Фононы и квазичастицы
Пространственно ограниченные волны. Гипотеза фононов. Изотропная сплошная среда (изотропное твердое тело, жидкость, газ), в которой распространяется монохроматическая плоская продольная звуковая волна. Закон сохранения энергии. Взаимодействия фононов.
Рубрика | Физика и энергетика |
Вид | контрольная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 16.12.2015 |
Размер файла | 59,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
В соответствии с гипотезой де Бройля, подтвержденной опытными фактами, с каждой бегущей монохроматической волной связаны энергия и импульс, определяемые соотношениями
?=hщ, р= h?, (1)
Введенными по аналогии с теорией фотонов. Волна, несущая энергию импульс, определяемые формулами (1), в каком-то отношении ведет себя как частица. Частица, уподобляемая звуковой волне в вышеуказанном смысле, называется фононом. Фонон несет энергию и импульс, связанные с частотой волны щ и волновым вектором ? посредством постоянной Планка h.
Строго определенные значения величины щ и ? имеют только в случае неограниченных плоских волн. Реальное же существование имеют только пространственно ограниченные волны. Реальным образом фонона является не бесконечная, а ограниченная волна, например волновой пакет.
Гипотеза фононов согласуется, например, с существованием звукового давления. Рассмотрим ради простоты изотропную сплошную среду (изотропное твердое тело, жидкость, газ), в которой распространяется монохроматическая плоская продольная звуковая волна, нормально падающая на плоскую границу твердого тела и поглощаемая им. Такая волна ежесекундно передает единице поверхности твердого тела импульс cNh?, где c-скорость звука , а N- число фононов в единице объема среды. Этот импульс и есть давление P, оказываемое звуком на тело. Поскольку сплошная среда недиспергирующая, скорость звука в ней с совпадает с фазовой скоростью щ/?. Поэтому
Р=е, (2)
где е=Nhщ-объемная плотность звуковой энергии, падающей на тело. Формула (2) справедлива и в общем случае нормального падения волны при наличии отражения и прохождения. Только в этом случае плотность энергии дается выражением е=(1+r) Nhщ, где r- коэффициент отражения. Полученные результаты согласуются с опытом и с тем, что дает классическая гидродинамика.
В изотропных твердых сплошных телах могут возбуждаться фононы двух типов - продольные и поперечные. В кристаллах, помимо продольных и поперечных, могут возбуждаться и другие фононы, соответствующие различным частотам и типам поляризации колебаний. (Как правило, в кристаллах «продольные» и «поперечные» волны не являются строго продольными и строго поперечными.) Для всех таких фононов справедливы соотношения (1). Только в этих случаях частота колебаний щ связана с волновым вектором ? не обязательно линейной однородной зависимостью, как было при отсутствии дисперсии, а зависимостью более сложного вида щ= щ(?). Такого рода зависимости называются дисперсионными соотношениями.
Волновой вектор ? волны в кристаллической решетке определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, равного вектору обратной решетки. В соответствии с этим и вектор р= h? определен также неоднозначно. Но можно устранить эту неоднозначность, если ограничить область изменения ? основной зоной Бриллюэна, что мы и будем делать. Так однозначно определенный вектор р называется квазиимпульсом фонона. Самый фонон, поскольку ему свойственны признаки частицы, называется квазичастицей, о чем уже было сказано раньше. Такой термин вводится, чтобы подчеркнуть, что квазичастица не является «настоящей» частицей.
В идеальной кристаллической решетке, свободной от посторонних примесей и лишенной различных дефектов (примесные атомы, атомы в междоузлиях, незаполненные узлы), плоская звуковая волна в линейном приближении должна распространяться без затухания и рассеяния в стороны. Линейное приближение означает, что разложение потенциальной энергии кристалла по степеням смещений атомов из положений равновесия обрывается на членах второй степени. Тогда возникают волны с гармоническими колебаниями атомов, или фононы, не взаимодействующие друг с другом. При наличии членов высших степеней, если они достаточно малы (а это, как правило, имеет место всегда, пока решетка не разрушена, т. е. вплоть до температуры плавления), также можно говорить о распространении плоских волн, или фононов, в кристалле. Однако в этом случае наступает взаимодействие различных волн (фононов). Поскольку энергия и импульс фононов квантуются, такое взаимодействие носит характер столкновений, в которых происходит уничтожение старых и рождение новых фононов. Наличие в потенциальной энергии членов третьей степени приводит к столкновениям, в которых одновременно участвуют три фонона. При наличии членов четвертой степени появляются столкновения четырех фононов и т.д.
