Характеристика немонохроматических волн

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЁЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ

Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина

Радиофизический факультет

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ И НЕМОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

Руководитель:

Багацкая О.В.

Студента

Герасимова И. М.

Харьков 2011

Содержание

Введение

1. Основная часть

2. Представление немонохроматических волн в виде интеграла Фурье

3. Представление немонохроматического поля в виде синусоидальной волны с медленно меняющейся амплитудой

Заключение

Используемая литература

Введение

Монохроматическая волна (от греч. моно -- один, хрома -- цвет) -- строго гармоническая (синусоидальная) волна с постоянными во времени частотой, амплитудой и начальной фазой. Самый лучший пример монохроматической волны - лазер.

В бегущей монохроматической электромагнитной волне плотности энергии электрического и магнитного полей, совершая гармоническое колебание с частотой 2, равны друг другу в каждой точке в любой момент времени.

Колебания электрического и магнитного полей происходят во времени в одинаковой фазе, то есть электрическое и магнитное поля одновременно достигают минимумов и максимумов.

На практике чисто монохроматическая волна не осуществима, так как должна была бы быть бесконечной - прежде всего, во времени. Реальные процессы излучения ограничены во времени, и поэтому под монохроматической обычно понимается волна с очень узким спектром. Чем уже интервал, в котором находятся частоты реальной волны, тем «монохроматичнее» излучение.

В природе и технике наиболее близко к монохроматическому излучение отдельных линий спектров испускания свободных атомов и молекул. Эти линии соответствуют переходу атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей, а частоты соответствующих монохромных волн равны разнице уровней энергии, поделённой на постоянную Планка.

f = (E1 ? E2) / h

Естественный свет представляет собой поток электромагнитных волн широкого диапазона частот. Плоская монохроматическая электромагнитная волна переносит только энергию и движется с фазовой скоростью. Для передачи информации ее необходимо, но пример, промодулировать по амплитуде. Такая волна уже немонохроматична.

Поэтому очень важно изучать распространение и взаимодействие как монохроматических и немонохроматических волн.

1. Основная часть

Плоские волны

Как следует из уравнений

любая декартова компонента и векторов Е,Н и А удовлетворяет волновому уравнению. Исследуем его решение, зависящее только от одной координаты х и времени t. Разумеется, направление оси х совершенно произвольно.

В принятых предположениях величине и(х, t) удовлетворяет уравнению

в котором мы записали оператор Даламбера в виде произведения двух сомножителей. Введем новые переменные

так что обратное преобразование дает

Имеем



в результaте чего уравнение (1.1) принимает вид

Решая последнее уравнение, получаем

а интегрируя еще раз по , находим

Здесь , а h() играет роль постоянной интегрирования по , которая может зависеть от второй переменной как от параметра. Вид функций g и h не определяется из решения уравнения и должен быть установлен путем задания начальных условий. Возвратившись к исходным переменным, получим

u( x,t ) = g( x+ct ) +h( x-ct )

Решение представляет собой наложение двух возмущений, каждое - из которых распространяется вдоль оси х (в сторону возрастания или убывания х) со скоростью с. Это следует из условия постоянства аргумента: Точка с постоянным значением g или h перемещается по закону Такие возмущения называются бегущими плоскими волнами.

Определим теперь взаимную ориентацию векторов Е, H, А в плоской волне. Из условия, что следует:

Но поскольку х входит в аргумент А в линейных комбинациях х ± сt. последнее равенство дает

Ах = сonst. Следовательно,

Проекции напряженностей поля на направление распространения отсутствуют -- плоские электромагнитные волны в вакууме поперечны.

Последующие соотношения получим для волн, бегущих в одну сторону. Полагая, находим

Далее

,

Или

где n -- единичный вектор в направлении распространения. Поскольку, как мы видели выше, , то из (1.5) вытекает равенство абсолютных величин магнитного и электрического векторов:

Н = Е

В заключение вычислим вектор Пойнтинга:

где -- плотность электромагнитной энергии в плоской волне. При выводе (1.7) использовано условие поперечности n * Е = 0. Формула (1.7) наглядно демонстрирует перенос электромагнитной энергии в плоских волнах со скоростью света с.

Преобразование частоты и волнового спектра. Эффект Доплера

Выясним закон преобразования фазы плоской монохроматической волны при переходе в другую инерциальную систему отсчета.

Записав формулы преобразования напряженностей

в виде

и т.д.,

мы видим, что они могут удовлетворяться в любой точке пространства -- времени только при условии инвариантности фазы: . Это связано с тем, что величина представляет собой число максимумов или минимумов поля между двумя пространственно-временными точками, которое не зависит от выбранной системы отсчета. Из инвариантности фазы следует, что

а поскольку образуют 4-вектор, то частота и волновой вектор k плоской монохроматической волны также образуют 4-вектор:

Закон преобразования и вытекает из общих формул преобразования 4-вектора

Найдем связь между частотой щ0 волны в системе источника и частотой щ той же волны в системе наблюдателя. Источник и наблюдатель движутся с относительной скоростью V. Запишем закон преобразования временных компонент k0:

Полагая щ' = щ0, где ? - угол распространения волны относительно V в системе наблюдателя, находим



Эта формула выражает собой эффект Доплера - изменение частоты волны, вызванное относительным движением источника и приемника.

