Моделирование физических задач

Для действительных корней задача отыскания решения уравнения легко интерпретируется графически: корень есть такое значение независимой переменной, при котором происходит пересечение графика функции, стоящей в левой части уравнения , с осью абсцисс. Например, пусть есть уравнение



Преобразуем его в и определим, что

График функции имеет вид

Таким образом, можно приблизительно определять область локализации корней уравнения. Так, видно, что данное уравнение имеет два действительных корня - один на отрезке [-1, 0] , а второй - [1, 2].

Пример 1.

Отделить корни трансцендентного уравнения графически.

Решение.

1. Создайте файл Func.m, содержащий описание функции

Файл Func.m.

function z=Func(x)

z=x.^2-sin(x)-1;

2. Постройте график функции в промежутке [-2; 2], выполнив в командном окне пакета MATLAB следующую последовательность операторов:

>> x= -2:0.1:2;

>> plot(x, Func(x)); grid on

3. Из рисунка видно, что функция имеет два корня:

х1[-1; 0] и х2 [1; 2].

Пример 2.

Методом половинного деления уменьшить промежуток изоляции корня х2 [1; 2] уравнения до промежутка длиной 0,1.

Метод дихотомии (половинного деления) основан на последовательном делении отрезка локализации корня пополам.

Теорема: Если непрерывная и строго монотонная на отрезке функция на концах его имеет противоположные знаки, т.е. , то на интервале имеется один и только один корень.

Для реализации этого метода выбирается начальное приближение к отрезку такое, что , затем определяется знак функции в точке - середине отрезка . Если он противоположен знаку функции в точке , то корень локализован на отрезке , если же нет - то на отрезке .

Решение.

1. Создайте файл ChislOtd.m, содержащий описание функции, уменьшающий промежуток изоляции корня методом дихотомии.

Файл ChislOtd.m.

function ChislOtd(f,x1,x2,h);

% f - имя m-файла, содержащего описание функции

% x1 - левая граница отрезка, на котором производится поиск решения

% x2 - правая граница отрезка, на котором производится поиск решения

% h - длина промежутка изоляции корня

a=x1;

b=x1+h;

while b<=x2

if feval(f,a)*feval(f,b)<=0

% feval(f,c) - оператор вычисления в точке х=с значения

% функции, описание которой находится в соответствующем файле.

% Имя файла хранится в строковой переменной f

a

b

end;

a=b;

b=b+h;

end;

2. Найдите новый промежуток изоляции корня:

>> ChislOtd('Func',1,2,0.1)

a =

1.4000

b =

1.5000

Таким образом, мы получили промежуток изоляции корня

[1,4; 1,5], который имеет длину 0,1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Привить студентам знания об основных этапах решения уравнения, выработать навыки использования различных методов для уточнения корня уравнения.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Все численные методы решения уравнений представляют собой алгоритмы последовательного приближения к корню уравнения. То есть, выбирается начальное приближение к корню и затем с помощью формулы генерируется последовательность сходящаяся к корню уравнения .

Пример 1.

Решить уравнение методом половинного деления с точностью 0,001 (промежуток изоляции корня [1,4; 1,5]).

Решение.

1. Создайте файл Func.m, содержащий описание функции

Файл Func.m.

function z=Func(x)

z=x.^2-sin(x)-1;

2. Создайте файл Div2.m, содержащий описание функции, возвращающей значение корня уравнения методом половинного деления.

Файл Div2.m.

function Div2(f,x1,x2,esp);

% f - имя m-файла, содержащего описание функции

% x1 - левая граница отрезка, на котором производится поиск решения

% x2 - правая граница отрезка, на котором производится поиск решения

% eps - точность решения

L=x2-x1;

k=0;

% k - счетчик количества шагов приближения к корню

while L>esp

c=(x2+x1)/2;

k=k+1;

if feval(f,c)*feval(f,x1)<0

% feval(f,c) - оператор вычисления в точке х=с значения

% функции, описание которой находится в соответствующем файле.

