Загальна механіка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Механіка (від грец. ????????, mechane -- знаряддя, споруда) -- в загальному розумінні наука про механічний рух та рівновагу тіл і взаємодію, що виникає при цьому між тілами. Належить до природничих наук.

Механіку поділяють на загальну механіку, механіку суцільних середовищ і прикладну механіку. В кожному з цих розділів розрізняють статику, кінематику й динаміку. До загальної механіки відносять аналітичну механіку, небесну механіку, балістику, теорію гіроскопів, теорію стійкості руху, а також теорію коливань, біомеханіку, теоретичну механіку тощо. Основу механіки суцільних середовищ становить гідроаеромеханіка, газова динаміка, механіка деформівного твердого тіла. До прикладної механіки відносять механіку ґрунтів і сипких тіл, будівельну механіку, опір матеріалів та ін.

Засновником механіки вважається Галілео Галілей. Основні закони динаміки встановив Ісаак Ньютон. Значний внесок у розвиток механіки зробили українські вчені О. М. Динник, Д. О. Граве, Г. М. Савін, А. Д. Коваленко, Микола Кільчевський та ін. Питання механіки розробляють в інститутах НАН України, на кафедрах ряду вузів країни.

Класична механіка -- розділ фізики, який вивчає рух на основі законів Ньютона та принципу відносності Галілея. Тому її часто називають «Ньютоновою механікою».

Класичну механіку використовувують, якщо можна зневажати квантовими та релятивістськими ефектами. Класичну механіку поділяють на:

· кінематику, яка вивчає рух тіл, не беручи до уваги сили.

· динаміку, яка вивчає рух тіл під дією сил.

· статику, тобто фізику тіл у спокої (вивчає питання їхньої рівноваги).

Об'єкти, які вивчаються механікою, називають механічними системами. Завданням механіки є вивчення властивостей механічних систем, зокрема їхньої еволюції в часі.

Базовими поняттями класичної механіки є поняття сили, маси та руху. Маса в класичній механіці визначається як міра інертності, тобто здатності тіла до збереження стану спокою або рівномірного прямолінійного руху за відсутності дії на нього сил. З другого боку, сили, які діють на тіло, змінюють стан його руху, викликаючиприскорення. Взаємодія цих двох ефектів і є головною темою механіки Ньютона.

Іншими важливими поняттями цього розділу фізики є енергія, імпульс, момент імпульсу, які можуть передаватись між об'єктами в процесі взаємодії. Енергія механічної системи складається з її кінетичної (енергії руху) та потенціальної (залежної від положення тіла відносно інших тіл) енергій. Щодо цих фізичних величин діють фундаментальні закони збереження.

Розділ класичної механіки, що називається кінематикою дає означення величин, яким описується рух тіла, зокрема матеріальної точки: положення, швидкості, прискорення.

Означення.

Положення матеріальної точки визначається відносно фіксованої точки в просторі, яка називається початком координат. Воно може бути задано координатами цієї точки (наприклад, в декартовій системі координат) або радіус-вектором r, проведеним з початку координат в цю точку. В реальності, матеріальна точка може рухатись з плином часу, тому радіус-вектор в загальному випадку є функцією часу. В класичній механіці, на відміну від релятивістської, вважається, що плин часу є однаковим в усіх системах відліку.

Траєкторією називається сукупність усіх положень матеріальної точки, яка рухається. У загальному випадку вона є кривою лінією, вид якої залежить від характеру руху точки та обраної системи відліку.

Переміщення -- це вектор, який з'єднує початкове та кінцеве положення матеріальної точки.

Швидкість, або відношення переміщення до часу, протягом якого воно відбувається, визначається як перша похідна від переміщення до часу:

.

У класичній механіці, швидкості можна додавати та віднімати. Наприклад, якщо одна машина їде на захід зі швидкістю 60 км/г, та наздоганяє іншу, яка рухається в тому ж напрямку зі швидкістю 50 км/г, то відносно другої машини перша рухається на захід зі швидкістю 60-50 = 10 км/г. Натомість з перспективи швидшої машини, повільніша рухається зі швидкістю 10 км/г на схід. Для визначення відносної швидкості у будь-якому випадку застосовуються правила векторної алгебри для додавання векторів швидкості.

Прискорення, або швидкість зміни швидкості -- це похідна від швидкості по часу або друга похідна від переміщення до часу:

.

Вектор прискорення може змінюватись як за величиною, так і за напрямом. Зокрема, якщо швидкість зменшується, то таке прискорення можна назвати уповільненням, але в фізиці прийнято будь-яку зміну швидкості називати прискоренням.

механіка рух матеріальний сила

Задачі

У випадку прямолінійного рівномірного рухувздовж осі x, що збігається з напрямком швидкості:

.

