Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВА РОБОТА

на тему: «Поріг протікання електричного струму в тонких металевих плівках»

Львів 2015

Зміст

• Вступ
• 1. Введення в теорію перколяції
• 2. Перколяційний поріг
• 3. Кореляційна довжина
• 4. Розподіл кластерів за розмірами
• 5.Структура перколяційного кластера
• 6. Оцінка порогу перколяції
• 6.1 Визначення перколяційного порогу
• 6.2 Оцінки Шера і Цаллена
• 6.3 «Універсальна формула» Галама і Можера
• 6.4 Поріг перколяції для архімедових ґраток
• 7.Фрактальна розмірність
• 7.1. Мультифрактали
• 8. Методи визначення фрактальної розмірності
• 9.Проблеми в теорії перколяції
• Висновок
• Список літератури

Вступ

Дослідження порогу протікання електричного струму в тонких металевих плівках зручно проводити в рамках теорії перколяції. Історично вона походить від робіт Флорі (1941р.) та Стокмайера (1943р.), які розглядали процес утворення гелів при полімеризації. Але, зазвичай початок теорії перколяції пов'язують з публікацією в 1957 році роботи Броадбента та Хаммерслі. Автори ввели назву «теорія перколяції» і розглянули процес з математичної точки зору. Термін перколяція використовувався для протиставлення дифузії: якщо в випадку дифузії ми маємо випадковий рух частинки в впорядкованому середовищі, то в випадку перколяції мова іде про визначений потік в випадковому середовищі.

Зараз перколяційні процеси розглядаються математиками, фізиками, хіміками, програмістами та інженерами. Виявилось, що перколяція є зручною моделлю для опису широкого класу явищ, які прийнято називати критичними. З іншої точки зору, задача виявилась дуже цікавою.

Більшість результатів теорії перколяції отримано внаслідок комп'ютерного моделювання. Для цього доводиться проводити тисячі комп'ютерних дослідів на великих об'єктах, що вимагає розробки ефективних алгоритмів. Виявилось, що ця теорія має багато спільного з рядом нових та перспективних напрямів науки. Незважаючи на те, що в перколяції отримано ряд строгих результатів, а в її застосуванні досягнуто значних успіхів, багато чого ще потрібно зрозуміти, довести та застосувати.

1. Введення в теорію перколяції

Теорія перколяції має справу з дуже простими моделями невпорядкованих систем. В роботі буде пояснено основні поняття і результати перколяційних досліджень, використаних в найпростіших перколяційних проблемах: так званих випадкових ділянках перколяції в періодичних двовимірних ґратках.

На рис. 1 зображено серію кінцевих (50х50) квадратних ґраток, ділянки яких (зображені квадратами на рис. 1) можуть знаходитись в двох станах, які мають назви «зайнятий» (чорні квадрати) і «вільний» (білі квадрати). Кожен випадковий квадрат може бути зайнятим (не залежить від стану інших) з імовірністю p або вільним з імовірністю 1-p. Група зайнятих квадратів, зв'язаних найменшими відстанями між собою має назву перколяційний кластер. Якщо p є малим (наприклад, p=0,1), то більш зайняті місця є ізольованими від маленьких кластерів (рис. 1(а)). Якщо p збільшується, більшає і величина кластерів, починає з'являтись комплекс неправильної форми (рис. 1 (б)-(д)) і для деякого значення p кластер зростається в єдине ціле (рис. 1 (д),(ф)). В обмеженні нескінченної граки таке значення p називають перколяційним порогом, при якому неперервний кластер зумовлює провідність з кінцевою імовірністю (наприклад, p_c на квадратній ґратці рівна 0,592745±0,000002 (за результатами числового моделювання Зіффа і Саповала в 1986р)). [3]

Поріг перколяції -- це точка, що знаходиться між непровідним (неперервного кластера немає) і провідним станами (неперервний кластер існує), при якій властивості перколяційної системи несподівано змінюються при підвищенн p (перколяційний фазовий перехід, який є фазовим переходом другого роду). При p>p_c неперервний кластер починає приєднувати до себе менші кластери (на рис. 2 зображено залежність густини неперервного кластера від р).

Рис. 1. Перколяційні мережі на квадратних ґратках (50х50) для різних р. Заповнені і пусті місця позначені чорним і білим кольором відповідно. Перколяційний кластер при р=0,6 показано окремо. На ділянці (ф) відмічено неперервний кластер.

Вивчення властивостей перколяційних кластерних форм є принциповою частиною перколяційного вчення. Зокрема, вивчення розподілу розмірів кластерів і структури дуже великих кластерів поблизу порогу протікання електричного струму - явище, яке останнім часом вивчалось найбільше. Але геометричний розподіл є також дуже важливим, оскільки, головний напрям перколяційної теорії є основаним на можливості зіставлення геометричних властивостей з транспортними (такими, як електропровідність).

Рис. 2. Залежність густини (суцільна лінія) і провідності (точкова лінія) неперервного кластера від р.