% Имя файла хранится в строковой переменной f

x2=c;

else

x1=c;

end;

L=x2-x1;

end;

x=c

k

fx=feval(f,c)

% fx - значение невязки

3. Вычислите значение корня уравнения

>> Div2('Func',1.4,1.5,0.001)

x =

1.4102

k =

7

fx =

0.0014

Ответ: решение х=1,4102 мы получили с точностью 0,001 за семь итераций.

При этом значение невязки fx = 0,0014.

Пример 2.Решить уравнение методом итераций с точностью 0,001 (промежуток изоляции корня [1,4; 1,5]).

Метод простой итерации

Это простейший из методов нахождения корней. В качестве итерационной формулы используется выражение независимой переменной из исходного уравнения:

Исходное уравнение - путем арифметических преобразований приводится к виду , который может использоваться в качестве итерационной формулы.

Данное преобразование, как правило, не однозначно и совершенно отдельной задачей является оценка применимости и эффективности того или иного способа преобразования.

Например, уравнение можно преобразовать, например, так или так или так и т.д.

Задавшись начальным приближением к корню (например, из анализа графика функции или априорных соображений физически реальной модели) можно найти решение: , затем ,…,.

Ниже приведена таблица вычислений для представленных выражений, начиная с одного и того же начального приближения.

Точность до семи значащих цифр достигается при данном выборе начального приближения для первой итерационной формулы уже на шестом шаге итерационной процедуры, для третьей - на 115-м (в таблице не показано). А вот для второй формулы уже на третьем итерационном шаге вычисления прекращаются, так как под знаком арксинуса оказывается число, большее единицы (нарушается область определения функции).

Теорема 3. Пусть функция g(x) определена и дифференцируема на отрезке, причем все ее значения, и существует такое вещественное число q, что , x , то итерационная последовательность сходится независимо от начального приближения и предельное значение является единственным корнем уравнения на отрезке .

Чем меньше значение q, тем «быстрее» сходится итерационная последовательность. Сходимость будет достаточно «быстрой», если .

Решение.

1. Создайте файл Func.m, содержащий описание функции

Файл Func.m.

function z=Func(x)

z=x.^2-sin(x)-1;

2. Создайте файл Func1.m, содержащий описание итерационной формулы .

Файл Func1.m.

function y=Func1(x)

y=sqrt(1+sin(x))

3. Создайте файл Iter.m, содержащий описание функции, возвращающей значение корня уравнения методом итераций.

Файл Iter.m.

function Iter(f,x0,esp)

x1=Func1(x0);

k=1;

while abs(x1-x0)>esp

x0=x1;

x1=Func1(x0);

k=k+1;

end;

x=x1

k

fx=feval(f,x1)

4. Вычислите значение корня уравнения:

>> Iter('Func',1.4,0.001)

x =

1.4076

k =

5

fx =

-0.0055

Ответ: решением уравнения будет число х=1,4076, полученное на 5 шаге. Значение невязки fx = -0.0055.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений в среде MATLAB осуществляется с помощью следующих встроенной функции: fzero().

Функция fzero( ) имеет следующую реализацию:

[x, f, e_flag, inform] = fzero('f(x)', x0)

где:

x - искомое неизвестное;

f - значение невязки;

e_flag - переменная, знак которой свидетельствует о наличии корня на данном интервале ( например, e_flag=1 - корень существует);

inform - содержит три поля с именами iterations (количество итераций), funcCount (количество обращений к функции f(x)), и algorithm (наименование алгоритма, использованного для нахождения корня;

'f(x)' - решаемое уравнение, записанное в одиночных кавычках;

x0 - начальное приближение или интервал поиска решения.

Пример 3.

Необходимо найти корни уравнения

,

если известно, что корни находятся в промежутках [-1, 0] и [1, 2].

Решение:

>> [x,f,e_flag,inform]=fzero('x^2-sin(x)-1',[-1, 0])

x =

-0.6367

f =

0

e_flag =

1

inform =

iterations: 8

funcCount: 8

algorithm: 'bisection, interpolation'

>> [x,f,e_flag,inform]=fzero('x^2-sin(x)-1',[1, 2])

x =

1.4096

f =

-1.1102e-016

e_flag =

1

inform =

iterations: 10

funcCount: 10

algorithm: 'bisection, interpolation'

Размещено на Allbest.ru

...