Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ

ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Визначення термопружного стану тіл з отворами і тріщинами за допомогою уточнених формул обернення перетворення Лапласа

СОЛЯР ТЕТЯНА ЯРОСЛАВІВНА

УДК 539.3

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Львів - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Кушнір Роман Михайлович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України,

завідувач відділу термомеханіки, директор Інституту

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Козлов Володимир Ілліч,

Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України,

провідний науковий співробітник відділу термопружності

доктор фізико-математичних наук, професор

Саврук Михайло Петрович,

Фізико-механічний інститут ім. Г.В.Карпенка НАН України, завідувач відділу механіки композиційних матеріалів

Провідна установа Львівський національний університет ім. Івана Франка, кафедра механіки, Міністерство освіти і науки України, м. Львів

Захист відбудеться “ 8 ” лютого 2006 року о “ 15 ” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-Б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-Б.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико-математичних наук Мартиняк Р.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

термопружний тривимірний пластина лаплас

Актуальність роботи. Елементи конструкцій, машин і турбін часто експлуатуються за умов нерівномірного нагріву. Наявність у них отворів, тріщин чи включень зумовлює локальне зростання температурних градієнтів та значну концентрацію термічних напружень, які можуть в окремих випадках спричинити руйнування конструкцій. Тому для оцінки міцності та забезпечення надійного функціонування таких систем необхідно проводити детальний аналіз їх термопружного стану з повним урахуванням геометрії та умов навантаження. Особливо актуальними є питання дослідження неусталених температурних напружень у тонкостінних і масивних структурах, що послаблені отворами або тріщинами за нестаціонарного нагріву.

Ефективні підходи до розрахунку температурних полів і спричинених ними напружень в елементах конструкцій розроблені у роботах Болотіна В.В., Бурака Я.Й., Новічкова Ю.Н., Василенка А.Т., Вігака В.М., Гачкевича О.Р., Григолюка Е.І., Григоренка Я.М., Гриліцького Д.В., Грінченка В.Т., Зозуляка Ю.Д., Карнаухова В.Г., Коваленка А.Д., Козлова В.І., Коляна Ю.М., Кулика О.М., Кушніра Р.М., Лавренюка В.І., Ломакіна В.О., Максимовича В.М., Мотовиловця І.О., Улітка А.Ф., Підстригача Я.С., Поповича В.С., Сулима Г.Т., Чекуріна В.Ф., Чернухи Ю.А., Федика І.І., Шевченка Ю.М., Швеця Р.М., Шевчука П.Р., Barber J., Iqnaczak J., Hetnarski R., Olesyak Z., Librescu L., Melan E., Noda N., Nowacki W., Parcus H., Taniqawa Y.

Методи дослідження термопружного стану пластинок і оболонок, послаблених отворами, розроблені у роботах Бреббія К., Космодаміанського О.С., Коляна Ю.М., Підстригача Я.С., Прусова І.О., Цурпала І.О., Угодчикова А.Г., Уздальова О.І., Швеця Р.М., Bardzokas D., Hasebe N. Менше дослідженими залишились такі задачі у нестаціонарній постановці.

Статичні та квазістатичні задачі термопружності для тіл з тріщинами досліджувалися Андрейківим О.Є., Гольцевим А.С., Дацишин О.П., Довбнею К.М., Калоєровим С.О., Камінським А.О., Кітом Г.С., Кушніром Р.М., Лободою В.В., Мартиняком Р.М., Панасюком В.В., Партоном В.З., Побережним О.В., Подільчуком Ю.М., Николишиним М.М., Осадчуком В.А., Савруком М.П., Хаєм М.В., Шевченком В.П., Batra R., Bazant Z., Erdogan F., Herrmann K., Murakami S., Sladek J., Sladek V. Проте є потреба у продовженні таких досліджень на основі відповідних задач за умови нестаціонарного нагріву тіл.

Проблема динамічної поведінки тіл з концентраторами напружень у полі за змінних в часі силових навантажень (з урахуванням інерційних членів) є надзвичайно важливою і висвітлена у ряді публікацій. Динамічні задачі для тіл з тріщинами досліджувались аналітико-числовими методами, зокрема, у роботах Вайсфельд Н.Д., Гольдштейна Р.В., Гузя О.М., Зозулі В.В., Кіта Г.С., Михаськіва В.В., Саврука М.П., Партона В.З., Кудрявцева Б.А., Фільштинського Л.А., Хая М.В., Achenbach J., Nowacki W. Однак питанням розрахунку динамічних напружень біля криволінійних тріщин, зокрема, за антиплоскої деформації у літературі присвячено окремі роботи.