Для прикладу, уявімо, що на рис. 1 забарвлені квадратики відповідають провідним речовинам, а світлі - діелектрикам і, що дві провідні площини є електрично поєднані тільки тоді, коли контактують між собою. Тоді електричний стум може протікати від однієї сторони зразка до іншої лише в випадку проходження кластера повністю через гратку. Якщо діелектричні речовини знаходяться між кожною парою електрично зв'язаних площин, то вони утворюють резисторну мережу. Вивчення випадкових резисторних мереж стало порівняно незалежним і виросло в окрему галузь перколяційної теорії, що дуже швидко розвивається і вже знайшла власне застосування в таких важливих питаннях, як, наприклад, вивчення оптичних властивостей композитних матеріалів. [6]

В цій роботі я спробую проілюструвати можливості перколяційної ідеї на прикладі її застосування в вивченні тонких металевих плівок на напівпровідниковій чи діелектричній підкладках (скло, слюда, сапфір, нітрид кремнію та ін.). Ріст таких плівок, які зазвичай отримуються шляхом вакуумного випаровування, проходить так: перші металеві зерна утворюють невеликі острівки, що формуються на підкладці і розростаються на ній, згодом утворюючи металеву мережу (по аналогії з нескінченним перколяційних кластером, зображеним на рис. 1(с)), яка простягається на весь зразок і змушує поводитись його як метал (якщо ми вивчаємо його провідність). Властивості напівнеперервних металевих плівок (тобто, таких плівок, які є недалекими від утворення неперервного кластера) є основною метою перколяційного вчення в тонких металевих плівках. [1]

Аналіз рис. 3 показує, що металеві зерна випадковим чином розподілені на підкладці і не утворюють періодичну гратку, тобто модель випадкового розподілу є більш вигідною для опису морфології плівки, аніж моделі, в основі яких лежить твердження про впорядкованість ґратки.[7] До недавнього часу, всі дослідники перколяційної теорії вірили в достовірність так званої гіпотези універсальності (наприклад, Стенлі 1971, Уілсон 1979), яка в даному випадку говорила про те, що критичні властивості не залежать від того, чи заповнюються вільні місця чи ні. Але універсальність дає можливості перенесення результатів отриманих для технічно більш вигідної моделі випадкового розподілу.

Вивчення вище згаданої моделі (модель швейцарського сиру) показало, що явище провідності зумовлене не лише транспортними властивостями перколяційних кластерів.

Також, важливим є питання про те, що значить імовірність протікання (концентрація зайнятих вузлів) p при випадковому розподілі тонкої металевої плівки (рис. 3). Порівняння малюнків 3 та 1 дає можливість вважати, що p - відсоткова доля поверхні, покрита металом.



Рис. 3. Плівки Au товщиною 4 нм на вуглецевій підкладці. Металеві ділянки зафарбовано чорним. (P = 0,48)

Покриття поверхні може бути визначеним шляхом електронної мікроскопії, але плівка повинна бути виготовлена на спеціальній підкладці (прозорій для електронів) і, зазвичай, вона повинна бути видалена з вакуумної камери. Таким чином, дослідження проведені Палевським та іншими (1984) є дуже важливим: вони виявили, що товщина t плівки, визначена кварц-мікроваговим методом, пропорційна покриттю поверхні р в широкому діапазоні товщини поблизу протікання, звідси, (t-t_c) ~ (p-p_c) де t_c - товщина, що відповідає p_c. Так як товщина може бути виміряна на місці (без переривання вакууму) в процесі напилення, то це дає можливість вивчати нестабільні напівнеперервні структури.[3]

2. Перколяційний поріг

Принциповою особливістю всіх перколяційних моделей є існування порогу протікання, на якому майже всі властивості системи несподівано змінюються внаслідок утворення неперервного кластера (так званої дальньої провідності). Перший приклад такої поведінки (існування неперервного кластера) походить від вивчення пружних поверхневих хвиль в тонких плівках золота та NaCl. Пружна хвиля, що поширюється через тонку металеву плівку зумовлює діелектричну неоднорідність поверхні, від якої світло може бути розсіяним. Цей процес супроводжується виникненням або поглинанням фонона і відповідним зсувом частоти розсіяного світла (так зване розсіяння Брілюена). В тонких металевих плівках на діелектричній підкладці, розсіяння світла проходить переважно в плівці і, відповідно, спектр частот розсіяного світла (рис. 4), дає можливість отримати інформацію про пружні властивості плівки, тому що спостережувані піки відповідають різному типу пружної поверхні (Сандеркок 1982). Гілебрандс та інші (1986) дослідили розсіяння світла на пружній поверхні хвиль в тонких плівках золота різної товщини (з захопленням перколяційних) і знайшли новий тип поверхневих пружних хвиль, що існують лише в напівнеперервних плівках (нижче p_c). Автори обговорили можливість пояснення цієї знахідки і стверджують, що нова еластична мода (відмічена стрілками на малюнку 4) зумовлена внутрішніми еластичними модами кінцевих кластерів. Той факт, що ці моди з'являються несподівано на порозі протікання було підтверджено електронною мікрофотографією досліджуваних плівок.[8]



Рис. 4. Інтенсивність світла, розсіяного в напівнеперервній плівці золота на NaCl в залежності від частотного зсуву. Нова пружна мода спостерігається нижче порогу протікання (відмічена стрілками). Пік на лівій частині відповідає випромінюванню фононів, а інший справа - поглинанню.

Різна поведінка перколяційних систем нижче і вище порога протікання і різниця між кінцевими кластерами та неперервним кластером була продемонстрована вивченням ефекту зарядки скануючого електронного мікроскопа (Баркай та інші 1989). Автори дослідили обидві ізолюючі і провідні плівки індію на скляних підкладках. Коли електронний промінь в мікроскопі потрапляє на плівку, вторинні електрони емітуються з поверхні. Негативний заряд, що залишається на ізольованих кінцевих кластерах індія збільшує вихід емітованих електронів і, як наслідок, кінцеві кластери яскраво виражаються в дуже хорошій мікрофотографії, зображеній в роботі Баркая та співробітників, в той час, як неперервний кластер здається темним і його наявність легко виявити.[3] Знову ж, поведінка плівки несподівано змінюється на перколяційному порозі: феномен зарядки також спостерігається і нижче p_c, але в результаті значно вищого потенціалу ізолюючої плівки виникає нестабільність первинного електронного пучка і зображення спотворюється. Це дозволяє виявити відмінність між плівкою-діелектриком (p < p_c) і провідною плівкою (p > p_c).