У випадку рівноприскореного руху:

,

.

Шкільні формули.

Знаючи залежність швидкості матеріальної точки від часу та її положення в початковий момент часу, можна знайти її положення в довільний момент часу, що аналогічно розв'язку задачі про визначення траєкторії:

.

Аналогічно, знаючи залежність прискорення від часу і початкову швидкість можна знайти швидкість у будь-який наступний момент часу:

і, далі, скориставшись попередніми формулами, положення матеріальної точки в будь-який момент часу.

Обертання

Залежність кута повороту від часу при одновісному рівномірному обертанні:

.

Шкільні формули.

Для опису обертання абсолютно твердого тіла використовують дві системи координат, одна з яких непорушна, а друга жорстко прив'язана до тіла, розглядають обертання однієї системи щодо іншої. Зручним способом задання положення однієї системи щодо іншої є кути Ейлера. Аналогами швидкості й прискорення для обертання є кутова швидкість і кутове прискорення. Кінематичні рівняння Ейлера задають співвідношення між компонентами вектора кутової швидкості та похідними від кутів Ейлера. Знаючи кутову швидкість можна знайти залежність кутів повороту від часу. Ця задача проста у випадку одновісного обертання, але доволі складна у разі обертання тривимірного несиметричного тіла. Формули Пуансо пов'язують положення ортів жорстко зв'язаної з тілом системи відліку з компонентами вектора кутової швидкості.

Динаміка.

Задача опису руху матеріальної точки потребує визначення тієї сили, яка на неї діє. Наприклад, типовий вираз для сили тертя при русі тіла вгазі або в рідині визначається таким чином:

де -- деяка константа, яка зветься коефіцієнтом тертя.

Після того, як визначені усі сили, на базі другого закону Ньютона може бути записанедиференційне рівняння, яке зветься рівнянням руху. В нашому прикладі з лише однією силою, яка діє на частинку, отримаємо:

.

Проінтегрувавши, отримаємо:

де -- початкова швидкість. Це означає, що швидкість руху об'єкта зменшуєтьсяекспоненціально до нуля. Цей вираз в свою чергу може бути знову проінтегрований для отримання виразу для радіус-вектора (положення) точки в залежності від часу.

Приклад. Рух під дією сили тертя.

Основою класичної механіки є закони Ньютона. Другий закон Ньютона, який задає рівняння руху, стверджує, що прискорення матеріальної точки є прямо пропорційним силі, яка на неї діє, а вектор прискорення направлений уздовж лінії дії цієї сили. Іншими словами, цей закон пов'язує силу, яка діє на тіло з його масою та прискоренням. Математично, другий закон Ньютона записується так:

.

Величина mv називається імпульсом. Зазвичай, маса m є незмінною в часі, і закон може бути переписаний в простішій формі:

,

де а -- прискорення.

Маса тіла m не завжди постійна з плином часу. Наприклад, маса ракети зменшується з використанням пального. За таких обставин, попереднє рівняння є некоректним, і має бути застосована загальна форма другого закону Ньютона.

Якщо на матеріальну точку діють декілька сил, всі вони додаються за правилами додавання векторів. Для механічної системи, що складається з кількох матеріальних точок друге рівняння Ньютона повинно бути записане для кожної з них.

Рівняння Ньютона є системою звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, яка повністю визначає задачу про еволюцію механічної системи, тобто задачу про положення кожної з матеріальних точок, що входять до її складу, якщо визначені початкові положення точок та їхні початкові швидкості.

Динаміка обертання.

Розглядаючи абсолютно тверде тіло як сукупність матеріальних точок, із другого закону Ньютона можна вивести рівняння руху для обертання тіла. Це рівняння за виглядом схоже на друге рівняння Ньютона, де прискорення треба замінити на кутове прискорення, масу на момент інерції, а силу на момент сили. Однак, момент інерції є тензорною величиною і рівняння руху набирає вигляду:

,

де - компоненти вектора моменту сили, - компоненти моменту інерції, а компоненти кутового прискорення.

Принцип Галілея

Рівняння руху класичної механіки задовольняють принцип відносності, тобто залишаються інваріантними, тобто мають однаковий вигляд, при переході від одної інерціальної системи відліку до іншої, що задається перетвореннями Галілея. При перетвореннях Галілея плин часу залишається незміним в обох системах відліку, а просторові координати змінюються за законом:

,

де -- відносна швидкість руху нової (штрикохваної) системи відліку щодо старої. Перший закон Ньютона постулює існування інерціальних систем відліку. Справді, при таких перетвореннях похідна від швидкості, тобто прискорення, залишається незмінним, а сили, що діють на тіла, не залежать від системи відліку, і рівняння руху зберігають свою форму.

