Математичне моделювання перехідних процесів у квантових логічних елементах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство транспорту та зв'язку України

Національна академія наук України

Державний науково-дослідний інститут інформаційної інфраструктури

УДК 621.372

Спеціальність: 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Математичне моделювання перехідних процесів у квантових логічних елементах

Марецька Моніка Марія

Львів - 2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Державному науково-дослідному інституті інформаційної інфраструктури Міністерства транспорту та зв'язку України і Національної академії наук України (м. Львів), а також в Академії інформатики та управління (м. Бєльско-Бяла, Польща)

Науковий керівник:

чл.-кор. НАН України, доктор технічних наук, професор Грицик Володимир Володимирович, Державний науково-дослідний інститут інформаційної інфраструктури, директор

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор Кожем'яко Володимир Прокопович, Вінницький національний технічний університет Міністерства освіти і науки України, завідувач кафедри

доктор технічних наук, професор Коростіль Юрій Мирославович, Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є.Пухова НАН України, м. Київ, провідний науковий співробітник

Провідна установа:

Державне підприємство "Львівський науково-дослідний радіотехнічний інститут" Міністерства промислової політики України, м. Львів

Захист відбудеться 25 квітня 2007 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.813.01 Державного науково-дослідного інституту інформаційної інфраструктури (79601, м. Львів, вул. Тролейбусна, 11).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Державного НДІ інформаційної інфраструктури (79601, м. Львів, вул. Тролейбусна, 11).

Автореферат розіслано 22 березня 2007 р.

Вчений секретар Спеціалізованої вченої ради, канд. техн. наук, ст. наук співр. Опотяк Ю.В.

Анотації

Марецька М.М. Математичне моделювання перехідних процесів у квантових логічних елементах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи, Державний науково-дослідний інститут інформаційної інфраструктури, Львів, 2007.

Дисертацію присвячено розробці математичних моделей квантових логічних елементів та аналізові з їх допомогою перехідних процесів між квантовими станами для різних технологій побудови квантового процесора, а саме технологій: ядерного магнітного резонансу, охолоджених іонів, резонансних ніш та переходів Джозефсона. На основі фізико-технічних схем реалізації квантових регістрів розроблено математичні моделі одно- та двокубітових вентилів. Ці моделі отримано на основі рівнянь Шредінгера та зведено до систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку відносно комплексних змінних. На базі отриманих математичних моделей створено комп'ютерні програми і з їх допомогою здійснено числові експерименти, які показали вплив параметрів збурюючого сигналу (частоти, амплітуди та форми хвилі) на перебіг перехідного процесу між стабільними станами та на час виконання логічних операцій. Величини використаних в числових експериментах параметрів квантових систем відповідають експериментально встановленим межам. Отримані результати мають вагоме значення для планування практичних експериментів у реальних квантових системах. квантовий математичний амплітуда

Ключові слова: математичне моделювання, квантовий логічний елемент, ядерний магнітний резонанс, перехідний процес, комп'ютерна програма, числовий експеримент.

Марецкая М.М. Математическое моделирование переходных процессов в квантовых логических элементах. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы, Государственный научно-исследовательский институт информационной инфраструктуры, Львов, 2007.

Диссертация посвящена разработке математических моделей квантовых логических элементов и анализу с их помощью переходных процессов между стабильными станами для разных технологий построения квантового процессора, а именно технологий: ядерного магнитного резонанса, охлажденных ионов, резонансных ниш и переходов Джозефсона.

На основании физико-технических схем реализации квантовых элементов разработаны математические модели одно- и двокубитовых элементов. При формировании этих моделей используется уравнение Шредингера и гамильтониан квантовой системы.

Разработаны математические модели одно- и двукубитовых квантовых логических элементов для технологии ядерного магнитного резонанса, которые учитывают разность энергии двух возможных моментов импульса ядра, а также напряженность и частоту переменного магнитного поля и дают возможность исследовать влияние конструкционных параметров и возмущающих сигналов на протекание переходного процесса.

Предложены и обоснованы математические модели одно- и двукубитовых логических элементов для технологии охлажденных ионов, которые учитывают как конструкционный параметр разность энергии между энергетическими состояниями иона, а как возмущающие параметры - частоту и фазу лазерного луча, и дают возможность анализировать переходные процессы и оценить время выполнения логической операции.

Разработаны математические модели одно- и двукубитовых квантовых логических элементов для технологии нейтральных атомов в резонансных нишах, которые учитывают разность энергии между энергетическими уровнями нейтральных атомов, а также напряженность и частоту поля, его структуру и дают возможность исследовать влияние конструкционных параметров и возмущающих сигналов на протекание переходных процессов.