3. Кореляційна довжина

Найбільш важливою кількісною перколяційної характеристикою з практичної точки зору є кореляційна довжина е, яка, грубо кажучи, є середнім розміром перколяційних кластерів разом з типовим розміром великих незайнятих ділянок поблизу неперервного кластера вище порогу протікання p_c. Як тільки поріг перколяції буде перетнуто, то великі кластери почнуть приєднуватись один до одного та ставати все більшими і більшими і, як наслідок кореляційна довжина почне змінюватись за законом

е~|p-p_c|^-н (1)

Рис. 5. Залежність кореляційної довжини від концентрації

тут (для двовимірних ґраток рівна 4/3) є прикладом критичного перколяційного вказівника. Більшість важливих перколяційних величин (таких, як густина неперервного кластера, середній розмір кластерів, провідність випадкових перколяційних резистивних мереж та ін.) ведуть себе поряд із p_c за деяким степеневим законом (на рис. 2, при p < p_c густина неперервного кластера і провідність випадкової перколяційної резистивної мережі є величинами (p-p_c)^5/36 та (p-p_c)^1/3 відповідно). Відповідні критичні індекси були встановлені і всесторонньо вивчені, між ними була встановлена залежність.[8]

Якщо розглядати неперервний кластер із великої відстані (тобто, з відстані при якій ми не зможемо відрізнити будь-які деталі, окрім найбільшої неоднорідності е), то буде здаватись, що ми маємо однорідну структуру. Якщо підійти до цього більш уважно, так, щоб можна було розрізняти частинки менші від е, то можна побачити, що неперервний кластер є самоподібним. Явище самоподібності поширилось з появою фрактальної геометрії (Мандельброт 1982) і значить, що самоподібні об'єкти складаються з однакових структур з різними кореляційними довжинами, або, іншими словами, якщо дивитись на фотографії цього кластера при різних збільшеннях ми не в змозі визначити, в якому порядку ці картини були зроблені.

Кореляційна довжина як єдина, що відповідає «макроскопічній» довжині, також визначає ефективну розмірність перколяційного об'єкта: наприклад, тонкі плівки, що розглядаються в цій роботі, насправді складаються не з двовимірних зерен. Тим не менше, поблизу порога протікання їх можна вважати двовимірними, тому що можна вважати, що кореляційна довжина прямує до безмежності і стає набагато більшою від товщини плівки.

Якщо порівняти кореляційну довжину з характерною довжиною l для фізичної величини при вивченні певних властивостей (наприклад, довжина хвилі світла при вивченні оптичних властивостей), то можна виділити два режими:

1. В однорідному режимі () об'єкт є ефективно однорідним для і детальна структура протікання в перколяційний мережі не має значення для дослідження властивостей.

2. В неоднорідному режимі () топологія перколяційної мережі має прямий вплив на властивості об'єкта, що вивчається. Рівняння (1) свідчить про те, що неоднорідний режим завжди може бути досягнутим поблизу порогу перколяції.

В якості першого прикладу в даному розділі, можна навести деякі результати останніх досліджень оптичних властивостей неоднорідних плівок металу поблизу p_c. Оптичні властивості суміші метал-діелектрик були традиційно вивчені в модифікованій теорії ефективного середовища (Ландауер 1978), основними припущеннями якої є:

1. Розмір металевих зерен є значно меншим, аніж оптична довжина хвилі л;

2. Форма металевих зерен є визначена (наприклад, еліпсоїдальна)

Жодне із цих тверджень не виконується поблизу p_c , де кластери великої неправильної форми і структури можуть виростати до макроскопічних розмірів. Ефективне середнє наближення добре працює в однорідному режимі (), але не виконується в напівнеперервних плівках в неоднорідному режимі (). [6]

Деякі групи експериментаторів досліджували пропускання і відбивання напівнеперервних металевих плівок (Au, Al:Ягіл та Дойчер 1987, Au: Гаденн та інші 1987, Al:Кунц та інші) в інфрачервоному спектральному діапазоні ( л > 1~5 мкм), де оптичні властивості регулюються вільними електронами металу і, можливо тому, корелюють з постійними електричними властивостями (які добре відомі з дослідження структури плівок). Основні висновки з цих робіт можна описати так (Гаденн та інші):

1. Поведінка коефіцієнта відбивання та пропускання поблизу порога перколяції, здається універсальною та дуже схожою для різних плівок (для прикладу, плівки з різними розмірами зерен).

2. Близько до p_c, відбивання і пропускання слабо залежать від довжини хвилі і їх поведінка близька до лінійної.

3. Дуже велике поглинання (? 40%) в окрузі p_c не залежить від довжини хвилі

Ягіл та Дойчер (1988) запропонували просту феноменологічну теорію, основану на самоподібності металевої сітки в напівнеперервному режимі і змогли пояснити явища 1 та 2. Тепер спробуємо пояснити суть їх розрахунків для пропускання в напівнеперервних металевих плівок.