Порівняно незначна кількість праць, у яких розглядаються квазістатичні задачі термопружності, пояснюється складністю розрахунків нестаціонарних температурних полів, особливо для тіл складної форми. Одним із найпростіших у математичному аспекті способом розв'язування квазістатичних задач термопружності є підхід, який ґрунтується на інтегральному перетворенні Лапласа. Для знаходження зображення від температури ефективно використовують метод граничних інтегральних рівнянь (МГІР), однак подальше визначення оригіналу шуканої функції наштовхується на значні труднощі математичного характеру. Відомо, що така задача є, взагалі кажучи, некоректною. Для розв'язання проблеми обернення розроблено ряд числових методів та їх модифікацій, зокрема у працях Галазюка В.А., Побережного О.В., Пруднікова А.П., П'янила Я.Д., Bellman R. E., D'Amore L., Kalaba R.E., Laccetti G., Lockett J., Murli A., Papoulis A. При цьому найбільш актуальним є вибір формул обернення, які б істотно не залежали від похибок обчислень зображень і дозволяли би розв'язувати нестаціонарні задачі теплопровідності та динамічні задачі теорії пружності з контрольованою точністю. У зв'язку з цим дисертаційна робота спрямована на розв'язання актуального наукового завдання - розробку ефективної методики розрахунку нестаціонарних температурних полів і зумовлених ними неусталених температурних напружень у багатозв'язних тілах з використанням уточнених формул числового обернення перетворення Лапласа і дослідження на цій основі термомеханічної поведінки пластин і тривимірних тіл з отворами, тріщинами й порожнинами за дії змінних в часі теплових і механічних навантажень.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у рамках науково-дослідних тем ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України "Розробка методів розв'язування задач термопружності при імпульсних режимах навантаження термочутливих тіл неоднорідної структури" (№ держреєстрації 0198U002530) у 1998-2002 роках та "Розробка аналітико-числових методів дослідження напруженого стану неоднорідних тіл з залишковими та тепловими деформаціями і дефектами структури" (№ держреєстрації 0103U000131) у 2003-2005 роках, "Розробити наближені методи розв'язування нелінійних інтегральних рівнянь типу Гаммерштейна з розділеним модулем та аргументом невідомої комплексної функції, а також певних класів нелінійних та двопараметричних задач на власні значення" (№ державної реєстрації: 0102U000449) у 2002-2005 роках.

Мета і завдання досліджень. Метою дисертаційної роботи є розробка методики розрахунку нестаціонарних температурних полів і спричинених ними квазістатичних напружень у пластинках з отворами і тріщинами на основі регуляризованої й уточненої формули Пруднікова А.П. для числового обернення перетворення Лапласа, а також поширення запропонованого підходу на тривимірні та динамічні задачі термопружності.

Досягнення мети передбачає розв'язання таких задач:

· модифікувати формулу Пруднікова А.П. для обернення перетворення Лапласа, провести її дослідження та тестування на типових задачах термопружності;

· розробити методику визначення нестаціонарних температурних полів у пластинках з отворами та тріщинами, у тривимірних тілах з порожнинами, яка ґрунтується на перетворенні Лапласа та уточненій формулі його числового обернення;

· побудувати алгоритм визначення квазістатичних напружень, що виникають біля отворів і тріщин у пластинках з тепловіддачею;

· поширити розроблену методику на задачі визначення динамічних напружень біля криволінійних тріщин при поздовжньому зсуві.

Об'єктом досліджень є обмежені та нескінченні пластинки з отворами і тріщинами, тіла з порожнинами.

Предметом досліджень є вивчення нестаціонарних температурних полів і зумовлених ними напружень біля отворів і тріщин у пластинках; розрахунок нестаціонарних температур у тривимірних тілах; дослідження динамічних напружень біля тріщин при поздовжньому зсуві.

Методи дослідження: інтегральне перетворення Лапласа та уточнені формули його числового обернення; метод граничних інтегральних рівнянь; метод механічних квадратур.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

· модифіковано формулу Пруднікова А.П. для числового обернення перетворення Лапласа стосовно до квазістатичних задач термопружності та показано її ефективність; сформульовано рекомендації щодо її застосування при розрахунках;

· розроблено методику визначення нестаціонарних температурних полів і зумовлених ними напружень у пластинках з отворами та тріщинами, яка ґрунтується на перетворенні Лапласа, уточненій формулі його обернення та МГІР;

· встановлено ефективність уточненої формули обернення Пруднікова А.П. при дослідженні нестаціонарних тривимірних температур в обмежених тілах або в тілах з порожнинами;

· розроблено алгоритми числового розв'язування сингулярних і гіперсингулярних інтегральних рівнянь стосовно до крайових задач для рівнянь Гельмгольца, які побудовано на основі квадратурних формул для особливих інтегралів, що мають як вагові функції Макдональда та першу або другу похідні від них;

· побудовано розв'язки та досліджено квазістатичні напруження біля отворів і криволінійних тріщин у пластинках з тепловіддачею та динамічні напруження біля прямолінійних і криволінійних тріщин у просторі та півпросторі при поздовжньому зсуві.

Вірогідність отриманих результатів забезпечується коректним застосуванням математичного апарату, що використовується при визначенні квазістатичних чи динамічних напружень за допомогою інтегрального перетворення Лапласа; застосуванням при розв'язуванні отриманих систем інтегральних рівнянь відомих числових методів; зіставленням низки результатів із відомими розв'язками, отриманими в літературі іншими методами; узгодженням розв'язків ряду тестових задач теплопровідності і термопружності, які знайдено згідно з розробленою методикою та за точними формулами.

Теоретичне значення роботи полягає у розробці ефективної методики розв'язування дво- та тривимірних задач нестаціонарної теплопровідності, яка ґрунтується на застосуванні перетворення Лапласа та уточнених стосовно таких задач формул числового обернення. Запропоновано методику числового розв'язування сингулярних і гіперсингулярних рівнянь, які виникають при розв'язуванні крайових задач для рівняння Гельмгольца; побудовано квадратурні формули для інтегралів, що містять функції Макдональда та першу або другу похідні від них; розроблено алгоритм числового дослідження квазістатичних напружень біля криволінійних тріщин у пластинках з тепловіддачею і динамічних напружень біля прямолінійних і криволінійних тріщин у просторі та півпросторі при поздовжньому зсуві.

Практичне значення. Розроблені в роботі алгоритми та результати можуть бути використані для: розрахунку нестаціонарних температурних полів у тонкостінних та об'ємних елементах конструкцій, які нагріваються зовнішнім середовищем або джерелами тепла; визначення напружень біля отворів або в обмежених пластинках при змінних у часі нагрівах і охолодженнях; дослідження граничної рівноваги пластинок з криволінійними тріщинами при їх нестаціонарному нагріві; оцінки впливу ударних навантажень на напруження біля тріщин при зсуві .