Фононы и вообще квазичастицы хорошо приспособлены для описания слабых коллективных возбуждений в телах. Между последовательными столкновениями фонон движется свободно, и если «длина свободного пробега» его достаточно велика по сравнению с постоянной кристаллической решетки, то возбужденное состояние кристалла можно в известном отношении рассматривать как фононный газ. При этом число фононов не сохраняется, что дает основание рассматривать их как бозе-частицы (бозоны). фонон квазичастица энергия изотропный
На рис. 101 графически изображены примеры возможных взаимодействий фононов. Фононы изображены стрелками, а факты их взаимодействия -- кружками.
Рис.1 а) соответствует распаду фонона ?, щ на два фонона , и , . Рис.1 б) изображает столкновение фононов , и , , в результате которого возникает один фонон ?, щ. На рис.1 в) изображено столкновение двух фононов , и , , завершающееся возникновением двух новых фононов , и , .
При взаимодействии фононов соблюдается закон сохранения энергии. В случае процесса, изображенного на рисунке а), он записывается в виде
hщ=+ (3)
и аналогично в других случаях. Однако закон сохранения квазиимпульса может и не соблюдаться. Причиной этого является неоднозначность волнового вектора ?, отмеченная выше. Действительно, разложим, например, вектор ? на два вектора: ? = + (рис.2).
Вектор ? предполагается лежащим в основной зоне Бриллюэна, так что при нашем ограничении h? является квазиимпульсом. Но предположим, что составляющие векторы и (или по крайней мере один из них) настолько длинны, что они не умещаются в основной зоне Бриллюэна. Тогда, при нашем ограничении, векторы и h не будут квазиимпульсами. Квазиимпульсы и получаются из них путем прибавления векторов вида 2рnК, где К -- вектор обратной решетки, а n= 0, ±1......Например, для процесса, соответствующего рис. 1, а), следует писать
h?+2рК (4)
Если n=0, то в процессе взаимодействия фононов квазиимпульс сохраняется. Такие процессы называются нормальными. Если же n?0, то соответствующие процессы называются процессами переброса. Существование процессов переброса лишний раз оправдывает введение терминов «квазичастица» и «квазиимпульс» вместо простых терминов «частица» и «импульс».
Конечно, соотношения вида (3) и (4) справедливы не только при взаимодействии фононов между собой, но и при взаимодействии их с другими частицами и квазичастицами, например с фотонами. При переводе на классический язык эти соотношения выражают законы интерференции волн, принцип Допплера и вообще законы изменения частоты волн при различных процессах. Вот почему комбинационное рассеяние света, рассеяние Мандельштама -- Бриллюэна, эффект Вавилова -- Черенкова, изменение частоты света при распространении в гравитационном поле и другие явления могут быть истолкованы как с волновой точки зрения, так и с помощью представления о квазичастицах.
Воспользуемся теперь представлением о фононах для рассмотрения теплопроводности твердых тел. Мы имеем в виду диэлектрики, а не металлы. В диэлектриках перенос тепла осуществляется фононами, тогда как в металлах основную роль в этом процессе играют электроны. Само понятие теплопроводности относится к локально равновесному состоянию неподвижного тела, каждой точке которого можно приписать определенную температуру. Чтобы получить полностью равновесное состояние тела, можно, например, заключить его в жесткую оболочку, поддерживаемую при постоянной температуре. Тогда в результате теплового возбуждения фононов, их поглощения и рассеяния на других фононах, на примесях и дефектах решетки, на границах тела и окружающей оболочки, в конце концов установится полностью термодинамически равновесное состояние тела, однозначно определяемое только температурой оболочки.