Обоснованы математические модели квантовых логических элементов для технологии переходов Джозефсона, которые учитывают как конструкционные параметры амплитуду тунелирования и разность энергии для состояний с противоположными направлениями сверхпроводящего тока, а как возмущающие параметры - напряженность, частоту и коэффициент стабилизации переменного магнитного поля.

Показано, что математические модели n-кубитовых квантовых элементов можно представить в виде системы 2n обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с параметрами, которые отображают влияние входных сигналов на время и точность выполнения логических операций. Показано, что двокубитовые элементы являются универсальными для выполнения квантовых вычислений и n-кубитовые элементы можно получить как комбинацию одно- и двокубитовых.

Разработана архитектура построения и программно реализованы компьютерные имитаторы квантовых логических элементов для разных квантовых технологий и предложены алгоритмы числового анализа. С помощью созданного программного обеспечения осуществлены численные эксперименты, которые показали влияние параметров возмущающего сигнала на ход переходного процесса между стабильными состояниями и на время выполнения логических операций. Величины использованных в числовых экспериментах параметров квантовых систем соответствуют экспериментально установленным границам. Полученные результаты имеют весомое значение для планирования практических экспериментов по использованию логических элементов в реальных квантовых системах.

Ключевые слова: математическое моделирование, квантовый логический элемент, ядерный магнитный резонанс, переходный процесс, компьютерная программа, вычислительный эксперимент.

Marecka M.М. Mathematical modelling of transitional processes in quantum gates. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by specialty 01.05.02 - mathematical modelling and numerical methods, State Institute of Informational Infrastructure, Lviv, 2007.

The main topic of dissertation is the mathematical modelling the transitional processes in quantum gates in various technologies of realization of quantum registers. Based on the physical-technical models of quantum register the mathematical models of one- and two-qubit gates are established. These models are a set of first ordinary differential equations, which are derived from the Schroedinger formula. The variables in these equations are complex numbers. In the thesis numerical simulations based on single-qubit gate computer simulators founded on the mathematical models have been performed. Numerical experiments uncovered the connections between the parameters of the enforcing signal (such as its frequency, amplitude and waveform) and the duration of logical operations. Values of the parameters used in the simulations are in the experimentally accessible range. Results obtained in the thesis are very useful for planning of professional experiments with implementation of quantum gates in the real physical systems.

Key words: mathematical modelling, quantum logical element, nuclear magnetic resonance, transitional process, software, numerical simulation.

Загальна характеристика роботи

Актуальність роботи. Квантова теорія інформації є галуззю наукових досліджень, яка швидко розвивається використовуючи найновіші досягнення експериментальної фізики. Широко популяризується в інформатично-фізичному середовищі тематика, пов'язана з будовою і функціонуванням квантових процесорів, які базуються на фізичних пристроях, що задовольняють закони квантової механіки. Число можливих технологій конструювання квантових процесорів постійно зростає, а практичне значення окремих ідей реалізації таких процесорів оцінюють відносно наступних критеріїв: можливість розрізнення фізичних станів кубітів (квантових бітів; англ. - qbit); стабільність станів; масштабованість квантового тригера; способи запису та зчитування інформації; варіанти реалізації одно- та двокубітових квантових елементів (тригерів); можливість анулювання квантових помилок; вартість практичної реалізації квантового процесора.

В середовищі інформатиків висловлюються думки про те, що квантовий процесор можна сконструювати аналогічно, як і класичний комп'ютер. В класичному комп'ютері основні схеми (компаратори, регістри, кодери та інші елементи) можна збудувати з елементів NAND або NOR. У зв'язку з цим вважається, що за аналогією з класичним процесором слід збудувати квантовий елемент, який реалізував би універсальну логічну операцію, а це відкриє шлях до побудови квантового процесора.

Найпопулярнішими квантовими технологіями є: ядерний магнітний резонанс (NMR - nuclear magnetic resonance), іони в оптичних пастках (ТІ - trapped ions), нейтральні атоми в резонансних нішах (NAC - neutral atoms in a cavity) та нанопереходи Джозефсона (JJ - Josephson junctions). В найвідоміших у світі дослідних центрах в рамках вказаних технологій ведуться експериментальні дослідження з реалізації квантових елементів, збудованих з декількох кубітів.