При имеем

Частота волны возрастает при сближении источника и наблюдателя (проекция скорости на направление луча) и убывает при их удалении () (продольный эффект Доплера).

Если относительная скорость направлена перпендикулярно лучу зрения (соs ?= 0), то уменьшение частоты представляет собой эффект, квадратичный по V/с: немонохроматический волна синусоидальный частота

- поперечный эффект Доплера.

2. Представление немонохроматических волн в виде интеграла Фурье

Переменные электромагнитные поля, создаваемые реальными источниками, как правило, в той или иной степени являются немонохроматическими. Предположим, что поле в данной точке может быть разложено в интеграл Фурье. Запишем это разложение, обобщая формулу

в виде

Здесь U'(t) -- какая-либо декартова компонента векторов Е, Н или А, являющаяся действительной величиной. Фактически в разложение (3.1) основной вклад обычно вносит некоторая конечная область частот щ, которая определяется видом функции u(щ).

В данном случае, как и для монохроматических волн, удобно комплексное описание поля.

По аналогии с

свяжем с полем (3.1) комплексную функцию

Причем

Мнимая часть

однозначно определяется действительной частью U'(t), так как она получается из последней путем замены фазы каждой фурье-гармоники на Величина U(t) называется аналитическим сигналом. Она часто используется в теории волновых полей, теории колебаний, радиотехнике и др. Характерной особенностью функции U(t) является то, что она содержит гармоники Фурье только с положительными частотами. Следовательно, если U(t) ограничена при всех действительных t, то она останется ограниченной и при комплексных значениях лежащих в нижней полуплоскости В самом деле, заменяя в (3.2) t на

t' + i, мы получим под интегралом дополнительный множитель , который при t" < 0 только усилит сходимость интеграла по . Это показывает, что функция рассматриваемая при комплексных t, аналитична (не имеет особенностей) в нижней полуплоскости.

Аналитичность U(t) в нижней полуплоскости комплексного t позволяет установить простую интегральную связь между и Для этого рассмотрим интеграл (3.5) по замкнутому контуру С (рис. 3.1) , при этом точка t' = t обходится по дуге малой полуокружности снизу. Поскольку U(t ) и не имеют особенностей внутри контура интегрирования, этот интеграл обращается в нуль:

Интеграл по дуге большого круга обращается в нуль ввиду быстрого убывaния U(t') при t' в нижней полуплоскости. Интеграл по малой полуокружности вычисляется непосредственно и дaет полувычет подынтегральной функции:

Наконец, оставшийся интеграл по действительной оси с исключенной точкой должен вычисляться в смысле главного значения, т.е. из интегрирования исключается отрезок (t -- р, t + р) действительной оси, причем В итоге, учитывая (3.6), приведем (3.5) к виду

Разделив в действительную и мнимую части, найдем искомые соотношения между ними:

Соотношения (3.8), связывающие действительную и мнимую части некоторой комплексной функции действительной переменной, в матемaтике носят название преобразования Гильберта. Они играют важную роль в физике и называются обычно дисперсионными соотношениями, так как впервые были исследованы в теории дисперсии света.

Более удобной, чем, является комплексная форма записи фурье-разложения действительной функции :

где интеграл (3 .9а) действителен, так как

Переписав (3. 9а) в виде

и сравнив эту запись с (3.1) , найдем связь между действительной и() и комплексной амплитудами Фурье:

Последнее соотношение позволяет записать разложение Фурье аналитического сигнала в виде

Оно по-прежнему, разумеется, содержит только положительно-частотные гармоники Фурье.

Разложение Фурье позволяет найти спектральный состав энергии немонохроматического электромагнитного поля.

3. Представление немонохроматического поля в виде синусоидальной волны с медленно меняющейся амплитудой

Энергию поля легко выразить через комплексную функцию U(t) - аналитический сигнал.

Понятие аналитического сигнала оказывается весьма полезным при попытке представить реальное немонохроматическое поле в виде синусоидальной волны с медленно меняющейся амплитудой. Записав в виде



где - некоторая заданная "центральная" частота, мы должны указать критерий, по которому одна заданная функция расщепляется на две-- амплитуду А(t) и медленно меняющуюся часть фазы Ф(t). Использование аналитического сигнала позволяет сформулировать такой критерий.

Заключение

Таким образом, в данной курсовой работе были рассмотрены следующие вопросы:

1. Дано определение плоской волны и приведены ее основные характеристики.

2. Показано, как преобразуется частота и волновой спектр при переходе в другую систему отсчета; сформулирован эффект Доплера

3. Приведено представление реальных немонохроматических волн в виде интеграла Фурье

4. Сформулировано представление немонохроматического поля в виде синусоидальной волны с медленно меняющейся амплитудой

Используемая литература

1. Бредов М.М., Румянцев В.В. Классическая электродинамика - М: Наука, 1985. - 398с.

2. Лукьянчиков Л.А. Электричество. Электромагнитные волны. Учеб. пособие. Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск 2003. 168 с.

3. Савельев И.В. Основы теоретической физики, т 1 механика и электродинамика - М: Наука 1991. 496 с.

Размещено на Allbest.ru

...