Основним кроком до розрахунків є вимірювання кореляційної довжини на основі деякої ідеї реально-просторової перенормовувальної техніки (Вілсон 1979, Шауффер 1985). Метод перенормування полягає в розбитті вузлів ґратки в клітинки лінійних розмірів з певної константою розміру (як правило, менших від кореляційної довжини) і заміною ними так званих «супер-ділянок». Концентрація заповнених місць р, кажучи в загальному, змінилась (з концентрацією окупованих супер-ділянки р') в результаті “усереднення” процес-ділянками, в яких більшість місць є зайнятими “супер-ділянками” (після перенормування утворень з більшістю незайнятих місць). Тим не менше при p=p_c перколяційна мережа є напівпровідною і тому р не змінюється.

Якщо ми вивчаємо напівнеперервні тонкі металеві плівки, то характеристична мікроскопічна довжина а є типовим розміром металевих зерен. Світлова хвиля з довжиною хвилі л «бачить» зразки і переформовує їх по довжині л (або л/2р (обернене до оптичного хвильового числа)). Ділянки, які є окупованими під час цього починають поводити себе як металеві. Відносна кількість «металевих» (р') і «діелектричних» (1- р') ділянок на розмірності л/2р легко визначається: кореляційна довжина може бути виражена двома просторовими масштабами, такими як а та л/2р, тому

(2)

(слід відзначити, що p_c не повинно змінюватись) і також

(3)

Подальше перенормування масштабу та загального пропускання Т плівки може бути розраховане як сума пропускання в ділянках з характерними величинами л/2р, в яких є як і металеве пропускання (Т_m) та і діелектричне (Ti):

(4)

З рівняння (3) ми отримуємо:

(5)

Рівняння (5) передбачає лінійну залежність пропускання від р і довжина хвилі випромінювання і незалежність при p=p_c (рис. 6).

Спостереження (3) було пояснено Робіном і Соуіллардом (1989), які приймали до уваги детальні знання про внутрішню структуру кластерів поблизу перколяційного порогу.[4]

Поведінка напівнеперервних надпровідних плівок або випадкових надпровідних-ненадпровідних сумішей, а також частотна залежність провідності тонких металевих плівок слугують додатковими прикладами відмінностей між однорідними і неоднорідними структурами.



Рис. 6. Пропускання тонких плівок золота в вигляді функції довжини падаючого світла (а) та товщини плівки (б). Хрестики та круги (на б) відповідають довжинам хвиль 1,05 мкм та 2,5 мкм, відповідно. Стрілка на рис. б) відмічає поріг протікання (перколяційний поріг, критична товщина плівки), при якому коефіцієнт пропускання стає незалежним від довжини хвилі.

4. Розподіл кластерів за розмірами

Згідно з масштабною теорією перколяційних кластерів, кількість N_s (p) провідних кластерів, що складаються із елементів поблизу p_c :

(6)

де ф - деяка стала, s_ж - типовий розмір кластера, який лінійно залежить від кореляційної довжини.

Поблизу самого перколяційного порогу (p?p_c) розміри кластерів починають зменшуватись за степеневим законом N_s ~S^-ф. При (p?p_c) досліди показали, що N_S розподіляється за степеневим законом для S < S_ж, і за експоненціальним для S > S_ж . Якщо прийняти гіпотезу про універсальність розподілу кластерів за розміром, то можна здійснити пряму експериментальну перевірку перколяційних ідей при застосуванні їх для вивчення напівнеперервних металевих структур. Порівняння розмірів кластерів здійснюють методом мікрофотографії. Ці досліди проводились в основному компанією IBM при вивченні тонких плівок золота. Досліджувані плівки були полікристалічної структури і типовий розмір кристаліту був співмірний з масштабною довжиною. Мікрофотографії оцифровувались і аналізувались за допомогою комп'ютерів. Отримані результати добре узгодились із теоретичними.[2]

5. Структура перколяційного кластера

Було запропоновано кілька геометричних моделей, що описують структуру великого перколяційного кластера. Першою моделлю такого роду була модель Скал-Шкловського-де Жена.

В 1974 році Скал і Шкловський, а в 1976 році незалежно від них де Жен, запропонували модель, що описує структуру перколяційного кластера з нехтуванням мертвими кінцями. В літературі модель часто зустрічажться під назвою SKK. Модель була запропонована, щоб передбачити і описати такі властивості як провідність та ефект Холла. В цій моделі припускається, що кластер складається з викривлених зв'язків, з'єднаних вузлами, утворюючи неоднорідну гратку з параметром , тобто є середньою геометричною відстанню між найближчими вузлами.[8]

Незважаючи на те, що до моделі висувається обмежений інтерес, особливо в реальному світі (з розмірністю 2 та 3) при розгляді провідності, важливо відмітити, що модель має один точний аспект: вона дає точне значення густини провідних шляхів в перерізі зразка. Це спостереження, вперше зроблене для інтерпретації експерименту, було підтверджено моделюванням по методу Монте-Карло. Воно виходить із спрощення в моделі про те, що в неперервному кластері є лише одна петля. Це припущення є справедливим лише в випадку великих розмірів системи. В випадку малих розмірів кластер буде складатись з петель, які в свою чергу, будуть знаходитись в інших петлях і т.д.

Модель крапель та зв'язків була запропонована в 1977р. Стенлі і детально досліджена в 1982р. Конільо.