У Європі одним із найпотужніших центрів, в якому здійснюються дослідження з системами квантової інформатики, є Інститут експериментальної фізики Університету м.Інсбрук (www.heart-c704.uibk.ac.at/). В цьому Інституті в групі проф. Р.Блатта здійснюються експерименти з реалізації квантового елемента CNOT, який збудовано на іонах, що поміщені в оптичну пастку. Іншою цікавою ділянкою, пов'язаною з використанням квантового процесора, є експерименти з квантовою телепортацією, що здійснюються групою квантових оптиків з Каліфорнійського технологічного інституту (www.its.caltech.edu/~qoptics/). Ця група виконує проекти з використання "стиснутих світлових променів" до створення пар EPR, які потім використовують в експериментах з квантової телепортації. Вважають, що в майбутньому квантові процесори можна буде використовувати до розв'язування обчислювальних задач - так званих NP-складних задач (для класичного процесора), наприклад, алгоритм факторизації Шора. Важливою галуззю використання квантових процесорів будуть процеси захисту інформації в інформаційних мережах.

Істотне значення для розвитку квантових технологій та експериментів з їх використання має оцінка надійності функціонування квантового процесора, а також аналіз впливу фізичних параметрів на протікання перехідного процесу та час виконання окремих операцій. Тому, вкрай актуальними є задачі створення математичних моделей для числового аналізу перехідних процесів у квантових логічних елементах для різних квантових технологій.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Основні результати дисертаційної роботи отримано в ході виконання планових наукових досліджень Академії інформатики та управління в м. Бєльско-Бяла, Польща та Державного НДІ інформаційної інфраструктури, м. Львів. В рамках виконання гранту Комітету Наукових Досліджень Польщі "Нано та квантові інформатичні системи" (2002-2004 рр., грант 7T11C-017-21 разом з Інститутом теоретичної та прикладної інформатики Польської академії наук в м. Глівіце, керівник - проф. С. Венгжин) проаналізовано властивості, основні параметри та специфіку використання квантових елементів в різноманітних квантових технологіях.

В рамках співпраці з Державним НДІ інформаційної інфраструктури, м. Львів розроблено математичні моделі та здійснено числові експерименти з дослідження перехідних процесів у одно- та двокубітових квантових елементах для різноманітних квантових технологій. Результати цих досліджень представлено в публікаціях та виступах на конференціях.

Мета та задачі дослідження. Метою дисертаційного дослідження було розроблення математичних моделей квантових логічних елементів для різних технологій побудови квантового процесора та аналіз з допомогою цих моделей впливу основних конструкційних параметрів та збурюючого сигналу на протікання перехідного процесу між станами та час виконання логічних операцій.

У відповідності з поставленою метою дисертаційна робота включала розв'язання таких задач:

аналіз відомих підходів до створення математичних моделей базових квантових логічних елементів;

створення математичних моделей одно- та двокубітових логічних елементів в технології ядерного магнітного резонансу та аналіз з їх допомогою перехідних процесів;

формування математичних моделей одно- та двокубітових елементів для технології охолоджених іонів в пастках та дослідження з їх допомогою перехідних процесів між стабільними станами;

створення математичних моделей одно- та двокубітових квантових елементів для технології нейтральних атомів у резонансних нішах та аналіз з їх допомогою перехідних процесів;

формування математичних моделей одно- та двокубітових елементів для технології переходів Джозефсона та аналіз з її допомогою перехідних процесів між стабільними станами;

створення програмного імітатора одно- та двокубітових квантових логічних елементів для технологій: ядерного магнітного резонансу, охолоджених іонів у пастках, нейтральних атомів у резонансних нішах, а також переходів Джозефсона;

реалізація числових експериментів для дослідження впливу конструкційних параметрів та збурюючого сигналу на час виконання логічних операцій.

Об'єктом дослідження є квантові логічні елементи, реалізовані в основних квантових технологіях.

Предметом дослідження є математичні моделі квантових логічних елементів та аналіз з їх допомогою перехідних процесів між стабільними станами.

Методи дослідження. В дисертаційній роботі для вирішення визначених задач використано основні правила квантової електродинаміки з врахуванням специфіки їх застосування стосовно технологій ядерного магнітного резонансу, охолоджених іонів в пастках, нейтральних атомів у резонансних нішах та нанопереходів Джозефсона. Використано основні засади формування математичних моделей квантових логічних елементів та числові методи розв'язування диференціальних рівнянь для аналізу перехідних процесів.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

вперше розроблено метод моделювання перехідних процесів у квантових логічних елементах, який базується на використанні рівнянь Шредінгера і гамільтоніану та дає можливість відобразити в математичних моделях особливості конструкції квантового пристрою, запис початкового та зчитування кінцевого станів, спосіб реалізації логічної операції;

вперше розроблено математичні моделі одно- та двокубітових квантових логічних елементів для технології ядерного магнітного резонансу, які враховують основні конструкційні параметри та керуючі впливи та дають можливість аналізувати перехідні процеси між стабільними станами;