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 12 наукових праць[1-12], у тому числі 7 статей [1-7] у фахових наукових журналах з переліку ВАК України.

У публікаціях, що висвітлюють результати досліджень та написані у співавторстві, виконана наукова робота розподіляється таким чином. У роботах [1-12] здобувач разом із співавторами брала участь у постановці задач, виборі методів їх розв'язування та аналізі результатів досліджень, при цьому в працях [6, 12] сумісно побудовано інтегральні рівняння задач та розроблено числові методи їх розв'язування. Автором самостійно створено програми для ЕОМ та проведено їх відладку, виконано перевірку точності та достовірності розроблених алгоритмів на тестових задачах, проведено розрахунки. У роботах [1-8, 10,11] здобувач розробила методику вибору параметрів у модифікованій формулі обернення Пруднікова А.П. стосовно розв'язування нестаціонарних задач теплопровідності, а в роботі [12] цю методику апробувала на динамічних задачах.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на IV-й Міжнародній конференції з механіки неоднорідних структур (Тернопіль, 1995 р.), Європейській конференції з обчислювальної механіки та інженерних застосувань (Бєльсько-Бяла, Польща, 2001 р.), VI-й Міжнародній науковій конференції "Математичні проблеми механіки неоднорідних структур" (Львів, 2003 р.), Всеукраїнській науковій конференції "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики" ( Львів, 2003 р.), III-й Міжнародній конференції "Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій" (Львів, 2004 р.), Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми механіки”, присвяченій 80-річчю Д.В. Гриліцького (Львів, 2004 р.), об'єднаній науковій сесії Наукових рад НАН України з проблем "Механіки деформівного твердого тіла" та "Фізико-хімічної механіки матеріалів" (Луцьк, 2005 р.).

У повному обсязі робота доповідалась на розширеному науковому семінарі відділу термомеханіки ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України, наукових семінарах відділу термопружності Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, відділу механіки композиційних матеріалів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України та кафедри механіки Львівського національного університету ім. Івана Франка.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, загальних висновків, переліку використаних джерел та додатків. Загальний обсяг роботи становить 147 сторінок, у тому числі 76 рисунків, 34 таблиць, 175 найменувань бібліографічного списку.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми; сформульовано мету та завдання досліджень; наведено методи розв'язування поставлених задач; показано наукову новизну та достовірність отриманих результатів, їх теоретичне та практичне значення; висвітлено дані про апробацію результатів роботи, її зв'язок із науковими темами, опубліковані праці за темою дисертації та особистий внесок здобувача.

У першому розділі наведено огляд літератури стосовно задач нестаціонарної теплопровідності, методів визначення термопружного стану багатозв'язних пластинок за нерівномірного нагріву, проблеми дослідження квазістатичних напружень біля криволінійних тріщин, динамічних задач про поздовжній зсув тіл з тріщинами. Проведено також огляд літератури стосовно числового обернення перетворення Лапласа та питань його застосування у практичних розрахунках.

У другому розділі розроблено методику розв'язування крайових задач нестаціонарної теплопровідності для пластинок з тепловіддачею, яка базується на перетворенні Лапласа та уточнених формулах його числового обернення. Спочатку розглянуто особливості застосування у розрахунках методів числового обернення перетворення Лапласа, що ґрунтуються на формулі Пруднікова А.П., яка пов'язує значення зображення та оригіналу.

Відома некоректність задачі обернення у цьому підході регуляризована шляхом покращення збіжності рядів Фур'є, що здійснено на основі відомих значень оригіналу в початковий момент часу. У роботі проведено узагальнення відомих результатів, що дозволило для гладких оригіналів покращити збіжність рядів, які входять у формулу Пруднікова А.П.

формули проведено згідно з відомими підходами, у яких використовуються апріорні дані про асимптотичне значення оригіналу на нескінченності, що дає можливість з високою точністю врахувати залишковий член у задачах теплопровідності. Окремо розглянуто випадок, коли асимптотичне значення оригіналу є невідомим або його визначення ускладнюється.

Тестуванням встановлено високу точність формул обернення для типових задач теплопровідності та для коливних функцій за умови, що зображення обчислюється за точними формулами. Сформульовано загальні висновки щодо вибору параметрів, які входять у ці формули, та їх вплив на похибки, що можуть виникнути у підході.

Далі уточнені формули обернення перетворення Лапласа використано для розробки методики визначення нестаціонарних температурних полів у тонких пластинках з криволінійними отворами. Вважалось, що пластинки нагріваються внутрішніми джерелами тепла і зовнішнім середовищем, теплообмін з яким здійснюється через бічні та циліндричні граничні поверхні за законом Ньютона.

Визначення нестаціонарної температури в пластинці проводилось за допомогою формули обернення (1). У формулі обернення використовувались відоме у початковий момент часу значення температури та значення її похідної за часом, яка визначається на підставі рівняння теплопровідності. Для знаходження зображення Лапласа від температури, що входить у формулу, застосуємо до відомого рівняння теплопровідності для тонких пластинок перетворення Лапласа за часовою змінною.

Записані інтегральні рівняння розв'язували методом механічних квадратур з використанням двох підходів до побудови квадратурних формул. У першому, який застосовується в методі граничних елементів (МГЕ), побудовано формули, які є універсальними та можуть, зокрема, бути застосовані і для ламаних контурів. Однак реалізація цього підходу вимагає числового знаходження великої кількості інтегралів, що пов'язано зі збільшенням об'єму обчислень на ЕОМ.