В цій моделі припускається, що неперервний кластер складається із фрагментів, в яких існують численні утворення (краплі), які з'єднані один з одним одиничними зв'язками.[6]

В 1981 р. було запропоновано модель, яка представляє собою протилежний випадок в порівнянні з моделлю крапель і зв'язків. Якщо в моделі Скал-Шкловського-де Жена повністю нехтувалось наявністю крапель, то в цій моделі повністю проігноровані одиночні зв'язки. Головною перевагою моделі є те, що деякі інші ієрархічні моделі можуть бути точно розв'язані в її рамках. Також вона дає хороші значення для критичних показників в випадку малих розмірів структур [8].

Побудова фрактала Гівена-Мальдеброта починається з відрізка. В структурі фрактала можна знайти петлі, гілки та мертві кінці всіх можливих розмірів. Таким чином, фрактал складається із таких самих елементів, що і перколяційний кластер. Цей факт дозволяє використовувати фрактал Гівена-Мальдеброта в якості одної із можливих моделей перколяційного кластера.

6. Оцінка порогу перколяції

6.1 Визначення перколяційного порогу

Будемо називати випадковим пробігом впорядковану неперервну послідовність з n кроків впродовж зв'язків від одного вузла до найближчого сусіднього. Пробіг називають пробігом без самоперетинань, якщо кожен вузол проходиться лише один раз.

Константа зв'язаності м описує топологічні властивості ґратки і визначається як

(7)

де c_n - число шляхів пробігу без самоперетинань, що починаються на даному вузлі. Константа зв'язаності, відома також як ліміт пробігів, є мірою зв'язаності ґратки, тобто характеризує ступінь її пересічності.

Розглянемо всі шляхи довжиною n випадкового пробігу без самоперетинань від даного вузла. Кожен шлях може бути продовжений на один крок z-1 способами. Таким чином, шляхів з n+1 кроків в z-1 разів більше ніж шляхів з n кроків. Звідси м ? z-1 [8].

Проста і точна оцінка порога протікання може бути отримана із необхідної умови для перколяції, щоб середнє число незаблокованих шляхів випадкових пробігів без самоперетинань довжини n мⁿpⁿ залишалось скінченним для недуже великих n, що дає

p_c ?1/м (8)

Співвідношення (8) залишається справедливим як для вузлів так і для шляхів.

Для вузлів

p_c ?1/м1?1/(z-1) (9)

Гратка L* втримує гратку L, якщо L може бути отримана з L* шляхом видалення деяких ребер.

Справедливе співвідношення

(10)

Дуальна гратка L^D володіє наступною властивістю: кожен її зв'язок перетинає зв'язки вихідної ґратки L один і лише один раз і навпаки.[3] Фішер показав, що

(11)

(12)

Значення порога перколяції залежить від розмірності простору та координаційного числа.

6.2 Оцінки Шера і Цаллена

Шер і Цаллен ввели для оцінки порога перколяції критичну долю об'єму. Навкруги кожного вузла ґратки описується сфера (відповідної розмірності: коло в двомірному випадку, багатогранна сфера в випадку d>2). Радіус сфери рівний половині відстані до найближчого кластера. Таким чином, сфери дотикаються, але не перетинаються. Доля доступного об'єму V визначається як відношення об'ємів сфер, центрованих на неблокованих вузлах, до повного об'єму сфер. Ця велична може бути розрахована за формулою

(13)

тут f - коефіцієнт заповнення (відношення об'єму вписаної сфери до об'єму елементарної комірки). Критичний об'єм (для p_c) залежить лише від розмірності. [3]

перколяційний поріг кластер архімедовий

6.3 «Універсальна формула» Галама і Можера

В 1996 році Галам то Можер встановили степеневий закон для визначення порога перколяції як в випадку задачі вузлів, так і випадку зв'язків.

(14)

тут d - розмірність простору, q - координаційне число. Всі розрахунки було розділено на три універсальні класи. Для перших двох класів b = 0 в випадку вузлів та b = a в випадку задачі зв'язків. Для третього класу b=2a-1 в обох випадках. Класи визначаються значеннями з набору {p₀;a}. Наприклад, ґратки першого класу відносяться трикутна, квадратна і шестикутна ґратки (p₀ = 0,8889, а = 0,6160 для задачі вузлів та p₀ = 0,6558, а = 0,6897). [3]

В 1997 році автори представили універсальну формулу для анізотропних та аперіодичних ґраток. Вони ввели параметр p_efi - ефективне координаційне число, яке виявилось дуже близьким до середнього координаційного числа < Z >.

Але дуже швидко виявилось, що існує цілий ряд випадків, коли універсальна формула дає невірний результат. Так в 1997 році Ван дер Марк показав, що в випадку об'ємноцентрованої ґратки і простої гексагональної ґратки формула передбачає однакові результати, оскільки для них обох d = 3 та q = 8 (p₀ = 0,246, а = 0,2623 та p₀ = 0,3623, а = 0,1859 відповідно).

Далі Ван дер Марк показав ще ряд прикладів, в тому числі і для ізотропних ґраток, коли універсальна формула давала невірні результати. На основі отриманих даних автор зробив висновок про те, що розмірності простору і координаційного числа не вистачає для передбачення порогу протікання.

Ще один приклад, коли результати комп'ютерного моделювання і оцінка по універсальній формулі дають відчутно різні значення порога перколяції було показано для ґратки додекаедра.