обгрунтовано математичні моделі одно- та двокубітових логічних елементів для технології охолоджених іонів у пастках, які враховують як конструкційний параметр різницю енергії між енергетичними рівнями іону, а як керуючі параметри - частоту та фазу лазерного променя, і дають можливість аналізувати час виконання логічних операцій;

розроблено математичні моделі одно- та двокубітових квантових логічних елементів для технології нейтральних атомів у резонансних нішах, які враховують конструкційні параметри та керуючі впливи і дають можливість аналізувати перехідні процеси між станами;

обгрунтовано математичні моделі квантових логічних елементів для технології переходів Джозефсона, які враховують як конструкційні параметри амплітуду тунелювання та різницю енергії для станів з протилежними напрямками надпровідного струму, а також параметри вхідного сигналу;

показано, що математичні моделі n-кубітових елементів можна представити у вигляді системи 2n звичайних диференціальних рівнянь першого порядку з параметрами, які відображають вплив вхідних сигналів на час і точність виконання логічних операцій;

розроблено архітектуру побудови програмного імітатора одно- та двокубітових елементів для різних квантових технологій та запропоновано алгоритми числового аналізу впливу параметрів вхідних сигналів на еволюцію станів вентиля та час виконання логічних операцій.

Практичне значення результатів та їх впровадження. Розроблені математичні моделі квантових логічних елементів дали можливість створити комп'ютерні програми для аналізу перехідних процесів і дослідження впливу конструкційних параметрів та збурюючих сигналів на перехідні процеси та час виконання логічних операцій. Використовуючи результати числових експериментів можна оцінити вплив неточності конструкційних параметрів та неідеальності збурюючих сигналів на похибки виконання логічних операцій в квантових елементах та ввести відповідні корективи. Можна також для заданих перехідних процесів підібрати відповідні конструктивні параметри та параметри збурюючих сигналів.

Результати здійснених числових експериментів мають важливе значення для планування експериментів з використання квантових елементів в реальних квантових процесорах, оскільки дають можливість оцінити час реалізації логічних операцій з точністю, яка необхідна для професійних застосувань, оцінити можливості запису та зчитування квантової інформації, ймовірності втрати інформації в результаті декогеренції в фізичному пристрої і взагалі перспектив практичної реалізації квантових логічних процесорів. Розроблені математичні моделі та створені комп'ютерні програми використано в Інституті теоретичної та прикладної інформатики Польської академії наук в м. Глівіце. Ряд розроблених математичних моделей, методів та підходів використано в навчальному процесі Академії інформатики та управління в м. Бєльско-Бяла.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що складають зміст дисертаційної роботи, отримані автором самостійно. З 22 наукових праць, 21 робота за темою дисертації опубліковано без співавторів. У навчальному посібнику [1], написаному у співавторстві, здобувачу належить розділ 3, в якому представлено підходи до математичного моделювання та цифрового аналізу квантових процесів.

Апробація роботи. Основні наукові результати та положення дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на ряді міжнародних і національних науково-технічних конференцій та шкіл семінарів, зокрема на: Міжнар. наук.-техн. конференції "Інформаційна техніка і електромеханіка (ITEM-2005)" (Луганськ, 2005 р.); Міжнар. наук.-практ. конференції "Комп'ютерні системи автоматизації виробничих процесів" (Хмельницький, 2005 р.); Українсько-Польських школах-семінарах "Моделювання та штучний інтелект" (Львів, 2001-2005 рр.); Національній конференції Польського товариства інформатиків "Ефективність використання інформаційних систем" (Szczyrk, Польща, 2005 р.); Міжнародній школі-семінарі "Технології квантових процесорів" (Bielsko-Biaіa, Польща, 2002 р.), наукових семінарах Державного НДІ інформаційної інфраструктури, м. Львів та Академії інформатики та управління м. Бєльско-Бяла, Польща на протязі 2002-2006 рр.

Публікації. За матеріалами дисертаційної роботи опубліковано 22 наукові праці, серед яких 1 навчальний посібник, 5 статей у наукових фахових виданнях України, 8 статей в журналах та наукових збірниках Польщі, 3 препринти, 5 статей в працях наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел та додатку. Робота викладена на 187 сторінках і містить 146 сторінок основного тексту та список літератури із 150 найменувань.

Основний зміст роботи

У вступі наведено загальну характеристику роботи, обґрунтовано її актуальність, сформульовано мету та основні задачі досліджень, визначено основні методи вирішення сформульованих задач, представлено наукову новизну роботи і практичну цінність отриманих результатів, а також викладено короткий зміст роботи.

