Определение колебаний груза на платформе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение задачи Д1-2

Груз D (рис. 1) массой m, получив в точке A начальную скорость VA, движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости. На участке AB на груз D, кроме силы тяжести, действует постоянная сила Q, сила трения F=fN (f=0,2) и сила сопротивления среды RA = A m v2.

В точке B груз D, не изменяя величины своей скорости, переходит на участок BC трубы, где на него, кроме силы тяжести, действует только сила сопротивления среды RB = B m v. Трением пренебрегаем.

В точке C груз D попадает на невесомую платформу, удерживаемую в равновесии системой недеформированных пружин жесткости c1 и c2.

Таблица 1. Исходные данные примера задачи Д1-2

Найти

1) уравнение затухающих колебаний груза на платформе, выбирая начало отсчета в положении статического равновесия платформы.

2) период затухающих колебаний груза на платформе.

3) декремент затухания колебаний.

Рис. 1. Исходный рисунок

Решение:

Часть 1. Для определения VB скорости груза D в положении B исследуем движение груза D по участку AB (рис. 2).

Рис. 2. Участок AB

1 Груз D выберем объектом исследования. Введём прямоугольную систему координат с центром в точке A. Ось Ax1 направим по AB.

2 Изобразим v скорость груза D.

3 Изобразим систему сил, действующих на объект исследования.

3.1 Сила тяжести груза D mg направлена вертикально вниз.

3.2 Активная сила Q направлена по оси Ax1.

3.3 Реакция опоры N направлена перпендикулярно поверхности AB.

3.4 Сила трения F направлена противоположно скорости v груза D. Величина силы трения определяется законом Амонтона: F = f N.

3.5 Сила сопротивления RA направлена противоположно скорости v груза D. Величина силы сопротивления по условию равна: RA = A m v2.

Размерность A равна Н/(кг*м2*с-2) = м-1.

4 Составим для груза D основное уравнение динамики.

ma = mg + Q + N + F + RA;

Проецируя это уравнение на оси введенной системы координат (рис. 2), получим уравнение для определения нормальной реакции и дифференциальное уравнение движения груза D.

0 = N - mg sin;

m ax1 = mg sin + Q - RA - F .

5 Решим полученное дифференциальное уравнение движения груза D.

Сначала определим F из закона Амонтона, разделим обе части на m и заменим ax1 =v dv/dx1, получим:

v dv/dx1 = Q/m +g sin - f g cos -A v2.

В последнем учли, что vx1 = v. Затем введем обозначение:

A A = Q/m +g (sin-fcos), где A = [Q/m+g(sin-fcos)]/A =13,2.

Тогда дифференциальное уравнение движения груза принимает вид:

v dv/dx1 = -A (v2-A).

Далее, используя метод разделения переменных, получаем:

v dv/(v2-A) = -A dx1.

Учитывая, что d(v2-A)=2 v dv, приводим последнее к виду:

d(v2-A)/(v2-A) = -2A dx1.

Интегрируя, получим:

ln(v2-A)= -2A x1 + CA.

Постоянную CA определим из начальных условий.

Так как при x1 = 0 v = VA, то:

CA = ln(VA2-A)

Когда груз D попадает в положении B (при x1 = LA), то v = VB. Тогда:

ln(VB 2-A)= -2A LA + ln(VA2-A).

ln(VB 2-A) - ln(VA2-A)= -2A LA.

ln[(VB 2-A)/(VA2-A)]= -2A LA.

(VB 2-A)/(VA2-A)= e-2A LA.

Откуда = 5,75м/с.

Часть 2. Для определения VC скорости груза D в положении C исследуем движение груза D по участку BC (рис. 3).

Рис. 3. Участок BС

1 Груз D выберем объектом исследования. Ось Bz направим по BC.

2 Изобразим v скорость груза D.

3 Изобразим систему сил, действующих на груз.

3.1 Сила тяжести груза D mg направлена вертикально вниз.

3.2 Сила сопротивления RB направлена противоположно скорости v груза D. Величина силы сопротивления по условию равна: RB = B m v.

Размерность B равна Н/(кг*м*с-1) = с-1.