За допомогою записаних квадратурних формул задачу зведено до розв'язування системи лінійних алгебричних рівнянь (СЛАР). Для великих значень параметра m, коли числова реалізація МГІР ускладнюється, рівняння (4) за допомогою асимптотичного методу зведено до звичайного диференціального рівняння 2-го порядку, яке розв'язувалось методом скінчених різниць. Проведено тестування побудованого числового алгоритму на задачах, що мають точний розв'язок. Як приклад застосування розробленого алгоритму проведено розрахунки стаціонарних температур в обмежених та нескінченних пластинках з тепловіддачею.

Далі визначено нестаціонарні температурні поля, що спричинені змінними в часі джерелами тепла, в обмежених та нескінченних пластинках з границями, форми яких є близькими до прямокутної та квадратної, а також у пластинці еліптичної форми. При цьому у формулі обернення (1) обмежувались 20-40 членами ряду, оскільки ряд Фур'є у ній є швидкозбіжним, а також використовували асимптотичні значення для температури у випадках, коли інтенсивність джерела тепла є сталою, гармонійною чи експоненціальною функціями часу, що дозволило врахувати залишковий член . На рис. 1 зображено залежність відносної температури від часової змінної в еліптичній пластинці з півосями , зумовленої дією зосередженого джерела тепла з усередненою по товщині пластинки потужністю (номерам кривих відповідають точки границі, наведені зліва) при , . Тут і далі введено позначення , , - безрозмірна часова змінна, - характерний лінійний параметр. Для цієї задачі покладали . При розрахунках вважали, що через криволінійні границі відбувається теплообмін із середовищем нульової температури і температура в початковий момент часу дорівнює нулю.

У третьому розділі розроблену методику визначення нестаціонарних температурних полів поширено на випадок обмежених і нескінченних тіл з порожнинами, які нагріваються змінними в часі джерелами тепла та зовнішнім середовищем, теплообмін з яким описується законом Ньютона. Зазначимо, що у зв'язку з чутливістю до похибок більшості із відомих у літературі формул обернення їх застосування до розрахунку тривимірних температур пов'язане зі значними труднощами.

Розрахунки проведено для еліпсоїдальної порожнини з відношенням півосей при і . У табл.1 наведено відношення обчисленої за розробленим алгоритмом температури до точної температури T залежно від часової змінної при , у точках границі і . Наведені в таблиці та в роботі розв'язки тестових задач вказують на достатньо високу точність та ефективність підходу для розрахунків нестаціонарних температур у тривимірних тілах з порожнинами.

З використанням розробленого алгоритму у роботі виконано дослідження нестаціонарних температурних полів в обмежених тілах та у просторі з порожниною, які нагріваються зосередженими джерелами тепла.

Далі у розділі розроблену методику поширено для визначення нестаціонарних температур в тілах з плоскими межами (півпростір та шар), що мають порожнини. З метою підвищення ефективності підходу інтегральні подання для зображення Лапласа побудовано на основі розв'язків типу Гріна для рівняння Гельмгольца стосовно до суцільних півпростору та шару.

За такого подання граничні умови на плоскій межі задовольняються тотожно, у зв'язку з чим крайова задача знаходження розв'язків рівнянь Гельмгольца зводиться до розв'язування інтегрального рівняння тільки на границі порожнини. На основі такого підходу досліджено нестаціонарне температурне поле на границі еліпсоїдальної порожнини у півпросторі, що нагрівається зосередженим джерелом тепла, з урахуванням тепловіддачі з плоскої та криволінійної границі.

У кінці розділу розглянуто питання застосування запропонованої методики для розрахунку нестаціонарних температурних полів у тілах циліндричної форми.

У четвертому розділі запропоновано підхід для дослідження нестаціонарних температурних полів та зумовлених ними напружень у багатозв'язних пластинках з тепловіддачею. Вважалось, що пластинка перебуває в умовах нестаціонарного нагріву, які сформульовані у розділі 2, границя пластинки ненавантажена.

Розв'язок задачі теплопровідності визначався за методикою, наведеною у розділі 2, причому зображення Лапласа для температури вибиралось у вигляді (5). Напружений стан у пластинці подано у вигляді суми часткового (довільний розв'язок неоднорідних рівнянь термопружності, що відповідає температурі, знайденій у багатозв'язній пластинці) та коригувального (напружений стан у ненагрітій пластинці, що забезпечує виконання умов на границі пластинки) розв'язків.

Розглянуто практично важливі випадки, коли двовимірні інтеграли і , через які визначається вектор напружень, записано в простому аналітичному вигляді.

Для квазістатичної задачі термопружності наведені вище співвідношення дають змогу визначити вектор напружень, що відповідає одній із складових у формулі обернення. Підсумовуючи їх згідно з цією формулою обернення, знайдено повний вектор напружень для вибраних значень часової координати, який обчислюється у заданих точках границі.

Коригувальний розв'язок визначено на основі розгляду ізотермічної задачі теорії пружності для пластинки, до границі якої прикладено зусилля з протилежним знаком до знайдених при розгляді термопружного потенціалу. Для його визначення використано методику, яка розроблена у роботах Панасюка В.В. та Саврука М.П. і ґрунтується на МГІР. Проведене тестування алгоритму на задачах, що мають точний розв'язок, вказує на його високу точність та ефективність.