Будем сначала предполагать, что кристалл идеальный, т. е. не содержит примесей, а кристаллическая решетка лишена всех дефектов. Совокупность фононов в теле будем рассматривать как фононний газ и воспользуемся для его теплопроводности формулой
=1/3*ЫСл (5)
которую дает элементарная теория газов. Здесь С -- теплоемкость единицы объема тела (в прежних обозначениях С = nm), Ы -- средняя скорость фонона в теле, л -- средняя длина свободного пробега фонона.
Из приведенных рассуждений следует, что теплопроводность идеального кристалла может быть связана только с такими столкновениями фотонов, которые сопровождаются процессами переброса, так как при этих столкновениях не соблюдается закон сохранения квазиимпульса. Значит, только эти столкновения и должны быть приняты во внимание при вычислении средней длины свободного пробега фонона, входящей в формулу (5).
Вблизи абсолютного нуля температур, когда тепловых фононов практически нет, средняя длина свободного пробега фонона ограничивается размерами кристалла. Здесь дело обстоит аналогично тому, что имеет место в случае ультраразреженных газов, когда длина свободного пробега молекулы велика по сравнению с размерами сосуда, в котором заключен газ. Полагая в формуле (5) л = l, где l -- размеры кристалла, мы получим величину , которая будет характеризовать не только внутренние свойства кристалла, но будет зависеть и от его размеров. При низких температурах скорость Ы практически постоянна, а теплоемкость по теории Дебая пропорциональна , поэтому и теплопроводность кристалла будет также пропорциональна .
При повышении температуры влияние размеров кристалла отойдет на второй план. Определяющими будут столкновения между фононами, сопровождающиеся процессами переброса. За счет этого, а также за счет увеличения теплоемкости произойдет и быстрое увеличение теплопроводности. В этой области температур величина л, а с ней и теплопроводность х кристалла уже перестают зависеть от размеров кристалла, а становятся только его внутренними свойствами. В области высоких температур можно ожидать зависимости ~ 1 /Т. Действительно, в этой области справедлив классический закон равномерного распределения кинетической энергии по степеням свободы, в силу которого энергии всех фононов становятся одинаковыми (не зависящими от частоты щ). Поэтому плотность фононов N пропорциональна плотности энергии, т. е. Т, а теплоемкость С достигает классического предела, который не зависит от Т. Поэтому средняя длина свободного пробега фонона л ~ 1/N, а с ней и теплопроводность х становятся пропорциональными 1/Т.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие фононов в физике. Фононы как истинные степени свободы в кристаллическом твердом теле. Основы теории динамики кристаллической решетки. Статистика, описывающая фононы, – статистика Бозе-Эйнштейна. Фононный спектр и плотность фононных состояний.
курсовая работа [295,4 K], добавлен 15.08.2011Монохроматическая электромагнитная волна, напряженность электрического поля которой меняется по физическому закону. Рассеяние линейно поляризованной волны гармоническим осциллятором. Уравнение движения заряженной частицы в поле электромагнитной волны.
контрольная работа [111,7 K], добавлен 14.09.2015Гидроаэромеханика. Законы механики сплошной среды. Закон сохранения импульса. Закон сохранения момента импульса. Закон сохранения энергии. Гидростатика. Равновесие жидкостей и газов. Прогнозирование характеристик течения. Уравнение неразрывности.
курсовая работа [56,6 K], добавлен 22.02.2004Экспериментальное получение электромагнитных волн. Плоская электромагнитная волна. Волновое уравнение для электромагнитного поля. Получение модуля вектора плотности потока энергии. Вычисление давления электромагнитных волн и уяснение его происхождения.
реферат [28,2 K], добавлен 08.04.2013Изменение представлений о внутреннем строении окружающих нас материалов. Наблюдения над способностью тел сокращаться при сжатии и расширяться при нагревании. Перенос атомных представлений в волновую теорию света, в свойства эфира, энергии и квантов.
реферат [22,0 K], добавлен 20.09.2009Линейная, круговая и эллиптическая поляризация плоских электромагнитных волн. Отражение и преломление волны на плоской поверхности. Нормальное падение плоской волны на границу раздела диэлектрик-проводник. Глубина проникновения электромагнитной волны.