В першому розділі представлено огляд наукових праць та основних результатів відомих наукових центрів з квантової теорії інформації. Особливу увагу звернуто на особливості математичного опису процесів функціонування базових квантових логічних елементів для основних квантових технологій, зокрема: ядерного магнітного резонансу, охолоджених іонів у пастках, нейтральних атомів у резонансних нішах, переходів Джозефсона.

На основі проаналізованих праць наведено підходи до математичного опису перехідних процесів між стабільними станами, які полягають у представлені послідовності n-кубітових логічних операцій, що виконуються у квантовому елементі, у вигляді добутку матриць унітарних операторів, які відповідають окремим базовим квантовим елементам.

Отримано загальну математичну модель еволюції неусталених станів в одно- та двокубітових квантових елементах. Цю модель одержано на основі залежного від часу рівняння Шредінгера, яке описує процес зміни стану квантового елемента.

В другому розділі представлено математичні моделі одно- та двокубітових квантових логічних елементів для технології ядерного магнітного резонансу. Ці моделі враховують різницю енергії двох можливих моментів імпульсів ядра, а також напруженість і частоту змінного магнітного поля та дають можливість досліджувати вплив конструкційних параметрів та параметрів збурюючих сигналів на перебіг перехідних процесів між стабільними станами.

Описано характеристику фізико-технічної схеми реалізації технології ядерного магнітного резонансу, на основі якої реалізують принципи побудови та функціонування квантового процесора. В цій квантовій технології моделлю базового квантового елемента є молекула, в якій атомні ядра мають внутрішній момент імпульсу (званий спіном) рівний S=1/2. Квантова інформація кодується в двох можливих положеннях ядерного спіну (відносно довільно вибраного напрямку в просторі) і цьому відповідає різниця енергії для цих станів при наявності постійного магнітного поля. З огляду на величину різниці енергії для базових станів кубіту, операція, що реалізує однокубітові елементи в цій технології, виконується під впливом змінного із радіочастотою магнітного поля. З метою реалізації двокубітових елементів використовують скалярні спряження, які мають місце в системах ядерних спінів.

З використанням гамільтоніану фізико-технічної системи сформовано математичну модель, яка описує перехідні процеси в одно- та двокубітових елементах. Для однокубітового елемента модель у вигляді рівнянь стану, що описують перехідні процеси, має форму системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку із комплексними змінними

в яке входять конструкційні параметри і параметри збурюючого сигналу, а саме: - різниця енергії між базовими станами кубіту; B1 -амплітуда збурюючого сигналу (індукція змінного магнітного поля), який викликає зміну стану кубіту; - частота збурюючого сигналу, яка повинна задовольняти умову резонансу, щоб стала можливою зміна стану кубіту під впливом поля B1; ? стала Планка розділена на ; a i b - комплексні змінні (невідомі в системі рівнянь), які безпосередньо пов'язані із станом квантового елементу, t - час, .

Математична модель двокубітового квантового елемента в технології ядерного магнітного резонансу отримано у вигляді:

причому тут виступають величини, які відображають конструкційні параметри та збурюючі сигнали, а саме та різниці енергій базових станів першого та другого кубітів, відповідно; резонансна частота збурюючого сигналу, яка спричиняє зміну стану в квантовому елементі для першого кубіту, така сама резонансна частота для другого кубіту; B1 -амплітуда збурюючого сигналу; J коефіцієнт скалярного спряження кубітів; a, b, c i d комплексні змінні, що описують стан квантового елемента.

Третій розділ присвячено формуванню математичних моделей одно- та двокубітових логічних елементів для технології охолоджених іонів у пастках. Ці моделі враховують як конструкційний параметр різницю енергії між енергетичними рівнями іону, а як збурюючі параметри - частоту та фазу лазерного променя, і дають можливість аналізувати перебіг перехідних процесів та час виконання логічних операцій.

При реалізації аналізованої квантової технології іони знаходяться в оптичній пастці. Спільна дія електричного та магнітного полів у пастці спричиняє обмеження руху іонів, у вибраних двох енергетичних станах яких закодовано квантову інформацію. На іон, який є носієм квантової інформації, можна діяти за допомогою світлових променів з частотою, узгодженою з різницею енергій станів, що кодують кубіти. При використанні променя лазера можна реалізувати одно- та двокубітові елементи в цій квантовій технології, а також записувати початковий стан в цілому квантовому регістрі.

На основі гамільтоніану представленої фізичної системи розроблено математичну модель перехідного процесу між стабільними станами в одно- та двокубітових елементах. Ці моделі представлено у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, в які входять параметри, що характеризують аналізовану фізичну систему, та параметри збурюючого сигналу. У випадку однокубітового елемента математичну модель сформовано у вигляді рівнянь стану:

причому величини, які входять в ці рівняння мають наступну фізичну інтерпретацію: - різниця енергії для базових станів та кубіту; ? дипольний момент, значення якого відповідає переходові між базовими станами кубіту; E ? напруженість керуючого сигналу (електричного поля світлової хвилі лазера); ? фаза сигналу (лазерного променя), ? частота керуючого сигналу, яка повинна задовольняти умову резонансу для реалізації однокубітового елемента в аналізованій фізичній системі.