За допомогою розробленого алгоритму досліджено вплив нестаціонарного нагріву на температурні поля та зумовлені ними напруження в обмежених пластинках та пластинках з отворами. Зокрема, розглянуто смугу скінченної товщини з отвором малих розмірів, на прямолінійних границях якої діють потоки тепла . Температурне поле подано через функцію температури у суцільній смузі та коригувальний розв'язок. При знаходженні останнього використано загальний алгоритм, у якому, на основі припущення про малі розміри отвору, пластинка розглядалася як нескінченна, а на отворі граничні умови задовольнялись точно. На рис. 2 зображено віднесену до величини температуру на границі отвору, що близький до трикутного, залежно від часової координати , у якій за характерну лінійну змінну прийнято півтовщину смуги. На рис. 3 зліва зображено розподіл цієї ж температури вздовж границі отвору при , яким відповідають криві з номерами 8, 12, 16, відповідно, а справа зображено віднесені до величини кільцеві напруження на границі отвору для вказаних значень часової змінної.

З метою тестування розробленого алгоритму визначено температурні поля та напруження за великих значень часової координати для теплоізольованої пластинки з отворами різної форми. Отримані числові результати зіставлено з відповідними точними розв'язками, що отримані в літературі за допомогою методу Мусхелішвілі. У табл. 2 наведено дані розрахунків для пластинки з отвором, що близький до квадратного, коли потоки тепла направлені вздовж осі . У 1-му стовпчику наведено значення у градусах параметра , що входить в опис границі, в 2-му - значення відносних напружень (віднесених до величини ), що знайдені за пропонованим алгоритмом за великих значень часу, в 3-му стовпчику наведено результати, отримані за точною формулою. Подані у табл. 2 та отримані аналогічні результати для отворів інших форм вказують на достатню для практичних розрахунків точність розробленого алгоритму.

Далі у розділі проведено дослідження термопружного стану пластинок з тепловіддачею різної форми, які нагріваються локально, шляхом теплообміну через криволінійні границі з середовищем, температура якого описується за нормальним законом Гаусса. На рис. 4 зображено розподіл відносних температури (верхні рисунки) та напружень (нижні рисунки) вздовж границі прямокутної пластинки з відношенням сторін 5:1 при значеннях безрозмірної часової змінної , . Значення наведено біля відповідних кривих на рисунках. Тут через позначено максимальне значення температури середовища, при цьому вважали, що введена вище змінна - більша півсторона прямокутника.

У розділі наведено також результати досліджень температурних полів та квазістаціонарних напружень в обмежених і нескінченних пластинках, що виникають при нагріві змінними в часі зосередженими джерелами тепла або при охолодженні за рахунок конвективного теплообміну з навколишнім середовищем.

У п'ятому розділі побудовано алгоритм дослідження нестаціонарних температурних полів і зумовлених ними напружень у пластинках з тепловіддачею, які послаблені криволінійними тріщинами. Запропоновано також методику дослідження динамічних напружень біля криволінійних тріщин у тілах при поздовжньому зсуві.

При визначенні температури вважалось, що пластинка нагрівається джерелами тепла, а на берегах тріщини задані їх теплові потоки. Як і вище, нестаціонарні температурні поля у пластинці з тріщиною розраховувалися з використанням перетворення Лапласа за часом.

Гіперсингулярне інтегральне рівняння (11) інтегруванням за частинами зведено до сингулярного інтегрального рівняння, підінтегральна функція якого містить ядро типу Коші та логарифмічну особливість.

Доповнюючи рівняння (12) рівнянням , що випливає з умови однозначності переміщень , отримуємо замкнену систему для знаходження коефіцієнтів . На основі цих коефіцієнтів може бути обчислене зображення температури у довільній точці, що дозволяє, у свою чергу, використати формулу обернення для розрахунку нестаціонарних температур у пластинці.

Граничним переходом у сингулярних інтегралах, через які визначаються температура і функція , показано, що вектор напружень на берегах тріщини визначається за формулою (13), у якій сингулярні інтеграли розглядаються в сенсі головного значення за Коші. Обчислення вектора напружень для кожної із складових у вибраних вузлових точках базується на наведених квадратурних формулах від регулярних та особливих інтегралів. На основі їх підсумовування за формулою обернення отримано повний вектор напружень при вибраних значеннях часової координати у фіксованих точках на контурі .

Визначення коригувального розв'язку проводилось на основі алгоритму, який детально розроблено у роботах Панасюка В.В. і Саврука М.П. з використанням МГІР. У цьому алгоритмі вектор зусиль, прикладених до берегів тріщини, визначено на основі знайдених вище напружень, що відповідають частковому розв'язку задачі термопружності.

Проведено дослідження змінних у часі КІН біля прямолінійних і криволінійних тріщин у пластинках з тепловіддачею при їх нагріві джерелами тепла. З метою контролю за точністю розрахунків алгоритм перевірено на задачі, що має точний розв'язок. Розглянуто задачу для пластинки з тріщиною, що розміщена вздовж дуги кола радіуса , яка нагрівається джерелами тепла, що діють в точках , . Розподіл віднесених до величини значень КІН залежно від часової змінної , у якій покладали , наведено на рис. 5. Тут - піввідстань між вершинами тріщини, - усереднена по товщині потужність джерела тепла, кривим 1, 2 і 3, 4 відповідають значення КІН і відповідно у нижній і верхній вершинах тріщини.

Розроблена у роботі методика розв'язування нестаціонарних задач теплопровідності апробована далі на динамічних задачах, використання перетворення Лапласа до розв'язування яких є достатньо складною задачею. З цією метою розглянуто динамічну задачу теорії пружності для тіла з криволінійною тріщиною за антиплоскої деформації.