презентация [1,1 M], добавлен 29.10.2013Кинетическая энергия, работа и мощность. Консервативные силы и системы. Понятие потенциальной энергии. Закон сохранения механической энергии. Условие равновесия механических систем. Применение законов сохранения. Движение тел с переменной массой.
презентация [15,3 M], добавлен 13.02.2016Определение параметров плоской электромагнитной волны: диэлектрической проницаемости, длины, фазовой скорости и сопротивления. Определение комплексных и мгновенных значений векторов. Построение графиков зависимостей мгновенных значений и АЧХ волны.
контрольная работа [103,0 K], добавлен 07.02.2011Понятие абсолютно черного тела. Максвелловская теория электромагнетизма. Релятивистский закон сохранения энергии – массы. Теория относительности А. Эйнштейна. Поглощательная способность тела. Закон теплового излучения Г. Кирхгофа, Стефана-Больцмана.
реферат [748,6 K], добавлен 30.05.2012Определение частоты и сложение колебаний одного направления. Пропорциональные отклонения квазиупругих сил и раскрытие физической природы волны. Поляризация и длина продольных и поперечных волн. Общие параметры вектора направления и расчет скорости волны.
презентация [157,4 K], добавлен 29.09.2013Физическое содержание закона сохранения энергии в механических и тепловых процессах. Необратимость процессов теплопередачи. Формулировка закона сохранения энергии для механических процессов. Передача тепла от тела с низкой температурой к телу с высокой.
презентация [347,1 K], добавлен 27.05.2014Основные положения и понятие волны. Волновые процессы. Волны и скорости волн. Волна - распространение возмущения в непрерывной среде. Распространение волны в пространственно периодической структуре, т.е. в твердом теле. Элементы векторного анализа.
реферат [84,4 K], добавлен 30.11.2008Строение и ядерная модель атома. Атомный номер элемента. Волновые свойства электрона. Звуковые волны и их свойства. Строение и анатомия уха человека. Свет и световые явления, процесс образования тени и полутени. Закон преломления света, его сущность.
реферат [1,1 M], добавлен 18.05.2012Многообразие решений уравнений Максвелла. Причинность и физические взаимодействия. Вариационные основы квазистатических явлений. Тензор энергии-импульса электромагнитной волны. Эфирные теории и баллистическая гипотеза Ритца. Волны и функции Бесселя.
книга [1,6 M], добавлен 27.08.2009Понятие механической системы; сохраняющиеся величины. Закон сохранения импульса. Взаимосвязь энергии и работы; влияние консервативной и результирующей силы на кинетическую энергию частицы. Момент импульса материальной точки; закон сохранения энергии.
курсовая работа [111,6 K], добавлен 06.12.2014Графики зависимости модулей и фаз коэффициентов от угла падения волны света. Дисперсионное уравнение четырехслойной волноводной структуры для случаев, когда плоская волна света в слое имеет ТЕ- и ТМ-поляризацию. Общая характеристическая матрица.
контрольная работа [1,0 M], добавлен 15.11.2013Анализ механической работы силы над точкой, телом или системой. Характеристика кинетической и потенциальной энергии. Изучение явлений превращения одного вида энергии в другой. Исследование закона сохранения и превращения энергии в механических процессах.
презентация [136,8 K], добавлен 25.11.2015Одномерное геометрическое пространство как частный случай трехмерного пространства без участия массы. Обоснование приближенности (неточности) традиционного закона сохранения энергии в геометрическом пространстве путем алгебраического решения интегралов.
творческая работа [42,4 K], добавлен 17.01.2013Корпускулярно-волновой дуализм и принцип Гейзенберга. Уравнение Шрёдингера, функции распределения, методы возмущений. Свободные электроны в телах, функция плотности состояний, теорема Блоха. Электроны в твердых телах и энергетических зонах, фононы.
контрольная работа [2,1 M], добавлен 24.08.2015Излучение электрического диполя. Скорость для электромагнитной волны в вакууме. Структура электромагнитной волны, распространяющейся в однородной нейтральной непроводящей среде при отсутствии токов и свободных зарядов. Объемная плотность энергии.
презентация [143,8 K], добавлен 18.04.2013