6.4 Поріг перколяції для архімедових ґраток

В 1999 році С'юдінг та Зіфф встановили, що поріг перколяції в задачі вузлів для всіх архімедових ґраток представляє собою лінійну функцію від густини вузлів. Похибка результатів, отриманих за допомогою формули, - 1%.[8]

Автори помітили, що поріг перколяції збільшується з «відкритістю» ґратки. Для кількісного опису «відкритості» була введена величина с, рівна густині чи числу вузлів ґратки на одиницю площі, за умови, що всі зв'язки мають одиничну довжину. Обернена величина - площина, що припадає на вузол ґратки, - може бути визначена наступним чином. З'єднаємо відрізками центри багатокутників, що знаходяться навколо даного вузла. Площа отриманої фігури буде шуканою величиною.

Архімедові ґратки можуть бути закодовані в вигляді (n₁^a1, n₂^a2, …), де n_і - число вершин багатокутників, що межують з вершиною, а показник - кількість таких багатокутників. Наприклад, трикутна ґратка має по 6 трикутників навколо кожної вершини, тому вона позначається (3⁶). В випадку архімедових ґраток площа правильного n-кутника визначається за формулою

 (15)

тут через A_n позначено 1/n частину площі. Тоді густина визначається за формулою

(16)

Рис. 7 Модель Архімедової ґратки

7. Фрактальна розмірність

Якщо розглянути відомі вирази для діаметру, площі та об'єму кулі у евклідовому просторі Е отримаємо:

діаметр кулі радіуса r у Е¹ складає 2r;

площа кулі у Е² рівна рr²;

об'єм в Е³ рівний (4/3)рr³.

Відповідно, узагальнення цих формул для евклідового простору іншої розмірності, що задається цілим числом d, матиме наступний вигляд:

V_d(r) = г(d)r^d, d = 1, 2, 3, … (17)

Для визначення фрактальної розмірності необхідним є визначення d-міри кулі радіуса r в Е^Е де d - будь-яке невід'ємне дійсне число. Це допускається шляхом розповсюдження формули (17) на всі дійсні d > 0.

Наступний крок пов'язаний з перенесенням поняття d-міри з кулі на довільну множину . Для цього будується покриття A множиною куль B_е(x_i), сума об'ємів яких становить:

(18)

Тоді е - фрактальною d - мірою множини буде число:

(19)

А. Безикович показав [12], що для кожного A завжди існує число, що d _ міра Хаусдорфа множини A безмежна при d < D_H і навпаки рівна нулеві при d > D_H. Таке число D_H, що фактично є критичним числом для даної множини, і називають розмірністю Хаусдорфа-Безіковича, або ще метричною чи фрактальною розмірністю.

В евклідовому просторі E^E величини розмірності Хаусдорфа D_H та евклідової (топологічної) розмірності D_E знаходяться в проміжку від 0 до E. Розмірність D_E завжди є цілим числом, тоді як для розмірності D_H ця умова не є обов'язковою. Ці дві розмірності не обов'язково повинні співпадати, а тільки задовольняти нерівності Спилрайна:

D_H < D_E (20)

У випадку евклідових множин D_H = D_E, тоді як для багатьох інших множин D_H > D_E. Для таких множин уведено термін «фрактал», та визначення якого є наступним:

Фракталом називають множину, для якої розмірність Хаусдорфа-Безіковича є строго більшою від її топологічної розмірності. Будь-яка множина з нецілим D_H є фракталом[11].

7.1 Мультифрактали

Більшість реальних фізичних об'єктів є неоднорідними, тому, на відміну від регулярних фракталів, їх неможливо описати за допомогою одної фрактальної розмірності D. Для опису таких об'єктів вводять цілий спектр фрактальних розмірностей, число яких, назагал, є нескінченним. Такі неоднорідні структури називають мультифракталами.[11] Це є наслідком того, що поряд з чисто геометричними властивостями, що описуються величиною D, реальні структури володіють ще й статистичними властивостями.

Розглянемо фрактальний об'єкт, що займає деяку обмежену область Л розміру L в Евклідовому просторі розмірністю d. Нехай на деякому етапі ітераційної побудови фрактальний об'єкт є множиною з N >> 1 точок (в граничному випадку N > ?), що певним чином розподілена по області. Прикладом такої множини може служити трикутник Серпинського, побудований методом випадкових ітерацій. [13]

Розіб'ємо область Л на кубічні комірки зі стороною е << L та об'ємом е^d. Розглядатимемо тільки зайняті комірки, які містять принаймні одну точку множини. Нехай номер зайнятих комірок i змінюється в межах i = 1, 2,…N(е), де N(е) - сумарне число зайнятих комірок, яке, звісно, залежить від розміру комірки е. Якщо n_i(е) -кількість точок у комірці з номером i, тоді, згідно означення, величина

(21)

являє собою ймовірність того, що випадково взята точка з множини знаходиться в i-й комірці. Отже, ймовірність p_i характеризує відносну заселеність комірок. З умови нормування ймовірності випливає, що

(22)

Уведемо узагальнену статистичну суму Z(q,е), що характеризується показником степеня q, який може приймати будь-які значення в інтервалі -? < q < +?:

(23)

Спектр узагальнених фрактальних розмірностей D_q, що характеризує даний розподіл точок в області Л, визначається за допомогою співвідношення

(24)

де функція ф(q) має вигляд

(25)

Якщо D_q = D = const, тобто не залежить від q, то дана множина точок представляє собою звичайний регулярний фрактал, який характеризується лише однією величиною - фрактальною розмірністю D. Навпаки, якщо D_q змінюється зі зміною q, то розглядувана множина точок є мультифракталом. [11]

Таким чином, мультифрактал у загальному випадку характеризується деякою нелінійною функцією ф(q), що визначає поведінку статистичної суми Z(q,е) при е > 0:

(26)

Виходячи з означення фрактальної розмірності D, при достатньо малому е число зайнятих комірок описується виразом, що має наступний вигляд:

N(е) ? е-^D (27)

Підставляючи цей вираз у формулу (25) та прирівнюючи результат до (27), отримаємо, що у випадку звичайного фракталу функція ф(q) є лінійною:

ф(q) = (q - 1)D (28)

Тоді всі D_q = D і дійсно не залежать від q. Фрактал, всі узагальнені розмірності D_q якого співпадають, називають монофракталом.