Наведено результати розрахунків КІН для деяких часткових випадків. Спочатку з метою тестування алгоритму розглянуто тіло з прямолінійною тріщиною , яка розміщена на осі Ox, коли прикладене навантаження лінійно зростає від нуля до на часовому проміжку і далі залишається сталим. Зазначимо, що при ударному навантаженні . Отримані результати розрахунків КІН для цієї задачі практично збігаються із відомими у літературі.

Розглянуто криволінійну тріщину, яка розміщена вздовж дуги кола радіуса , до берегів якої прикладено зсувні зусилля, що виникають тут у суцільному тілі при статичному навантаженні на нескінченності зусиллями . На рис. 6 зображено значення розрахованого відносного КІН залежно від часової координати для значень, які вказані біля відповідних кривих. Тут, - кути, що характеризують швидкість виходу навантажень на максимальні значення, L - піввідстань між вершинами тріщини. Результати, отримані згідно з розробленим алгоритмом, за великих значень часу узгоджуються із відносним значенням величини , яке має місце у статичній задачі. Наведені на рис. 6 результати вказують на значну осциляцію КІН перед виходом на усталений режим, яка пояснюється дифракцією хвиль на берегах тріщини (внаслідок її криволінійності). Зазначимо, що осциляція деяких кривих в кінці часового проміжку пояснюється зростанням похибок формули обернення, пов'язаних із наявністю у ній біля ряду Фур'є експоненціального множника.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота спрямована на розв'язання наукового завдання щодо розробки ефективної методики розрахунку нестаціонарних температурних полів та зумовлених ними неусталених напружень у пластинках з отворами і тріщинами, яка побудована з використанням перетворення Лапласа, уточненої формули Пруднікова А.П. для його обернення та методу граничних інтегральних рівнянь, а також на обґрунтування її застосовності в задачах визначення нестаціонарних тривимірних температурних полів і динамічних напружень біля криволінійних тріщин у тілах при поздовжньому зсуві. У результаті проведених досліджень отримано такі результати:

1. Модифіковано формулу Пруднікова А.П. числового обернення перетворення Лапласа, яка пов'язує значення зображень та оригіналу. Регуляризація формули обернення здійснена шляхом покращення збіжності ряду Фур'є, що входить у формулу обернення, за умови, що відомі значення перших похідних оригіналу у початковий момент часу. Запропоновано формули, що містять додатково похідні від зображення, у яких залишковий член може бути як завгодно малим за абсолютною величиною. Проілюстровано високу точність формул обернення на ряді модельних задач теплопровідності та для коливних функцій. Сформульовано загальні висновки щодо вибору параметрів, які входять у запропоновану формулу, та наведено оцінки для похибок, що можуть виникнути у цьому підході.

2. Розроблено методику розв'язування нестаціонарних задач теплопровідності для багатозв'язних пластинок з тепловіддачею, яка базується на перетворенні Лапласа та уточнених формулах його числового обернення. В основу методики покладено ефективні алгоритми розв'язування крайових задач для рівняння Гельмгольца, з яких визначається зображення Лапласа від температури, які ґрунтуються на методі граничних інтегральних рівнянь. Запропоновано числовий алгоритм розв'язування інтегральних рівнянь, який базується на квадратурних формулах для криволінійних інтегралів, підінтегральні функції яких містять функції Макдональда з комплексним параметром або похідні від них.

3. Запропоновано спосіб розрахунку нестаціонарних температурних полів у пластинках з тепловіддачею, які послаблені криволінійними тріщинами. Гіперсингулярне інтегральне рівняння, до якого зводиться задача визначення зображення Лапласа від температури, інтегруванням за частинами зведено до рівняння, що містить ядро Коші та логарифмічні особливості. Інтегральне рівняння розв'язували методом механічних квадратур на основі квадратурних формул.

4. Обґрунтовано можливість поширення запропонованої методики на нестаціонарні тривимірні задачі теплопровідності. При розв'язуванні рівнянь Гельмгольца застосовано метод граничних інтегральних рівнянь. Задачі для півпростору і шару з порожнинами зведено до інтегральних рівнянь, у яких ядра є розв'язками типу Гріна допоміжних задач для рівнянь Гельмгольца, що дозволило автоматично задовольнити умови на плоских межах. Проведені розрахунки показали, що для розглянутих тривимірних задач запропонована методика дозволяє проводити розрахунки з достатньою для практики точністю. Досліджено розподіл нестаціонарного температурного поля у еліпсоїдальному тілі та нескінченному тілі з еліпсоїдальною порожниною, зумовленого дією зосередженого джерела тепла. Вивчено вплив плоских меж на розподіл температур біля порожнин.

5. Розроблено методику розрахунку неусталеного термопружного стану обмежених та нескінченних пластинок з тепловіддачею різної форми, зумовленого змінними в часі потоками тепла та зосередженими джерелами тепла. Запропоновано алгоритм визначення термопружного стану пластинок з криволінійними теплоізольованими тріщинами за нестаціонарного нагріву довкіллям та джерелами тепла. Встановлено характер розподілів температури та напружень біля межі пластинки залежно від форми граничного контуру та умов нагріву. При локалізованому нагріві прямокутних пластинок за інтенсивного теплообміну напруження є максимальними на початку нагріву, а при малих значеннях коефіцієнта тепловіддачі температура і напруження монотонно зростають на межі пластинки і є максимальними у кінцевий момент нагріву. В процесі охолодження пластинок температура істотно змінюється вздовж межі тільки в початкові моменти часу, в які при цьому виникають максимальні (розтягувальні) напруження. При нагріві пластинки з квадратним отвором напруження є розтягувальними посередині ближчої до джерела сторони квадрата та стискувальними і великими за величиною у прилеглих вершинах.