Для двокубітового елемента відповідну математичну модель, яка описує перехідний процес, отримано у вигляді:

де ? параметр Ламба-Діка; ? частота, яка відповідає переходові між базовими станами кубіту; ? частота фонону в моді центру маси, ? частота керуючого сигналу з напруженістю Е і фазою .

В четвертому розділі представлено математичні моделі базових квантових елементів для технології резонансних ніш. В цій технології квантовий елемент утворюють нейтральні атоми, що пролітають через резонансну нішу електромагнітного поля з діапазону мікрохвиль.

Аналіз параметрів фізико-технічної системи, зокрема часу прольоту атому через нішу та структури електромагнітного поля в ніші, дає можливість оцінювати час взаємодії атому, який є носієм квантової інформації, і фотону. Базуючись на гамільтоніані системи, отримано математичні моделі перехідних процесів в одно- та двокубітових квантових елементах. У випадку однокубітових елементів математична модель має вигляд:



де ? параметр, який характеризує взаємодію кубіту з керуючим сигналом (полем в ніші) і який є пропорційним до дипольної сталої для переходу між базовими станами та кубіту; ? частота переходу між базовими станами кубіту; - функція, що описує форму керуючого сигналу і яка, зокрема, може мати вигляд

,

де - момент часу, для якого сигнал має максимальну амплітуду, а параметр x відображає просторовий "розтяг" сигналу; ? частота електромагнітного поля, яка забезпечує функціонування однокубітового елемента в схемі базових станів кубіту.

Еволюцію станів двокубітового квантового елемента в технології резонансних ніш описує математична модель у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку з комплексними змінними a, b, c, i d у вигляді:

де ? частота, що відповідає резонансному переходу між базовими станами кубіту; ? частота, з якою здійснюється зміна стану кубіта під дією керуючого сигналу, ? функція, яка описує структуру електромагнітного поля всередині ніші.

П'ятий розділ присвячено розробці математичних моделей одно- та двокубітових логічних елементів для технології переходів Джозефсона. Моделі враховують, як конструкційні параметри, амплітуду тунелювання та різницю енергії для станів з протилежними напрямками надпровідного струму, а як збурюючі параметри - напруженість, частоту та коефіцієнт стабілізації змінного магнітного поля.

Представлено фізико-технічну структуру реалізації базового квантового елемента в цій технології. Моделлю кубіту є надпровідна петля з трьома переходами Джозефсона. Стани кубіту "кодують" напрямками протікання надпровідного струму в петлі

На стан окремого кубіту можна впливати за допомогою змінного магнітного поля з частотами порядку мікрохвиль. Двокубітові елементи можна реалізувати використовуючи явище взаємоіндукції. На базі цієї фізико-технічної структури отримано математичні моделі одно- та двокубітових елементів. Ці моделі базуються на рівнянні Шредінгера для залежного від часу гамільтоніану, їх представлено у вигляді системи двох звичайних диференціальних рівнянь першого порядку з комплексними змінними. Для однокубітового квантового елемента математична модель в технології нанопереходів Джозефсона має вигляд

В ці рівняння входять параметри фізико-технічної структури і керуючого сигналу, які мають наступну фізичну інтерпретацію: ? різниця енергії між базовими станами кубіту; ? амплітуда керуючого сигналу (магнітного поля), яке викликає зміну стану кубіту; ? частота керуючого сигналу; ? величина енергії тунелювання.

Для двокубітового елемента в технології переходів Джозефсона математичну модель представлено у вигляді:

де - різниця енергії базових станів, відповідно, першого та другого кубітів; - енергія тунелювання пар Купера, відповідно, для першого та другого кубітів; J ? стала спряження кубітів;

-

змінне магнітне поле з напруженістю i частотою . Фізичні параметри, які виступають в математичній моделі, мають вплив на час реалізації квантових операцій і точність їх виконання.

В шостому розділі описано створені, на основі розроблених в попередніх розділах математичних моделей, комп'ютерні програми для аналізу перехідних процесів в однокубітових квантових елементах для проаналізованих чотирьох квантових технологій. З використанням цих програмних засобів досліджено вплив конструкційних параметрів фізико-технічних структур та параметрів збурюючих сигналів на перебіг перехідного процесу та час виконання логічних операцій. Здійснено також числові експерименти з аналізу впливу параметрів керуючих сигналів на точність виконання логічної операції в елементі NOT.