При розгляді руху в неінерціальних системах відліку, а іноді це доводиться робити, оскільки, наприклад, система відліку, пов'язана з Землею, обертається завдяки обертанню Землі навколо своєї осі, процедура розв'язання задач залишається такою самою, якщо вважати, що на тіла діють додаткові фіктивні сили інерції.

Енергія

Аналіз рівнянь руху класичної механіки дозволяє ввести поняття роботи і енергії. Якщо сила діє на матеріальну точку, яка в результаті цього змінює своє положення на , то при цьому виконуєтьсяробота, що дорівнює:

.

Якщо маса тіла стала, то сумуючи роботи, які виконані всіма силами, з другого закону Ньютона випливає:

,

де Т -- кінетична енергія. Для матеріальної точки вона визначається як

.

Для складних систем, що складаються з багатьох метеріальних точок, кінетична енергія є сумою кінетичних енергій окремих матеріальних точок.

Особливий клас консервативних сил, потенціальні сили, можна виразити градієнтом певної скалярної функції, відомої як потенціальна енергія :

.

Для потенціальних сил вводять понятння повної механічної енергії, що дорівнює сумі кінетичної та потенціальної енергій:

.

Зміна повної енергії при нескінченно малому переміщенні математичної точки дорівнює роботі непотенціальних неконсервативних сил.

.

Закони збереження

Для замкнених механічних систем існують три загальні інтеграли руху, які називаються законами збереження.

Закон збереження імпульсу стверджує, що зберігається сумарний імпульс механічної системи:

.

Закон збереження механічної енергії справедливий тоді, коли в системі відсутні неконсервативні сили, і має вигляд

.

У тому разі, коли на тіла діють неконсервативні сили, частина механічної енергії може перетворюватися в інші види енергії, наприклад у тепло. Врахування цих перетворень дозволяє сформулювати закон збереження енергії у загальній формі.

Закон збереження моменту імпульсу стверджує, що сумарний момент імпульсу всіх тіл ізольованої механічної системи, залишається сталим

.

Три закони збереження відповідають трьом типам симетрії механічних систем: однорідності простору, однорідності часу й ізотропності простору.

Механіка суцільних середовищ

Механіка суцільних середовищ, яка розглядає течію рідин та газів й деформації твердого тіла, будується на основі законів Ньютона. Суцільне середовище умовно розбивається на матеріальні точки, миттєве положення яких відповідає координатам у тривимірному просторі. Замість координат і швидкостей матеріальної точки використовуються поля зміщень і швидкостей, властивості середовища, такі якгустина, теж описуються залежними від координат полями. При деформації або течії уявні матеріальні точки змінюють координати, а їхнє місце займають інші матеріальні точки.

При описі течії рідини у гідроаеромеханіці це призводить до зміни типу похідної по часу. Повна похідна по часу отримує додатковий член:

.

При розгляді руху рідин та газів необхідно враховувати те, що в них можуть змінюватися густина, тиск і температура від точки до точки, і рівняння руху повинні бути доповнені рівняннями стану для відповідних середовищ. Основним рівнянням гідродинаміки для ідеальної, тобто нестисливої, рідини є рівняння Ейлера. Рівняння Нав'є-Стокса справедливе у загальному випадку.

Деформації у твердому тілі описуються векторним полем зміщень та тензором деформації. Відгук твердого тіла на деформацію описується тензором напружень. Зв'язок між цими величинами у випадку пружних деформацій задається законом Гука в загальній тензорній формі. Для розв'язання практичних задач знаходження пружних деформацій в твердих тілах, на які діють зовнішні сили, використовується принцип рівноваги: для того, щоб рух однієї частини твердого тіла щодо іншої припинився, необхідно, щоб сили, які діють на будь-який переріз твердого тіла з обох боків, були рівними між собою.

Механіка суцільних середовищ дозволяє також описати розповсюдження хвиль у суцільних середовищах та на поверхні розділу середовищ. До таких хвиль належить звук. Особливістю розповсюдження звуку в газах є те, що звукові коливання відбуваються швидше, ніж встановлюється теплова рівновага, тобто це адіабатичний процес. Як наслідок, необхідно враховувати локальні зміни температури у вузлах та пучностях хвилі.

Завдання теорії пружності

Задачею цієї теорії є запис математичних рівнянь, розв'язання яких дозволяє відповісти на такі запитання:

· якими будуть деформації конкретного тіла, якщо до нього прикласти у відомих місцях навантаження заданої величини?

· якими будуть при цьому напруження в тілі?

Питання, чи тіло зруйнується, чи витримає ці навантаження, тісно пов'язані з теорією пружності, але, строго кажучи, не входить у її компетенцію.

