математического маятника, совершающего малые колебания, равны

, . (2.11)

Физический, маятник. Это твердое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной оси, жестко связанной с телом. Рассмотрим колебания под действием силы тяжести (рис. 2.4). Выберем положительное направление отсчета угла и против часовой стрелки (ось Z направлена к нам). Тогда проекция момента силы тяжести на ось Z запишется как и уравнение динамики вращательного движения твердого тела примет вид

,

Размещено на http://www.allbest.ru/

где I -- момент инерции тела относительно оси О, l -- расстояние между осью О и центром масс С. Ограничимся рассмотрением малых колебаний, при которых . При этом условии предыдущее уравнение можно записать так:

.

Колебания будут гармоническими с частотой щ и периодом Т, равными

, . (2.12)

Такую же частоту и период имеет математический маятник длины

, (2.13)

которую называют приведенной длиной физического маятника.

Точку О' (рис. 2.4), которая находится на прямой, проходящей через точку подвеса О и центр масс С, и отстоит от точки О на расстоянии , называют центром качания физического маятника. Центр качания О' обладает замечательным свойством: если маятник перевернуть и заставить совершать малые колебания вокруг оси О', то период колебаний не изменится. На этом свойстве основано определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника: экспериментально устанавливают положения двух «сопряженных» точек (осей) О и О', малые колебания вокруг которых происходят с одинаковой частотой. Это значит, что расстояние ОО' = . Определив щ и , из формулы

(2.14)

находим g.

Рассмотренные примеры относятся к свободным колебаниям без трения, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была тем или иным способом выведена из состояния равновесия. Можно утверждать, что свободные колебания любого осциллятора в отсутствие трения будут гармоническими, если действующая в нем сила (или момент силы) является квазиупругой, т. е. силой, направленной к положению равновесия и зависящей от смещения из этого положения линейно.

Именно квазиупругий характер силы (или момента силы) служит и критерием малых колебаний.

Кроме того, частота и период свободных колебаний без трения зависят только от свойств самого осциллятора в отличие от амплитуды колебаний и начальной фазы, которые определяются начальными условиями.

В данной работе колебания физического и математического маятников можно считать свободными, если угол их отклонения от положения равновесия будет менее 10є.

Порядок выполнения работы

Задание 1. Математический маятник

1. Модель маятника - массивный шарик с острием на длинной, легкой и прочной нити. Проденьте нить маятника в отверстие горизонтального стержня, закрепленного на стенде. Оставшуюся часть нити прижмите к боковой поверхности стержня снаружи.

2. Измерьте время t n = 20 колебаний и определите период Т для 13 точек подвеса, последовательно укорачивая длину нити (втягивая ее в отверстие горизонтального стержня).

3. Данные занесите в таблицу:

4. По графику зависимости периода от координаты точки подвеса относительно центра шарика (центра масс математического маятника) - Т2(l) - определите область, в которой маятник можно считать математическим (в этой области график линеен) и по угловому коэффициенту графика вычислите ускорение свободного падения: т. к. , то , а отсюда .

5. , . Погрешностью отдельного прямого измерения величин, отложенных на осях, считают отклонение экспериментального значения рассматриваемой величины от значения, даваемого графиком. Установив таким образом относительные погрешности всех отдельных измерений Т2 и l, усредните их по пяти измерениям. Значит, погрешность g будет определяться выражениями , .

6. Представьте конечный результат: , .

Задание 2. Физический (оборотный) маятник

1. Груз, находящийся между опорными призмами маятника, должен быть закреплен в одном положении на протяжении всей работы. Перемещаться, меняя положение центра тяжести маятника, может лишь груз, находящийся между одной из опорных призм и открытым концом маятника.

2. Измерьте зависимость периодов Т1, Т2 колебаний на каждой из опорных призм соответственно от одних и тех же положений x подвижного груза относительно ближайшей к нему опорной призмы (по n = 20 колебаниям для каждого положения). Т. е. координата x отсчитывается от призмы; закрепив груз в положении x = 1 см, засекают время 20 колебаний; затем маятник переворачивают, устанавливая его на вторую призму, и вновь засекают время 20 колебаний. После этого подвижный груз устанавливают в положение x = 2 см, а маятник устанавливают на первую призму и т. д... до тех пор, пока крепить подвижный груз будет некуда.

3. Данные занесите в таблицу:

4. Рассчитав периоды колебаний Т1, Т2, постройте графики зависимости их от координаты x подвижного груза.

5. Точка пересечения графиков Т1(x) и Т2(x) соответствует одинаковым периодам колебаний на первой и второй призмах. При соответствующем этой точке положении подвижного груза призмы взаимозаменяемы, маятник, подвешенный в этих точках, является оборотным, а расстояние между ними равно приведенной длине маятника.

6. Определите и , зафиксируйте соответствующий приведенной длине период Т0.

7. Из формулы (2.14) .

8. Рассчитайте погрешности измерений.

9. Представьте конечный результат: , .

Контрольные вопросы

1. Что такое колебания? Какие колебания называют гармоническими?

2. Выведите дифференциальное уравнение гармонического осциллятора.

3. Объясните, что собой представляют пружинный, математический и физический маятники.

4. Получите выражение для периода колебаний пружинного маятника через сравнение динамического уравнения, описывающего его движение, с дифференциальным уравнением гармонического осциллятора.

5. Выведите формулу для периода колебаний математического маятника.

6. Получите выражение для периода колебаний физического маятника.

7. Выведите формулу для периода колебаний математического маятника исходя из формулы для физического маятника.

8. Расскажите о свободных колебаниях. Какие еще виды колебаний Вам известны?

9. Объясните методику измерений в первом и втором задании.

10. Объясните, каким образом производился учет погрешностей.

Размещено на Allbest.ru