6. Проілюстровано ефективність уточненої формули обернення перетворення Лапласа для дослідження динамічних задач теорії пружності. З цією метою розроблено методику визначення напружень в тілі з криволінійними тріщинами при поздовжньому зсуві швидкозмінними або ударними навантаженнями, яка ґрунтується на перетворенні Лапласа та методі граничних інтегральних рівнянь. Встановлено, що біля криволінійних тріщин при динамічних навантаженнях має місце значна осциляція напружень в часі перед виходом на усталений режим. Показано, що осциляція напружень має місце і біля прямолінійних тріщин у півпросторі при стрибкоподібному навантаженні зсувними зусиллями його межі.

8. Розглянуті у роботі задачі теплопровідності вказують на те, що модифікована формула обернення дає змогу проводити розрахунок нестаціонарних температур з достатньою для практики точністю. Для динамічних задач ця формула також дає можливість виконувати розрахунок коефіцієнтів інтенсивності напружень з контрольованою точністю за умови, що прикладене навантаження є неперервним в часі, у тому числі швидкозмінним. Формула обернення може бути використана і для ударних навантажень, однак тоді необхідно підвищити контроль за точністю обчислень.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Максимович В.М., Соляр Т.Я. Сумісне застосування узагальненого методу відокремлення змінних і перетворення Лапласа до тривимірних задач нестаціонарної теплопровідності // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2001. - 44, № 2. - С. 70 - 75.

2. Максимович В.М., Геворгян В.В., Соляр Т.Я. Визначення стаціонарних і нестаціонарних температур у багатозв'язних просторі та шарі // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2001. - 44, № 4. - С. 135 - 139.

3. Кушнір Р.М., Максимович В.М., Соляр Т.Я. Визначення нестаціонарних температур на основі уточнених формул обернення перетворення Лапласа // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2002. - 37, № 2. - С. 18 - 26.

4. Максимович В.Н., Соляр Т.Я. Уточненные формулы для определения обратного преобразования Лапласа и их применение в задачах теплопроводности // Инж. физ. журн. - 2002. - 75, № 3. - С. 102 - 103.

5. Максимович Я.В., Соляр Т.Я. Розв'язування крайових задач теплопровідності циліндричних тіл на основі модифікованого методу відокремлення змінних // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2004. - 47, № 1. - С. 148 - 157.

6. Кушнір Р.М., Максимович Я.В., Соляр Т.Я. Термопружний стан багатозв'язних пластинок з тепловіддачею // Машинознавство. - 2004. - № 3 . - С. 13 - 17.

7. Шваб'юк В.І., Максимович О.В., Соляр Т.Я. Розрахунок динамічних коефіцієнтів інтенсивності напружень для тіла з криволінійною тріщиною за антиплоскої деформації // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2005. - 48, № 2. - С. 106 - 113.

8. Kushnir R. M., Maksymovych V. M., Solyar T. Ya. Determination of non-stationary temperature fields by the methods of Laplace transform and integral equations // EuroConf. on Comp. Mechanics and Eng. Practice (Szczyrk, Poland, Sept. 19-21, 2001). - Bielsko-Biala, 2001. - P. 204 - 210.

9. Кулик О., Соляр Т. Тепловий стан тонкої пластинки з круговим отвором при нагріванні рухомим джерелом тепла // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур: Матеріали VI-ї Міжнар. наук. конф. (Львів, 26-29 травня 2003 р.) - Львів: Ін-т прикл. пробл. мех. і матем. ім. Я.С. Підстригача НАН України, 2003. - С. 99 - 101.

10. Кушнір Р.М., Максимович Я.В., Соляр Т.Я. Уточнення перетворення Лапласа на основі рядів Фур'є і його застосування до розв'язування квазістатичних задач термопружності // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Матеріали Всеукр. наук. конф. (Львів, 23-25 вересня 2003 р.) - Львів. нац. ун-т. ім. Івана Франка, 2003. - С. 80 - 81.

11. Кушнір Р.М., Соляр Т.Я. Температурні поля та напруження у багатозв'язних пластинках при інтенсивному теплообміні // Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій: Матеріали III Міжнародної конф. (22-26 червня 2004р., Львів, Україна) - Львів: Фіз.-мех. ін-т ім. Г.В. Карпенка НАН України, 2004. - С. 281 - 286.

12. Кушнір Р., Максимович О., Соляр Т. Визначення неусталених напружень біля криволінійних тріщин на основі уточненої формули обернення перетворення Лапласа // Сучасні проблеми механіки: Матеріали Всеукр. наук. конф., присв. 80-річчю Д.В. Гриліцького. - Львів. нац. ун-т. ім. Івана Франка, 2004. - С. 79 - 80.

АНОТАЦІЯ

Соляр Т.Я. Визначення термопружного стану тіл з отворами і тріщинами за допомогою уточнених формул обернення перетворення Лапласа. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2006.

У дисертаційній роботі розроблено методику розрахунку нестаціонарних температурних полів і зумовлених ними напружень у пластинках з отворами та тріщинами, яка побудована з використанням перетворення Лапласа, уточненої формули Пруднікова А.П. для його обернення, методу граничних інтегральних рівнянь та встановлено її ефективність для визначення нестаціонарних тривимірних температур у тілах і динамічних напружень біля криволінійних тріщин при поздовжньому зсуві. Розроблена методика розв'язування крайових задач нестаціонарної теплопровідності дає змогу досліджувати також багатозв'язні пластинки з тепловіддачею. Розроблено спосіб розрахунку нестаціонарних температурних полів у пластинках з криволінійними тріщинами. Визначено і досліджено квазістатичні напруження у пластинках з отворами і криволінійними тріщинами, що виникають за нестаціонарних нагрівів. Проілюстровано ефективність уточненої формули обернення Лапласа для дослідження динамічних задач теорії пружності. З цією метою розроблено методику визначення напружено-деформованого стану у тілах з криволінійними тріщинами при їх поздовжньому зсуві швидкозмінними або ударними навантаженнями, яка ґрунтується на перетворенні Лапласа та методі граничних інтегральних рівнянь для розв'язування рівнянь Гельмгольца. Встановлено також ефективність запропонованої методики для визначення нестаціонарних тривимірних температурних полів в обмежених або нескінченних тілах з порожнинами.