8. Методи визначення фрактальної розмірності

Відомо, що стохастичні структури, такі як острівцеві плівки та межі поділу фаз у композитному матеріалі, є фрактальними структурам. Тому доцільно з інформації, отриманої за допомогою АСМ, визначити їхню фрактальну розмірність. Як зазначалося в п. 2.4, найбільш широко застосовним методом визначення фрактальної розмірності є метод підрахунку комірок, а визначену таким чином розмірність називають розмірністю Хаусдорфа.

Для двовимірного випадку розрізняють фрактальну розмірність металічної фази, та фрактальну розмірність межі між металом та діелектриком. На рис. 8. зображена відмінність у підрахунку комірок залежно від того, яка розмірність визначається. У випадку, коли визначається фрактальна розмірність металевої фази D_p, комірками покривається вся область, що відповідає частинці на зображенні (рис. 8,а). Вважається, що комірка покриває область, якщо хоча б одна точка зображення області знаходиться в комірці [5]. Коли визначається фрактальна розмірність межі D_g, то підраховуються тільки комірки, через які проходить межа області частинки, тобто в комірці повинна бути хоча б одна точка області частинки, та хоча б одна, що їй не належать (рис. 8,б).

Залежності двовимірних фрактальних розмірностей металічної фази D_p та межі метал-діелектрик D_g від масової товщини для плівок срібла на поверхні скла представлені на рис. 9, а для плівок золота - на рис. 10.

З ростом масової товщини плівок срібла та золота фрактальна розмірність D_p областей, що займають частинки металу, зростає. Це пояснюється тим, що з ростом масової товщини збільшується кількість металу, тобто зростає заповненість поверхні металічною фазою.



(а) (б)

Рис. 8 Покриття комірками області, що відповідає частинці, у випадку визначення фрактальної розмірності металічної фази (а) та двовимірної межі метал-діелектрик (б).

Фрактальна розмірність межі між металом та діелектриком у площині сканування D_g для плівок срібла має виражений максимум в області масових товщин d_m ~ 3 нм. [6] Така залежність D_g пояснюється тим, що зі збільшенням концентрації металу на початкових стадіях напилення довжина межі росте, а при співмірних площах на поверхні металу та діелектрику (заповненість поверхні металом p ? 0,5) наступає максимум довжини межі, а при подальшому зростанні масової товщини - довжина межі спадає.

На графіку залежності фрактальної розмірності D_g для плівок золота (рис. 10, б) немає чіткого максимуму, та вона спадає з ростом масової товщини. Можна зробити висновок, що концентрація металу у досліджуваних плівках є більшою за критичну з максимальною довжиною межі.

Розглянемо тривимірний випадок. Як вже зазначалося, топологію поверхні плівки можна розглядати як функцію висоти від координат z(x,y). Фрактальну розмірність такої поверхні можна визначити підрахунком тривимірних комірок, що її покривають. [12] Однак для таких поверхонь розглядають ще так звану кореляційну розмірність. Оскільки автокореляцiйна функція пов'язана з спектральною густиною потужності (теорема Вінера-Хінчина), то фрактальнiсть топології поверхні можна визначити зі спектру потужності. В роботах показано, що спектр потужності фрактальних поверхонь описується степеневою залежністю від просторових частот

(29)

де спектральна сила K_б та спектральний індекс б є фрактальними параметрами, що характеризують шорсткість поверхні у області просторових частот. З співвідношення (29) випливає, що величина б визначається з тангенсу кута нахилу при представленні спектра потужності у подвійних логарифмічних координатах.

(а) (б)

Рис. 9 Залежність фрактальної розмірності металічної фази (а) та двовимірної межі метал-діелектрик (б) від масової товщини для плівок срібла.

(а) (б)

Рис. 10 Залежність фрактальної розмірності металічної фази (а) та двовимірної межі метал-діелектрик (б) від масової товщини для плівок золота.

Методом Блекмана-Тьюкі нами розраховано одновимірний спектр потужності, як функція просторових частот, який у подвійних логарифмічних координатах зображений на рис. 13. Його апроксимація лінійною залежністю (суцільна крива) дозволяє визначити спектральний індекс б, що для розглядуваного випадку становить 2,52. Спектральний індекс б пов'язаний з фрактальною корозмірністю H співвідношенням б =2H + 1.

Значення кореляційної фрактальної розірності пов'язані з фрактальною корозмірністю наступним виразом: D_c = 3 -H.



Рис. 11 Залежність спектральної потужності від просторових частот у подвійних логарифмічних координатах.

На рис. 11 представлені залежності від масової товщини для плівок срібла (рис. 12,а) та золота (рис. 12,б) хаусдорфівської фрактальної розмірності D_H, отримані методом підрахунку комірок (криві 1) і кореляційної фрактальної розмірністі D_c (криві 2). Кожна точка на графіку відповідає усередненому значенню не менш ніж для п'яти АСМ-зображень поверхні зразка.