При моделюванні перехідних процесів в однокубітових квантових елементах використовується метод Рунге-Кутта для числового розв'язування систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку відносно комплексних змінних. При цьому досліджено вплив початкових умов квантового елемента і параметрів збурюючого сигналу (часу дії сигналу, його інтенсивності та часу наростання до максимальної амплітуди) на процеси зміни стану та .

Здійснено також числові експерименти, які показали вплив параметрів керуючого сигналу (зокрема, його амплітуди) на час виконання логічної операції в елементі NOT. Отримано вихідні характеристики, які відображають особливості протікання перехідного процесу в однокубітовому елементі.

В результаті числових експериментів встановлено яким чином швидкість наростання керуючого сигналу впливає на перехідний процес і час виконання операції NOT. Різниця енергії для базових станів кубіту , напруженість електромагнітного поля , а також , , , , , крок інтегрування .

В результаті числового моделювання досліджено вплив частоти керуючого сигналу (частоти лазерного променя) на точність виконання логічної операції NOT. Показано, що в цьому випадку мають місце амплітудні неточності, які залежать від похибки частоти керуючого сигналу

Основні результати та висновки

В дисертаційній роботі розв'язано актуальну наукову задачу розробки математичних моделей базових квантових логічних елементів для основних квантових технологій та аналізу з допомогою цих моделей перехідних процесів між стабільними станами. При цьому отримано такі основні результати:

На основі аналізу сучасного стану розвитку квантових систем інформатики показано, що найбільш перспективними щодо практичної реалізації квантових процесорів є технології: ядерного магнітного резонансу, охолоджених іонів, нейтральних атомів у резонансних нішах та переходів Джозефсона. Для цих технологій досліджено схеми фізико-технічних реалізацій одно- та двокубітових квантових елементів та можливості створення математичного інструментарію для їх опису.

Запропоновано та обгрунтовано методику формування математичних моделей квантових логічних елементів та моделювання перехідних процесів в них, яка базується на використанні рівнянь Шредінгера і гамільтоніану та дає можливість відобразити в математичних моделях особливості конструкції квантового пристрою, процедури запису початкового та зчитування кінцевого станів, спосіб реалізації логічної операції.

Вперше розроблено математичні моделі одно- та двокубітових квантових логічних елементів для технології ядерного магнітного резонансу, які враховують різницю енергії двох можливих моментів імпульсів ядра, а також напруженість та частоту змінного магнітного поля та дають можливість досліджувати вплив конструкційних параметрів та збурюючих сигналів на перебіг перехідних процесів.

Запропоновано та обгрунтовано математичні моделі одно- та двокубітових логічних елементів для технології охолоджених іонів у пастках, які враховують як конструкційний параметр різницю енергії між енергетичними рівнями іону, а як збурюючі параметри - частоту та фазу лазерного променя, і дають можливість аналізувати перебіг перехідних процесів та час виконання логічних операцій.

Вперше розроблено математичні моделі одно- та двокубітових квантових логічних елементів для технології нейтральних атомів у резонансних нішах, які враховують різницю енергії між енергетичними рівнями нейтральних атомів, а також напруженість та частоту мікрохвильового поля, його структуру та дають можливість досліджувати вплив конструкційних параметрів і збурюючих сигналів на перебіг перехідних процесів.

Обгрунтовано математичні моделі одно- та двокубітових логічних елементів для технології переходів Джозефсона, які враховують як конструкційні параметри амплітуду тунелювання та різницю енергії для станів з протилежними напрямками надпровідного струму, а як збурюючі параметри - напруженість, частоту та коефіцієнт стабілізації змінного магнітного поля.

Показано, що математичні моделі n-кубітових квантових елементів можна представити у вигляді системи 2n звичайних диференціальних рівнянь першого порядку з параметрами, які відображають вплив збурюючих сигналів на час і точність виконання логічних операцій.

Розроблено архітектуру побудови та програмно реалізовано комп'ютерні імітатори одно- та двокубітових квантових елементів для різних квантових технологій та запропоновано алгоритми числового аналізу впливу параметрів збурюючих сигналів на перехідні процеси та час виконання логічних операцій.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Marecka M., Marecki P. Modelowanie i symulacja cyfrowa procesуw fizycznych.- Bielsko-Biaіa: Wyїsza Szkoіa Informatyki i Zarz№dzania, 2005.- 125 s.

2. Марецька М. Математичні моделі квантових тригерів в технології резонансних ніш // Інформаційні технології і системи.- 2004.- Т. 7.- № 1.- С. 29-37.