Ключові слова: обернення перетворення Лапласа, нестаціонарні температурні поля, квазістатичні напруження, напружено-деформований стан, багатозв'язні пластинки, метод граничних інтегральних рівнянь.

АННОТАЦИЯ

Соляр Т.Я. Определение термоупругого состояния тел с отверстиями и трещинами с помощью уточненных формул обращения преобразования Лапласа.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2006.

В диссертационной работе разработана методика расчета нестационарных температурных полей и обусловленных ими напряжений в пластинках с отверстиями и трещинами, которая построена с использованием преобразования Лапласа, уточненной формулы Прудникова А.П. для его численного обращения, метода граничных интегральных уравнений (МГИУ) и установлено ее эффективность для определения трехмерных нестационарных температур в телах и динамических напряжений возле криволинейных трещин при продольном сдвиге.

Построена методика решения краевых задач нестационарной теплопроводности для многосвязных пластинок с теплоотдачей, которая базируется на преобразовании Лапласа и уточненных формулах его численного обращения. В основу методики положены эффективные алгоритмы решения краевых задач для уравнения Гельмгольца, которые основываются на МГИУ с дополнительным привлечением асимптотических методов при больших значениях параметра. Предложен численный алгоритм решения интегральных уравнений, базирующийся на методе механических квадратур и построенных квадратурных формулах для интегралов вдоль замкнутых гладких кривых, подынтегральные функции которых включают функции Макдональда с комплексным параметром или производные от них.

Разработан способ расчета нестационарных температурных полей в пластинках с криволинейными трещинами. Гиперсингулярное интегральное уравнение, к которому сводится краевая задача для уравнений Гельмгольца, записано относительно производной от неизвестной функции. На основании построенных квадратурных формул для интегралов вдоль разомкнутых контуров от функций, которые содержат ядра Коши и логарифмические особенности, интегральные уравнения сведены к системе линейных алгебраических уравнений.

Исследовано квазистатические напряжения в пластинках с отверстиями и трещинами, которые возникают при нестационарных режимах нагрева. Частное решение записано в виде криволинейных интегралов. Корректирующее решение определено с помощью известного в литературе подхода к решению изотермических задач теории упругости, базирующегося на МГИУ.

Проведены исследования нестационарных температурных полей и вызываемых ими напряжений в ограниченных пластинках и пластинках с отверстиями. В частности, детально исследовано термоупругое состояние возле эллиптического, кругового, квадратного, треугольного отверстий в пластинках, которые нагреваются переменными во времени потоками и источниками тепла, внешней локализированной средой, а также напряжений, которые возникают в процессе охлаждения пластинок. Проведено исследование напряженно-деформированного состояния пластинок с криволинейными теплоизолированными трещинами при нестационарном нагреве внешней средой и источниками тепла.

Проиллюстрирована эффективность уточненной формулы обращения Лапласа для исследования динамических задач теории упругости. С этой целью разработана методика определения напряженно-деформированного состояния в телах с криволинейными трещинами при их продольном сдвиге быстроизменяющимися или ударными нагрузками, которая базируется на преобразовании Лапласа и МГИУ для решения уравнений Гельмгольца. Установлена также эффективность предложенной методики для расчета нестационарных трехмерных температурных полей в ограниченных или бесконечных телах с полостями.

Ключевые слова: обращение преобразования Лапласа, нестационарные температурные поля, квазистатические напряжения, напряженно-деформированное состояние, многосвязные пластинки, метод граничных интегральных уравнений.

SUMMARY

Solyar T. Ya. Determination of the stressed-strained state for bodies with holes and cracks by means of refined formulae for inverse Laplace transform. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree in physical and mathematical sciences with speciality 01.02.04 - Mechanics of Deformable Solid. - Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, L'viv, 2006.

The thesis presents the procedure for calculating the non-stationary temperature fields and stresses caused by them in plates with holes and cracks. The procedure is constructed on the basis of the Laplace transform, refined Prudnikov's formula for its inversion, and the method of boundary integral equations. The efficiency of the proposed approach for determining the non-stationary temperature fields in 3D bodies and dynamic stresses near the curvilinear cracks under shear load is established. The procedure for solving the boundary-value problems of non-stationary heat conduction for multiply-connected plates with heat transfer is developed. The method of calculating the non-stationary temperature fields in the plates with curvilinear cracks is proposed. Quasi-static stresses in plates with holes and cracks under non-stationary conditions of heating are determined and analyzed. The efficiency of the refined formula for inversion of the Laplace transforms in the case of dynamic elasticity problems is illustrated. For this purpose the procedure is developed for analysis of the stressed-strained state in bodies with curvilinear cracks under shear by rapidly varying or impact loads. It is based on the Laplace transform and the method of boundary integral equations for solving the Helmholtz equations. The efficiency of the procedure proposed is also established for determining the non-stationary 3D temperature fields in bounded or infinite bodies with cavities.

Key words: inverse Laplace transform, non-stationary temperature fields, quasi-static stresses, stressed-strained state, multiply-connected plates, boundary integral equations method.

Размещено на Allbest.ru