Прикладів можна навести безліч -- від визначення деформацій і напружень в навантаженій балці на опорах, до розрахунку цих же параметрів в корпусі літака, ракети, підводного човна, у колесі вагона, в броні танка при ударі снаряда, в гірському масиві при прокладенні штольні, в каркасі висотної будівлі і так далі.

Для випадку інженерних задач, напруження і деформації в конструкціях розраховують за спрощеними теоріями, що логічно базуються на теорії пружності. До таких теорій відносяться: опір матеріалів, завданням якого є розрахунок стрижнів і балок, а також, оцінка напружень, що виникають у зонах контактної взаємодії твердих тіл; будівельна механіка -- розрахунок стрижневих систем (наприклад, мостів); і теорія оболонок -- самостійна і добре розвинена галузь науки про деформації і напруження, предметом дослідження якої є тонкостінні оболонки -- циліндричні, конічні, сферичні, і складніші форми.

Основні поняття теорії пружності

Мал. Розподіл напружень на площинках елементарного паралелепіпеда

Основними поняттями теорії пружності є напруження, що діють на малих площинках, котрі можна уявно провести в тілі через задану точку P, деформації малої околиці точки P і переміщення самої точки P. Точніше кажучи, вводяться тензор механічних напружень , тензор малих деформацій і вектор переміщення ui. Коротке позначення , де індекси i, j набувають значень 1, 2, 3 (або x, y,z) слід розуміти як матрицю у видах:

Аналогічно слід розуміти і коротке позначення тензора .

Якщо фізична точка тіла M внаслідок деформації зайняла нове положення в просторі P?, то вектор переміщення є вектор з компонентами (ux,uy,uz), або, скорочено, ui. У теорії малих деформацій компоненти ui і вважаються малими величинами (строго кажучи, нескінченно малими). Компоненти тензора , який також має назву тензор деформації Коші або лінійний тензор деформації і вектора ui пов'язані залежностями:

З останнього запису видно, що , тому тензор деформації є симетричним за визначенням.

Якщо пружне тіло під дією зовнішніх сил перебуває у рівновазі (тобто швидкості усіх його точок дорівнюють нулю), то в рівновазі перебуває і будь-яка частина тіла, яку уявно можна з нього виділити. З тіла виділяється нескінченно малий прямокутний паралелепіпед, грані якого паралельні координатним площинам декартової системи. З умови рівноваги паралелепіпеда, з розмірами ребер dx, dy, dz, розглянувши умови рівноваги сил в проекціях, можна отримати:

Аналогічно виходять рівняння рівноваги, що виражають рівність нулю головного моменту усіх сил, що діють на паралелепіпед, які приводяться до виду:

Ця рівність означає, що тензор напружень є симетричним тензор і число невідомих компонент тензора напружень зводиться до 6. Є лише три рівняння рівноваги, тобто рівнянь статики недостатньо для розв'язання задачі. Вихід з положення полягає в тому, щоб виразити напруження через деформації за допомогою рівнянь закону Гука, а потім деформації виразити через переміщення ui за допомогою формул Коші, і результат підставити у рівняння рівноваги. При цьому виходить три диференціальні рівняння рівноваги відносно трьох невідомих функцій ux uy uz, тобто число невідомих, буде відповідати числу рівнянь. Ці рівняння називаються рівняннями Нав'є-Коші.

де коефіцієнти Ламе:

.

Граничні умови

Розв'язання задач теорії пружності зводиться до інтегрування системи диференціальних рівнянь у частинних похідних, що визначають поведінку пружного тіла у внутрішніх точках. До цих рівнянь додаються умови на поверхні, що обмежує тіло. Ці умови визначають задання або зовнішніх поверхневих сил, або переміщень точок поверхні тіла. Залежно від цього зазвичай формулюють один із трьох типів крайових задач.

Перша крайова задача -- кінематична. В об'ємі тіла відшукуються складові переміщень, що набувають на поверхні певних значень.

В умові на поверхні тіла в такий спосіб задаються рівняння поверхні й значення складових переміщень на ній.

Друга крайова задача -- статична. У цьому випадку на поверхні тіла не накладені жодні обмеження на переміщення і задаються рівняння поверхні, що направляють косинуси нормалі до поверхні й значення складових поверхневих навантажень.

У випадку, коли поверхня тіла збігається з координатними площинами, граничні умови можуть бути сформульовані безпосередньо в напруженнях. Тоді достатньо вказати рівняння поверхні й задати значення складових напружень на ній.

Третя крайова задача -- змішана. У цьому випадку на одній частині поверхні тіла задаються кінематичні умови, а на іншій -- статичні.

Цими трьома задачами не вичерпується вся розмаїтість граничних умов. Наприклад, на деякій ділянці поверхні можуть бути задані не всі три складові переміщення або складові поверхневого навантаження.

Размещено на Allbest.ur