Рис. 12 Залежність хаусдорфової (криві 1) та кореляційної (криві 2) фрактальних розмірностей тривимірної топології поверхні від масової товщини плівок срібла (а) та золота (б).

Як видно, у області досліджуваних масових товщин D_c < D_H, як для Ag, так і для Au. Швидкість зміни фрактальної розмірності з ростом масової товщини є неоднаковою і становить 0,028 і 0,008 нм^-1 для D_H і D_c відповідно (срібло) та 0,047 і 0,027 нм^-1 для D_H і D_c відповідно (золото).

Співвідношення D_c < D_H випливає із означень відповідних розмірностей. Дійсно, кореляційна розмірність D_c належить до нескінченного сімейства розмірностей D_q, які визначені співвідношенням:

, -? ? q ? ? (30)

де сумування проводиться по всіх комірках з розміром r, на які поділено простір, а p_k - ймовірність, з якою частинки фрактальної структури заповнюють k-ту комірку [11]. При q = 0 з (3.6) отримується розмірність, що визначається методом підрахунку комірок (тобто розмірність Хаусдорфа D_H), оскільки з суми вибираються комірки, в яких присутня принаймні одна точка фракталу.

Кореляційна розмірність з (30) відповідає значенню q = 2, так що D₂ < D₀, оскільки D_q ? D_q' при q' ? q.

9. Проблеми в теорії перколяції

Як вже було відмічено, різні важливі питання (структура кластера, методи оцінки перколяційного порогу і т.д.) все ще не розв'язані остаточно. Причина полягає в тому,що застосування дуже простої моделі перколяції для природніх систем (які є набагато складнішими) є складною і багатоетапною процедурою. Я хочу показати деякі приклади проблем, які зустрічаються в дослідженні тонких плівок методами перколяційної теорії.

В попередніх розділах було згадано про різницю між теорією і експериментом при провідності шумів в тонких плівках поблизу порога протікання. При пошуку пояснення дослідники виявили порушення принципу універсальності в випадку транспортних властивостей (так звана модель Швейцарського сиру, в якій в транспортних мережах існують випадково створені розриви).[3] Транспортні властивості в моделі Швейцарського сиру були досліджені шляхом зіставлення даних про провідність невпорядкованих систем на випадковій резистор ній мережі. В таких мережах є надзвичайно мала кореляційна довжина і, як наслідок, дуже велика густина струму. Хоча, слід відзначити, що навіть таке наближення не дає стовідсоткової відповідності з експериментом. Наприклад, та ж сама провідність відрізняється для одних і тих же речовин. Таким чином, в разі вивчення транспортних властивостей, передбачення моделей слід приймати з обережністю.

Також при вивченні електропровідності тонких металевих плівок ми змушені нехтувати різними збуджуючими явищами та квантово-механчіним переносом. На практиці при низьких температурах критичні індекси стрімко змінюються і це не може бути пояснено в рамках жодної з відомих на сьогоднішній день теорій.

Висновок

В даній роботі проводився теоретичний огляд порогу електропровідності тонких металевих плівок та його властивостей в рамках теорії перколяції. Вибір теорії перколяції пояснюється її популярністю серед науковців ХХ-ХХІ ст. та широкими можливостями застосування отриманих знань на практиці.

Я здійснив теоретичний аналіз електричних властивостей тонких металевих плівок на межі перколяційного порогу.

Описано основні фізичні величини в перколяційній теорії; розглянуто моделі структури неперервного кластера та методики його оцінки та розподілу на поверхні підкладки.

Список використаної літератури

1. V. J. Logeeswaran, Nano Letters, vol 9, no. 1, 2009, 178-182c.

2. Г. Хасс, Р. Э. Тун. Физика тонких пленок. Т.2 М.: Мир, 1967., 396с.

3. И.В. Антонец, Л.Н. Котов, С.В. Некипелов, Е.А. Голубев, Журнал технической физики, том 74, вып 3, 2004., 24-27с.

4. P. Smilauer, Contemporary Physics, vol. 32, no. 2, 1991., 89-102c.

5. R. B. Laibowitz, Physical Review B, vol. 25, no. 4, 1982, 2965-2969c.

6. R. F. Voss, R. B. Laibowitz, and E. I. Alessandrini. Percolation and fractal properties of thin gold films. NY 10598: IBM Thomas J.Watson Research Center Yorktown Heights, 1988, 16c.

7. С.В. Антоненко. Технология тонких пленок: учебное пособие. М.:МИФИ, 2008., 396с.

8. С.Р. Галлямов, С.А. Мельчуков. Вестник удмуртского университета, вып.4, 2010.,112-122с.

9. K. Christensen, Percolation theory. L.:MIT Press, 2002, 40c.

10. К.Л. Чопра, Электрические явления в тонких пленках (избранные главы из книги Thin film phenomena) / Под редакцией Т. Д. Шермергора. Пер. с англ. А.Ф. Волковой, Е.И. Гиваргизовой, П.И. Перова и В.И. Покалякиной. М.:Мир, 1972., 424с.

11. Martin Zinke-Allmang, Clustering on surfaces, L.: University of Western Ontario, 1992, 86c.

12. Hayan Wei, Hergen Eilers, From silver nanoparticles to thin films: evolution of microstructure and electrical conduction, Spokane WA 99210 USA, Washington State University, 2008, 27c.

13. Ю. Ю. Тарасевич. Перколяция: теория, практика, алгоритмы. Учебное пособие. М.:УРСС, 2002., 112с.

Размещено на Allbest.ru

...