4 Составим для груза D основное уравнение динамики.

ma =- mg + R B;

Проецируя уравнение на ось Bz введенной (рис. 3) системы координат, получим дифференциальное уравнение движения груза D.

m az = -mg + B m vz.

5 Решим полученное дифференциальное уравнение движения груза D.

Сначала разделим обе части на m и заменим az =dv/dt, получим:

dv/dt = -g + B v.

В последнем учли, что vz = v. Затем введем обозначение:

B B = g , где B = g/B =9,09.

Тогда дифференциальное уравнение движения груза принимает вид:

dv/dt = -B (v-B).

Далее, используя метод разделения переменных, получаем:

dv/(v-B) = -B dt.

Учитывая, что d(v-B)=dv, приводим последнее к виду:

d(v-B)/ (v-B) = -B dt.

Интегрируя, получим:

ln(v-B)= -B t + CB.

Постоянную CB определим из начальных условий.

Так как при t = 0 v = VB, то:

CB = ln(VB-B)

Когда груз D попадает в положении C (при t = tB), то v = VC. Тогда:

ln(VC -B)= -B tB + ln(VB-B).

(VC -B)/(VB-B)= e-BtB.

Откуда = 8,29м/с.

Часть 3. Для окончательного решения задачи исследуем затухающие колебания груза D на платформе (рис. 4).

Исследуем затухающие колебания груза D на платформе.

Рис. 4. Колебания груза на платформе

1 Груз D - объект исследования.

Заменим систему параллельных пружин c1 и c2, удерживающих невесомую платформу, одной пружиной с жесткостью c12 = c1 + c2. Затем заменим систему последовательных пружин c12 и c2 одной пружиной с жесткостью:

=1400Н/м.

Ось 0x направим по BC. Начало оси 0 выберем в положении статического равновесия. Аналитическое уравнение груза на невесомой платформе в положении статического равновесия имеет вид:

Fkx = mg- Fупр = 0

Величина силы упругости пружины в положении статического равновесия

груз платформа колебание затухающий

Fупр = cст

Определим статическое удлинение пружины:

ст = mg/c = = 0,012м.

Груз поместим на расстоянии x от начала оси.

2 Изобразим v скорость груза D.

3 Изобразим систему сил, действующих на груз.

3.1 Сила тяжести груза D mg направлена вертикально вниз.

3.2 Сила сопротивления RB направлена противоположно скорости v груза D. Величина силы сопротивления по условию равна: RB = B m v.

3.3 Сила упругости пружины направлена противоположно удлинению пружины. Величина силы упругости по закону Гука равна: F = c ( x + ст ) .

4 Составим для груза D основное уравнение динамики.

ma = mg + R B + Fупр;

Проецируя уравнение на ось 0x введенной системы координат (рис. 4), получим дифференциальное уравнение движения груза D.

m ax = mg - B m vx - c(x + ст).

5 Преобразуем дифференциальное уравнение движения груза D к классическому виду:

.

Здесь 2n = B и . То есть n = B/2=0,55 с-1 и =28,7 с-1

Решение этого уравнения при имеет вид:

,

где = 28,7с-1 называется частотой затухающих колебаний.

Время полного колебания называется периодом затухающих колебаний:

= 0,22с.

Декремент затухающих колебаний показывает, во сколько раз длина последующего отклонения от положения статического равновесия будет меньше предыдущего отклонения:

= 0,94

Для того чтобы определить коэффициенты A1 и A2, входящие в уравнение затухающих колебаний груза, продифференцируем его по времени:

В начальный момент времени (t=0) груз находится на невесомой платформе, прикрепленной к нерастянутой пружине (x0=-ст), и движется со скоростью VC (). Подставим начальные условия движения груза в уравнение затухающих колебаний и производную от него, получим:

,

.

Откуда находим A1=-ст = -0,012м и A2= (VC-nст)/k1= 0,289м.

Итак, уравнение затухающих колебаний груза на платформе имеет вид:

x = e- 0,55t(-0,012cos 28,7t + 0,29 sin 28,7t).

Размещено на Allbest.ru