3. Марецька М. Моделювання квантових тригерів в технології охолоджених іонів в оптичних пастках // Моделювання та інформаційні технології.- 2004.- Вип. 27.- С. 128-137.

4. Марецька М. Комп'ютерна система аналізу та моделювання квантових логічних елементів в технології магнітного резонансу // Журнал Хмельницького національного університету.- 2005.- Т. 2.- Ч. 1.- № 4.- С. 103-107.

5. Марецька М. Математичне моделювання динаміки квантових логічних елементів в технології резонансних ніш // Моделювання та інформаційні технології.- 2005.- Вип. 29.- С. 136-145.

6. Марецька М. Математичні моделі квантових тригерів в технології ядерного магнітного резонансу // Вісник Східноукраїнського національного університету.- 2005.- № 10(92).- С. 121-128.

7. Marecka M. New implementation of solid-state quantum computing // Archiwum Informatyki Teoretycznej i Stosowanej.- 2004.- V. 16.- N. 1.- P. 63-73.

8. Marecka M. Modelowanie i symulacja bramek kwantowych // Information and Telecommunication Systems.- 2005.- N. 7.- S. 84-93.

9. Marecka M. Rуwnania stanu dla bramek kwantowych w technologii NMR // Zeszyt Naukowy WSIZ. Bielsko-Biaіa, 2004.- N. 21.- S. 84-94.

10. Marecka M. Rуwnania stanu dla bramek kwantowych w technologii chіodzonych jonуw // Zeszyt Naukowy WSIZ.- Bielsko-Biaіa, 2004.- N. 22.- S. 101-112.

11. Marecka M. Rуwnania stanu dla bramek kwantowych w technologii opartej na elektrodynamice kwantowej we wnкkach rezonansowych // Zeszyt Naukowy WSIZ.- Bielsko-Biaіa, 2004.- N. 23.- S. 150-160.

12. Marecka M. Rуwnania stanu dla bramek kwantowych w technologii zі№cz Josephsona // Zeszyt Naukowy WSIZ.- Bielsko-Biaіa, 2004.- N. 24.- S. 109-117.

13. Marecka M. Symulator bramki jednoqubitowej w technologii NMR // Zeszyt Naukowy WSIZ.- Bielsko-Biaіa, 2005.- N. 25.- S. 122-131.

14. Marecka M. Symulator bramki jednoqubitowej w technologii zі№cz Joseph-sona // Zeszyt Naukowy WSIZ. Bielsko-Biaіa, 2005.- N. 26.- S. 122-133.

15. Марецька М. Математичне моделювання перехідних процесів в квантових логічних елементах в технології ядерного магнітного резонансу.- Львів, 2004.- 24 с. (Препр. / Державний НДІ інформаційної інфраструктури; 3/5-2004).

16. Марецька М. Математичне моделювання перехідних процесів в квантових логічних елементах в технології охолоджених іонів.- Львів, 2005.- 26 с. (Препр. / Державний НДІ інформаційної інфраструктури; 1/3-2005).

17. Марецька М. Математичне моделювання перехідних процесів в квантових логічних елементах в технології нейтральних атомів у резонансних нішах.- Львів, 2006.- 22 с. (Препр. / Державний НДІ інформаційної інфраструктури; 1/4-2006).

18. Marecka M. Modelowanie bramek kwantowych w technologii magnetycznego rezonansu j№drowego / Міжнародна школа-семінар "Моделювання та штучний інтелект".- Львів: ДНДІІІ, 2001.- С. 63-82.

19. Marecka M. Modelowanie bramek kwantowych w technologii elektrodynamiki kwantowej we wnкkach rezonansowych / Міжнародна школа-семінар "Моделювання та штучний інтелект".- Львів: ДНДІІІ, 2002.- С. 99-118.

20. Marecka M. Modelowanie bramek kwantowych w technologii chіodzonych jonуw w puіapkach optycznych / Міжнародна школа-семінар "Моделювання та штучний інтелект".- Львів: ДНДІІІ, 2003.- С. 121-140.

21. Marecka M. Modelowanie matematyczne procesуw przejњciowych w jednoqubitowych bramkach kwantowych w technologii rezonansu magnetycznego / Міжнародна школа-семінар "Моделювання та штучний інтелект".- Львів: ДНДІІІ, 2004.- С. 111-127.

22. Marecka M. Modelowanie matematyczne procesуw przejњciowych w jedno i dwuqubitowych bramkach kwantowych w technologii opartej na kwantowej elektrodynamice we wnкkach rezonansowych / Міжнародна школа-семінар "Моделювання та штучний інтелект".- Львів: ДНДІІІ, 2005.- С. 64-76.

Размещено на Allbest.ru

...